A crítica wittgensteiniana à teoria da identidade de Ramsey

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1 A crítica wittgensteiniana à teoria da identidade de Ramsey Anderson Luis Nakano Doutorando em Filosofia pela UFSCar. Bolsista FAPESP gmail.com Palavras-chave Ramsey, Wittgenstein, logicismo, identidade, funções em extensão. Resumo Ramsey foi certamente o primeiro a mourejar, do ponto de vista técnico, nas consequências da eliminação, feita pelo Tractatus de Wittgenstein, do sinal de identidade enquanto uma função proposicional legítima. No plano da aritmética cardinal dos Principia Mathematica, as consequências desta eliminação eram devastadoras e minavam o projeto logicista como um todo. Por outro lado, Ramsey acreditava que a teoria do Tractatus, segundo a qual o método propriamente matemático consiste em trabalhar com equações, encontrava dificuldades insuperáveis. Em face destas dificuldades, Ramsey procurou defender, contra Wittgenstein, uma posição logicista segundo a qual as equações corretas da aritmética podem ser concebidas como tautologias (e as incorretas como contradições). Para isto, Ramsey procurou legitimar uma outra definição do sinal de identidade, que não estivesse exposta às mesmas críticas que Wittgenstein fizera à tentativa de Russell de defini-lo a partir do princípio leibniziano de identidade dos indiscerníveis. Para isto, Ramsey introduz a noção de função em extensão, a qual serviria como uma ferramenta para extensionalizar a lógica, possibilitando um cálculo lógico de extensões. Neste contexto, o presente trabalho procura elucidar, em um primeiro momento, os detalhes deste movimento apresentado sucintamente neste resumo e, posteriormente, os argumentos que Wittgenstein move contra Ramsey, em particular a denúncia de circularidade que o filósofo austríaco faz à definição de Ramsey da identidade. Ramsey foi certamente o primeiro a mourejar, do ponto de vista técnico, nas consequências da eliminação, feita pelo Tractatus de Wittgenstein, do sinal de identidade enquanto uma função proposicional legítima. O trabalho de Ramsey, neste âmbito, dividiu-se em duas frentes. Na primeira delas, Ramsey dedicou-se ao problema da tradução dos enunciados dos Principia Mathematica de Russell, em particular dos que faziam uso do sinal de identidade, para uma linguagem que fazia uso da convenção tractariana de exprimir a identidade entre objetos ou variáveis por meio da identidade do sinal que representava estes objetos ou variáveis 1. Na segunda, Ramsey investigou os efeitos destrutivos da eliminação da identidade para a aritmética baseada, tal como nos Principia Mathematica de Russell, em uma teoria intensional das classes. A consequência mais imediata da eliminação do sinal de identidade é o fato de que nenhuma descrição (dada por uma função proposicional, por uma função material) pode ela própria garantir que ela é satisfeita por 31 1 Cf., em particular, Frank Plumpton Ramsey: Identity, em: Maria Carla Galavotti (ed.): Notes on Philosophy, Probability and Mathematics, Napoli: Bibliopolis, 1991, pp

2 pelo menos um objeto ou por exatamente um objeto ou ainda por uma lista previamente dada de objetos. Por mais que se tente individuar um objeto por meio de uma descrição, nunca há garantias suficientes, a partir da própria descrição, de que é esse objeto, e apenas esse, que a satisfaz. Assim, dois objetos podem ter todas as propriedades em comum, e ainda assim serem diferentes. Não que a definição do sinal = de Russell 2 seja inaceitável: na qualidade de definição de um sinal, ela é irreprochável. No entanto, ela não fornece aquilo que usualmente se chama de identidade de um objeto, pois a proposição a = b, neste caso, pode muito bem ser verdadeira e ainda assim o objeto a ser distinto do objeto b. No plano da aritmética cardinal dos Principia Mathematica de Russell, as consequências eram devastadoras: não há nenhuma garantia de existir uma função proposicional satisfeita por, digamos, dois objetos (o mesmo vale para três, quatro, etc.). Nesse sentido, ao se definir o número 2, ao modo de Russell, como a classe de todos os pares, o 3 como a classe de todos os trios, etc., não há nenhuma garantia lógica de que estes números sejam distintos, já que ambas classes podem muito bem ser vazias. Por outro lado, Ramsey acreditava que a teoria do Tractatus, segundo a qual o método propriamente matemático consiste em trabalhar com equações 3, encontrava dificuldades insuperáveis 4. Em face destas dificuldades, Ramsey procurou defender, contra Wittgenstein, que as equações corretas da aritmética podem ser concebidas como tautologias (e as incorretas como contradições), no sentido preciso que tais termos assumem no Tractatus. Que tautologias e contradições seriam estas que cumpririam o papel de equações e inequações? É bem conhecido o fato de que Ramsey introduz, em sua obra Os Fundamentos da Matemática, um sinal para expressar a identidade entre dois objetos, um sinal que não estivesse exposto às mesmas críticas que Wittgenstein fizera à tentativa de Russell de defini-lo a partir do princípio leibniziano de identidade dos indiscerníveis. A despeito disso, Ramsey não poderia tratar as equações como simples identidades, já que números não são, pace Frege, objetos. Seria preciso que ele traduzisse as equações para o simbolismo da lógica (utilizando, neste processo, a forma mais geral da aplicação da equação), o que ia, é claro, ao encontro de sua tentativa de vindicar o projeto logicista. Considere dois exemplos: i) a equação = 7 e ii) a inequação 3 2. As tautologias correspondentes seriam dadas por: i) xˆ(φx) 3 xˆ(ψx) 4 ( x)φx ψx xˆ(φx ψx) 7 φψ (Se há exatamente 3 objetos que são φ e há exatamente 3 objetos que são ψ e não há nenhum objeto que seja φ e ψ, então, para toda função φ e ψ, há exatamente 7 objetos que são φ ou ψ). ii) ( 3 x)φx φ ( 2 x)φx (Se uma função φ é satisfeita por 3 objetos, então ela é satisfeita por 2 objetos) 32 2 (a = b) = (f )f a f b Def. 3 Cf. Tractatus, aforismo Cf. Ramsey: The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, pp

3 Considere, agora, i) a equação falsa = 8 e ii) a inequação falsa 2 3. Elas corresponderiam, na tradução proposta, às seguintes proposições: i) xˆ(φx) 3 xˆ(ψx) 4 ( x)φx ψx xˆ(φx ψx) 8 φψ (Se há exatamente 3 objetos que são φ e há exatamente 3 objetos que são ψ e não há nenhum objeto que seja φ e ψ, então, para toda função φ e ψ, há exatamente 8 objetos que são φ ou ψ). ii) ( 2 x)φx φ ( 3 x)φx (Se uma função φ é satisfeita por 2 objetos, então ela é satisfeita por 3 objetos) No entanto, se as variáveis denotadas por φ e ψ percorrem apenas funções materiais, então é evidente que as proposições acima não são contradições, e sim proposições com sentido. Para que a primeira fosse verdadeira, bastaria que o lado esquerdo da implicação material fosse sempre falso, o que ocorre, p. ex., se não há nenhum conceito material sob o qual caem exatamente 3 objetos. O mesmo raciocínio se aplica à segunda proposição: se não há nenhum conceito sob o qual caem dois objetos, a proposição é verdadeira. Mas, ora, se é assim, então, em termos gerais, a equação a + b = c é compatível com a equação a + b = c + 1, e a inequação m n é compatível com a inequação m < n. Consequentemente, m < n não pode ser a negação de m n e toda tentativa de aplicar a lógica na matemática levaria a resultados indesejados. Com isso, ía por água abaixo toda a tentativa de tratar equações verdadeiras como tautologias e falsas como contradições. A conclusão de Ramsey é que não é possível dar conta da matemática via lógica sem funções do tipo ξ = a v ξ = b. É claro que, se o sinal de identidade é permitido, então para cada extensão há um conceito correspondente (i.e., para cada lista de objetos, há uma descrição que é satisfeita por estes, e apenas por estes, objetos), e as equações falsas acima se tornam, portanto, contradições. Em um outro escrito, Ramsey chama estas funções de propriedades formais, em contraste com as propriedades reais que são dadas por conceitos materiais 5. Na concepção de Ramsey, era absolutamente imprescindível considerar propriedades formais no mesmo nível de propriedades materiais, sob pena de deixar a verdade das proposições matemáticas transvestidas em sua tradução lógica depender de fatos contingentes. É importante caracterizar este debate sobre a natureza da extensão como um debate entre uma teoria logicista e uma teoria anti- -logicista. O tratamento da extensão via conceito é essencialmente logicista, e é por isso que a eliminação da identidade põe diversos problemas para o logicismo. Ramsey concordava que nem toda classe era definida por um conceito material, mas isto levava à impossibilidade de tratar a matemática via lógica. É por isso que Ramsey procurará fundamentar de outro modo a noção de um conceito formal (com o uso da identidade), afim de que se dispusesse 33 5 Cf. idem: Identity, p. 187.

4 de um aparato suficiente para prover uma lógica extensional. Que a matemática seja essencialmente extensional, na concepção de Ramsey, isto era o resultado do fato que as relações e conceitos de que a matemática precisava não eram relações e conceitos materiais/reais (actual) 6. Assim, era preciso extensionalizar a lógica para que ela desse conta desta característica constitutiva da matemática. Em um certo sentido, Wittgenstein concorda com o diagnóstico de Ramsey: a matemática trabalha com extensões. É o passo que Ramsey dá na tentativa de tratar extensões pela lógica que é condenado 7. O fato é que, se a ideia de uma função em extensão não é permitida na lógica, o projeto logicista cai por terrra. É por isso que, consequente com seu objetivo, Ramsey procurará dar cidadania a esta noção que parece ter uma doppia vita intensional e extensional. É precisamente a noção de função em extensão que aparece, para Ramsey, como uma noção que completa o rol de intensões que os conceitos materiais não são capazes de prover; como uma noção que faz as vezes, na lógica, do meramente possível. O modo pelo qual Ramsey introduz a noção de função em extensão o único modo, segundo ele, viável é um abandono da concepção de função tal como concebida por Russell nos Principia Mathematica e por Wittgenstein no Tractatus, no sentido em que a estrutura de uma proposição que é analisada em termos de uma função em extensão e seus argumentos deixa de ter qualquer vínculo com a estrutura da proposição que é valor da função para aqueles argumentos. No caso de uma função unária, ela resulta, segundo Ramsey (1931, p. 52, grifo e tradução nossos), (...) de qualquer relação um-para-muitos em extensão entre proposições e indivíduos; isto é, uma correlação, praticável ou impraticável, na qual uma única proposição é associada a cada indivíduo, sendo este o argumento da função, e a proposição seu valor. Assim φ (Sócrates) pode ser Queen Anne está morta, φ (Platão) pode ser Einstein é um grande homem; φˆx sendo simplesmente uma associação arbitrária de proposições φx a indivíduos x. Uma função em extensão será marcada por um sufixo e, portanto φ eˆx. Ora, como Ramsey adota, em seu sistema de lógica, o Axioma do Infinito 8, uma tal correlação é sempre impossível de ser feita na prática. Mas isso, segundo Ramsey, pouco importa: embora uma tal correlação não esteja disponível individualmente, ela sempre estará incluída nas proposições que quantificam sobre a totalidade de funções em extensão, e são precisamente estas proposições que são importantes para a matemática, e não proposições que versam sobre uma função em extensão particular Cf. Ramsey: The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, p Cf. Juliet Floyd: Wittgenstein on Philosophy of Logic and Mathematics, em: Stewart Shapiro (ed.): The Oxford Handbook of Philosophy of Logic and Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2005, p. 105 : The heart of his unwillingness to follow Ramsey s approach to the foundations of mathematics was that he could not see what made the notion of function-in-extension a logical notion. 8 Cf. ibid., p. 61.

5 A partir da introdução das funções em extensão, a identidade x = y é definida como (φ e ) φ e x φ e y. Esta definição é adequada, segundo Ramsey, pois quando x e y denotam o mesmo indivíduo, o definiens se torna uma tautologia, caso contrário ele se torna uma contradição. Em uma nota de rodapé 9, Ramsey nota que a proposição (φ) φx φy, por outro lado, também é uma tautologia caso x e y denotem o mesmo, mas não é, no caso oposto, uma contradição, como também acontecia, como vimos, no caso da tradução lógica de expressões aritméticas. Munido das funções em extensão, Ramsey poderia evitar, por conseguinte, este problema e tratar equações corretas como tautologias e equações incorretas como contradições, concretizando assim o seu projeto logicista. Não é de causar espanto o fato de Wittgenstein condenar 10 tanto a definição da identidade de Ramsey quanto a própria ideia de função em extensão. A função em extensão abandona duas características centrais da noção de função proposicional como concebida pelo Tractatus: i) uma função em extensão não determina uma forma lógica; ii) uma função em extensão não caracteriza o sentido da proposição que é valor da função para um determinado argumento, mas apenas seu modo de apresentação. Nesse sentido, a função em extensão deixa de ter uma relação interna e essencial com o valor da função para um dado argumento, mas passa apenas a ter uma relação externa e convencional com este valor. Com efeito, a função em extensão é, na verdade, um dicionário que correlaciona objetos e proposições, e já não representa, como a função proposicional legítima, uma característica comum a uma classe de proposições. Dada uma proposição, digamos, Sócrates é ateniense, é possível inferir a função proposicional que produziu esta proposição para o argumento Sócrates, ao passo que, no caso da função em extensão, esta inferência não pode ser feita, já que a função em extensão não possui vínculo algum, a não ser mediante uma convenção arbitrária, com o valor da função para um dado argumento. Nesse sentido, ainda que o valor de uma certa função em extensão φ e para o argumento Sócrates seja de fato a proposição Sócrates é ateniense, essa correlação não é algo que se poderia obter a partir da análise da proposição ela própria, mas é antes o produto de uma convenção simbólica, que já não tem nenhuma ligação essencial com a estrutura proposicional. Os argumentos que Wittgenstein move contra Ramsey e sua definição da identidade se encontram espalhados por diversos textos do período intermediário de seu pensamento, que vão desde uma carta pessoal ao próprio Ramsey até obras não publicadas como as Observações Filosóficas e a Gramática Filosófica. Em todas elas há uma denúncia de círcularidade da definição de Ramsey. Neste curto texto, iremos nos ater apenas a uma metáfora que Wittgenstein utiliza, nas Observações Filosóficas, para explicar o seu desconforto 35 9 Cf. Ramsey: The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, p A primeira crítica à Ramsey ocorre em uma carta de 1927, na qual Wittgenstein aponta para o fato de que a função de Ramsey para a identidade leva a contrassensos, e não apenas a proposições sem sentido (tautologias e contradições). Cf. Ludwig Wittgenstein: Wittgenstein in Cambridge: Letters and Documents , ed. por Brian McGuinness, Malden: Blackwell, 2008, pp

6 com a teoria da identidade de Ramsey. A exposição desta metáfora é suficiente, creio, para que se reconheça o penhasco em que tal tentativa de definição da identidade deve necessariamente cair. Eis a metáfora (Wittgenstein, 1964, p. 143, tradução nossa): A teoria da identidade em Ramsey comete o erro que seria cometido por alguém que dissesse ser possível usar um quadro também como um espelho, mesmo que somente para uma única postura. Dizer isso é ignorar que o essencial para um espelho é justamente que dele se pode inferir a postura do corpo que está a sua frente, ao passo que, no caso do quadro, é preciso saber primeiramente que as posturas coincidem antes de se poder entender o quadro como uma imagem de espelho. Na metáfora, o espelho representa a noção legítima de função, enquanto que o quadro usado como espelho representa a noção de função em extensão, concebida como um dicionário que correlaciona objetos a proposições. Quando Wittgenstein afirma que o essencial para um espelho é a possibilidade de inferir a postura do corpo que está na sua frente, ele quer dizer que, para uma função, é essencial que, dado um argumento para ela, seja possível inferir o seu valor independentemente de qualquer correlação arbitrária. Se f(ξ) é uma função legítima e a é seu argumento, o sentido da proposição f(a) não é modo algum determinado pela determinação de Ramsey 11 ou daquele que traçar efetivamente a correlação arbitrária proposta por Ramsey, mas é simplesmente determinado pela função e argumento eles próprios. Já no caso da função em extensão, afim de que seja possível utilizá-la como uma função legítima, é preciso saber de antemão que a correlação foi feita corretamente, que o valor de f(ξ) para o argumento a seja, de fato, f(a). Mas Ramsey poderia replicar que não é preciso utilizar funções em extensão enquanto funções legítimas, mas apenas como um instrumento para definir a identidade e, com isso, criar as bases para um cálculo lógico de extensões. Mas seria isto possível? Pois vamos supor que as funções em extensão não funcionem de modo análogo a funções legítimas e suponhamos que alguém esteja em dúvida a respeito da identidade entre dois objetos denotados por a e b, isto é, se a verdade ou falsidade da proposição a = b está sub judice. A definição proposta por Ramsey fornece supostamente um critério segundo o qual se poderia decidir a respeito da verdade ou da falsidade desta proposição. Mas, para isso, seria preciso percorrer a totalidade das funções em extensão para que uma tal questão fosse decidida. Deixando de lado o problema do infinito o que Wittgenstein parece sugerir quando afirma que o problema surgiria mesmo que o quadro fosse usado como espelho apenas para uma única postura, o problema pode ser colocado nos seguintes termos: como as funções em extensão não se comportam como funções legítimas, não basta que o nome da função e seu argumento Compare com a crítica que o Tractatus faz, no aforismo 4.431, da teoria fregiana da negação, utilizando a distinção entre função e índice. É uma característica de um índice o fato de que não é suficiente conhecer o seu significado se é que ele tem algum significado e o significado do nome que o índice acompanha para conhecer o significado do sinal composto do nome e do índice, assim como acontece com as palavras compostas (p. ex., criado-mudo). É preciso ainda de uma nova determinação arbitrária para conferir-lhe um significado.

7 sejam dados para saber o valor da função para um tal argumento. É preciso ainda de uma correlação arbitrária que vincula o argumento da função com uma proposição qualquer. Mas como traçar esta correlação adequadamente sem saber, ex hypothesi, se a é ou não idêntico a b? Afinal, é preciso saber se os valores da função, para os argumentos a e b, podem ser distintos, o que acontece apenas se a não é idêntico a b. Deste modo, malogra toda tentativa de definir a identidade por meio de funções construídas arbitrariamente pois, na definição da função, cumpriria indicar, para cada argumento distinto, um único valor para a função; e ao aplicar a definição a um caso particular, surgiria novamente a questão de saber se dois objetos são de fato idênticos ou distintos. E assim nos moveríamos em círculo. Dado o fracasso de toda e qualquer tentativa de se criar as bases para uma lógica extensional, Wittgenstein será levado a vincular, nas Observações Filosóficas, a teoria do número cardinal a uma teoria extensional das classes, desvinculando a primeira de todo e qualquer aparato lógico/intensional, de toda e qualquer tentativa de se fornecer a forma mais geral da aplicação do número e das equações aritméticas. O reconhecimento deste caráter autônomo da aritmética, no entanto, merece ser considerado em mais pormenores do que este pequeno trabalho nos permite. 37

8 Bibliografia FLOYD, J. Wittgenstein on Philosophy of Logic and Mathematics, em: Stewart Shapiro (ed.): The Oxford Handbook of Philosophy of Logic and Mathematics, Oxford: Oxford University Press, RAMSEY, F. P. Identity, em: Maria Carla Galavotti (ed.): Notes on Philosophy, Probability and Mathematics, Napoli: Bibliopolis, The Foundations of Mathematics and other Logical Essays. London: Routledge, WITTGENSTEIN, L. Tractatus logico-philosophicus. São Paulo: Editora Edusp, Wittgenstein in Cambridge: Letters and Documents , ed. por Brian McGuinness, Malden: Blackwell, Philosophische Bemerkungen, ed. por Rush Rhees, Frankfurt: Suhrkamp,