ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS ESFÉRICOS CONFINADOS: ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL

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1 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS ESFÉRICOS CONFINADOS: ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL Carlos Alberto de Almeida Vilela (1) (carlosavgeo@yahoo.com) (1) Universidade Federal de Goiás; Engenharia Mecânica RESUMO: O escoamento em dutos com obstruções é uma configuração bastante comum e está presente em diversas situações como por exemplo tubulações de água, transporte de materiais, escoamento em vasos sanguíneos, etc. A presença destas obstruções dificultam o escoamento do fluido e provocam um aumento na perda de energia em forma de pressão no duto. O presente trabalho apresenta resultados numéricos e experimentais da análise do escoamento em duto de seção quadrada com corpo esférico confinado. Os estudos abrangem a faixa do escoamento até Reynolds 5000, e também as relações de bloqueio até D/H igual a 0,9. Como resultados são apresentados os diagramas do coeficiente de arraste e pressão (C D e Cp), linhas de corrente na simetria e na superfície da esfera. Os resultados numéricos foram obtidos com o pacote FLUENT e a análise experimental foi realizada em bancada instrumentada de baixo custo para fins didáticos. PALAVRAS-CHAVE CHAVE: escoamento confinado, simulação numérica, coeficiente de arraste. FLOW OVER CONFINED BODIES: NUMERICAL AND EXPERIMENTAL ANALISYS ABSTRACT: The pipeline flow obstructions is a common configuration and is present in many situations such as water pipes, transport of materials, flow in blood vessels, etc. These obstructions difficult the fluid flow and increase energy loss. This paper presents numerical and experimental results of the flow analysis inside square section duct with spherical body confined. The studies cover a range of flow Reynolds until 5000, and also blocking relationship 0,1<D/H<0,9. The results are presented in diagrams of the drag coefficient (C D ), pressure drop, streamlines in symmetry and the surface of the sphere. The numerical results were obtained with FLUENT package and experimental analysis was performed on low cost instrumented bench for teaching purposes. KEYWORDS: confined flow, numerical simulation, drag coefficient. Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial

2 INTRODUÇAO As obstruções em dutos com escoamentos podem ser classificados em geral em dois grandes tipos: restrição de área de escoamento devido às reduções nas paredes ou restrição de área de escoamento devido à presença de obstáculos no interior dos dutos. Os escoamentos em dutos com reduções nas paredes podem ser exemplificados no meio industrial pela presença de redutores de seção como os medidores de vazão tipo placa de orifício e Venturi, imperfeições, acúmulo de material e deformações nas superfícies dos dutos, etc e os escoamentos com obstrução podem ser exemplificados pelas presenças de sensores instalados, válvulas e outros acessórios. Outro exemplo de escoamento com obstrução são os escoamentos em vasos sanguíneos. O desenvolvimento de doenças vasculares tais como a arteriosclerose, reduz a área da seção transversal do vaso e com isso o risco de aparecimento de outras doenças pode ser ampliado ou até mesmo como em alguns casos severos, o rompimento da parede do vaso. A relação de obstrução da área de escoamento pode ter um efeito drástico na distribuição da pressão caso esta relação seja elevada. A presença de obstruções na seção de escoamento dos dutos provoca entre outros efeitos uma variação brusca na pressão e tensão de cisalhamento nas paredes e promove também o surgimento de recirculações no fluxo sendo que isso além de significar vibrações no escoamento também representa o aumento de ruído como apresentado por Layek e Midya (2007) e Liu et al (2004). O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma comparação entre os resultados obtidos através da simulação numérica por volumes finitos e resultados experimentais obtidos por meio de uma bancada experimental de baixo custo utilizada como meio de aprendizado em aulas de mecânica dos fluidos. A bancada foi desenvolvida para apresentar ao aluno os conceitos básicos de escoamento com arraste e como primeiro contato em métodos experimentais em dinâmica dos fluidos a comparação com métodos computacionais se torna ainda mais interessante do ponto de vista didático. EQUAÇOES GERAIS E GEOMETRIA O problema físico consiste em um escoamento em duto de seção quadrada com uma esfera confinada conforme o esquema apresentado na figura 1, onde também estão indicadas as condições de contorno. parede u=v=0 parede u=v=0 h entrada u=u esp v=0 D H saída p=0 h h h L e L s Figura 1. 1 Geometria e condições de contorno numérica. Vista lateral e frontal. H

3 As dimensões físicas do problema estão apresentadas na tabela 1. Tabela 1. Dimensões gerais para o problema Numérico Experimental Le (m) 1,0 1,0 Ls (m) 1,0 1,0 D (m) 0,01 (β=0,1) 0,03 (β=0,3) 0,05 (β=0,5) 0,07 (β=0,7) 0,09 (β=0,9) H (m) 0,1 0,1 h (m) (H-D)/2 (H-D)/2 u entrada perfil parabólico perfil lei de potência (n=7) As hipóteses consideradas para este escoamento são as de regime permanente, completamente desenvolvido, propriedades constantes e isotérmico. Considerando as equações governantes no sistema de coordenadas retangulares, tem-se: Equação da continuidade ( ρ v r ) = 0 (1) Equação de Navier-Stokes rr r ρ vv = p + τ + ρ ( ) ( ) g onde r r v v T r 2 τ µ + vi [( ) ] = 3 µ é a viscosidade dinâmica p é a pressão estática I é o tensor unidade (2) (2) β = A relação de bloqueio é definida como: D H (4) E o número de Reynolds baseado na velocidade média na seção de entrada e no diâmetro da esfera é definido como: ρud Re = µ (5) onde U é a velocidade média na seção de entrada do duto quadrado. C = Os coeficientes de arraste e de pressão são calculados a partir das equações gerais dadas por: FD U A (6) D ρ Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 3

4 C p = ( P P ) entrada ρu z onde F D é a força de arraste atuante na superfície da esfera A é a área projetada da esfera na direção do escoamento P z é a pressão local na parede do duto na coordenada z (7) O calculo numérico da força na superfície da esfera é feito considerando o campo de pressão e as tensões de cisalhamento, o que significa que o C D calculado será o coeficiente global de arraste. Experimentalmente, a força F D é medida utilizando uma balança analítica digital segundo o aparato descrito na figura 2. Foi utilizado o esquema QUICK para as variáveis primitivas e para o acoplamento velocidade-pressão foi utilizado o método SIMPLE. Formulação para regime laminar foi utilizada até o limite onde foi conseguida a convergência numérica e em seguida foi utilizada a formulação para regime turbulento com modelo κ-ε. APARATO EXPERIMENTAL Um esquema da bancada construída está apresentado na figura 2. A estrutura foi feita em acrílico possibilitando a visualização do escoamento caso seja utilizado algum método de visualização tal como da dispersão de fumaça e óleo sobre superfície. roldana fio de poliester F 5 F 6 pesos L sup F 4 balança F 3 pino articulado F 7 L inf suporte F 1 F 2 esfera Figura 2. Esquema de montagem da balança analítica e o balanço de forças no dispositivo O procedimento de teste é iniciado acionando-se o exaustor através de seu controlador de velocidade e a vazão é verificada no interior do duto através de um anemômetro digital. Depois de estabilizado o escoamento e calculado o número de Reynolds correspondente faz-se a leitura na balança e calcula-se o valor do coeficiente de arraste segundo a equação (8). Para a leitura da força de arraste, foi acoplada uma balança analítica de precisão de 0,001g conforme o esquema apresentado na figura 2, onde também está esquematizado o balanço de forças para o cálculo do coeficiente de arraste. Seguindo o esquema apresentado na figura 2 considerando que a esfera estará sempre na posição vertical de equilíbrio, tem-se que a força F 1 é a própria força de arraste na esfera e a força F 5 é a força que pode ser medida diretamente pela balança. O peso da esfera e das barras de apoio são todos suportados

5 pelo pino articulado, o qual é lubrificado para minimizar o atrito na rotação. Desconsiderando o atrito nas roldanas e pinos articulados e o peso do fio de poliéster o balanço de forças resulta em: Lsup 1 C D = F5 1 L U 2 inf 2 ρ A (8) Tabela 2. 2 Descrição das forças atuantes no dispositivo Grandeza Descrição F1 Força de arraste F2 Peso da esfera F3 Peso do suporte na parte abaixo da articulação F4 Peso do suporte na parte acima da articulação F5 Força do suporte atuando no fio de poliéster F6 Força do fio de poliéster atuando nos blocos sobre a balança F7 Peso dos blocos Lsup Comprimento do braço superior Linf Comprimento do braço inferior Tabela 3. Custo médio de fabricação da bancada Item Descrição Valor médio (R$) 01 Chapa acrílico transparente 4mm de espessura 600,00 02 Balança digital 1400,00 03 Esferas de isopor 20,00 04 Exaustor 40mm de diâmetro 250,00 05 Roldanas 100,00 06 Parafusos e miudezas 50,00 07 Mesa de apoio 800,00 08 Controlador de velocidade para exaustor 50,00 09 Anemômetro digital 180,00 TOTAL 3450,00 Valores de referência em 2016 RESULTADOS O gráfico da figura 3 apresenta os resultados numéricos e experimentais obtidos para o coeficiente de arraste. Como foram utilizadas esferas de isopor de tamanho padrão facilmente encontradas em papelarias e não foi realizado nenhum tipo de tratamento superficial ou usinagem, as relações de bloqueio experimentais não coincidiram com as relações de bloqueio numéricas. Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 5

6 Beta 01 Beta 05 Beta 09 Beta exp Beta exp Beta exp Beta exp Figura 3. Coeficiente de arraste em função de Re e relação de bloqueio resultados numéricos e experimentais. Adaptado de Çengel e Cimbala (2007) O gráfico base retirado de Çengel e Cimbala (2007) representa o coeficiente de arraste para esferas e cilindros lisos em escoamento livre. Ele é utilizado como comparação para os resultados obtidos no presente trabalho. Os resultados experimentais e numéricos que teoricamente mais se aproximariam das curvas apresentadas são os de menor relação de bloqueio β=0,1 e β=0,23. Não são apresentados resultados para valores experimentais com Reynolds abaixo de 200 porque não havia estabilidade nas medidas da balança. Analisando os resultados observa-se que há coerência entre os resultados numéricos e o gráfico base, a tendência da curva praticamente se repete. Já nos resultados experimentais há maior proximidade entre os valores quando o número de Reynolds é maior que A tabela 4 mostra os dados gerais da malha utilizada para a solução numérica. Devido a geometria do problema, foi utilizada uma malha onde parte dela é constituída por volumes regulares do tipo paralelepípedo (malha estruturada) e parte dela é constituída por volumes irregulares (malha não estruturada) para dar melhor ajuste à superfície curva da esfera. Tabela 4. Dados gerais da malha numérica utilizada Nós Local 1600 faces quadrilaterais na seção da entrada 1600 faces quadrilaterais na seção da saída 2536 faces triangulares na superfície da esfera 6554 faces quadrilaterais em cada parede da Região faces quadrilaterais/triangulares em cada parede da Região nós totais volumes totais Região 1: malha estruturada Região 2: malha não estruturada A figura 4 mostra o domínio computacional utilizado e a identificação das regiões de malha estruturada e não estruturada. Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 6

7 0,8 0,4 0,8 Face de entrada Seção quadrada Face de saída Seção quadrada Região 1 Região 1 Região 2 Figura 4. Geometria do escoamento e identificação das regiões de malha numérica A figura 5 apresenta a distribuição do coeficiente de pressão ao longo da parede do duto. Observa-se que para os casos de menor relação de bloqueio praticamente não se percebe uma variação significativa no comportamento da pressão nas paredes do duto, já nas relações de bloqueio maiores é visível a variação brusca na pressão nas paredes do duto, isto se deve ao fato de que quanto maior a relação de bloqueio maior será a variação da velocidade na seção livre para o escoamento. Este fenômeno está claramente apresentado nas figuras 6 a 8 na deformação das linhas de corrente. Também estão apresentas nas figuras a distribuição da pressão ao longo da simetria no duto e as linhas de trajetória na superfície da esfera Beta=0,1 Re=5 Re=10 Re=100 Re=500 Re=1000 RE= Beta=0,5 Re=5 Re=10 Re=100 Re=500 Re=1000 RE= Beta=0,9 Re=5 Re=10 Re=100 Re=500 Re=1000 RE= Cp 12.5 Cp 80 Cp z [m] z [m] z [m] Figura 5. Coeficiente de pressão numérico ao longo da parede do duto

8 Figura 6. Distribuição de pressão e linhas de corrente no plano de simetria, linhas de trajetória na superfície da esfera, visualização numérica. Re=5, 10, 100, 500, 1000, 5000, β=0,1. Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 8

9 Figura 7. Distribuição de pressão e linhas de corrente no plano de simetria, linhas de trajetória na superfície da esfera, visualização numérica. Re=5, 10, 100, 500, 1000, 5000, β=0,5. Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 9

10 Figura 8. Distribuição de pressão e linhas de corrente no plano de simetria, linhas de trajetória na superfície da esfera, visualização numérica. Re=5, 10, 100, 500, 1000, 5000, β=0,9. CONCLUSOES Os resultados numéricos apresentaram boa proximidade com valores já disponíveis na literatura, entretanto os resultados experimentais não se apresentaram com boa precisão para os valores de Re abaixo de Este erro pode ter sido influenciado pelos próprios materiais utilizados na bancada tais como o fio flexível, material da esfera, qualidade de superfície, etc. O fato da bancada apresentar duas regiões bem distintas na qualidade dos resultados não deprecia a sua funcionalidade, apenas evidencia a necessidade de Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 10

11 um maior cuidado nos experimentos que o aluno deve ter, pois ele deverá identificar estes fenômenos em seus experimentos. REFERÊNCIAS Çengel, Y. A., Cimbala, J. M.; Mecânica dos Fluidos, Mc Graw Hill, 1ª edição, São Paulo, Johnson, T.A. and Patel, V.C., Flow past a sphere up to a Reynolds number of 300, J. Fluid Mech. 378, pp , Layek, G.C., Midya, C., Effect of constriction height on flow separation in a two-dimensional channel, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 12, pp , Le Clair, B.P., Hamielec, A.E. and Pruppacher, H.R., A numerical study of the drag on a sphere at low and intermediate Reynolds numbers, J. Atmos. Sci., 27, , Liu, G. T., Wang, X. J., Ai, B. Q., Liu, L. G., Numerical study of pulsating flow through a tapered artery with stenosis, Chinese Journal of Physics Vol. 42, N. 4-I, Nakamura, I., Steady wake behind a sphere, Phys. Fluids, 19(1), pp. 5-8, Natarajan, R. and Acrivos, A., The instability of the steady flow past spheres and disks, J. Fluid Mech. 254, , Taneda, S., Visual observations of the flow past a sphere at Reynolds numbers between 104 and 106, J. Fluid Mech., 85, , Anais do XVI CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 11