Cálculo fracionário para o sistema de Lotka-Volterra

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1 Cálculo fracionário para o sistema de Lotka-Volterra Arianne Vellasco Gomes, Najla Varalta, Paulo F. A. Mancera, UNESP - Programa de mestrado em Biometria, Botucatu, SP ariannevellasco@ibb.unesp.br, najla@ibb.unesp.br, pmancera@ibb.unesp.br, Rubens de Figueiredo Camargo UNESP - Departamento de Matemática, Bauru, SP rubens@fc.unesp.br. Resumo: No presente trabalho estudamos o sistema de Lotka-Volterra em sua versão fracionária, isto é, substituímos a derivadas ordinárias do sistema clássico por derivadas de ordem não inteira, segundo a definição de Caputo. Palavras-chave: Modelagem matemática, cálculo fracionário, Sistema de Lotka-Volterra, Derivada Fracionária de Caputo Introdução A motivação para estudar equações diferenciais é buscar compreender o processo físico que se acredita ser inerente à equação estudada. Estudar de forma detalhada equações diferenciais simples muitas vezes nos leva a desenvolver e compreender processos complexos e detalhistas.[5] De maneira geral, quanto mais próximos estamos de descrever um fenômeno, mais complexas são as equações relativas a ele. Neste contexto, o cálculo de ordem não inteira, tradicionalmente conhecido como fracionário, isto é, o estudo de integrais e derivadas de ordem não inteira, desempenha um papel de enorme destaque. São inúmeros os problemas que quando descritos em termo de equação diferencial de ordem não inteira, fornecem uma descrição mais precisa que a da equação usual, tais como, probabilidade, biomatemática, psicologia, funções especiais, mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte e redes elétricas [,, 5, 9] Um problema clássico e simples é o crescimento bacteriano onde se tem uma população de bactérias em um determinado instante t, P(t), com uma taxa de crescimento ou decrescimento proporcional a sua população. A causa de serem muito numerosas é por se multiplicarem muito rápido por processos assexuais em condições ambientais favoráveis, tais como, alimento (os mais importantes são: o carbono, o hidrogênio, o azoto, o oxigênio e o fósforo, a temperatura (as bactérias psicrófilas entre - 5 o C;as mesófilas entre - 5 o C; as termófilas entre 5-7 o C), a umidade (entre,999 e,998), o ph (a maioria das bactérias têm um ph próximo da neutralidade ou ligeiramente alcalino (6,8-7,5)) e o oxigênio, e ainda pode ser comprometido se haverem outras bactérias ou fungos competindo por alimentos ou espaço [8]. Entretanto, para tornar o problema mais real, se considerarmos que as condições não são totalmente ideais e supondo que o crescimento não seja tão acentuado, podemos supor que a ordem da taxa decrescimento seja um númeroentre zero e um e assim recorremos ao cálculo fracionário para descrever a equação diferencial. Esta é a maneira usual de se utilizar o cálculo fracionário, isto é, substituir derivadas de ordem inteira, em um modelo, por derivadas fracionárias. Num processo mais complexo, estudamos o modelo de Lotka-Volterra que pode descrever uma série de aplicações em biologia, como por exemplo, os modelos parasita-hospedeiro, crescimento de plantas e as interações planta-herbívoro, genética de populações e teoria dos jogos evolucionários, evoluções dinâmicas de mutualismo, controle biológico de pragas, de maneira 666

2 geral equações ecológicas tanto para o sistema de árvore quanto para sistemas de ciclo [5]. Este modelo possui algumas restrições apresentadas nas seções seguintes, e a fim de amenizar os efeitos destas propomos resolver a versão fracionária do sistema, utilizando a definição de Caputo para a derivada fracionária, e com isso ter uma descrição mais precisa dos eventos por ele modelados. Para finalizar o nosso trabalho, analisamos as aplicações do sistema de Lotka-Volterra fracionário em problemas reais do câncer, com saturação de crescimento tumoral com enfoque em tratamento quimioterápico, onde verifica-se qual a ordem da derivada que torna a descrição do problema mais precisa. [6] Modelo de Lotka-Volterra O modelo conhecido como equações presa-predador ou equações de Lotka-Volterra engloba duas populações em um mesmo ambiente, onde umaéconsiderada a presa e a outra a predadora, foi desenvolvido pelos matemáticos Vito Volterra e Alfred Lotka, em meados de 95, independentemente, quando tentavam explicar o fenômeno que ocorria com as populações de tubarões e peixes do mar Adriático nos períodos de pesca seguidos de sua paralisação devido a I Guerra Mundial e por fim a retomada das atividades pesqueiras. [, 5] Neste considera-se que as chances de encontro entre presas e predadores são iguais, entretanto estes encontros eventuais se devem a proporcionalidade do tamanho das populações, dessa forma a população de predadores se beneficia com fartura de presas e, de mesma forma, com o aumento da população de predadores a população de presas é prejudicada. No sistema supõe-se que estando os predadores ausentes, a população de presas x(t), num determinado tempo, crescerá de forma exponencial; e, se supormos falta de alimento, ou seja que há ausência de presas, teremos que a população de predadores (t) decrescerá de forma exponencial num determinado tempo. O sistema de Lotka-Volterra é dado por: dx dt = ax bx, d dt = c +dx; () Em que a representa a taxa de natalidade de x(t) na ausência dos predadores; b a taxa de sucesso dos ataques de (t); c a taxa de mortalidade de (t) na ausência de presas, e d a taxa de mortalidade de x(t) que auxiliarão na produção de (t). Este sistema possui dois pontos críticos, o ponto Q(c/d, a/b) que representa o equilíbrio de predadores e presas, que é o ideal para o sistema e o ponto P(,), que não será discutido pois é ponto de sela, onde, dado que a população de predadores é zero se tem que a população de presas cresce de forma exponencial, de mesma forma, quando a população de presas é zero se tem que a população de predadores decrescerá de forma exponencial chegando a extinção, e esta definição não gera um ciclo que é característica do sistema.[5] Fazendo as mudanças u = x c/d, v = a/b, isto é, transladando o sistema para o ponto crítico obtem-se que a interferência dos termos não lineares (uv) é praticamente o zero, temos: Tem-se que o sistema linearizado é: dx dt = b d (vc+uvd), d dt = d b (ua+uvb); dx dt = bc d v, d dt = ad b u 667

3 e, verificou-se que a solução do sistema linearizado representa elipses centradas no ponto crítico como trajetórias, ou seja, as trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de nível da função f(x,). Ao resolver dividindo a segunda equação pela primeira, nas variáveis x and, com K constante, encontra-se as trajetórias do sistema original [5]: f(x, ) = clnx xd+aln b = K. Integral fracionária Nesta seção utiliza-se o conceito da função gama, feito através da função de Gel fand-shilov, para apresentar que uma sequência infinita de integrais coincide com definição da integral fracionária de Riemann-Liouville [].. Definição do Operador Integral Define-se a integral de ordens um, I, e n, I n, com n IN, por []: If(t) = f(t )dt e I n f(t) =. Teorema da Integral de ordem n n f(t n )dt n dt n... dt dt. A Integral de ordem n pode ser reescrita através da convolução de Laplace, representada por, e pela função de Gel fand-shilov. I n f(t) = Φ n (t) f(t) = φ n (t τ)f(τ)dτ = (t τ) n f(τ)dτ, () (n )!. Definição da Integral de ordem arbitrária de Riemann-Liouville A integral de ordem ν de f(t), J ν f(t) =, reescreve-se através da convolução de Laplace, com nǫz e com a definição de fatorial []: J ν f(t) = Φ ν (t) f(t) = Derivada Fracionária de Caputo f(τ) (t τ)(ν ) dτ () Γ(ν) Sejam f(t) uma função diferenciável, βǫ IC com Re(β) >, e n o menor inteiro maior que Re(β) e ν = n β, ou seja, < Re(ν) Assim, definimos a derivada, segundo Caputo, de ordem β de f(x), com x >, por []: D β f(t) = J ν t [D n f(t)] = Φ ν (t) D n f(t) () Os subscritos e t representam os limites de integração; o símbolo D β é a derivada de ordem β segundo Caputo.. Transformada de Laplace A transformada de Laplace aplicada na derivada de Caputo, consideremos n < β n é []: L[D β f(t)] = L[Φ n β D n f(t)] = L[Φ n β ]L[D n f(t)] = s β n L[D n f(t)]. (5) t n se t Definida, para n IN e ν IN, como φ n(t) := (n )! se t < t ν se t e φ ν(t) := Γ(ν) se t <. 668

4 5 Função de Mittag-Leffler As funções de Mittag-Leffler são complexas, a mais simples depende apenas de um parâmetro α, e a outra depende de dois parâmetros, α e β, que são definidas, respectivamente, como []: E α (z) = k= z k Γ(kα+) e E α,β (z) = n= z n Γ(αn+β) z IC e Re(α), Re(β) > (6) Se substituirmos α por certamente encontraremos a função exponencial E (z) = e x e se substituirmos β por voltamos a função de Mittag-Leffler de um parâmetro E α, (z) = E α (z). 5. Transformada de Laplace A transformada de Laplace da função de Mittag-Leffler com dois parâmetros e sua transformada inversa são, respectivamente []: L[t β E α,β (±at α )] = sα β s α a e [ s L α β ] s α = t β E α,β (±at α ). (7) a Se tomar β = encontra-se a transformada de Laplace da função de Mittag-Leffler clássica. 6 Modelo de Lotka- Volterra fracionário Conforme vimos na seção anterior, o modelo tem sérias restrições, do ponto de vista da modelagem: a população de presas cresce exponencialmente na ausência do predador; a população de predadores morre na ausência da presa (ao invés de buscar uma nova espécie de presa); predadores podem comer uma quantidade infinita de presas e não há complexidade ambiental (isto é, ambas as populações estão se movendo aleatoriamente em um meio homogêneo). A fim de diminuir o efeito destas simplificações, e com isso resolver a versão fracionária do sistema de Lotka-Volterra, utilizando o procedimento descrito na introdução para obtermos a solução da equação diferencial fracionária e da linearização [5]. No sistema de Lotka-volterra, de ordem inteira, substituímos as derivadas ordinárias presentes na equação por derivadas de ordem α e β, onde α e β são número reais entre zero e um, ou seja, < α, < β,com a,b, c e d constantes positivas e as derivadas fracionárias são tomadas no sentido de Caputo. Logo o sistema não linear fracionário é [5]: D α t D β t α x(t) tαx(t) = ax(t) bx(t)(t), (8) β (t) t β(t) = c(t)+dx(t)(t) Neste sistema percebe-se que as derivadas são de ordem distintas e foi definido desta forma para diminuir o efeito da restrição não há complexidade ambiental. A dimensão do sistema é obtida somando as duas ordens da derivada do sistema, ou seja, D = α+β. De maneira análoga à feita anteriormente introduziu-se variáveis para equilibrar o sistema, substitui-se u = x c/d, v = a/b. Com isso optou-se trabalhar com o cálculo fracionário no sistema linearizado, pois precisa-se descobrir o comportamento do sistema em torno do ponto de equilíbrio e avaliar tal ponto. Vamos utilizar a derivada fracionária no sentido de Caputo [5]. D α t D β t x(t) = bc d v, Caso a função seja real utilizaremos E α(x) no lugar de E α(z) (t) = ad b u (9) 669

5 Para resolver este sistema utiliza-se da transformada de Laplace, lembrando que u() = u e v() = v são, respectivamente, as populações inciais de presa e predador. Então, F(s) = u() sα+β s α+β +ac v()bc d s β sα+β s α+β, G(s) = v() +ac s α+β +ac +u()ad b s α s α+β +ac () Sabe-se que F(s) = L[u(t)] e G(s) = L[v(t)], assim para recuperar a solução do sistema utiliza-se a transformada de Laplace inversa. 7 Análise dos Resultados u(t) = u E α+β ( act α+β ) v bc d tα E α+β,α+ ( act α+β ), () v(t) = v E α+β ( act α+β )+u ad b tβ E α+β,β+ ( act α+β ). () Para esclarecer o modelo apresentado observou-se o sistema 8 substituindo a =, b = /, c = e d = / e consideramos que x() = e () = 5. Para encontrar as curvas utilizamos e. Cada curva é uma combinação dos parâmetros α e β, que enunciam a derivada fracionária de x(t) e (t). Com isso pode-se verificar, nos gráficos, que os valores de α e β interferem no quão rápido a curva se aproxima do ponto crítico Q(,/). Nos gráficos e observa-se que para α = β = voltamos a solução do sistema de Lotka-Volterra de ordem inteira, ou seja, que a curva é uma elipse centrada no ponto de equilíbrio Q; e que quando reduz-se a dimensão do sistema, D = α+β, há uma aceleração na convergência para o ponto Q [5]. Devemos interpretar que estando os predadores ausentes, toda vez que a curva toca o eixo x, a população de presas x(t), num determinado tempo, crescerá de forma exponencial; e, se supormosfalta dealimento, todavez queacurvatoca oeixo, ou sejaqueháausência depresas, teremos que a população de predadores (t) decrescerá de forma exponencial num determinado tempo. E, a solução numérica nos conduz a acreditar que se a dimensão do sistema for menor que.8 se tem uma vantagem comparando com a solução de ordem inteira, pois observa-se que as populações não se extinguem x - (a) α =, β = x - (b) α =.9, β = x - (c) α =.8, β =.8. Figura : Curvas obtidas para valores de α = β. Os dois eixos estão em escala de para x - (a) α =, β = x - (b) α =, β = x - (c) α =, β =.6. Figura : Curvas obtidas para valores de α β. Os dois eixos estão em escala de para. 67

6 8 Conclusão e trabalho futuro No presente trabalho apresentamos o sistema de Lotka-Volterra de ordem inteira e resolvemos sua versão fracionária, onde se obteve a solução do sistema linear generalizado e não do sistema generalizado. No exemplo numérico verificou-se que em alguns casos o sistema de Lotka-Volterra prevê a extinção das espécies (ordem inteira) e que este tipo de problema pode ser contornado com a ordem das derivadas α e β, assim, podemos concluir que a solução fracionaria nos fornece uma descrição do fenômeno melhor que ou igual à de ordem inteira [5]. Podemos citar como exemplo a população de filhotes da foca-caranguejeira (presa) e a população de adultos da foca-leopardo (predador), que do ponto de vista ecológico é de extrema importância para regular a população da foca caranguejeira que é numerosa devido sua alta reprodução. Sabe-se que a população de adultos de foca-leopardo ataca principalmente durante o primeiro ano de vida das focas-caranguejeiras e que seus ataques não levarão a extinção da presa, apenasumareduçãode8 % naespécie. Dessa forma, pode-seafirmarqueoqueonúmero de presas e predadores é mais ou menos constante, ou seja, a partir de um determinado tempo as populações entrarão em equilíbrio. Com isso, pode-se concluir que os valores da ordem das derivadas influenciam no tempo de convergência para um ponto de equilíbrio [7]. Como trabalho futuro consideramos um modelo matemático de câncer com tratamento quimioterápico [6], em que o crescimento das populações é logístico. 9 Agradecimentos Agradecemos à CAPES por ter financiado parte deste projeto e aos colegas do programa de mestrado em Biometria, IBB-Unesp-Botucatu e do Departamento de Matemática, Unesp-Bauru. Referências [] Barros, Laécio Carvalho de; Bassanezi, Rodne Carlos Tópicos de Lógica Fuzz e Biomatemática. ed., Editora IMECC, ISBN ,. [] Camargo, R. Figueiredo, E. Capelas de Oliveira and F. A. M. Gomes, The Replacement of Lotka-Volterra Model b a Formulation Involving Fractional Derivatives, 7. [] Camargo, R. Figueiredo; Alexs Bruno-Alfonso Equação Logística Fracionária Anais do Congresso de Matemática Aplicada e Computacional, CMAC Nordeste, ISSN 7-97,. [] Camargo, R. Figueiredo, Ar O. Chiacchio and E. Capelas de Oliveira, Differentiation to Fráctional Orders and the Fractional Telegraph Equation, J. Math. Phs., 9, 55, 8. [5] Camargo,R. Figueiredo, Cálculo Fracionário e Aplicações, Tese de Doutorado, Unicamp, Campinas, 9. [6] Diego S. Rodrigues, Paulo F. A. Mancera, Suani T. R. Pinho Modelagem Matemática em Câncer e quimioterapia: uma introdução, Notas em Matemática Aplicada, SBMAC, São Carlos - SP, Brasil, Volume 58, e-issn 6-595,. [7] Lodi,Liliane; Maerhofer, Luiz Cláudio; Farias Jr, Samuel G. ; Cruz, Fábio S. Nota sobre a ocorrência de foca-caranguejeira v. 8, n., Biotemas, Rio de Janeiro, 5. [8] Murra, Patrick R. Microbiologia Médica,. ed. [S.l.]: Elsevier,. [9] Podlubn, I, Fractional Differential Equations, Mathematics in Scienc and Engineering, Vol.98, Academic Press, San Diego,