Precisão e algarismos significativos

Transcrição

1 Tema 10 Precisão e algarismos significativos 10.1 Algarismos significativos Em Física trabalhamos com entidades que se podem medir (comprimentos, massas, tempos, etc). Mas os instrumentos de medida impõem sempre um limite na precisão das medições que efectuamos e por isso o nosso conhecimento sobre o valor que toma uma dada grandeza é limitado. Quando, por exemplo, se diz que um certo bloco pesa 2,5 Kg, não queremos dizer que aquele é a massa exacta do bloco. Uma balança mais sensível poderia indicar uma massa de 2,5013 Kg, por exemplo, e outra balança ainda mais sensível poderia indicar uma massa de 2, Kg! Quando escrevemos o resultado de uma medição podemos fazê-lo de modo a transmitir o nosso grau de conhecimento sobre o valor da grandeza medida. Isso faz-se através da quantidade de algarismos com que escrevemos o número. Quanto maior for a precisão com que se conhece o valor da grandeza física, mais algarismos significativos se utilizam. Suponhamos que quatro cientistas pesaram o mesmo objecto e apresentaram os resultados da seguinte forma: m=120 g cientista 1, m=120,0 g cientista 2, m=120,00 g cientista 3, m=1, g cientista 4. O cientista 1 utilizou uma balança que dava uma incerteza da ordem de 1g. Ele portanto admite que o objecto possa ter, por exemplo, 121g ou talvez 119g. A balança do cientista 2 permitia fazer leituras com erro da ordem de 0,1g. O cientista 3 foi o que utilizou a melhor balança, pois permitia fazer leituras com erro da ordem de 0,01g. O cientista 3 admite a possibilidade de o objecto pesar 120,02g ou 119,97g, por exemplo. O cientista 4 120

2 Precisão e algarismos significativos 121 foi o que usou a pior balança pois só podia fazer leituras com erro da ordem de 10g. Ele admite a possibilidade de o objecto pesar 133g, por exemplo. A lição que tiramos daqui é que escrever 120 não é o mesmo que escrever 120,0 ou 120,00 ou 1, O cientista 1 escreveu o resutado com 3 algarismos, o cientista 2 escreveu 4 algarismos, o cientista 3 escreveu 5 algarismos e o cientista 4 escreveu 2 algarismos. Os algarismos contam-se da esquerda para a direita e começa-se a contar a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Logo, os zeros do lado esquerdo não se contam. Como exemplo, indicamos agora a quantidade de algarismos presentes em alguns números: m=0,025g m=2, g m=0,0250g m=2,50g 10 2 g 2 algarismos, 2 algarismos (é equivalente ao anterior), 3 algarismos, 3 algarismos (é equivalente ao anterior). Diz-se que o último algarismo (o que se encontra mais à direita) é incerto porque oferece dúvidas. Logo, quando escrevemos o resultado de uma medição devemos escrever os algarismos certos mais um algarismo incerto, que será o último. É recomendável representar as grandezas medidas juntamente com a resolução do instrumento de medida. Isto é importante pois o valor de 120,0 g obtido pelo cientista 2 tanto poderia ter sido obtido com uma balança de 0,1 g de resolução como com uma de 0,2 g. Assim os resultados anteriores devem ser escritos como m=(120 ± 1 )g cientista 1, m=(120,0 ± 0,2)g cientista 2, m=(120,00 ± 0,05)g cientista 3, m=(1,2 ± 0,1) 10 2 g cientista Operações com algarismos significativos Consideremos o seguinte problema: uma esfera de raio r = 1, 52 cm tem uma massa m = 3, 0 g. Determinar a massa volúmica ρ. Sabemos que a massa volúmica é dada por ρ = m V = m 4 3 πr3. (10.1) Os números 4, π, 3, são exactos e portanto a eles não se aplica a contagem de algarismos significativos. Mas os dados do problema referem-se a entidades físicas cuja medida esteve sujeita a erro e neste exemplo concreto r e m são números com 3 e dois algarismos respectivamente. Então a resposta final ao problema deverá conter tantos algarismos

3 Precisão e algarismos significativos 122 quantos os que tinha o dado do problema com menor quantidade de algarismos. Logo, neste caso só podemos determinar a massa volúmica ρ com 2 algarismos. A expressão (10.1) implica que iremos fazer várias operações aritméticas. Aqui indicamos uma regra que os alunos deverão seguir: não se fazem arredondamentos nos cálculos intermédios. Devemos apenas efectuar um único arredondamento, no fim, para que o resultado tenha a quantidade de algarismos correcta. Neste caso temos: ρ = m 4 = 3 3 πr3 4 π 1, = = 0, , 20g.cm 3. Qual é o valor do volume da esfera? A resposta só depende do raio, logo vai ter três algarismos: V = 4 3 πr3 = , 7cm A equação de propagação dos erros Por vezes indicamos explicitamente o erro associado a uma medição. Se, por exemplo, escrevermos o valor do raio de uma esfera como r = 1, 52 ± 0, 01cm isso quer dizer que o raio está compreendido entre 1,51cm e 1,53cm. Consideremos novamente o exemplo de uma esfera de raio r com massa m para a qual pretendemos determinar a densidade ρ. Os valores e as respectivas incertezas são: r = 1, 52 ± 0, 01cm, (10.2) m = 3, 0 ± 0, 5g. (10.3) Então qual será o valor da incerteza na densidade? Para o determinar podemos recorrer a uma expressão que se chama equação de propagação dos erros. Suponhamos que pretendemos calcular uma grandeza que é uma função f(x 1,...x N ) de N variáveis x 1, x 2,...x N. Supondo que a cada variável x i corresponde uma incerteza x i então a incerteza no valor da grandeza, f, é dada por: f f = x 1 x f 1 + x 2 x N f = x i x i. (10.4) i=1 Continuando o exemplo acima, temos que a densidade é uma função de duas variáveis, r e m, expressa na equação (10.1). O erro na determinação da densidade será dado, de acordo com (10.4), por ρ ρ = r r + ρ m m

4 Precisão e algarismos significativos 123 = 9m 4πr r + 3 m. (10.5) 4 4πr3 Usando agora os valores r = 1, 52, m = 3, 0, r = 0, 01, m = 0, 5, obtemos: ρ = 0, , = 0, , 04 g.cm 3. Finalmente escrevemos ρ = 0, 20 ± 0, 04 g.cm O nónio A escala graduada de um instrumento de medição permite fazer leituras com um erro que, normalmente, se considera ser igual a metade da menor divisão da escala do aparelho. E podemos fazer a olho estimativas menores que a menor divisão da escala. Por exemplo, o diâmetro da esfera representada na figura 10.1 pode ser escrito como d = 2, 7mm. O segundo algarismo foi obtido por estimativa. O nónio é um instrumento que permite fazer leituras dentro da menor divisão da escala de uma régua. O nónio representado na figura 10.2 apresenta 10 divisões contra apenas 9 divisões da régua e vai permitir avaliar as décimas de milímetro. O diâmetro da esfera é seguramente igual a 2 mm mais algumas décimas. Quantas? Para o saber basta procurar a primeira divisão do nónio coincidente com uma da régua. No caso representado na figura 10.3 é a sétima divisão do nónio a primeira a coincidir com uma da régua. Logo d = 2, 70 mm mm régua Figura 10.1: Leitura e estimativa de um comprimento.

5 Precisão e algarismos significativos 124 nónio mm Figura 10.2: Esquema de um nónio. nónio mm régua Figura 10.3: Medição com um nónio.

6 Tema 11 Trabalhos Práticos 11.1 Determinação da aceleração da gravidade usando um pêndulo simples Um pêndulo simples é um sistema mecânico constituido por uma massa M suspensa por um fio de comprimento L, de massa desprezável, e inextensível. A massa M descreve um arco de circunferência em torno do ponto de oscilação P, como mostra a figura L θ P M Figura 11.1: Esquema de um pêndulo simples. A análise dimensional permite determinar que o período do pêndulo, T, tem de ser dado por L T = C g, (11.1) onde g é a aceleração da gravidade e C é uma constante adimensional, cujo o valor é 2π e que se determina pela solução das equações de movimento do problema. Na verdade, a equação (11.1) é apenas aproximada 1, podendo ser usada para pequenos ângulos de 1 Uma aproximação mais precisa para T é dada por T = 2π L/g(1 + θ 2 /16). 125

7 trabalhos práticos 126 desvio θ. A equação (11.1) pode ser usada para determinar experimentalmente g. Para isso, medem-se pares de valores (T, L) os quais tratados de forma gráfica apropriada permitem determinar g. Quadrando a equação (11.1), podemos escrever T 2 = 4π2 g L, (11.2) obtendo-se a equação de uma recta, y = mx+b, se identificarmos T 2 = y, L = x, 4π2 = m g e 0 = b. A realização experimental deste trabalho coloca o problema da medição do período do pêndulo. É deixado aos alunos o problema de encontrarem uma boa forma de medir o período do pêndulo. Com os pares de valores (T, L) elabore um gráfico T 2 versus L e verifique que as duas grandezas são directamente proporcionais. Usando regressão linear determine os parâmetros que caracterizam a relação de proporcionalidade directa anterior e calcule o valor de g Estudo do movimento rectilíneo com aceleração constante Neste trabalho pretende-se verificar experimentalmente a validade das equações do movimento uniformente acelerado e determinar o valor da aceleração da gravidade. A equação das posições do movimento uniformemente acelerado unidimensional (devido ao campo gravítico) é y(t) = y 0 + v 0 t gt2, (11.3) onde y é a posição da partícula no instante t relativamente a um dado referencial, v 0 é a velocidade inicial e g é a aceleração da gravidade. Consideremos a montagem experimental da figura A distância entre os dois photogates, para um referencial colocado no photogate A é dada por y(t) (e y 0 = 0). Mantendo fixo o photogate A, podemos obter, para a mesma velocidade inicial, diferentes pares de valores [y(t), t], variando a posição do photogate B. Usando esses pares de valores, represente graficamente as quantidades [y(t)/t, t] e verifique que a relação entre estas duas grandezas é linear. Usando os parâmetros de regressão linear que caracterizam o caso anterior determine o valor da velocidade inicial da esfera (velocidade de passagem no photogate A) e o valor da aceleração da gravidade. Compare v 0 com o valor calculado teoricamente e o valor de g com o tabelado. Efectue a experiência com duas esferas de raios distintos. Compare os resultados e explique as diferenças.

8 trabalhos práticos 127 electroimã esfera metálica photogate A photogate B Figura 11.2: Queda vertical de uma esfera de massa M Estudo do comportamento dinâmico de uma mola elástica Neste trabalho pretende-se verificar experimentalmente a lei de Hooke e a lei do período de uma mola elástica. Uma mola tem um comportamento elástico (linear) se as deformações nela induzidas por uma força de intensidade F forem directamente proporcionais a F, matematicamente F = k y, (11.4) onde k é a constante elástica da mola e y é o alongamento produzido pela força F. Consideremos a montagem indicada na figura A intensidade da força de deformação F é dada pelo do peso da massa m aplicada à mola. A deformação y é a diferença entre as posições da extremidade da mola com e sem força de deformação aplicada. Recolhendo pares de valores (F, y) traçar um gráfico que permita verificar a lei de Hooke (11.3). Use os dados de regressão linear associada ao gráfico anterior para determinar o valor da constante elástica da mola. Quando a massa que deforma a mola é colodada a oscilar, o período do movimento, T, é dado, para uma mola de massa nula, por T = 2π m k, (11.5) onde m é a massa suspensa na mola. Para uma mola real de massa M a equação (11.5) é apenas aproximada. Uma equação melhor para o período T da mola deverá levar em conta a energia cinética desta 2, e é dada por 2 A energia cinética da mola é E c mola = 1 6 Mẋ2.

9 trabalhos práticos 128 Figura 11.3: Esquema da montagem de verificação da lei de Hooke. m + M/3 T = 2π. (11.6) k Após medir pares de valores (T, m), represente graficamente T 2 em função de m e verifique que a relação é linear. Usando os dados de regressão linear associados ao gráfico anterior determine o valor de k e compare-o com o valor determinado atrás. Determine, também, o valor da massa M da mola e compare o seu resultado com uma medição da massa da mola numa balança Determinação da densidade e da massa volúmica de sólidos e líquidos O princípio de Arquimedes estabelece que a força de impulsão que um dado objecto sente quando mergulhado num fluido é igual ao peso da massa de fluido deslocado. Consideremos um sólido de massa volúmica ρ s completamente imerso num fluido de massa volúmica ρ f. A força de impulsão I que actua no sólido e seu peso P são I = gv s ρ f u z, P = gms u z = gv s ρ s u z, (11.7) onde g é a aceleração da gravidade, V s é o volume do sólido. Quer V s quer ρ s são desconhecidos e u z o versor que define a vertical. A massa volúmica ρ s é, por definição, dada

10 trabalhos práticos 129 por Figura 11.4: Esquema da montagem para determinação de densidades de sólidos e líquidos. V s = M s ρ s. (11.8) Se o sólido for suspenso de um prato de uma balança, como mostra a figura 11.4, podemos determinar o valor da força resultante que actua no corpo F r = P + I, ou em termos escalares F r = P I. Usando as equações (11.7) e (11.8) obtemos F r = P I F r = P M s ρ s gρ f d ρ s ρ f = P P F r, (11.9) onde a quantidade d é a densidade (relativamente à do fluido) do sólido em estudo. Na nossa experiência vamos considerar sólidos de chumbo, cobre e alumínio e usar como fluidos àgua, alcool etílico e glicerina. Determine a densidade dos metais indicados relativamente à água. Determine a densidade a densidade do alcool etílico e da glicerina relativamente à água usando uma peça de alumínio. O método anterior permite apenas determinar a densidade. Se quisermos determinar a massa volúmica da água e, a partir desta, a massa volúmica das restantes substâncias necessitamos de um método independente. Um método possível é usar uma forma da lei de Hooke que resulta directamente do princípio de Arquimedes. Consideremos um copo cilíndrico de área transversal A a flutuar em água, como se mostra na figure Se dentro do copo colocarmos uma massa m o copo vai mergulhar uma distância x na água. O peso da massa m vai ser equilibrado por um aumento da impulsão dado por xaρ H2 Og, pelo que temos mg = xaρ H2 Og. (11.10) Assim, e tal como no nosso estudo da lei de Hooke para a mola elástica, podemos colocar no copo diferentes massas, medir o deslocamento x e calcular a partir de pares de valores (m, x) o valor de ρ H2 O. Usando este método determine a massa volúmica da água.

11 trabalhos práticos 130 m x água água Figura 11.5: Esquema de um copo flutuando num fluido. Quando se adiciona a massa m o copo submerge um volume xa. O método anterior é um método estático. Consideremos, agora, um objecto (um densímetro) que flutua num fluido, com uma das extremidades emersa, como mostra a figura O densímetro possui massa M e está parcialmente imerso num fluido de massa volumica ρ f, e a parte emersa possui uma secção transversal A. Quando o densímetro é afastado da posição de equilíbrio começa a oscilar com uma período T dado por M T = 2π gρ f A. (11.11) Induzindo oscilações no densímetro, determine o valor da massa volúmica da acetona. Calcule a incerteza experimental associada usando a fórmula da propagação dos erros. porção emersa M A porção imersa Figura 11.6: Esquema de um corpo que flutua num fluido, com uma extremidade emersa.

12 trabalhos práticos Determinação da capacidade térmica mássica de sólidos O princípio da conservação da energia establece que, num sistema isolado, a variação da energia total do sistema é nula, isto é E = 0. (11.12) Por outro lado, pode verificar-se experimentalmente que se se fornecer um certa quantidade de energia Q (por aquecimento) a uma certa massa M de uma dada substância a variação de temperatura dessa substância é dada por T = Q cm, (11.13) onde c é uma constante que depende da substância e é designada por capacidade térmica mássica. Esta grandeza determina a quantidade de energia que deve ser fornecida (por aquecimento) a uma unidade de massa da substância em estudo para que a sua temperatura aumente de 1K. termómetro peça metálica àgua placa de aquecimento Figura 11.7: Esquema da montagem experimental para determinação de capacidades térmicas mássicas de sólidos. Para concretizarmos, consideremos o procedimento experimental em que se adiciona uma massa M de um sólido, à temperatura T s, a uma certa massa m a de água, à temperatura T a, tal que T a < T s. Se considerarmos o sistema água-sólido como isolado a variação de energia que ocorrerá neste sistema será nula, pelo que E = 0 = Q s + Q a = c s M T s + c a m T a, (11.14) onde Q s e Q a são a energia cedida pelo sólido à água e a energia recebida pela água (iguais em módulo), respectivamente. O uso da equação (11.14) permite determinar o valor do quociente c s /c a dado por c s = m(t f T a ) c a M(T f T s ), (11.15) onde T f é a temperatura final do sistema, após atingido o equilíbrio térmico.

13 trabalhos práticos 132 Considere a figura 11.7 que descreve a montagem experimental. As peças metálicas de cobre, alumínio e chumbo são colocas em água quente (T s 80 o C). Após algum tempo uma peça é retirada rapidamente da água quente, seca e colocada num calorímetro com água à temperatura a que esta sai da canalização. Aguarda-se que se atinja o equilíbrio térmico e determina-se T f. Como as massas das peças metálicas e da água são conhecidas pode determinar-se a capacidade térmica mássica das várias substâncias. Calcule a incerteza experimental associada usando a fórmula da propagação dos erros.