O Ensino da Análise Combinatória em Sala de Aula, a Partir de Situações-Problema e Sob uma Abordagem Histórica

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1 O Ensino da Análise Combinatória em Sala de Aula, a Partir de Situações-Problema e Sob uma Abordagem Histórica Antonio Carlos Bastos 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio O ensino da Análise Combinatória na escola de ensino médio foi considerado um dos assuntos mais difíceis de entendimento, pois geralmente se fazia de maneira mecânica, em situações padronizadas, ou ainda como um monte de fórmulas complicadas, quando não raramente era deixado de lado por professores. Logo, o presente trabalho visa à criação de um produto educacional, no qual será dada uma visão geral sob uma abordagem histórica da Análise Combinatória, na escola de ensino médio, e também contribuir com situações-problema, tornando o aprendizado prazeroso e estimulante, com clareza e objetividade. Em seguida, este produto será aplicado a turmas do Ensino Médio e analisado quanto a sua eficácia, ou seja, se o processo de ensino e aprendizagem com o uso deste produto como ferramenta didática de ensino fez com que as aulas, além de prazerosa e estimulantes, se tornaram mais significativas e auxiliaram no processo de aprendizagem, verificaremos se o conteúdo foi assimilado com mais facilidade e se melhorou o aproveitamento dos alunos. Desejamos que a partir deste produto que o estudo de Análise Combinatória não seja mais considerado um conteúdo de difícil entendimento. Palavras-chave: análise combinatória; escola de ensino médio, situações-problema; abordagem histórica. Introdução: A Análise Combinatória tem por finalidade estabelecer métodos de contagem, ou mais simplesmente, problemas de contagem, é um estudo realizado na matemática e na lógica e é responsável pela análise das possibilidades e das combinações. O estudo da análise combinatória nos permite descobrir quais são as diferentes possibilidades de uma combinação de variáveis. A origem da Análise Combinatória está no jogo de azar, tais como lançamento de dados, jogos de carta etc. Porém, muito tempo se passou para associar os jogos com um raciocínio matemático. Quase todas as culturas primitivas praticavam algum tipo de jogo, mas somente no século XVII houve um bom desenvolvimento do assunto, devido à necessidade de se resolver problemas de contagem oriundos da teoria das probabilidades (BOYER, 1996; p.265). O ensino da Análise Combinatória na escola de ensino médio foi considerado um dos assuntos mais difíceis de entendimento, pois geralmente se fazia de maneira mecânica, em situações padronizadas, ou ainda como um monte de fórmulas complicadas, quando não raramente era deixado de lado por professores. 1 Programa de Pós Graduação em Ensino das Ciências na Educação Básica - Unigranrio, antoniocarlos.ifrj@gmail.com, orientadora: Prof a Dr a Eline das Flores Victer. 1

2 Uma das grandes competências propostas pelos PCNEM diz respeito à contextualização sócio-cultural como forma de aproximar o aluno da realidade e fazê- lo vivenciar situações próximas que lhe permitam reconhecer a diversidade que o cerca e reconhecer-se como indivíduo capaz de ler e atuar nesta realidade.(brasil, 2000, p.126) Embora a Análise Combinatória seja um assunto de tanta relevância, é quase inacreditável que existam poucas pesquisas envolvendo o tema Raciocínio Combinatório, tanto a nível nacional quanto ao internacional, segundo o grupo de pesquisa em raciocínio combinatório, criado em 2009, na Universidade Federal de Pernambuco (Grupo GERAÇÃO), apresentados em eventos a nível nacional (Almeida, 2010, p.20). Pode-se dizer que, atualmente, os métodos combinatórios são aplicados no cálculo de probabilidade, de estatística, problemas de pesquisa operacional, da teoria da informação, em problemas de transportes e problemas de matemática pura (Morgano et al., 2006, p.5; Bach et al., 1975, p.1). Além de suas varias aplicações, a Análise Combinatória, desenvolve no aluno um espírito crítico e responsável, que o possibilite a adquirir condições para progredir com segurança no trabalho ou em estudos superiores. Por isso, o estudo da Combinatória merece atenção especial no ensino médio. Estatística e Probabilidade lidam com dados e informações em conjuntos finitos e utilizam procedimentos que permitem controlar com certa segurança a incerteza e mobilidade desses dados. Por isso, a Contagem ou análise combinatória é apenas parte instrumental desse tema. A Contagem, ao mesmo tempo que possibilita uma abordagem mais completa da probabilidade por si só, permite também o desenvolvimento de uma nova forma de pensar em Matemática denominada raciocínio combinatório. Ou seja, decidir sobre a forma mais adequada de organizar números ou informações para poder contar os casos possíveis não deve ser aprendido como uma lista de fórmulas, mas como um processo que exige a construção de um modelo simplificado e explicativo da situação (BRASIL, 2000, p.126) O presente trabalho objetiva estimular o ensino e a aprendizagem da Analise Combinatória, construída com base numa abordagem histórica do desenvolvimento da Matemática, fazendo uso do Principio Multiplicativo e resolvendo situações-problema, para alunos do 2 o ano do ensino médio. Ao final do curso o aluno será capaz de: desenvolver a capacidade de analisar, classificar, sintetizar, avaliar, abstrair, generalizar e criar; desenvolver o habito do uso correto da linguagem; compreender as técnicas de resolução de problemas e analise critica dos resultados obtidos e utiliza-las; utilizar o método dedutivo, a partir de condições conhecidas, para obter resultados validos em situações novas; identificar e suprir carência 2

3 de propostas interdisciplinares que contribuam com o processo ensino-aprendizagem e aguçar o pensamento e o raciocínio lógico, para sua utilização, não somente em Matemática, mas também no dia a dia e em outras áreas do saber humano. E ainda, entender um pouco do desenvolvimento da História da Analise Combinatória, como um instrumento motivador da aprendizagem e importante na busca da compreensão dos processos de transformação social e melhoria científica no decorrer dos tempos; compreender o Princípio Multiplicativo; dominar o conceito combinatório e compreender as fórmulas para resolução de problemas e resolver problemas de contagem por meio do Principio Multiplicativo ou por fórmulas. Fundamentação Teórica De Acordo com o PCNEM (Brasil, 2000), contagem, princípio multiplicativo e problemas de contagem, pertencem a uma unidade temática do ensino médio onde professor deve desenvolver habilidades no aluno de modo que ele esteja apto a Decidir sobre a forma mais adequada de organizar números e informações com o objetivo de simplificar cálculos em situações reais envolvendo grande quantidade de dados ou de eventos. Identificar regularidades para estabelecer regras e propriedades em processos nos quais se fazem necessários os processos de contagem. Identificar dados e relações envolvidas numa situação-problema que envolva o raciocínio combinatório, utilizando os processos de contagem. (BRASIL, 2000, p.127) Estudar o tema: o ensino da Análise Combinatória em sala de aula, a partir de situaçõesproblema e sob uma abordagem histórica, exige em primeiro lugar respeito às leis de diretrizes e bases da educação nacional, que por sinal sugerem princípios valiosos ao ensino da Matemática do ensino médio, com base nos recentes estudos em Educação Matemática. Em suma são três colunas para o desenvolvimento da Matemática na escola de ensino médio: Representação e Comunicação o aluno deve ter a capacidade de representação e comunicação para interpretar situações matemáticas, usando representações (equações, fórmulas, gráficos, tabelas etc.) para comunicar suas ideias matemáticas. Investigação e Compreensão o aluno deve expressar suas opiniões, envolvendo-se com situações novas, com espírito crítico e desejo de aprendizado. Ter a capacidade de desenvolver problemas, selecionando estratégias de resolução, pensando logicamente e tirando conclusões. Contextualização sócio cultural o aluno deve ser capaz de entender o valor da Matemática como fator de desenvolvimento humano e utilizá-la em situação do real (BRASIL, 1997, p.46): 3

4 Todas as três colunas têm como competência destacar valores e atitudes de um lado, e por outro, procedimentos e habilidades. Para alcançar os objetivos estabelecidos de promover as competências gerais e o conhecimento de Matemática, a proposta dos PCNEM privilegia o tratamento de situações- problema, preferencialmente tomadas em contexto real. A resolução de problemas é a perspectiva metodológica escolhida nesta proposta e deve ser entendida como a postura de investigação frente a qualquer situação ou fato que possa ser questionado (BRASIL, 2000, p.129) Este trabalho tem como intenção, também dar ênfase especial na resolução de Problemas. Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdade inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.(polya, 2006, p. V) Numa proposta que toma como perspectiva metodológica a Resolução de Problemas, que articula suas ações e conteúdos em torno de temas estruturadores e prevê que tão importantes quanto os conteúdos são as competências que os alunos devem desenvolver, ganham importância o cuidado com a obtenção de informações, a avaliação em diferentes contextos, o registro e a análise das informações obtidas. (BRASIL, 2000, p.131) De acordo com Eves (2004) a preocupação em resolver problemas é bem antiga, já que em aproximadamente 1650 a.c. o papiro de Rhind (ou Ahames) foi escrito. O papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga; é um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas, descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra de falsa posição, sua solução para da determinação da área de um círculo e muitas aplicações da matemática a problemas prático (EVES. 2004, p ). O texto a seguir aponta o pensamento dos pesquisadores em Educação Matemática, em relação à importância da história da Matemática: Existe um consenso quase unânime, entre os pesquisadores em Educação Matemática, a cerca da importância da perspectiva histórica e da sua fundamentação epistemológica na formação científica. Nos últimos anos a história da matemática vem se incorporando, sobretudo á teoria e à prática do ensino da matemática. Assim estabeleceu uma aproximação entre essas duas áreas de conhecimento, que já foram consideradas tradicionalmente alheias entre si (VADÉS, 2006, p.9). São várias as reflexões que se podem fazer as respeito da História da Matemática no ensino e aprendizagem da Análise Combinatória, entre elas a motivação para a aprendizagem, 4

5 também ajuda a realçar o papel da Matemática na Sociedade, valoriza a Humanização na Matemática. Vejo-me, muitas vezes, forçado a concluir, com absoluta convicção, que o aumento do conhecimento da matemática, é uma condição necessária para o progresso da ciência e que é, portanto, uma condição não menos necessária para o aperfeiçoamento da espécie humana. Reputo precária a situação intelectual de qualquer nação cuja educação não tenha sido baseada num sólido alicerce matemático e cuja concepção científica e os conceitos da vida corrente não estejam articulados com uma forte estrutura do raciocínio matemático. Por isso, a ciência dos números se requer que seja cultivada não com fim de compra e venda, como comerciantes e revendedores, mas para educar a inteligência, porque ela, já ensinava Platão, exalta a alma, obrigando-a a raciocinar em torno dos números considerados em si, não se preocupando com o que ocorre aos números associados aos corpos visíveis ou tangíveis. (TAHAN, 1965, p.6-7) Consequentemente, estudar e refletir, sobre os prós e contras do uso da História da Matemática na sala de aula como instrumento motivador das aulas de trigonometria, pareceu um desafio. Souza (2012), fez em sua dissertação de mestrado uma análise de como a compreensão de conceitos de função seno e cosseno foram construídos no decorrer do processo histórico e com a história poderia favorecer a aprendizagem de tais conceitos e seus desdobramentos., investigando como o uso da História da Matemática, mas especificamente História da Trigonometria, pode se constituir como elemento facilitador da aprendizagem, concluindo em seu trabalho que Objetivando investigar como a História da Trigonometria pode se constituir como um elemento facilitador da aprendizagem das funções seno e cosseno, podemos concluir que as médias obtidas pelos alunos em pré-teste e pós-teste usados, respectivamente antes e após ter sido desenvolvida a experiência que conjugava o ensino convencional das funções seno e cosseno com a leitura paralela de um Ensaio sobre a História da Trigonometria, apresentou um resultado no pós-teste significativamente superior do que no pré-teste, com um teste t significativo em favor do pós-teste. Tal resultado, indica que, conforme nossa aposta ou hipótese de estudo, o método trouxe avanço na aprendizagem dos estudantes sobre os conteúdos então trabalhados, durante as aulas do período letivo em foco. (SOUZA, 2012, p.99) Pretende-se ensinar de forma clara e objetiva os fundamentos desta notável parte da Matemática, com base no Princípio Multiplicativo. Segundo Bach (1975, prefácio do autor) e outros, a Análise Combinatória era um verdadeiro tabu para os estudantes, sendo considerada como um dos assuntos mais difíceis de compreensão em Matemática. Todavia, com a utilização do Princípio Multiplicativo, tudo se tornou mais simples. 5

6 Metodologia Veja no texto abaixo a preocupação com o raciocínio combinatório no Ensino Médio: As habilidades de descrever e analisar um grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com base numa amostra de população, aplicar as idéias de probabilidade e combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano são aplicações da Matemática em questões do mundo real que tiveram um crescimento muito grande e se tornaram bastantes complexas. Técnicas e raciocínios estatísticos e probabilísticos são, sem dúvida, instrumentos tanto das ciências da natureza quanto das ciências humanas. Isto mostra como será importante uma cuidadosa abordagem dos conteúdos de contagem, estatística e probabilidade no Ensino Médio (BRASIL,1997, p. 257). Considere o universo a ser atingido os alunos do 2 o. ano do ensino médio, onde normalmente se estuda Análise Combinatória. A proposta é aplicar a metodologia em uma turma com no máximo 40 alunos e uma carga de 24 horas-aula (cada aula com 45 min). A metodologia está organizada em três etapas. A primeira etapa consistirá em um levantamento histórico sobre Análise Combinatória uma Revisão Bibliográfica. Algumas questões a serem respondidas nesta etapa serão: Qual a importância de saber contar? Sempre foi assim? Ou Sempre foi importante saber contar? Quando os números foram criados? O que isso tem haver com aula de análise combinatória? Será feita uma abordagem sobre a história dos números nas civilizações, ressaltando a importância da contagem no desenvolvimento das grandes civilizações. Em sequência dará uma visão da história geral da Análise Combinatória, sua origem nos jogos de azar, os jogos nas antigas civilizações, o período até os jogos serem associados à Matemática, o período de maior desenvolvimento do raciocínio combinatório, e os campos de aplicações da Análise Combinatória. Neste momento a aluno já terá uma noção do que é análise combinatória. Acredeitamos que com um pouco de história as aulas ficam mais humanizadas, cria-se um clima amistoso em sala de aula, enfim, um ambiente propício ao ensino da Matemática. Em seguida, a segunda Etapa consistirá na preparação de problemas contextualizados. Serão elaborados alguns problemas contextualizados, reais, que possam levar, naturalmente, os alunos a perceberem o Princípio Multiplicativo (PM). Estes problemas serão apresentados e discutidos no produto educacional. Será dada maior ênfase à resolução de problemas de contagem (situações problema), sem utilização de fórmulas, o que permitirá que o PM possa ser bem assimilado pelos alunos. 6

7 A terceira Etapa será a finalização do Produto Educacional. De posse do levantamento histórico e dos problemas contextualizados, esta etapa consistirá na organização do produto educacional. Após o aluno ter dominado o PM, sugere-se que o professor apresente os dois tipos de agrupamentos que podem ser feitos com os elementos de um conjunto (arranjos e combinações), para em seguida mostrar como se chega às fórmulas de arranjos e combinações, de modo que os alunos entendam as fórmulas como síntese da teoria estudada. Ao completar esse momento aluno deve ser capaz de escolher a melhor maneira de resolver um problema combinatório, isto é, por meio de fórmulas ou pelo princípio multiplicativo. Considerações Finais A análise do trabalho é ainda preliminar, mas mesmo nessa face, é possível acreditar que a história da Matemática não é uma moda transitória no ensino, e sim permanente, assim também como os conceitos combinatórios em Matemática, sempre que possível deverão ser expostos com as situações-problemas contextualizados ou interdisciplinares (que envolvem outros componentes curriculares como: química, biologia, por exemplo). Com esses recursos os alunos, mesmo em uma sala de aula clássica, se sentem motivados e valorizados, para a aprendizagem. A sala de aula deve ser um lugar atraente para os alunos. Visando atingir os objetivos propostos, para otimizar o ensino e a aprendizagem, aplicados aos alunos do 2º. ano do ensino médio, sugere-se: Avaliar o aprendizado do conhecimento da análise combinatória da proposta. Identificar como os estudantes percebem essa proposta e qual o pensamento deles em relação à proposta. Investigar o envolvimento dos alunos no decorrer da proposta. O desejo principal é aprimorar o ensino e aprendizagem da análise combinatória, de forma prazerosa, mas mantendo o rigor matemático, e que desenvolva no educando um espírito reflexivo, crítico, participativo, responsável e também contribua para que o professor ou futuro professor possa combater o analfabetismo do raciocínio combinatório. 7

8 Referências: ALMEIDA, Ariana Luziê: Ensinando e Aprendendo Análise Combinatória com Ênfase na Comunicação Matemática e um Estudo Com o 2º. Ano do Ensino Médio, Dissertação de Mestrado. UF de Ouro Preto MG, BACH, A.C., POPPE, L.M.B., TAVARES. R.N.O. Prelúdio à Analise Combinatória. Companhia Editora Nacional, BOYER, Carl B: História da Matemática. 2. ed. Trad. Elza F. Gomide., Edgard Blüche/Edusp, São Paulo, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática 1ª. e 2º. Ciclos. Secretaria de Ensino Fundamental, Ministério da Educação, Brasília,1997. BRASIL, PCN+ Ensino Médio, Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, Ministério da Educação, Brasília, Disponível em Acesso em 25/09/2013. EVES, Howard: Introdução à História da Matemática. Trad. Higino H. Domingues. Campinas. Unicamp, MORGADO, Augusto César; CARVALHO, João B. Pitombeira de; CARVALH0, Paulo C. P.; FERNANDES, Pedro: Análise Combinatória e Probabilidade, 9 ed. Rio de Janeiro SBM, POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas. Interciência, Rio de Janeiro, p SOUZA, Carlos Antonio de; Uso Da História Da Trigonometria Como Elemento Facilitador Da Aprendizagem Das Funções Seno E Cosseno: Um Estudo De Caso, Dissertação de Mestrado, Unigranrio, Disponível em: Acesso em 25/09/2013. TAHAN, Malba. Didática da Matemática, Volume 1, Edição Saraiva,