INCLUINDO FRACTAIS NO ENSINO DE GEOMETRIA DA EDUCAÇÃO BÁSICA

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1 INCLUINDO FRACTAIS NO ENSINO DE GEOMETRIA DA EDUCAÇÃO BÁSICA Antônio do Nascimento Gomes; José Antonio Salvador; Pedro Luiz Aparecido Malagutti (UFSCar Universidade Federal de São Carlos) CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; SEE-SP Secretaria Estadual de Educação de São Paulo Eixo Temático 9: Materiais Pedagógicos no Ensino e na Formação de Professores. Objetivos e Metodologia Neste trabalho descrevemos algumas experiências que fazem parte da pesquisa de nosso Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas, da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) e estão sendo desenvolvidas pelo primeiro autor juntamente com seus orientadores em uma escola pública da cidade. Os envolvidos também fazem parte de um projeto da Universidade que busca a formação de uma rede colaborativa entre estudantes de graduação, professores da Rede Pública, alunos do Mestrado Profissional e docentes da Universidade 1. As seguintes etapas/objetivos constituem basicamente o plano de trabalho durante o curso de Mestrado: catalogação e análise de livros didáticos e paradidáticos, jogos, filmes e outras mídias digitais; construção de um material de apoio (atividades lúdicas e práticas); estudo da Geometria Fractal e interligação desta com os conteúdos específicos de Geometria Euclidiana do Ciclo II do Ensino Fundamental 2 ; pesquisas com professores e alunos (através de entrevistas). Também são considerados objetivos de fundamental importância: a mobilização de professores para que façam uso das mais variadas formas de apresentação de um conteúdo de modo que este possa ser mais atraente para os alunos e mais prazeroso ao professor; e a mobilização dos alunos com estratégias e temas variados para que a relação binária professor-aluno e aluno-aluno seja comutativa e se torne mais confiante e amigável 1 p.7784

2 promovendo o melhor rendimento dos estudantes. O primeiro momento do trabalho foi uma investigação acerca de teorias de aprendizagem e conteúdos específicos de matemática elementar que são trabalhados na pesquisa. Além disso, o Estudo da Geometria Fractal e sua potencialidade: o vínculo entre a matemática elementar e temas como Ciências, Arte e Natureza. Buscamos neste estudo um levantamento bibliográfico e as contribuições dos autores referentes a metodologias diferenciadas de ensino, e um vasto conteúdo matemático que deve ser ensinado neste nível e suas formas de apresentação em diversos livros e outros materiais já existentes. Por outro lado, o trabalho possui uma parte dedicada às bases fundamentais mais avançadas desta geometria escolar de oitava série, sua história, concepções e abordagens, bem como uma análise da abordagem da mesma nos cursos atuais de Licenciatura em Matemática. Vale destacar em BARBOSA [2], sobre as figuras fractais: Mandelbrot as denominou fractais, baseando-se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar, criar fragmentos irregulares, fragmentar. Decorre que quando se diz Geometria Fractal refere-se ao estudo dos fractais. Uma atenção especial é dada às legislações existentes no âmbito educacional, a saber, os Parâmetros Curriculares Nacionais [6] e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo [9], que são os norteadores do trabalho docente em âmbito nacional e estadual. É imprescindível que o produto final do projeto seja de fácil aplicabilidade por professores, e portanto, não esteja na contramão das tendências nacionais e estaduais, e tampouco fora do contexto profissional do docente. Ainda aguardamos a devolutiva de questionários enviados a um grupo de professores procurando estabelecer a posição ocupada pela Geometria na concepção deles e detectar alguns fatores que causariam o sucesso ou fracasso de suas atividades em sala de aula. A análise de livros didáticos nos dá um perfil do que os autores mais lidos e usados pensam da Geometria e seu ensino e como a colocam em suas publicações. Não temos o objetivo aqui de eleger os melhores livros, mas sim, estudar que tipo de material está disponível para os professores e alunos das escolas da rede pública paulista. 2 p.7785

3 Por fim, a análise de avaliações já realizadas e índices de rendimento de alunos poderá mostrar rumos a seguir ou ações a serem tomadas no tocante a que conteúdos dar maior ênfase no processo de ensino-aprendizagem. Mesmo sabendo da subjetividade de tais índices e avaliações, quando feitas sem comprometimento dos alunos, poderemos delinear ações futuras com alguma previsibilidade. Concomitantemente a estes processos mais introspectivos de estudo e pesquisa, elaboramos e adaptamos atividades que foram aplicadas com os alunos de 5ª e 8ª séries do Ensino Fundamental. A partir daí, o projeto se foca nas análises da aplicação destas atividades, planejamento das atividades e aplicações seguintes juntamente com sua análise. Adotamos as idéias de Schneuwly e Dolz, além de outros autores, que trouxeram discussões acerca de Seqüências Didáticas. Um trabalho deste tipo consiste na apresentação de um conjunto de atividades ordenadas, articuladas e estrategicamente elaboradas, que atendem a objetivos específicos e que pretendem sanar uma dificuldade dos alunos ou contribuir para a apropriação de um novo conteúdo (CENPEC, 2006). Nesta perspectiva, tanto o trabalho do professor pode ser mais estruturado e orientado, quanto o aprendizado dos alunos pode ser mais respeitado e gerar mais frutos, dado que o ritmo da sala e de cada aluno em particular é respeitado. Trabalhar com seqüências didáticas consiste em basicamente 3 etapas, que vão se repetindo e tendo um grau de elaboração e dificuldade maior: 1) levantamento de conhecimentos prévios, 2) apropriação de novos conhecimentos e 3) sistematizações e avaliações. O que fizemos nas atividades aqui expostas pode ser organizado em uma seqüência didática, com as etapas abaixo: - levantamento de conhecimentos prévios: através da construção do Cartão Fractal Triangular; - apropriação de novos conhecimentos: com a construção das faces e montagem do Balão Fractal; - sistematizações e avaliações: socialização dos trabalhos e discussões; preenchimento de tabelas descoberta/confirmação de regularidades. Charlot traz a luz um conceito de fundamental importância para o desenvolvimento do projeto: o de mobilização. Uma das questões centrais do projeto é entender a falta de motivação dos alunos (e professores) em 3 p.7786

4 apreender (e ministrar) determinados conteúdos e combatê-la, através de atividades motivadoras. A leitura de Charlot extrapola este conceito no sentido de que mobilização parece ser mais pertinente: não queremos somente que o aluno se sinta atraído de forma exterior pela atividade ou conteúdo, mas sim que se mobilize de alguma forma, interna e externamente, para a realização de tal tarefa ou apreensão de tal conteúdo. É neste contexto que atividades do tipo destas estão inseridas. O aluno se mobiliza a trabalhar com a atividade que a princípio parecia simples mas se mostra elaborada no decorrer do seu desenvolvimento, onde habilidades matemáticas são requeridas e ele se sente desafiado. Ainda segundo Charlot, o conceito de mobilização implica a idéia de movimento: Mobilizar é por em movimento; mobilizar-se é por-se em movimento (...) mobilizar-se é engajar-se em uma atividade (...) porque existem boas razões para fazê-lo. (CHARLOT, 2000, P ) No caso, a boa razão para o aluno pode ser este desafio de concluir com êxito a tarefa, inclusive na parte estética, para o posterior reconhecimento por parte do grupo. Caracterização das turmas pesquisadas O seguinte quadro mostra as características principais das turmas pesquisadas bem como o ambiente em que se inserem. Cidade: São Carlos Estado: São Paulo Escola: EEPAMG Níveis: Fundamental (ciclo I e II) e Médio Turmas pesquisadas: 3 Série: 5ª (2 turmas) e 8ª Turno: Matutino Média de alunos por sala: 33 4 p.7787

5 Outras particularidades: Escola situada em um distrito a 10 km do perímetro urbano que atende a alunos de fazendas e do distrito; há uma considerável rotatividade de alunos visto que os familiares necessitam se mudar com freqüência; os alunos utilizam transporte escolar municipal precário e levam grande tempo para se locomover entre suas casas e a escola Quadro 1 caracterização das turmas Desenvolvimento da atividade Construção do Balão Fractal: Objetivo O objetivo da atividade é a construção do sólido denominado Balão Fractal. Este sólido, desenvolvido pelos autores, é uma variação do conhecido Cartão Fractal Triangular, de fácil construção e que guarda semelhanças com o Triângulo de Sierpinski, fractal clássico presente na literatura. Figura 1 O Triângulo de Sierpinski, em uma construção feita pelos alunos. O Balão, por sua vez, é composto de 4 partes iguais e cada uma destas é composta da junção de dois cartões triangulares conforme ilustra a figura 2. 5 p.7788

6 Figura 2 O Balão Fractal montado Pretendeu-se com esta atividade a integração dos alunos, estagiários e professor na confecção dos balões que serviram como parte da decoração da Festa Junina da escola, que se aproximava e devido a sua dimensão, reúne toda a comunidade escolar e todos trabalham para a sua organização e sucesso. A atividade foi realizada com alunos de 5ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e exploramos os seguintes tópicos: Múltiplos e Divisores; Frações; Medidas; Perímetro e Área. Materiais Usados: - folhas de papel reaproveitado 3 (revista) ou sulfite (sugestão de medidas: 16 x 20 cm); - folhas de papel cartão colorido (sugestão de medidas: 32 x 48 cm); - tesoura, régua, lápis, grampeador; Construção 1 O Cartão Fractal Triangular no papel reaproveitado ou sulfite 6 p.7789

7 Figura 3 O Cartão Fractal Triangular 1- Dobre uma folha retangular de largura L e comprimento C ao meio de forma que a dobra tenha dimensões L e C/2. 2- Divida esta nova folha dobrada em 4 partes congruentes, de comprimento C/4 e largura L/2. Isto pode ser feito facilmente com dobras ou com a régua e o lápis. 3- Recorte a largura do retângulo inferior esquerdo (j) e dobre-o para dentro (lembrando que um dos lados deste retângulo possui a dobra inicial). 4- Repita o procedimento com os retângulos restantes na parte esquerda da folha enquanto possível. 7 p.7790

8 (1) (2) Figura 4. (1) Primeira dobra, a divisão em 4 retângulos congruentes, o segmento j, que deverá ser cortado e o retângulo em destaque, que será dobrado internamente. (2) situação final: os retângulos em destaque são sucessivamente dobrados internamente, do maior para os menores: marrom, verde e azul. Esta construção nos permite obter, ao desdobrarmos a folha, o cartão exposto na figura 3. Construção 2 As faces do Balão Fractal e sua montagem O aluno observa aqui, com experiências realizadas com a construção anterior e através de um modelo pronto, como o balão será montado, e percebe que são necessários dois triângulos para cada face do balão, e que estes triângulos devem ser construídos a partir de dobras e cortes em uma mesma folha. 1- Dobre o papel cartão de largura inicial L e comprimento inicial C ao meio de modo a obter um novo retângulo de dimensões C e L/2 (figura 5). 2- Construa os segmentos de medida C/4 a partir de cada lateral. Construa também o segmento de medida L/4 (metade do retângulo já dobrado). Figura 5 primeira dobra, primeiros traços e os segmentos i e n, que serão recortados e dobrados internamente. 3- Recorte estes segmentos (i e n) até a metade e dobre internamente o retângulo resultante Repita o processo para o retângulo central Nos retângulos laterais restantes do passo anterior, divida-os em 4 retângulos congruentes (suas medidas serão a metade de cada lado) e recorte os centrais. 8 p.7791

9 Figura 6 ilustração dos passos 4.1 e Repita o processo 4.1 e 4.2 no retângulo central e nos laterais restantes. Figura 7 configuração final, onde os retângulos coloridos são recortados e dobrados internamente, na ordem: marrom, azul, verde. Figura 8 uma das faces do Balão Fractal A exploração matemática dos conceitos e dos cálculos realizados podem ser organizadas por meio de tabelas a serem preenchidas pelos estudantes. É neste preenchimento que o professor organiza questionamentos e as conclusões dos alunos. Aqui, ao tratar das medidas nos sucessivos passos da construção, os conteúdos relacionados anteriormente são explorados. Segue-se modelos de tabelas preenchidos com os dados referentes as sugestões de medidas acima. 9 p.7792

10 DADOS INICIAIS DA FOLHA COMPRIMENTO (cm) 20 LARGURA (cm) 16 PERÍMETRO (cm) 72 ÁREA (cm 2 ) 320 PASSO COMPRIMENTO DO ,5 BURACO 4 LARGURA DO BURACO PERÍMETRO DO BURACO ÁREA DO BURACO PERÍMETRO RESTANTE ÁREA RESTANTE Tabela 1 Cartão Fractal Triangular DADOS INICIAIS DA FOLHA COMPRIMENTO (cm) 48 LARGURA (cm) 32 PERÍMETRO (cm) 160 ÁREA (cm 2 ) 1536 PASSO COMPRIMENTO BURACO LARGURA CENTRAL PERÍMETRO ÁREA COMPRIMENTO BURACOS LARGURA LATERAIS PERÍMETRO ÁREA PERÍMETRO RESTANTE ÁREA RESTANTE Tabela 2 Face do Balão Fractal 10 p.7793

11 As investigações presentes no preenchimento das tabelas consiste em colocar no papel os dados das efetivas dobras e cortes feitos, além do cálculo de áreas e perímetros. Além disso, pode ser trabalhado o comportamento da figura nos próximos passos, que não foram feitos concretamente, afinal espera-se que o aluno perceba as regularidades presentes. Resultados e Discussão: Os alunos envolvidos com a atividade já tinham conhecimento prévio do assunto Geometria Fractal devido a outras atividades desenvolvidas anteriormente, a saber: apresentação do tema através de vídeos e slides, construção do Triângulo de Sierpinski (figura 1) e estudo de suas regularidades. O aluno consegue facilmente observar os padrões e regularidades presentes nas figuras, o qual chamamos de auto-semelhança. Também é nítido o interesse destes pela beleza das figuras geradas por computador. A construção do triângulo fractal foi feita para suscitar a curiosidade dos alunos em descobrir como aquela figura se transformaria num balão e também como teste para que treinassem medições e recortes na folha menor antes de passarem ao processo de construção do balão, que é mais complexo e exige mais atenção. Na quinta série, a construção do Triângulo Fractal traz a tona as dificuldades de alguns alunos com o uso da régua, a saber: - posicionamento da régua para medir determinado segmento; - desconhecimento do fato que esta medida é na verdade o número de espaços de 1 centímetro que a régua acusa; - o aluno não consegue posicionar a régua de forma adequada nos pontos para a construção dos segmentos. Atividades de medição com régua não estão presentes, em geral, no cotidiano dos alunos, e requerem um treinamento que talvez não tenha sido sistematizado nas séries iniciais, daí a dificuldade encontrada nos estudantes. Além disso, observamos que o aluno: não identifica o processo iterativo e, desatencioso, recorta outra parte do papel, inutilizando-o. Apesar do 11 p.7794

12 momentâneo desânimo do aluno quando isto acontece, é possível reverter a situação. As dificuldades de medição foram notadas tanto na 5ª como na 8ª séries em cerca de 20 % dos alunos envolvidos, e os cortes errados, em 5 % dos alunos, também das duas séries. Apesar da aparente distância entre os alunos de 5ª e 8ª séries, as dificuldades observadas e também o êxito na execução da tarefa foi muito semelhante. Primeiras conclusões: Com esta atividade e outras já realizadas, podemos elencar alguns pontos de interesse para estudo: - os alunos gostam e se interessam pelas figuras apresentadas, ou seja, é possível mobilizá-los através de um apelo visual; - a construção, que sob alguns aspectos é cansativa/repetitiva é concluída com êxito pela extrema maioria dos alunos, inclusive por alguns que geralmente não participam efetivamente das aulas no dia a dia em atividades vistas como tradicionais; - poucos alunos apresentam problemas mais sérios com a construção, que quando usada de forma diagnóstica, dá ao professor a chance de entender a dificuldade apresentada pelo aluno e trabalhar para saná-la; - a álgebra que traduz as observações de padrões em fórmulas não é apreendida pelos alunos neste momento como deveria; - o trabalho com a álgebra até a sétima série, o momento em que ela é destaque, deve ser intensificado ou abordado de outras formas para que o problema não persista na oitava série; - os alunos não apresentam dificuldade no trato com múltiplos e divisores. Os próximos passos do presente estudo serão a análise dos dados coletados nas entrevistas e a organização do trabalho final. Notas: 1- Projeto intitulado Produtos educacionais no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática: itinerários de desenvolvimento e implementação, a partir da rede de pesquisa participante Escola- 12 p.7795

13 Universidade, sob financiamento da CAPES, através do Edital Observatório da Educação. 2- De acordo com a legislação estadual paulista vigente, a denominação Ciclo II do Ensino Fundamental se refere ao período da 5ª a 8ª séries ou 6º ao 9º ano. 3- o papel reaproveitado, como as folhas de revista, por exemplo, são úteis quando a atividade é feita somente com dobras; para a atividade feita com medições usando a régua, é aconselhável utilizar um papel limpo, onde as marcações são mais visíveis. 4- O termo buraco é usado para representar a região da folha que é recortada e dobrada internamente. Referências Bibliográficas: [1] BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, [2] BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica. [3] CHARLOT, Bernard. Da relação com o saber. Porto Alegre: Artmed, [4] FUNDAÇÃO VOLKSWAGEN/CENPEC. Ler e Escrever Desafio de todos. São Paulo: Cenpec, [5] KEMMIS, Stephen; WILKINSON, Mervyn. A pesquisa-ação participativa e o estudo da prática. In: DINIZ-PEREIRA, Júlio Emílio. A pesquisa na formação e no trabalho docente. Belo Horizonte: Autêntica, 2002, p [6] Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Disponível em: < >. Acesso em: 15 agosto [7] PIETROPAOLO, Ruy César. Caderno do Professor. Matemática: EF, 5ª a 8ª séries; 1º ao 4º bimestres. São Paulo: SEE, [8] Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas - PPGECE/UFSCar. Disponível em: < >. Acesso em: 23 agosto [9] Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Matemática. Disponível em: 13 p.7796

14 < CURSO/sigscFront/default.aspx?SITE_ID=25&SECAO_ID=595 >. Acesso em: 15 agosto p.7797