CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE FADIGA DE VIDA CONSTANTE UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

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1 CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE FADIGA DE VIDA CONSTANTE UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS RAIMUNDO CARLOS SILVERIO FREIRE JÚNIOR UFRN CCET Programa de Doutorado em Engenharia e Ciência dos Materiais ADRIÃO DUARTE DÓRIA NETO UFRN CT Dept. Engenharia da Computação e Automação EVE MARIA FREIRE DE AQUINO UFRN CT DEM Programa de Pós Graduação de Engenharia Mecânica Lagoa Nova Natal RN CEP: Resumo. O objetivo deste trabalho é demonstrar a aplicabilidade de redes neurais artificiais na construção de diagramas de fadiga de vida constante, de modo que, se possa obter estes diagramas utilizando-se de uma quantidade reduzida de curvas S-N. Para demonstrar esta aplicabilidade, utilizou-se dados de fadiga à tensão constante de um plástico reforçado com fibra de vidro obtido na literatura, que foi ensaiado para 14 curvas S-N diferentes. A partir dos resultados obtidos percebeu-se que a ANN treinada com três curvas S-N para R = 10, -2 e 0.1, produz resultados satisfatórios, porém ampliando-se o número de curvas S-N para seis se obtem resultados de maior confiança. INTRODUÇÃO Durante o projeto de estruturas e equipamentos submetidos à cargas cíclicas na qual se utiliza materiais compostos como matéria prima, é freqüente a necessidade de grande quantidade de ensaios de fadiga para a obtenção de um certo nível de confiança no material, faz-se isso, principalmente, devido ao pouco conhecimento da resposta à carregamento dinâmico destes materiais, fazendo com que os mesmos se tornem pouco previsíveis, se comparado aos materiais convencionais (Lee et al. 1999). A partir dos ensaios, obtêm-se as curvas S-N (amplitude de tensão versus número de ciclos) que são utilizadas para a construção de Diagramas de Fadiga de Vida Constante, que são de grande importância para o estudo e aplicabilidade destes materiais pelos projetistas. Porém, estes diagramas, quando construídos com pequena quantidade de curvas S-N subestimam ou sobreestimam o comportamento real do compósito, verificando a necessidade sempre crescente de se fazer mais ensaios para a obtenção de maior precisão nos resultados (Philippidis, 2002). Pensando desse modo, verifica-se neste trabalho a possibilidade da utilização de Redes Neurais Artificiais (ANN) na construção dos referidos diagramas, de modo que, se analisasse principalmente, a capacidade de generalização da ANN. A generalização da ANN é verificada quando se faz uma comparação dos resultados obtidos pela rede com um conjunto de dados não utilizados no treinamento. Apesar da utilização de ANN na previsão de vida à fadiga ser recente, autores como Assaf et al. (2001) e Kadi et al. (2002 (a) e 2002 (b)) chegaram à conclusão que o modelamento utilizando ANN possui resultados comparáveis a outros critérios de falha Author for correspondence

2 conhecidos, nesta análise utilizou-se inclusive outros tipos de ANN, como por exemplo, a RBF (Função de Base Radial) e Redes Especialistas. Porém, apesar dos bons resultados obtidos por estes autores, os mesmos não analisaram o comportamento da ANN fora da região de treinamento, critério de grande importância, já que, somente com esta análise é possível verificar se a ANN consegue generalizar ou se ela simplesmente memorizou os dados de treinamento (Haykin, 2001). Lee et al. (1999), fez uma análise bastante detalhada das possibilidades de aplicação das ANN para análise de vida à fadiga de vários tipos de materiais compostos, considerando vários fatores, tais como, probabilidade de falha, sistema fibra-matriz, configuração, entre outros. A partir desta análise criteriosa, o mesmo chegou a conclusão que a ANN deve ser treinada com três ou mais razões de fadiga (R valor da tensão mínima dividido pela tensão máxima) para se ter um erro médio quadrático (RMS) com uma flutuação pequena em relação a todo o conjunto de dados, considerando inclusive os dados não utilizados no treinamento. Porém, apesar do autor ter feito um estudo bastante amplo, o mesmo não analisa a resposta da ANN para qualquer tipo de carga aplicada, como se faz, por exemplo, aplicando-se o diagrama de fadiga de vida constante. Tampouco se demonstra o comportamento da RMS do conjunto total de dados em relação ao número de épocas de treinamento. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL O material utilizado para análise foi um plástico reforçado com fibra de vidro obtido na literatura (DOE/MSU, 2003) com sigla DD16 com 36 % de volume de fibra, fabricado pelo processo de moldagem com transferência de resina na qual a matriz é orto-polyester e possui como configuração (90/0/±45/0) S, nas camadas à 0 e 90 possui tecido de fibra de vidro do tipo D155 (527 g/m 2 ) e à ±45 possui tecido do tipo DB120 (393 g/m 2 ). Figura 1. Diagrama de fadiga de Vida Constante, do material DD16, retirado da base de dados, DOE/MSU, Os ensaios foram realizados em um equipamento de teste da marca Instron 8501 com freqüência de 10 Hz ou inferior. Para garantir que o material não sofresse aquecimento por

3 histerese utilizou-se resfriamento a ar nas amostras. Foram feitos 454 ensaios, nos quais 59 foram ensaios estáticos (34 ensaios de tração e 25 de compressão), e os outros 395 foram utilizados para se fazer ensaios de fadiga para várias razões de fadiga de 1.1, 1.43, 2, 10, -2, - 1, -0.5, 0.1, 0.5, 0.7, 0.8 e 0.9. O diagrama de fadiga de vida constante e o número de corpos de prova para cada razão de fadiga (R) são demonstrados na figura 1 e na tabela 1, respectivamente. Para maiores detalhes sobre os ensaios, matéria prima ou processo de fabricação deste material pode-se consultar as literaturas (Wahl, 2001; Wahl, 2002; Mandell, 1997). Tabela 1. Dados obtidos para as constantes das curvas S-N e número de corpos de prova para a obtenção destes valores Razão de Fadiga (R) A B p Numero de CP s ultt 632 MPa ultc -400 MPa PROCEDIMENTO PARA CRIAÇÃO DO MODELO PELA ANN Para a criação do modelo matemático, utilizou-se a rede perceptron de múltiplas camadas treinado pelo Algoritmo Back Propagation, com a arquitetura consistindo de dois neurônios de entrada (tensão média e número de ciclos) e um neurônio de saída (amplitude de tensão), de modo que, se pudesse ter ao fim uma função que satisfizesse a condição mostrada na equação 1. ( N) = f, med (1) a Na qual a é a amplitude de tensão aplicada (tensão máxima menos a tensão mínima dividido por dois), med é a tensão média (tensão máxima mais a tensão mínima dividido por dois) e N é o número de ciclos na qual ocorreu a quebra do material. Trabalhou-se com uma camada oculta com 2 a 30 neurônios, todos com bias e com função de ativação sigmóide nos neurônios ocultos e função linear no neurônio de saída. O algoritmo utilizado para o treinamento foi o de Retropropagação com base na regra momento (Haykin, 2001). Fez-se o treinamento da rede a partir dos dados obtidos pela curva S-N, utilizando-se para tanto, a equação 2, esta equação pode ser considerada uma generalização da lei de força

4 (POWER LAW), que com alguns artifícios matemáticos se iguala a esta para p igual a 1. Pode-se verificar a utilização da lei de força (POWER LAW) em trabalhos da literatura (Philippidis, et al., 2002, Read et al., 1995). Os valores das constantes A, B e p para cada razão de fadiga dados pela equação 2 são mostrados na tabela 1, na qual ultt é o valor de tensão última à tração e ultc é o valor de tensão última à compressão. Vale salientar aqui que o calculo feito para a obtenção destas constantes foi para 50 % de probabilidade de falha e utilizou-se o método dos mínimos quadrados para a obtenção destes valores. [ log(n ] p log( = (2) a ) A B ) Um diagrama esquemático demonstrando o modo de treinamento da ANN e o modelo de ANN obtido é mostrado na figura 2. Nesta figura, T representa o número de funções (curvas S-N obtidas da quação 2) utilizadas para o treinamento da ANN, A o número total de funções utilizadas, e o erro obtido entre resposta desejada e a resposta atual da ANN e w a matriz de pesos sinapticos da ANN. É interessante notar que, apesar de não termos uma função matemática convencional que defina a equação 1, a ANN, conforme se demonstra na figura 2, consegue generalizar para novos valores de entrada, obtendo-se, desse modo, um modelo matemático que determine o comportamento à fadiga do material para qualquer tipo de carregamento. [, N] med DADOS DE TREINAMENTO ANN ALGORITMO DE TREINAMENTO (a) a T =d= f (N) j=1 z=f(w,n, ) j e=d-z med ANN [ med, N] F(w,N, ) (b) med ~ A j=1 f (N) j Figura 2. (a) Método de treinamento da ANN. (b) Modelo obtido pelo treinamento da ANN.

5 Os valores escolhidos para a constante de momento e a taxa de aprendizado foram de 0.7 e de 0.1, respectivamente. Vale salientar ainda que estes valores são constantes ao longo de todo as épocas de treinamento. Para o treinamento da ANN foram utilizados quatro conjuntos de treinamento, 3R (R = 10, -2 e 0.1), 4R (R = 10, -2, 0.1 e 0.5), 5R (R = 10, -2, -1, 0.1 e 0.5) e 6R (R = 2, 10, -2, -1, 0.1 e 0.5). A escolha destes conjuntos de treinamento foi feita objetivando uma melhor distribuição dos dados dentro das regiões de carregamento, utilizando-se também como critério o número de corpos de prova ensaiados. Durante o treinamento verificou-se o comportamento da RMS (equação 3) do conjunto total de dados, objetivando verificar a generalização da ANN. Q m RMS 1 2 = ( d i z i ) 2 Q (3) 1 Na equação acima o RMS é o erro médio quadrático, Q representa o tamanho do conjunto de dados, m o número de neuronios de saída (para este estudo m = 1), d i e z i são as respostas desejadas e a resposta atual do nó de saída, respectivamente. Tanto nos neurônios de entrada quanto no neurônio de saída fez-se a normalização dos dados, para o caso da tensão média fez-se esta normalização considerando o sinal da mesma conforme mostra a figura 3. Esta modificação da normalização foi feita com o intuito de tornar os dados melhor distribuídos, facilitando desse modo o aprendizado da ANN (Haykin, 2001). i= 1 Camada de Entrada -1 med ult log(n) log(n max) Camada Oculta Camada de Saída -1 a a max ult ult = = ultt ultc 7 N max= 10 a max = ultt Se Se 2 med > 0 med < 0 ultc Figura 3. Diagrama demonstrando o modelo de simulação da ANN. O range de análise do número de ciclos neste estudo ficou entre 10 2 e 10 7, tendo em vista que os dados experimentais analisados estão nesta região de número de ciclos. Além dos dados obtidos pelas curvas S-N, utilizou-se os valores dos ensaios estáticos no treinamento objetivando facilitar a generalização da ANN. O software utilizado para implementação de todos os algoritmos utilizado neste trabalho foi o MATLAB.

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES Conforme foi dito anteriormente, foram feitas análises com quatro conjuntos de treinamento (3R, 4R, 5R e 6R) variando-se a camada oculta de 2 a 30 neuronios para verificação da arquitetura que melhor generalizasse os resultados. Além disso, foi analisado durante o treinamento da ANN a variação da RMS e do coeficiente de correlação (r) tanto para o conjunto de treinamento quanto para o conjunto total de dados em relação às épocas de treinamento, conforme pode-se verificar nos exemplos das figuras 4 e 5. 0,1 0,01 Conjunto Total de Dados RMS 1E-3 1E-4 1E-5 Conjunto de Treinamento (3R) Épocas de Treinamento Figura 4. Curvas de RMS obtidas durante o treinamento de uma ANN com 6 neuronios ocultos e com o conjunto de treinamento 3R (R = 10, -2 e 0.1). 1,0 Conjunto de Treinamento (4R) Coeficiente de Correlação 0,8 0,6 0,4 Conjunto Total de Dados 0, Épocas de Treinamento Figura 5. Curvas de Coeficiente de Correlação obtidas durante o treinamento de uma ANN com 10 neurônios ocultos e com o conjunto de treinamento 4R (R = 10, -2, 0.1 e 0.5).

7 Na análise do comportamento do RMS em função do número de épocas de treinamento, verificou-se que para os conjuntos de treinamento 3R, 4R e 5R ocorre uma diminuição tanto do valor do RMS do conjunto de treinamento quanto do conjunto total de dados, porém esta diminuição só foi verificada até, aproximadamente, 300 épocas de treinamento, e neste ponto o valor de RMS mínimo para o conjunto total de dados fica em torno de e o Coeficiente de Correlação (r) máximo em torno de 0.97 (ver tabela 2), acima deste número de épocas de treinamento ocorre uma separação das curvas na qual, para o conjunto de treinamento os valores de RMS continuam diminuindo e para o conjunto total de dados ocorre um aumento deste. Para o caso dos conjuntos de treinamento 3R e 4R o aumento do RMS do conjunto total de dados se mostra mais pronunciado, conforme pode-se verificar na figura 4. Tabela 2. Resultados das ANNs que obtiveram os menores valores de RMS e maiores valores de coeficiente de correlação (r) para o conjunto total de dados Conjunto Conjunto de Treinamento Conjunto Total de Dados de Dados RMS r RMS r Neurônios Ocultos Épocas de Treinamento 3R R R R Outros fator importante a ser comentado a respeito das ANNs treinadas para o conjunto de treinamento 3R que os bons resultados (valores de RMS para o conjunto total de dados menores ou iguais à ) só foram obtidos para uma pequena quantidade de neurônios ocultos (entre 5 e 12), na qual na tabela 2 se demonstra a melhor arquitetura obtida para cada conjunto de treinamento. Estes fenômenos citados anteriormente são bastante conhecidos da literatura especializada (Haykin, 2001, Silva et al., 2001) e suas explicações estão relacionadas principalmente ao excesso de treinamento e ao pequeno conjunto de dados utilizados para o treinamento. O excesso de treinamento faz com que a rede memorize os dados, sem no entanto, aprender sobre o comportamento de entrada e saída da função que se quer modelar, e um conjunto de dados reduzido no treinamento exige que a ANN seja simplificada, ou seja, diminua-se o número de neuronios ocultos, pois de outro modo não se consegue ter uma boa generalização desta. Assim, quando se tem um conjunto de dados pequeno deve-se tomar cuidado com a utilização de um número de épocas excessivo, pois isso pode fazer com que a ANN memorize os dados de treinamento sem, no entanto, aprender sobre o comportamento de entrada e saída da ANN. Desse modo, é importante que no treinamento da ANN tenha-se um critério de decisão de parada bem definido que, neste caso, pode ser um valor de RMS igual a É importante salientar que, este critério de parada dito anteriormente deve ser verificado para outros materiais compostos, já que aqui se utilizou um único material no estudo. Outra coisa importante de ser dita é que o aumento do número de curvas S-N pode

8 fazer com que se diminua este valor de RMS, modificando o critério de parada, conforme será mostrado mais adiante. Analisando-se os resultados obtidos pelo conjunto de treinamento 6R, que possui dados para seis curvas S-N, percebeu-se que as curvas de RMS dos dois conjuntos de dados (conjunto total e conjunto de treinamento) não se separaram durante todas as épocas de treinamento, conforme se pode ver na figura 6. Ou seja, com seis valores de razão de fadiga distribuídos uniformemente consegue-se uma generalização da ANN independente do número de épocas de treinamento usado, ou pelo menos até 5000 épocas de treinamento, obtendo-se um RMS em torno de (r = 0.99) para o conjunto total de dados. Vale salientar que os melhores resultados obtidos foram para uma maior quantidade de neurônios ocultos (entre 15 e 30 neurônios), e que estes resultados comprovam o que foi dito nos parágrafos anteriores. 0,01 RMS 1E-3 Conjunto Total de Dados 1E-4 Conjunto de Treinamento (6R) Épocas de Treinamento Figura 6. Curvas de RMS obtidas durante o treinamento de uma ANN com 25 neuronios ocultos e com o conjunto de treinamento 6R (R = 2, 10, -2, -1, 0.1 e 0.5). A partir dos resultados demonstrados até o presente momento pode-se considerar que com uma pequena quantidade de curvas S-N pode-se obter resultados gerais satisfatórios na aplicação em projetos, dependendo, é claro, da aplicação a ser dada ao material. Porém sempre se faz necessário uma análise criteriosa dos resultados obtidos. Demonstra-se na figura 7 um diagrama de vida constante para o conjunto de treinamento 3R (R = 10, -2 e 0.1) com 8 neurônios ocultos comparando-se seus resultados com os resultados obtidos para todas as curvas S-N. Por estes resultados, percebe-se que apesar das curvas de vida constante representarem satisfatoriamente os valores obtidos pela equação 2. Para algumas curvas S-N, existem variações significativas, como por exemplo para R = -1, -0.5, 0.7 e 0.8.

9 Amplitude de Tensão (MPa) R=-2 R=10 R=2 R=1.43 R=1.1 R=-1 R=-0.5 R=0.1 R=0.5 R=0.7 R=0.8 R= Tensão Média (MPa) Figura 7. Diagrama de vida constante feito a partir de uma ANN com 8 neurônios ocultos treinada com o conjunto de dados 3R (R = 10, -2 e 0.1). Com 349 épocas de treinamento. Porém se analisarmos estes casos em separado estas curvas S-N, conforme mostra-se nas figuras 8 e 9, pode-se verificar que apesar da diferença de resultados entre os dados obtidos da ANN e os dados obtidos da equação 2, os valores obtidos pela ANN não se distanciam excessivamente dos resultados experimentais podendo ser considerados satisfatórios. É interessante notar que se obteve uma generalização da ANN utilizando-se apenas três curvas S-N, isto demonstra o grande potencial que as ANNs possuem na previsão de vida à fadiga em materiais compostos. Amplitude de Tensão (MPa) Dados Exp. R=-0.5 ANN R=-0.5 Eq. 2 R=-0.5 Dados Exp. R=0.7 ANN R=0.7 Eq. 2 R= Número de Ciclos Figura 8. Dados Experimentais e Curvas S-N obtidas para R = -0.5 e R = 0.7. As curvas S-N foram obtidas da Equação 3 e de uma ANN com 8 neurônios ocultos treinada com o conjunto de dados 3R (R = 10, -2 e 0.1).

10 Amplitude de Tensão (MPa) Dados Exp. R=-1 ANN R=-1 Eq. 2 R=-1 Dados Exp. R=0.8 ANN R=0.8 Eq. 2 R= Número de Ciclos Figura 9. Dados Experimentais e Curvas S-N obtidas para R = -1 e R = 0.8. As curvas S-N foram obtidas da Equação 3 e de uma ANN com 8 neurônios ocultos treinada com o conjunto de dados 3R (R = 10, -2 e 0.1). Porém se se desejar uma melhor generalização na ANN deve-se utilizar uma maior quantidade de dados para treinamento, neste caso, com um conjunto de dados com 6 curvas S- N (6R), obteve-se para uma ANN com 23 neuronios ocultos um diagrama de vida constante como o demonstrado na figura 10. Amplitude de Tensão (MPa) R=-2 R=10 R=2 R=1.43 R=1.1 R=-1 R=-0.5 R=0.1 R=0.5 R= R=0.8 R= Tensão Média (MPa) Figura 10. Diagrama de vida constante feito a partir de uma ANN com 23 neurônios ocultos treinada com o conjunto de dados 6R (R = 2, 10, -2, -1, 0.1 e 0.5). Com 4988 épocas de treinamento.

11 A partir deste diagrama percebe-se como a ANN consegue generalizar bem todos os resultados obtidos, e que somente para R = 2 com N = 10 7, tem-se um distanciamento significativo entre resultados obtidos pela ANN e pela Eq. 2 deste R. Porém, novamente se se comparar estas curvas S-N obtidas pela ANN com os resultados experimentais para este e para outros casos como por exemplo para R = -0.5 e 0.9, se verificará que as variações dos valores são pouco significativas, conforme é demonstrado na figura 11. Amplitude de Tensão (MPa) Dados Exp. R=-0.5 ANN R=-0.5 Eq. 2 R=-0.5 Dados Exp. R=2 ANN R=2 Eq. 2 R=2 Dados Exp. R=0.9 ANN R=0.9 Eq. 2 R= Número de Ciclos Figura 11. Dados Experimentais e Curvas S-N obtidas para R = -0.5, 2 e 0.9. As cusvas S-N foram obtidas da Equação 3 e de uma ANN com 23 neuronios ocultos treinada com o cunjunto de dados 6R (R = 2, 10, -2, -1, 0.1 e 0.5). CONCLUSÕES A partir dos resultados obtidos pode-se concluir que o uso de ANNs na construção de Diagramas de Vida Constante é bastante promissor, principalmente porque pode-se obter resultados satisfatórios usando poucas curvas S-N. Outra conclusão importante diz respeito ao conjunto de treinamento 6R, na qual se obteve a generalização da rede mesmo para épocas de treinamento elevadas. Isto demonstra que, para este número de curvas S-N ou para valores maiores, pode-se obter resultados de grande confiança da rede durante o projeto. Apesar deste trabalho demonstrar critérios de parada para o treinamento de uma ANN para o compósito DD16, obtido da literatura, ainda se faz necessário um estudo que comprove ou encontre estes critérios de parada em outros materiais compósitos. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à CAPES pelo financiamento da Bolsa de Doutorado, e à Universidade do Estado de Montana pela disponibilização da sua base de dados na Internet.

12 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Lee, J. A., Almond, D. P., Harris, B., The Use of Neural Network for the Prediction of Fatigue Lives of Composite Materials, Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, 30 (10), , Philippidis, T. P., Vassilopoulos, A. P., Complex Stress State Effect on Fatigue Life of GRP Laminates. Part I, experimental, International Journal of Fatigue, 24, , Al-Assaf, Y., El Kadi, H., Fatigue Life Prediction of Unidirectional Glass Fiber/Epoxy Composite Laminate Using Neural Network, Composite Structures, 53 (1), 65-71, El Kadi, H., Al-Assaf, Y., Prediction of the Fatigue Life Prediction of Unidirectional Glass Fiber/Epoxy Composite Laminate Using Different Neural Network Paradigms, Composite Structures, 55, , El Kadi, H., Al-Assaf, Y., Energy Based Fatigue Life Prediction of Fiberglass/Epoxy Composites Using Modular Neural Network, Composite Structures, 57, 85-89, Haykin, H., Redes Neurais Princípios e Prática, 2 Ed., 893 p., DOE/MSU Composite Material Fatigue Database, Montana State University - Bozeman, 272 p., Wahl, N., Samborsky, D., Mandell, J., Cairns, D., Spectrum Fatigue Lifetime and Residual Strength for Fiberglass Laminates in Tension, Wind Energy 2001, 49-59, Wahl, N., Samborsky, D., Mandell, J., Cairns, D., Effects of Modeling Assumptions on the Accuracy of Spectrum Fatigue Lifetime Predictions for a Fiberglass Laminate, Wind Energy 2002, 19-26, Mandell, J., Reed, R., Samborsky, D., DOE/MSU Composite Material Fatigue Database: Test, Methods, Material and Analysis, SAND , Sandia National Laboratories, 140 p, Read, P., Shenoi, R., A Review of Fatigue Damage Modelling in the Context of Marine FRP Laminates, Marine Structures, 8, , Silva, P. H. F., Melo, M. A. B., Dória Neto, A. D., Fast and Accurate Neural Network GaAs MESFET model for time domain circuit simulation, SBMO/IEEE MTT-S IMOC Proceedings, 2001.

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