ANÁLISE DE CONFIABILIDADE NA CRAVAÇÃO DE ESTACAS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO EDIO SOARES PEREIRA JUNIOR

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1 ANÁLISE DE CONFIABILIDADE NA CRAVAÇÃO DE ESTACAS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO EDIO SOARES PEREIRA JUNIOR Dissertação apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre em Ciências de Engenharia no curso de Geotecnia. Orientador: Prof. Fernando Saboya Albuquerque Junior Campos dos Goytacazes Setembro de 2003

2 A Deus e a minha família.

3 Meus agradecimentos, Ao Prof. Fernando Saboya Albuquerque Júnior, orientador da dissertação, pelo apoio e a confiança depositada. À FAPERJ, pelo apoio financeiro prestado. Aos meus pais pelo incentivo e apoio à pesquisa realizada. À Deus, por conceder saúde e força necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.

4 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES...III LISTA DE TABELAS...V LISTA DE SÍMBOLOS...VI Capítulo 1. INTRODUÇÃO...1 Capítulo2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Introdução Análises determinísticas Descrição dos métodos determinísticos de capacidade de carga de fundações profundas Métodos teóricos Resistência lateral (R L ) Método em termos de tensões efetivas Método em termos de tensões totais Resistência de ponta (R P ) Métodos semi-empíricos Método de controle de capacidade de carga in situ Conceitos básicos de probabilidade, estatística e confiabilidade Análise probabilística Função de probabilidade Caracterização da densidade pelo método dos momentos Densidade normal Análise estatística Análise gráfica da amostra Análise aritmética da amostra Aspectos conceituais de análise de confiabilidade...31 I

5 Aspectos conceituais da confiabilidade inerentes ao fator de segurança Método do Segundo Momento de Primeira Ordem Estimativa de Probabilidade de Fracasso Risco admissível Aplicações de estatística, probabilidade e confiabilidade em geotecnia MONITORAÇÃO DAS ESTACAS E O ENSAIO SPT Introdução Localização Sondagens executadas Determinação do repique elástico e nega ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM FUNDAÇÕES PROFUNDAS Introdução Procedimentos da análise de confiabilidade Análise estatística dos parâmetros geotécnicos Análises determinísticas Análises das variâncias dos fatores de segurança Estudo da aproximação por diferênças divididas Estimativa da confiabilidade associada à probabilidade de ruptura Interpretação dos resultados Avaliação dos fatores de segurança referentes à confiabilidade admissivel CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES Conclusões Considerações Sugestões...81 Referências Bibliográficas...82 Anexo 1 Valores da função distribuição acumulada normal...86 Anexo 2 Tabelas referentes à simulação do parâmetro C 3 e N spt...87 II

6 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura Estaca carregada axialmente...6 Figura 2.2 Estado de tensões do solo adjacente à estaca,(a) antes da instalação e (b) após a instalação...8 Figura 2.3 Fator de adesão α (Tomlinson, 1957)...12 Figura 2.4 Fator de Adesão α (Kulhawy e Phoon 1993)...14 Figura 2.5 Superfícies de ruptura (vésic, 1967)...16 Figura 2.6 Fatores de capacidade de carga, N q (Vésic, 1975)...16 Figura 2.7 Fator de correção de k para estacas metálicas tubulares cravadas em areia...21 Figura 2.8 Fator de correção de k para estacas quadradas de concreto cravadas em areia...22 Figura Repique elástico e Nega para um golpe...24 Figura Gráfico de uma distribuição normal...28 Figura Exemplo de um histograma de uma variável aleatória...29 Figura Relação β x FS em função do desvio padrão ( Dell Avanzi, 1995)...35 Figura Comparação entre duas situações com médias e distribuições de FS diferentes (Christian, 1992)...38 Figura Relação entre β e Pf para distribuição normal de FS (Christian, 1992)...39 Figura Valores usuais de probabilidade e conseqüências de ruptura (Whitman, 1984)...40 Figura Seção típica do talude ( Sandroni e Sayão, 1992)...41 Figura 3.1 Localização geográfica de Campos dos goytacazes...46 Figura 3.2 Disposição das sondagens na área da obra...47 Figura 3.3 Perfil de sondagem...53 Figura 3.4 Perfil composto da sondagem...54 Figura Medição do repique elástico e nega...55 Figura Representação da medida do repique elástico e nega...56 Figura Repique elástico e nega obtidos em um golpe do martelo...56 Figura 4.1 Aparelho medidor de repique...59 Figura Fator de segurança x Índice de confiabilidade...69 III

7 Figura Fator de segurança x Índice de confiabilidade para intervalos de variação de C Figura Fator de segurança x Índice de confiabilidade para N spt em torno da região da obra...77 Figura Porcentagem de influência de cada parâmetro na confiabilidade...78 IV

8 LISTA DE TABELAS Tabela2.1 Valores típicos de coeficientes de variação em solos (Lee et al., 1983)..5 Tabela2.2- Valores para o fator β para estacas escavadas...10 Tabela 2.3 Valores para o fator β para estacas cravadas...10 Tabela 2.4 Relação entre os ângulos δ/φ (Potyondy, 1961)...11 Tabela 2.5 Fator de adesão α...13 Tabela 2.6 Fator característico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)...18 Tabela 2.7 Coeficientes k e α (Aoki e Velloso, 1975)...20 Tabela 2.8 Coeficientes de transformação F 1 e F 2 (Aoki e Velloso, 1975)...20 Tabela 3.1 Valores do repique elástico e nega obtidos na cravação...57 Tabela 3.2 Valor do N spt médio por camada...57 Tabela Valores sugeridos para C Tabela 4.2 Dados do repique elástico e nega da obra...60 Tabela 4.3 Análise estatística dos parâmetros da obra...61 Tabela 4.4 Análise estatística das sondagens em torno da obra...62 Tabela 4 5 Intervalo de variação de C Tabela 4.6 Análise estatística na variação do parâmetro C Tabelas 4.7 a 4.13 Cálculo de β com parâmetros da obra...69 Tabela 4.14 Fator de segurança e probabilidade de ruptura associada ao índice de confiabilidade...73 Tabela 4.15 Fator de segurança x Índice de confiabilidade...74 Tabela 4.16 Relação entre a variância e o índice de confiabilidade...76 V

9 LISTA DE SIMBOLOS A L área do fuste da estaca... 6 A P B C área da ponta da estaca largura ou diâmetro da seção transversal do fuste da estaca..15 fator característico do solo c coesão efetiva do solo C 1 C 2 constante empírica para determinação de α Compressão elástica da estaca C 3 Compressão elástica do solo Cov (X) coeficiente de variação...34 CPT ensaio de penetração de cone (cone penetration test) eo Fator de correção ef Fator de correção...20 E Módulo de Yong da estaca...23 E[x] valor esperado...26 f(x) função densidade de probabilidade...25 F(t) função de distribuição...25 FS fator de segurança...33 F 1 F 2 fs G(X) coeficiente de transformação para a resistência de ponta da estaca...19 coeficiente de transformação para a resistência lateral da estaca...19 atrito lateral medido no cone...18 função de desempenho...31 k fator de correlação entre o tipo de solo e q c...19 K Repique Elástico...20 K a K 0 K p L N N SPT coeficiente de empuxo ativo...9 coeficiente de empuxo no repouso...9 coeficiente de empuxo passivo...9 comprimento total da estaca...23 Valor médio do SPT ao longo da estaca...20 índice de resistência a penetração Nc, Nq, Ng fatores de capacidade de carga...15 pa pressão atmosférica...14 VI

10 P f q L q P R _ R R L R P Ru S S SPT s S Su _ S t(x) T(x) V[x] V[fs] x x Z α α (%) probabilidade de ruptura...32 resistência lateral unitária de uma estaca...6 resistência de ponta unitária de uma estaca...6 capacidade de resistência...68 capacidade de resistência média...19 resistência lateral de uma estaca...15 resistência de ponta de uma estaca...15 Resistência última da Estaca...22 Nega...22 demanda de solicitação...68 ensaio padronizado de penetração (standard penetration test) desvio padrão da amostragem...30 demanda de solicitação...17 resistência ao cisalhamento não-drenada...12 demanda de solicitação média...19 função de freqüência...28 função de freqüência acumulada...29 variância da distribuição...26 variância do fator de segurança...37 variável aleatória...25 média da amostragem...29 variável aleatória padronizada...27 fator de adesão lateral em termos de tensões totais...12 fator de correlação entre o tipo de solo e a resistência lateral...19 β fator de capacidade de carga lateral em termos de tensões efetivas... 9 β δ φ (β) índice de confiabilidade...18 ângulo de atrito entre o solo e a estaca...8 função densidade acumulada aferida em β...37 φ ângulo de resistência ao cisalhamento efetivo do solo...11 γ peso específico aparente do solo...15 µ média da distribuição...26 µ G valor médio da função de desempenho...31 VII

11 σ h tensão efetiva horizontal...8 σ v tensão efetiva vertical...8 σ σ[x] σ G σ R σ S σ FS τ s desvio padrão...26 desvio padrão da distribuição...26 desvio padrão da função de desempenho...31 desvio padrão da capacidade de resistência...33 desvio padrão da demanda de solicitação...33 desvio padrão do coeficiente de segurança...34 tensão cisalhante...8 VIII

12 RESUMO As obras geotécnicas no geral têm sido estudadas tradicionalmente de forma determinística. Contudo a engenharia geotécnica lida com uma gama de materiais com propriedades e parâmetros altamente variáveis e influenciados por diversos fatores. Visando quantificar a variabilidade inerente às previsões determinísticas, conceitos de probabilidade e estatística são utilizados como forma de racionalizar as incertezas ocasionadas. Neste âmbito, torna-se possível inferir sobre a confiabilidade dos resultados apresentados pelos procedimentos convencionais e estimar o risco de insucesso intrínseco ao projeto. Desta maneira, este trabalho propõe um estudo do controle de cravação de estacas via repique elástico, enfocando aspectos probabilísticos das variáveis envolvidas no cálculo da capacidade de carga de estacas pré-moldadas. Apresenta um resumo com os conceitos básicos de probabilidade e estatística necessários para a compreensão do assunto. Desenvolve-se o Método do Segundo Momento de Primeira Ordem para quantificação da confiabilidade inerente ao desempenho de fundações. Os cálculos são apresentados com base no controle de cravação de estacas de concreto pré-moldado, numa obra localizada na região central de Campos dos Goytacazes-RJ. IX

13 ABSTRACT In general geotechnical analysis traditionally have been carried out in deterministic way. However geotechnical engineering deals with materials whose properties and parameters are strongly variables and influenced by several factors. Aiming to quantify the variability inherent to the deterministic approach, probability concepts are used as a tool to rationalize the associated uncertainties. In this way, it is possible to infer over reliability of results obtained by using conventional methods and estimate the intrinsic risk of failure. Thus, this work proposes a study regarding the control of pile driving by the elastic rebound method, focusing specifically probabilistic aspects of the variables involved in the bearing capacity prediction of driven piles. This work also presents a brief discussion regarding basic concepts of statistics and probability, which are considered important to the understanding of the subject. It is also shown the formulation of First Order Second Moment for the assessment of reliability of the deep foundation. Results are presented based on controlling of pre-cast pile driving in a building construction work in Campos dos Goytacazes, RJ, Brazil. X

14 Capítulo 1 INTRODUÇÃO As obras geotécnicas no geral têm sido estudadas tradicionalmente de forma determinística. Contudo, através de estudos, constatou-se que a engenharia geotécnica lida com uma gama de materiais com propriedades e parâmetros altamente variáveis e influenciados por diversos fatores. Estas variações podem ser observadas através da grande dispersão nos resultados de ensaios ou pelas diferenças apresentadas entre o desempenho prático das obras com valores previstos por ensaios de laboratório e de campo. Visando quantificar a variabilidade inerente às previsões determinísticas, introduziram-se no meio geotécnico, conceitos de probabilidade e estatística. Neste âmbito, tornou-se possível inferir sobre a confiabilidade dos resultados apresentados pelos procedimentos convencionais e estimar o risco de insucesso intrínseco ao projeto. Como maneira de racionalizar as incertezas e deixar subjetividade pessoal em plano secundário, conceitos de probabilidade e estatística foram sendo introduzidos gradativamente no meio geotécnico a partir da década de 80. No entanto, as análises probabilísticas devem ser aplicadas em conjunto com as análises determinísticas, inferindo sobre a confiabilidade desta última, como forma de contribuição e não como forma de substituição. O estudo da confiabilidade fornece meios de se avaliarem os efeitos combinados das incertezas dos parâmetros envolvidos no cálculo, oferecendo um suplemento útil nas análises convencionais. O principal propósito deste presente estudo portanto, é fornecer um estudo do controle de cravação das estacas baseado no repique elástico, enfocando aspectos probabilísticos das variáveis envolvidas no cálculo da capacidade de carga de estacas pré-moldadas e uma avaliação da compatibilidade através do método FOSM.

15 Capítulo 1 Introdução 2 Desta maneira, visando uma compreensão mais simplificada, o trabalho se subdividiu da seguinte forma: Capítulo 1 - Introdução Capítulo 2 - Apresenta uma revisão bibliográfica dos métodos determinísticos usualmente utilizados na obtenção da capacidade de carga de estacas, e também do método de controle de capacidade de carga via repique elástico. E, por fim, faz uma descrição sucinta dos aspectos conceituais de probabilidade, estatística e confiabilidade e o desenvolvimento do método segundo momento de primeira ordem. Capítulo 3 - Para aplicar os conceitos de confiabilidade e probabilidade em uma configuração bem documentada, são apresentados neste capítulo informações gerais sobre a campanha experimental realizada, em torno dos resultados do ensaio SPT, nega e repique elástico. Capítulo 4 - Apresentam-se análises de confiabilidade associadas ao controle da capacidade de carga in situ das fundações pelo método baseado no repique elástico descrito no capítulo 2. Neste ensejo, são contemplados alguns fatores que influenciam a quantificação da confiabilidade e, finalmente, são feitas considerações sobre a adoção de fatores de segurança. Capítulo 5 Conclusões e considerações pertinentes ao trabalho. Referências Bibliográficas. Anexos

16 Capítulo 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Introdução Este capítulo se subdividiu em quatro partes básicas. Na primeira, apresentase uma breve revisão sobre os procedimentos determinísticos usualmente utilizados na prática de fundações e, ainda, do controle de cravação via repique elástico necessários para a verificação dos critérios de capacidade de carga e pertinentes ao projeto geotécnico de fundações profundas. Na segunda parte, são demonstrados conceitos básicos de probabilidade e estatística fundamentais para compreensão das metodologias de análise de confiabilidade comumente utilizadas no meio geotécnico. Na seqüência apresentase os aspectos conceituais de confiabilidade e o método do Segundo Momento de Primeira Ordem, amplamente utilizado em análises probabilísticas. Na terceira parte, apresenta-se o complemento da análise de confiabilidade, que se constitui na estimativa da probabilidade de fracasso inerente ao projeto. Neste âmbito, são feitas algumas considerações sobre o risco admissível. Finalmente, na quarta parte, contemplam-se alguns trabalhos que utilizaram conceitos de estatística, probabilidade e confiabilidade que, adaptados, vieram constituir a metodologia adotada no presente trabalho.

17 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Análises Determinísticas Na engenharia em geral, as análises determinísticas são realizadas considerando todos parâmetros e propriedades com valores fixos. Em geotecnia de fundações, as análises determinísticas procuram viabilizar, economicamente, a aplicação de cargas estruturais ao terreno, sem que ocorram deformações excessivas. No projeto, existem critérios que devem ser considerados e satisfeitos separadamente; um deles é à margem de segurança quanto à ruptura por perda de capacidade de suporte. Neste âmbito, apresentam-se alguns métodos determinísticos tradicionais, utilizados nas estimativas de capacidade de suporte de fundações profundas Descrição dos métodos determinísticos de capacidade de carga de fundações profundas Apesar de muito difundido no meio geotécnico, o dimensionamento de fundações em estaca ainda preserva diversos princípios empíricos. Uma das grandes dificuldades na previsão do comportamento de estacas está relacionada com a avaliação dos parâmetros do solo que podem ser estimados em ensaios de laboratório ou de campo. Existem inúmeras correlações que procuram determinar de forma empírica os parâmetros geotécnicos a partir de ensaios de campo. Essas formulações não possuem nenhum fundamento teórico e são totalmente empíricas, mas são ferramentas de grande valor quando não há possibilidade de realizar-se ensaios de laboratório, o que é comum na prática de fundações em estacas. Portanto, com relação aos parâmetros geotécnicos, eles também apresentam erros e incertezas, necessitando também de um tratamento estatístico. Através de análises estatísticas realizadas por vários pesquisadores, em diferentes tipos de solos, Lee et al., (1983) reuniram valores típicos de coeficientes de variação de diversos parâmetros do solo, como mostrado na Tabela 2.1.

18 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 5 Parâmetro do Solo (x) Faixa usual cov (x)% * Valor recomendado cov (x)% Peso Espe. Aparente γ 1 a 10 3 Teor de Umidade ω 6 a Índice de Vazios e 13 a Limite de Liquidez LL 2 a Limite de Plasticidade LP 9 a Coefi. de Compressibilidade C c 18 a Módulo de Yong E 2 a Coefi. de permeabilidade K 200 a Coeficiente de Adensamento C v 25 a Resistência não Drenada S u 20 a Ângulo de Atrito φ (areias) 5 a Ângulo de Atrito φ (argilas) 12 a * Cov(x) = s/ x Tabela2.1 Valores típicos de coeficientes de variação em solos (Lee et al., 1983) Na fundação por estacas, parte da carga é transmitida ao solo por meio do atrito da superfície do fuste e o terreno e, parte, pela reação de ponta, que é a resistência que o solo oferece à penetração dessa ponta em sua massa. Portanto, a metodologia convencional de análise da capacidade de suporte de fundações profundas consiste na soma de duas parcelas de resistência, a resistência de ponta (R P ) e a resistência lateral (R L ), como ilustrado na Figura 2.1. Pode ainda ocorrer, quando não há resistência de ponta, que toda a carga seja transmitida por atrito lateral ao solo, diz-se então que a fundação é por estacas flutuantes; em caso contrário, trata-se de uma fundação por estacas de reação de ponta. Essas duas parcelas não são completamente independentes. A interação entre elas depende de um grande número de fatores, como o estado de tensões atuantes, o tipo de solo e a forma da estaca. Porém, não se conhece uma análise que defina a extensão dessa interação satisfatoriamente.

19 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 6 Q p P R L R L σ h σ h R p Figura Estaca carregada axialmente A resistência lateral e de ponta de uma estaca são expressas como: R L = A L q L (2.1) R P = A P q P (2.2) onde; A L é a área lateral; q L é a resistência lateral por unidade de área; A P é a área da base; q P é a resistência de ponta por unidade de área. Para determinação da resistência unitária lateral e de ponta existem métodos teóricos e empíricos. Alguns desses métodos são apresentados superficialmente neste capítulo Métodos teóricos A base dos métodos teóricos é considerar o problema como um caso de cisalhamento simples entre a estaca e o solo ao seu redor. Nesses métodos é preciso analisar os parâmetros de resistência ao cisalhamento dos materiais

20 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 7 envolvidos e o estado de tensões ao qual estão submetidos. Considerações a respeito do efeito de instalação da estaca são feitas, em geral, através de fatores de correção empíricos. Durante a instalação da estaca, o solo ao seu redor sofre uma considerável perturbação provocando deformações cisalhantes tanto na ponta da estaca quanto ao longo do seu fuste. Ocorre também uma compressão do solo abaixo da ponta da estaca e seu deslocamento para os lados. Esse processo ocasiona uma remoldagem do material em torno da estaca, levando a uma mudança no estado de tensões e dependendo do tipo de solo, pode haver geração de poro-pressão. No caso de materiais coesivos, no início do carregamento o solo ao redor da estaca encontra-se numa condição não-drenada devido a poro-pressão gerada pela instalação da estaca. Neste momento o problema é considerado de carregamento não-drenado. Com o passar do tempo ocorre a dissipação da poro-pressão. Neste momento o problema passa a ser considerado de carregamento drenado. Assim, torna-se possível analisar o problema em termos de tensões totais ou em termos de tensões efetivas. A escolha de qual será a análise usada dependerá principalmente do tipo de material envolvido no problema. Para problemas que envolvem materiais granulares é utilizada a análise em termos de tensões efetivas. No caso de materiais coesivos é possível a utilização dos dois tipos de análises. As vantagens e desvantagens de cada uma delas serão discutidas mais adiante Resistência lateral (R L ) Os processos de instalação das estacas causam alteração no estado de tensões na região próxima à interface solo e estaca (FIGURA 2.2). A variação da tensão efetiva vertical é muito pequena, e por isso acaba sendo negligenciada. Porém a variação da tensão efetiva horizontal deve ser avaliada a partir de considerações a respeito do método de instalação da estaca. No caso de estacas escavadas, a perturbação é pequena em relação a estacas cravadas.

21 σ vo τ s σ v Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 8 Estaca σ v σ τ vo Elemento Elemento σ ho de solo σ ho σ h de solo σ h s (a) (b) Figura 2.2 Estado de tensões do solo adjacente à estaca,(a) antes da instalação e (b) após a instalação Método em termos de tensões efetivas Em geral, o método teórico em termos de tensões efetivas é utilizado para a avaliação do atrito lateral de estacas em materiais granulares. Mas, também é possível o uso dessa metodologia no caso de materiais coesivos. Porém, é complexa a determinação do estado de tensões efetivas para esses tipos de materiais. Numa condição drenada, considerando o critério de ruptura de Mohr- Coulomb, a resistência lateral unitária (q L ) pode ser considerada como: q L = f (c + σ h tanδ) (2.3) onde; c é a coesão efetiva; σ h a tensão efetiva horizontal atuante no fuste; δ é o ângulo de atrito entre a estaca e o solo. A partir disso, algumas considerações devem ser feitas para o uso do método em termo de tensões efetivas, tais como: 1. O excesso de poro-pressão gerado durante a instalação é totalmente dissipado antes do carregamento da estaca;

22 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 9 2. O carregamento ocorre em condição drenada, uma vez que a zona que sofre maior distorção em torno do fuste é relativamente fina; 3. Devido ao amalgamento ocasionado pela instalação, costuma-se assumir que o solo passa a não possuir coesão efetiva. Assim sendo, o atrito lateral ao longo do fuste pode ser expresso como q L = f (σ h tan δ) (2.4) 4. Assume-se que a tensão efetiva horizontal (σ h ) é proporcional à tensão efetiva vertical (σ v ), (sobrecarga das camadas sobrejacentes); Essa última consideração possivelmente é a mais questionável, mas serve como ponto de partida. Dessa maneira a Equação (2.4) torna-se; q L = K σ v tan δ = β σ v (2.5) onde; K é o coeficiente de empuxo lateral; β é o fator de capacidade de carga. Essa formulação também é conhecida como método β. Sendo que o fator β é adimensional e depende da avaliação do estado de tensões, da compressibilidade do solo, das dimensões da estaca e de sua forma. Tanto pode ser estimado teoricamente através dos princípios da mecânica dos solos como também pode ser determinado a partir de dados de provas de cargas. Para a determinação teórica assume-se que β é função do coeficiente de empuxo que representa o estado de tensões de campo. Partindo-se da idéia que antes da instalação da estaca existia uma condição geostática, pode-se dizer que a cravação de uma estaca levaria a uma condição intermediária entre a condição K 0 e a condição de empuxo passivo (K P ). Já a escavação de um fuste causa um alívio de tensões que pode levar ao estabelecimento de uma condição próxima à condição de empuxo ativo (K a ).

23 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 10 Várias propostas para o valor de β são encontradas na literatura, tanto para estacas escavadas quanto para cravadas em diversos materiais, como mostrado nas Tabelas (2.2) e (2.3). Referência Fator β Material McClelland (1974) 0,15 a 0,35 (compressão) 0,10 a 0,24 (tração) Areias com predominância de sílica Meyerhof (1976) 0,44 para φ = 28º 0,75 para φ = 35º 1,2 para φ = 37º Areias com predominância de sílica (K/K 0 ). k 0. tan (φ. δ/φ) Areias com predominância δ/φ depende dos materiais de sílica Stas e Kulhawy (1984) na interface (entre 0,5 a 1,0) k/k 0 depende do método de instalação (entre 0,5 a 2,0) Poulos (1978) 0,05 a 0,10 Areias calcárias não cimentadas Burland (1973) (1-senφ ).tanφ.(ocr) 0,5 Argilas 0,4 OCR. u Argilas L Flaate e Selnes (1977) L + 215,2 onde u L = 2 L + 215,2 Parry e Swain (1977) 1 senφ' Argilas NA ' tanφ 1+ senφ Tabela 2.2- Valores para o fator β para estacas escavadas Referência Fator β Meyerhof (1976) 0,10 para φ = 33º 0,20 para φ = 35º 0,35 para φ = 37º Kraft e Lyons (1974) F.tan (φ - 5º) Onde F = 0,7 (compressão) F = 0,5 (tração) Poulos (1988) 0,5 a 0,8 para q L = 60 a 100 Ka Fleming et al. (1985) K.tanφ K é menor que K 0 ou 0,5 (1+K 0 ) Stas e Kulhawy (1984) (k/k 0 ).K 0.tan(φ.δ/φ) δ/φ depende dos materiais na interface (entre 0,5 a 1,0) K/K 0 depende do método de instalação (entre 2/3 a 1,0) Material Areias com predominância de sílica Areias com Predominância de sílica Areias calcárias não cimentadas Argilas Argilas Tabela 2.3 Valores para o fator β para estacas cravadas.

24 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 11 Quanto ao ângulo de atrito entre o solo/estaca (δ), ele pode ser considerado como aproximadamente igual ao valor de φ (Tomlinson, 1957; Burland, 1973; entre outros). Ou ainda, pode-se assumir que δ é proporcional a φ, como a proposição de Meyerhof (1959) expressa pela Equação (2.6). Potyondy (1961) realizou uma série de ensaios de cisalhamento direto com diversos materiais e solo (TABELA 2.4). δ =2/3 (φ + 5º) (2.6) Material da estaca Acabamento da Areia seca Areia saturada Superfície Aço Lisa (polida) 0,54 0,64 Áspera (oxidadas) 0,76 0,80 Madeira Paralela ás fibras 0,76 0,85 Normal às fibras 0,88 0,89 Concreto Lisa (forma metálica) 0,76 0,80 Áspera (forma de madeira) 0,88 0,88 Rugosa (sem forma) 0,98 0,90 Tabela 2.4 Relação entre os ângulos δ/φ (Potyondy, 1961) Vesic (1977) apresentou uma aproximação diferente para δ considerando que o solo localizado na interface entre a massa de solo e a estaca estaria num estado de ruptura. Como conseqüência o ângulo de atrito entre a estaca e o solo, δ, seria independente das propriedades iniciais do solo e do material da estaca podendo ser considerado como igual ao ângulo de resistência ao cisalhamento efetivo residual (φ res ). Segundo Coyle e Castello (1981), a diferença entre as proposições de Potyondy e Vésic não aparenta ser significante Método em termos de tensões totais A capacidade de carga da estaca deve ser estimada com base em tensões totais se for considerado que durante o carregamento existir geração de poropressão. Desta forma, a resistência lateral é considerada uma função da resistência ao cisalhamento não-drenado do (s) material (is) em torno da estaca representada pela equação;

25 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 12 q L = α S u (2.7) onde ql : resistência lateral média ao longo do fuste da estaca; α é o fator de adesão entre o solo e a estaca; S u é a resistência ao cisalhamento não-drenada dos solos. O fator de adesão é introduzido para a correção da influência dos fatores como a resistência ao cisalhamento da argila, o método de instalação da estaca, a tensão de sobreadensamento e o tipo de estaca. Os primeiros estudos de Skempton (1959) mostram que o fator de adesão α varia entre 0,3 e 0,6 para estacas instaladas na argila de Londres. Sua determinação é feita pela correlação entre provas de carga e dados de resistência não-drenada, determinada em laboratório ou ensaios de campo. Dependendo do solo e do tipo de estaca, o valor de α pode variar de 1 a pouco mais que 1 para argilas normalmente adensadas moles até cerca de 0,33 para argilas rijas a duras fortemente sobreadensadas. Com base em um grande número de ensaios, tem sido possível determinar faixas de valores de α para tipos particulares de estacas em diversas condições de carregamento. Tomlinson (1957) sugeriu algumas propostas de α, mostrada na Figura ,25 Fator de Adesão α 1,00 0,75 0,50 0,25 Curva média para todas as estacas curva média para estacas de concreto Su (Kpa) Figura 2.3 Fator de adesão α (Tomlinson, 1957) Para estacas cravadas em argila, McClelland (1974) apresentou uma coleção de vários gráficos de fator de adesão em função da resistência não drenada, obtida

26 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 13 por vários autores. Estas curvas mostram que o fator de adesão decresce com o aumento da resistência da argila, tanto para estacas escavadas como cravadas. Em todos os casos, há uma larga dispersão na variação observada do fator de adesão com a resistência não-drenada. Na Tabela 2.5 estão in dicados valores de α encontrados por outros autores. Referência S u = 50 (Kpa) S u = 150 (kpa) Peck (1958) 0,90 0,45 Woodward & Boitano (1961) 0,86 0,32 Kerisel (1961) 0,72 0,35 Tomlinson (1970) 0,72 0,25 Tabela 2.5 Fator de adesão α Randolph e Murphy (1985) estimaram valores de α a partir de provas de carga em estacas cravadas baseados na relação média de resistência in situ. Baseando-se numa análise de regressão linear desses dados foi estabelecido que α = 0,5 ( S / σ ' ) 0, 25 u v S quando u 1 (2.8) σ ' v e 0,5 S α = quando u > 1 (2.9) 0,5 ( Su / σ ' v ) σ ' v Estas observações parecem concordar bem com Sladen (1992) que sugere a seguinte relação para a avaliação de α: ' α = C1 σ v Su 0,45 onde C 1 é uma constante empírica, σ v e S u são como previamente definido. (2.10)

27 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 14 Para estacas escavadas, C 1 situa-se em torno de 0,4 a 0,5. As informações tornam-se mais escassas para o valor de α para estacas escavadas em comparação a estacas cravadas. Kulhawy e Phoon (1993) propõem a seguinte correlação (Equação 2.11) para α baseada em 127 casos estudados de estacas escavadas com provas de carga levadas à ruptura em argila (FIGURA 2.4). 0,5 0 P,5 α = a (2.11) Su onde, P a é a pressão atmosférica (aproximadamente 100 kpa para simplificação em lugar de 101,4 kpa) e S u é a resistência ao cisalhamento não-drenada, obtida através do ensaio triaxial consolidado hidrostaticamente não-drenado. Baseados nos dados das provas de carga, esta relação foi julgada como sendo próxima a outras relações para estacas cravadas. Figura 2.4 Fator de Adesão α (Kulhawy e Phoon 1993)

28 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Resistência de ponta (R P ) A formulação mais geral para a determinação de resistência de ponta unitária (q P ) é a expressão: q P = γbn γ + cn c + σ v N q (2.12) onde q P resistência de ponta da estaca; B é a menor dimensão da estaca; σ v é a tensão efetiva vertical (sobrecarga) na cota da ponta da estaca; c é a coesão do solo; γ é o peso específico aparente do solo; N γ, N c e N q são os fatores de carga. Na maioria das teorias encontradas, os parâmetros básicos, além da geometria da estaca, é o φ, o qual é usado para determinar o fator de capacidade de carga, N q, e a tensão efetiva confinante do solo. Nenhuma teoria considera a resistência lateral do solo ao longo do fuste, ou uma possível interdependência entre a resistência lateral e de ponta. No caso de materiais granulares o primeiro e segundo termo da Equação (2.8) são negligenciados e a equação torna-se então q P = σ v N q (2.13) Vésic (1967) mostra uma série de proposições para o valor de N q em função da superfície de ruptura (FIGURA 2.5) e do ângulo de atrito do material (FIGURA 2.6).

29 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 16 Prandtl Debeer Berezantsev and Bishop, Hil and Ressner Jáky Yaroshenko Mott Caquot Meyerhof Vésic Skempton Buisman Yassim Terzaghi Gibson Figura 2.5 Superfícies de ruptura (Vésic, 1967) Figura 2.6 Fatores de capacidade de carga, N q (Vésic, 1967)

30 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 17 Como mostram as figuras (2.5) e (2.6), é evidente que existem grandes variações entre uma teoria e outra, o que leva à conclusão de que o mecanismo de ruptura ainda não é bem compreendido. Para solos coesivos a Equação 2.12 é reduzida para q P = N c S u (2.14) O valor do fator N c, em geral, é considerado 9,0 e S u é a resistência não drenada da argila abaixo da base da estaca Métodos semi-empíricos Os métodos semi-empíricos estão baseados em relações diretas entre os resultados de ensaios de campo com as parcelas de resistência e dependem de ajustes com dados de provas de carga. Os métodos semi-empíricos brasileiros mais conhecidos certamente são os métodos apresentados por Aoki e Velloso (1975) e o de Décourt e Quaresma (1978, 1982). Métodos que relacionam diretamente o número de golpes do SPT com o atrito lateral são muito difundidos por sua simplicidade. Porém, o uso dessas metodologias deve ser realizado com cautela, uma vez que está baseada em experiências regionais. São apresentadas da forma q L = A + B. N SPT (2.15) onde A e B são constantes que dependem dos dados do solo e do tipo de estaca que deram origem à formulação. O método de Décourt e Quaresma foi desenvolvido com base na experiência dos autores e resultados de provas de carga. Essas provas de carga foram realizadas em estacas pré-moldadas de concreto, porém não foram levadas à ruptura e utilizou-se a carga de ruptura convencional correspondente a um recalque de 10% do diâmetro da estaca.

31 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 18 A resistência lateral unitária é apresentada como uma função apenas do número de golpes do SPT médio ao longo do fuste (Equação 2.16). Não há nenhuma consideração a respeito do tipo solo ou do tipo de estaca. q L N2 = (2.16) 3 onde q L é expresso em kpa, N 2 é o valor médio do N ao longo do fuste. Sendo que os valores N devem estar no intervalo 3 N 50, valores maiores que 50 devem ser igualados a 50 e valores menores que 3 devem ser igualados a 3. Para a resistência unitária de ponta já houve uma consideração do tipo de solo onde a estaca se apóia através do fator característico do solo C (TABELA 2.6). q P = C. N 1 (kpa) (2.17) onde N1 é a média de 3 valores correspondentes ao N na ponta da estaca (N n ), imediatamente superior (N n+1 ) e imediatamente inferior (N n-1 ). Nn + Nn+ 1 + Nn 1 N 1 = (2.18) 3 Tipo de Solo C (Kpa) Argilas 120 Siltes Argilosos 200 Siltes Arenosos 250 Areias 400 Tabela 2.6 Fator característico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978) Devido ao desenvolvimento contínuo da mecânica dos solos e engenharia de fundações, uma necessidade na melhoria da diversidade e qualidade de ensaios de campo para a caracterização do subsolo tornou-se imprescindível. Cientes dessa necessidade, os estudiosos concentraram-se no desenvolvimento de ensaios que

32 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 19 representassem de maneira mais coerente as características do substrato. Dentre os ensaios desenvolvidos, destaca-se o ensaio de penetração de cone (Dutch Sounding Test), idealizado na Holanda na década de 1930 por Barentsen e Boonstra (1936). O princípio do ensaio de cone consiste na cravação no terreno de uma ponteira cônica a uma velocidade constante. Apesar dos procedimentos de ensaio serem padronizados, há diferenças entre os equipamentos, que podem ser classificados em cone mecânico, cone elétrico e piezocone. Os principais atrativos do ensaio são o registro contínuo da resistência à penetração, fornecendo uma descrição detalhada da estratigrafia do subsolo, informação essencial à composição de custos de um projeto de fundações, e a eliminação de qualquer influência do operador nas medidas do ensaio, atrito lateral f s e resistência de ponta q c. Desde então, inúmeros métodos vem sendo desenvolvidos para a determinação do atrito lateral unitário (q L ) e da resistência de ponta unitária (q P ) a partir dos resultados de resistência de ponta (q c ) e/ou do atrito lateral (f s ). A maioria desses métodos procura determinar fatores redutores para a resistência de ponta (q c ) e assim determinar as duas parcelas de resistência. Essa aplicação de fatores de redução deve-se a uma combinação de influências como o efeito de escala, o efeito da velocidade de carregamento, as diferenças nas técnicas de instalação, as variações no valor dos deslocamentos de solo, entre outras, Briaud (1988). São poucos os métodos que utilizam os valores de atrito lateral medidos no ensaio de cone (f s ), como Nottingham (1975). A metodologia desenvolvida por Aoki e Velloso (1975) está baseada em resultados de ensaios de penetração de cone em diversos solos brasileiros. Os autores também sugerem a adaptação do método para o uso de valores de N SPT. As Equações 2.19 e 2.20 foram estabelecidas para as resistências unitária de ponta e lateral, respectivamente. Para considerar a influência do tipo de estaca os autores analisaram provas de carga em alguns tipos de estacas e estabeleceram os coeficientes de transformação F 1 e F 2 (TABELA 2.8). q c K. N = = (2.19) 1 q p F1 F1 onde; N 1 é o número de golpes na ponta da estaca; K é o fator de correlação entre o tipo de solo e q c (Tabela 2.7); F 1 é o coeficiente de transformação para a resistência de ponta da estaca (tabela2.8)

33 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 20 Para a resistência unitária lateral (q L ), a correlação estabelecida a partir da resistência de ponta medida no cone é expressa por q L α. K. N = 2 (2.20) F2 onde N 2 é o número de golpes médio ao longo do fuste da estaca; F 2 é o coeficiente de transformação para a resistência lateral (Tabela 2.8); α (%) é o fator de correlação entre o tipo de solo e a resistência lateral (Tabela 2.7). Tipo de solo K (Mpa) α (%) Areias 1,00 1,4 Areia Siltosa 0,80 2,0 Areia Silto argilosa 0,70 2,4 Areia argilosa 0,60 3,0 Areia argilo siltosa 0,50 2,8 Silte 0,40 3,0 Silte arenoso 0,55 2,2 Silte arenoso argiloso 0,45 2,8 Silte argiloso 0,23 3,4 Silte argilo siltoso 0,25 3,0 Argila 0,20 6,0 Argila arenosa 0,35 2,4 Argila areno siltosa 0,30 2,8 Argila siltosa 0,22 4,0 Argila silto arenosa 0,33 3,0 Tabela 2.7 Coeficientes k e α (Aoki e Velloso, 1975) Tipo de estaca F 1 F 2 Franki 2,50 5,0 Metálica 1,75 3,5 Pré-moldada 1,75 3,5 Escavada 3,50 7,0 Tabela 2.8 Coeficientes de transformação F 1 e F 2 (Aoki e Velloso, 1975) O método de Nottingham (1975), apresentado pela equação 2.21, é baseado em detalhados estudos de provas de carga instrumentadas. Utiliza um fator de correção K para consideração de diversos efeitos como a forma da seção transversal, relação D/B, o material da estaca e o tipo de cone utilizado no ensaio

34 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 21 experimental de campo. O método é ainda pouco difundido por utilizar a medida de atrito lateral no fuste do cone para determinação da resistência lateral da estaca. Fs = 8B d = L d KfS AS + KfS AS B 0 8 (2.21) d = 8B onde k é o fator de correção (figura 2.7 e 2.8); f s é o atrito lateral medido no cone; B é a dimensão da seção transversal da estaca; L é o comprimento da estaca; A s é área lateral da estaca ,0 K 2,0 3,0 10 estacas cravadas D / B 15 cone elétrico 20 cone mecânico 25 Os pontos que são mostrados são apenas para correlação com cone elétrico 30 Figura Fator de correção de k para estacas metálicas tubulares cravadas em areia.

35 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica K 1,0 2, ,0 K 2,0 3,0 D / B 10 cone elétrico D / B 10 cone elétrico 20 cone mecânico 20 cone mecânico 30 (a) estaca com fuste liso. 30 (b) estaca com fuste rugoso Figura 2.8 Fator de correção de k para estacas quadradas de concreto cravadas em areia Método de controle de capacidade de carga in situ Tradicionalmente o controle da capacidade de carga de estacas durante a cravação, é feito adotando-se o valor da nega (deslocamento permanente, que geralmente corresponde à média dos 10 últimos golpes do sistema de cravação), que é interpretada à luz das chamadas fórmulas dinâmicas de cravação. Várias críticas vêm sendo feitas à aplicação destas fórmulas, e dentre elas pode-se destacar a incompatibilidade da teoria do choque de Newton de dois corpos para simular o fenômeno de cravação das estacas e também no fato da variação da resistência do solo durante a cravação (cicatrização e relaxação). No início da década de 80, a técnica de monitoração da cravação de estacas começou a se expandir em termos de pesquisa, desenvolvimento de equipamentos e interpretação de dados de cravação pela teoria da equação da onda. Assim a observação sistemática dos resultados obtidos com a instrumentação da cravação aliada ao relato dos japoneses Yokoyama e Kusakabe (1985), vem demonstrando uma tendência de mudança na determinação da resistência última de uma estaca cravada de concreto. Portanto, uma substituição do controle de cravação in situ baseado na nega, pelo controle de cravação baseado no repique elástico. Da mesma forma que os métodos empíricos tradicionais de estimativa de capacidade de carga, os métodos de capacidade de carga in situ estão baseados em

36 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 23 relações direta com resultados de prova de carga e de ensaios de campo, como o ensaio de cone e o ensaio SPT. Portanto, o uso dessas metodologias deve ser realizado com cautela, uma vez que ainda estão baseadas em experiências ainda restritas. Uto et al., (1985), propuseram uma fórmula dinâmica de cálculo de capacidade de carga in situ para estacas cravadas, que é recomendada pela Specification for Bridge Substurcture Design (1980) representada pela Equação (2.22). Ru = ( s + C + 2. C ) A. E. 3 2 U. l. N + 2. e0. L e f (2.22) onde; Ru = Resistência última da Estaca (tf) A = Área da secção transversal da estaca (m 2 ) E = Módulo de Yong da estaca (tf/m 2 ) l = Comprimento cravado da Estaca (m) U = Perímetro da Estaca L= Comprimento total da estaca(m) S= Nega para um golpe do pilão(m) N = Valor médio do SPT ao longo da estaca K = (C 2 +C 3 ) = Repique Elástico (m) C 2 = Compressão elástica (repique) da estaca (m) C 3 = Compressão elástica (repique) do solo (m) O valor de K = C 2 + C 3 é determinado através de medidas do repique elástico durante a cravação da estaca, de acordo com a Figura (2.9)

37 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 24 Figura Repique elástico e Nega para um golpe 2 WH eo = 2 x 3, WH = Peso do martelo (tf) e WP = Peso da Estaca (tf) WP ef = eficiência do martelo (fator de correção) = 2,5 De acordo com Chellis (1951), a parcela C 2 devido às deformações elásticas da estaca valeria: C 2 = R u l 0, 7 A E (2.23) Portanto; R u C2 A E (2.24) 0,7 l Desta maneira, a capacidade de carga última R u é diretamente proporcional ao valor de C 2, e C 3 quake é dado em função do tipo de solo. Diante da experiência de controle em algumas centenas de estacas prémoldadas de concreto, concluiu-se que a fórmula de Chellis, em muitos casos, conduz a cargas mobilizadas superiores às reais para estacas com comprimentos cravados menores ou iguais a 20m, que vão diminuindo à medida que os comprimentos das estacas se aproximam da fronteira dos 20m; a partir de 20m há uma tendência de Chellis subestimar as cargas mobilizadas.

38 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 25 Na aplicação de Uto observou-se o oposto: há uma tendência de Uto subestimar as cargas mobilizadas para estacas com comprimentos menores ou iguais a 20m e superestimar a partir deste valor. Assim, de acordo com Filho e Abreu (1989), visando obter um equilíbrio entre esses dois métodos a determinação da resistência última in situ de uma estaca cravada é tomada como a média aritmética das formulações feitas por Uto et al., e Chellis Conceitos básicos de probabilidade, estatística e confiabilidade Apresentam-se a seguir, de forma sucinta, os conceitos básicos de probabilidade e estatística necessários para a compreensão dos aspectos conceituais de análise de confiabilidade Análise probabilística A análise probabilística pode ser entendida como o estudo sobre a previsão comportamental de uma determinada experiência. A característica de interesse de uma experiência que assume valores diferentes e não previsíveis como resposta é denominada de variável aleatória. A variável aleatória pode ser considerada discreta, quando assume apenas certos valores específicos, ou contínua, quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo. Em uma experiência, o conjunto de todas as respostas é denominado de espaço amostral. Em geral, o espaço amostral é dito discreto se possui um número contável de elementos. Se os elementos de um espaço amostral constituem um contínuo (por exemplo, todos os pontos de uma reta ou plano) o espaço amostral é dito contínuo. A caracterização de um espaço amostral em discreto ou contínuo é determinada através do tipo de variável aleatória em questão. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é definido como evento, enquanto que o conjunto de todas as observações realizadas é denominado de população.

39 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Função de probabilidade Sendo x uma variável aleatória contínua qualquer, o comportamento probabilístico do fenômeno aleatório pode ser descrito por uma função matemática conhecida por função densidade de probabilidade f(x). Objetivamente, a função densidade de probabilidade descreve a forma da curva de distribuição da probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória. Dentre as formas mais usuais, podem-se citar as distribuições normal ou gaussiana, lognormal, gama e beta, entre outras. Para a estimativa da probabilidade de ocorrência da variável aleatória (x) ser menor ou igual a um certo valor t, utiliza-se a função de distribuição F(t) definida por: t P[ x t] = F() t = f ( x)dx (2.25) A estimativa da probabilidade de ocorrência da variável x em um certo intervalo [a, b], é dada por: b P [ a < x b] = F( b) F( a) = f ( x) dx (2.26) a Caracterização da densidade pelo método dos momentos Para um estudo detalhado da densidade de probabilidade sem a necessidade de análise gráfica, utilizam-se medidas estatísticas que descrevem a locação e a dispersão da distribuição. A locação é dada pela média µ ou valor esperado E[x] da densidade de probabilidade da variável aleatória contínua x correspondente, definida por: ( x) µ = x f dx (2.27) µ é definido como o primeiro momento de um sistema de massa f(x), disposto sobre uma linha reta e distante x da origem. Conclui-se portanto, que a Equação (2.27)

40 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 27 determina o centro de gravidade da densidade de probabilidade. Para estimativa da variação da densidade de probabilidade, utiliza- se o segundo momento sobre a média, variância, definida por: 2 ( x ) f ( x)dx V[ x] = µ (2.28) Nota- se através da Equação (2.28) que a definição da variância de uma distribuição de probabilidade é análoga ao momento de inércia definido pela física. Uma medição mais concreta da variabilidade da densidade probabilística é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da variância, sendo fisicamente análogo ao raio de giração. Matematicamente tem-se: [] x = V [] x σ (2.29) O terceiro momento é usado para descrever a simetria ou assimetria da distribuição, enquanto o quarto momento descreve a curtose ou falta de pico da densidade de probabilidade. O conhecimento da forma exata da densidade de probabilidade só é possível através do conhecimento de todos os momentos probabilísticos Densidade normal Conhecida também por densidade gaussiana, possui por característica a simetria da distribuição, aproximando-se como uma seção em corte de um sino (FIGURA 2.10). A equação que descreve o comportamento da densidade normal é: ( x, µ, σ ) 1 1 x µ 2 2 f = e 2 σ (2.30) 2πσ para x variando entre - e +

41 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 28 F(x) ^ µ > x Figura Gráfico de uma distribuição normal Devido ao fato da Equação (2.30) não poder ser integrada de uma forma fechada entre um intervalo qualquer, as probabilidades relacionadas à distribuição normal são obtidas a partir de integração numérica, sendo os resultados dispostos em forma de tabelas especiais padronizadas para uma densidade normal com média µ = 0 e desvio padrão σ = 1 (ANEXO 1). Substituindo na Equação (2.30) os valores de µ e σ utilizados para padronização (Equações (2.27) e (2.29), respectivamente), a probabilidade de uma variável aleatória (x) ser menor ou igual a Z é dada por: F 1 z 2π 1 2 t ( Z ) = e 2 dt (2.31) onde Z é uma variável aleatória padronizada definida por: Z x µ = (2.32) σ [] x Análise estatística O tratamento estatístico está relacionado à análise de uma coleção de observações, denominada amostra ou conjunto amostral, que visa caracterizar um

42 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 29 fenômeno aleatório de interesse e não prever o comportamento do fenômeno em si (análise probabilística). O tratamento do conjunto amostral pode ser realizado a partir de análise gráfica ou aritmética. A análise gráfica da amostra compreende a classificação da variável aleatória segundo a sua freqüência de valores assumidos e a montagem de um gráfico freqüência x valor, denominado histograma (FIGURA 2.11). A análise aritmética da amostra é realizada através da determinação de parâmetros estatísticos que visam caracterizar a distribuição Análise gráfica da amostra Dado um histograma, o comportamento de uma variável aleatória x em uma amostra pode ser caracterizado pela sua função de freqüência t(x). A função de freqüência é entendida como a função matemática que descreve a freqüência de valores assumidos pela variável aleatória no âmbito amostral, ou seja, é a função que melhor caracteriza a forma do histograma da variável aleatória. A função de freqüência é análoga à função de densidade de probabilidade f(x) da população correspondente, embora estas funções sejam conceitualmente diferentes. A população da variável aleatória possui uma função densidade de probabilidade definida, mas caso sejam realizadas diversas amostragens desta mesma população, pode-se encontrar diversas funções de freqüência diferentes entre si. 3,5 3 Frequência 2,5 2 1,5 1 0, Valor da Variável Aleatória Figura Exemplo de um histograma de uma variável aleatória