UMA METODOLOGIA PARA EXTRAÇÃO DE ÂNGULOS DE REFLEXÃO EM PROFUNDIDADE UTILIZANDO MATRIZES DE TEMPO DE TRÂNSITO. Wilson Souza Duarte

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1 UMA METODOLOGIA PARA EXTRAÇÃO DE ÂNGULOS DE REFLEXÃO EM PROFUNDIDADE UTILIZANDO MATRIZES DE TEMPO DE TRÂNSITO Wilson Souza Duarte Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Webe João Mansur Cleberson Dors Rio de Janeiro Fevereiro de 2011

2 UMA METODOLOGIA PARA EXTRAÇÃO DE ÂNGULOS DE REFLEXÃO EM PROFUNDIDADE UTILIZANDO MATRIZES DE TEMPO DE TRÂNSITO Wilson Souza Duarte DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Examinada por: Prof. Webe João Mansur, Ph.D. Dr. Cleberson Dors, D.Sc. Prof. José Antonio Fontes Santiago, D.Sc. Prof. Carlos Andrés Reyna Vera-Tudela, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL FEVEREIRO DE 2011

3 Duarte, Wilson Souza Uma metodologia para extração de ângulos de reflexão em profundidade utilizando matrizes de tempo de trânsito/wilson Souza Duarte. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, XX, 140 p.: il.; 29, 7cm. Orientadores: Webe João Mansur Cleberson Dors Dissertação (mestrado) UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Civil, Referências Bibliográficas: p Modelagem Sísmica. 2. Extração de Ângulos em Sísmica. 3. Ângulo de Reflexão. 4. Análises de AVA. I. Mansur, Webe João et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título. iii

4 Dedico àquela que muito se esforçou e se esforça para que eu chegue cada vez mais longe. Obrigado D. Valdinete Duarte iv

5 Agradecimentos Agradeço a Deus, por permitir chegar ao fim de mais uma jornada. Agradeço ao meus orientadores Prof. Webe João Mansur e, sobretudo, ao Dr. Cléberson Dors, o qual confiou a mim o tema desenvolvido neste trabalho. Agradeço em especial ao professor e amigo Valdomiro Neves Lima. Obrigado professor! Sem a sua ajuda seria muito difícil concluir os meus estudos. Agradeço aos meus professores de graduação que muito contribuiram para a minha formação com seus ensinamentos e conselhos: Rosane Ferreira, Angel Ramon Sanchez Delagado e Carlos Andrés. Aos amigos do LAMEC, manifesto meus sinceros agradecimentos pela companhia e discussões. Ressalto que foi um grande prazer está ao lado de todos vocês durante estes dois anos. Especialmente à Elias da Conceição, Gilmar Texeira, Raphael Correia, Edivaldo Júnior, Leandro Di Bartolo, Viviane Ferreira, Israel Nunes, Wilian Jeronimo, Franciane Peters, Pablo Oyarzún, Cid Monteiro, Edmundo Costa e Rodrigo Dias. Obrigado Ivone, por tudo. Agradeço ao professor da pós-graduação Josias Silva, o qual forneceu os elementos básicos essenciais para que eu trabalhase com o tema desenvolvido, relacioando à modelagem sísmica, atavés da displina Introdução ao Método Sísmico. Agradeço aos colegas de alojamento Raimundo Freire (Neto), Bruno de Souza, Gustavo Pereira, Abraão Viana, Hugo Machado e Bruno Jucelino pelo companheirismo e amizade ao longo dos meus estudos na UFRRJ. Meu muito obrigado a minha família, que mesmo de longe me motiva a dar ousados passos na vida. Minha sincera gratidão e meu muito obrigado à minha namorada Fabíola Gonçalves, pela compreensão e apoio nos momentos difíceis durante toda esta jornada. Obrigado CAPES, pelo apoio financeiro! v

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) UMA METODOLOGIA PARA EXTRAÇÃO DE ÂNGULOS DE REFLEXÃO EM PROFUNDIDADE UTILIZANDO MATRIZES DE TEMPO DE TRÂNSITO Wilson Souza Duarte Fevereiro/2011 Orientadores: Webe João Mansur Cleberson Dors Programa: Engenharia Civil Na interpretação de dados sísmicos, existe um crescente interesse nas chamadas análises de AVA (Amplitude versus Ângulo) que relacionam a amplitude das ondas refletidas em subsuperfície com os ângulos de reflexão correspondentes, pois conhecendo-se estas relações pode-se estimar melhor os parâmetros petrofísicos do meio. Dentro deste contexto, o presente trabalho visa apresentar uma metodologia para obter informações de ângulos de reflexão utilizando o macro-modelo de velocidades e a matriz de tempo de trânsito associada ao campo de ondas deste modelo. O procedimento para alcançar tal fim é via aplicação do operador gradiente tanto na matriz de tempo de trânsito quanto no macro-modelo de velocidades. A metodologia proposta é aplicada para meios acústicos e isotrópicos, sendo as matrizes de tempo de trânsito obtidas via solução da equação iconal e pela modelagem baseada na solução por diferenças finitas da equação completa da onda. Como resultados, apresentam-se neste trabalho curvas de ângulos associadas à incidência ou passagem da onda direta em cada ponto do refletor em subsuperfície. Avaliam-se diferentes esquemas de cálculo das derivadas numéricas, necessárias para a aplicação da metodologia desenvolvida. vi

7 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) A METHODOLOGY FOR EXTRACTING REFLECTION ANGLES IN DEPTH BY USING TRAVELTIME MATRICES Wilson Souza Duarte February/2011 Advisors: Webe João Mansur Cleberson Dors Department: Civil Engineering On seismic data analysis there is an increasing interest on the so called AVA analysis (Amplitude versus Angle) that relate the amplitude of reflected waves on subsurface with the corresponding reflection angles because by knowing these relations one can better estimate the petrophysic parameters of the media. Within this context, this research aims to present a methodology to obtain reflection angle informations by using the macro-model of velocities and the traveltime matrix associated to the wavefield of this model. The procedure to achieve this goal consists on the application of the gradient operator on the traveltime matrix as well as on the macro-model of velocities to obtain the angle in depth. The proposed methodology is applied to acoustic and isotropic media and the traveltime matrices are obtained by solving the Eikonal equation and by the solution of the complete wave equation with finite difference operators. As results, in this research are presented angle curves associated to the incidence or direct wave path in each point of the reflector on subsurface. Different numerical schemes are explored to evaluate the derivatives, since they are necessary to apply the proposed methodology. vii

8 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Símbolos Lista de Abreviaturas xi xv xvi xx 1 Introdução Considerações Preliminares Revisão Bibliográfica Objetivo e Metodologia Estrutura da Dissertação Geração de Matrizes de Tempo de Trânsito Via Métodos Numéricos Tempo de Trânsito Via Propagação do Campo de Ondas Equação da Onda Acústica Aproximações Discretas para Derivadas Espaciais e Temporais Equação da Onda Discretizada por Diferenças Finitas Dispersão Numérica e Estabilidade Termo Fonte Tipos de Condições de Contorno Equação não Reflexiva da Onda Obtenção do Tempo de Trânsito Tempo de Trânsito Via Solução da Equação Iconal Equação Iconal Obtenção do Tempo de Trânsito Fast Marching Method Multistencils Fast Marching Method 2D Suavização do Campo de Vagarosidade viii

9 3 Obtenção de Ângulos de Incidência Utilizando MTT Conceitos Preliminares Frente de Onda Operador Gradiente Reflexão e Refração das Ondas Acústicas Metodologia Proposta para Obtenção de Ângulo de Incidência Ângulo da MTT Ângulo do Modelo de Velocidades Composição do Ângulo de Incidência/Reflexão Métodos Numéricos para Cálculo de Gradientes Gradiente Via Operadores de Diferenças Finitas Gradiente Via Funções de Base Radial Gradiente Via Spline Cúbica Local Gradiente Via Propagação do Campo de Ondas Soluções de Referência Conceitos Preliminares Princípio de Fermat e Lei de Snell Abordagens Tradicionais do Traçado de Raios Shooting Method Bending Method Geração de Soluções de Referência Exemplos Análise dos Métodos de Extração de Gradiente a Partir de Dados Semi-Analíticos Extração do Ângulo do Modelo de Velocidades Extração do Ângulo da Matriz de Tempo de Trânsito Composição do Ângulo de Incidência/Reflexão Extração de Ângulos a Partir de Dados Numéricos Extração do Ângulo a Partir da MTT Obtida Pela Equação da Onda Influência do Tamanho de Incremento de Tempo Influência da Frequência de Corte Influência do Contraste de Velocidades Influência do Grau de Suavização do Modelo Extração do Ângulo a Partir da matriz de tempo de trânsito Obtida Pela Equação Iconal Aplicação para um Modelo com Várias Camadas Ângulo de Incidência Oriundo da Propagação de Ondas117 ix

10 Ângulo de Incidência Oriundo da Solução Iconal Conclusões e Trabalhos Futuros 124 Referências Bibliográficas 128 A Operadores de Diferenças Finitas 137 A.1 Expansão em Série de Taylor A.2 Operadores para a Primeira Derivada A.3 Operadores para a Segunda Derivada x

11 Lista de Figuras 2.1 Representação gráfica do operador de diferenças finitas com quarta ordem no espaço e segunda no tempo Função fonte dada pela segunda derivada da Gaussiana (CUNHA, 1997) para f corte = 30Hz Camada de amortecimento do lado direito da malha ilustrando a redução do campo de pressão no ponto (i, j) Ilustração esquemática do funcionamento do FMM Ilustração dos pontos envolvidos nos estêncis S 1 e S 2 para um ponto central x Ilustração do efeito produzido pelo processo de suavização com nps = 10 pontos por direção no macro-modelo de velocidades Frentes de onda definidas pelas isócronas associadas à amplitude máxima correspondente à propagação do campo de ondas Orientação da forma como é obtido o ângulo θ Raio incidente gerando um raio refletido e transmitido no meio acústico Ilustração do surgimento das head waves Raio de propagação dado pela direção do vetor gradiente e isócronas representando as frentes de onda Vetor gradiente e suas componentes em um certo ponto do refletor Exemplo de um raio de propagação incidindo sobre um refletor inclinado onde as componentes do vetor gradiente da matriz de tempo de trânsito são positivos RBFs tradicionais Malha e célula computacional mostrando os pontos que determinam o polinômio bicúbico Ilustração geométrica do princípio de Fermat Ilustração do shooting method Ilustração do bending method Ilustração de modelos discretizados para obtenção de dados xi

12 5.1 Ilustração de modelos sem e com suavização Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades sem suavização Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades suavizado com 5 pontos Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades suavizado com 10 pontos Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades suavizado com 20 pontos Modelo de velocidades sem suavização constituído por um refletor com ângulo de mergulho de Φ = Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 20 com o modelo de velocidades suavizado com 5 pontos Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 20 com o modelo de velocidades suavizado com 10 pontos Modelo de velocidades submetido ao processo de suavização Resultados na aproximação do ângulo de mergulho para o modelo de velocidades da figura 5.9(b) Resultados na aproximação do ângulo de mergulho para o modelo de velocidades da figura 5.9(c) Resultados na aproximação do ângulo de mergulho para o modelo de velocidades da figura 5.9(d) Matrizes de tempo de trânsito semi-analíticas obtidas para dois diferentes modelos Resultados na aproximação do ângulo α para o modelo de velocidades da figura 5.1(a) Resultados na aproximação do ângulo α para o modelo de velocidades da figura Resultados na aproximação do ângulo γ de incidência após composição do ângulo α e β sobre o refletor do modelo de velocidades da figura 5.1(a) Resultados na aproximação do ângulo γ de incidência após composição do ângulo α e β sobre o refletor do modelo de velocidades da figura Comparação entre matrizes de tempo de trânsito obtidas com diferentes equações e critérios Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com t = 10 3 s Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor. 83 xii

13 5.21 Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com t = s Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor Modelo de velocidades para análise da frequência de corte, f corte Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com f corte = 30Hz Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, utilizando f corte = 30Hz Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, utilizando f corte = 30Hz Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com f corte = 60Hz Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, utilizando f corte = 60Hz Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, utilizando f corte = 60Hz Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com f corte = 120Hz Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, utilizando f corte = 120Hz Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, utilizando f corte = 120Hz Resultados na aproximação do ângulo α para um contraste baixo de velocidades entre as camadas Resultados na aproximação do ângulo α para um contraste alto de velocidades entre as camadas Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos xiii

14 5.40 Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 10 pontos Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 10 pontos Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 10 pontos Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades sem suavização Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima e abaixo do refletor, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades sem suavização Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 3 pontos Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima e abaixo do refletor, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 3 pontos Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima e abaixo do refletor, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos Modelo de velocidades utilizado para obtenção das curvas de incidência Modelo de velocidades suavizado com 10 pontos, utilizado na obtenção da MTT pela modelagem sísmica Resultados na aproximação do ângulo γ sobre os refletores 1 e Resultados na aproximação do ângulo γ sobre os refletores 3 e Modelo de velocidades suavizado com 5 pontos, utilizado na obtenção da MTT pelo MSFM Resultados na aproximação do ângulo γ sobre os refletores 1 e Resultados na aproximação do ângulo γ sobre os refletores 3 e xiv

15 Lista de Tabelas 2.1 Valores da função g = g(h) dependente do tipo de orientação e esquema numérico utilizado Coeficientes de condição upwind para ambos os estêncis S 1 e S RBFs tradicionais Parâmetros utilizados na análise de um modelo contendo um refletor plano-inclinado Parâmetros utilizados nas modelagens do modelo da figura 5.1(a) Parâmetros utilizados na modelagem do modelo da figura Parâmetros utilizados na modelagem sísmica do modelo de velocidades da figura xv

16 Lista de Símbolos A Amplitude da série assintótica de ordem zero, p. 22 A k Amplitudes como parte da série assintótica, p. 22 C Campo de velocidades, p. 12 C max Maior velocidade do modelo, p. 16 C min Menor velocidade do modelo, p. 16 D + i, j Operador de diferenças finitas progressivas, p. 23 D i, j Operador de diferenças finitas atrasadas, p. 23 F Polinômio de terceiro grau, p. 44 G Função utilizada na definição do operador gradiente, p. 34 G x Derivada na direção x, p. 34 G z Derivada na direção z, p. 34 I total Número total de pontos na horizontal, p. 13 J total Número total de pontos na vertical, p. 13 MV Média móvel, p. 30 N total Número total de passos temporais, p. 13 P Campo de pressão no domínio espaço-tempo, p. 12 P reg Matriz de amplitude registrada, p. 20 R r Coeficiente de reflexão, p. 36 R t Coeficiente de transmissão, p. 36 S 1 Estêncil com orientação do sistema de coordenadas naturais, p. 27 xvi

17 S 2 Estêncil com orientação nas direções diagonais, p. 27 U Campo de pressão no domínio espaço-frequência, p. 22 t Incremento temporal, p. 13 x Espaçamento da malha na direção x, p. 13 z Espaçamento da malha na direção z, p. 13 Φ Ângulo de mergulho, p. 55 Θ Ângulo entre vetores direcionais, p. 28 α Ângulo entre o raio incidente e a reta vertical, p. 37 N Número de pontos na definição de sub-malha, p. 42 β Ângulo entre a reta normal e vertical, p. 38 δ Denota aplicação da fonte pontual, p. 13 l Termos de polinômio de terceiro grau, p. 44 η Normal externa ao contorno, p. 18 γ Ângulo de incidência, p. 35 γ c Ângulo crítico, p. 36 κ Razão entre velocidades, p. 36 λ Comprimento de onda, p. 88 µ Número empírico que define a quantidade mínima de pontos da malha por comprimento de onda, p. 16 ω Frequência angular, p. 22 µ Número que define a quantidade de amostras temporais que serão necessárias para que a frente de onda percorra uma distância equivalente ao espaçamento da malha, p. 16 τ Derivada direcional, p. 27 g Coeficientes de condição upwind no MSFM, p. 30 r Vetores unitários, p. 27 Operador de derivada parcial, p. 12 xvii

18 φ Ângulo de transmissão, p. 35 ψ Função de base radial, p. 40 ρ Inverso do produto da volatilidade e distância, p. 45 σ Pesos da função de interpolação, p. 40 τ Tempo de trânsito, p. 22 x Ponto no domínio, p. 12 x f Ponto de aplicação da fonte, p. 13 θ Ângulo entre vetor gradiente e reta vertical, p. 34 ũ Função de interpolação, p. 40 υ Distância de determinado ponto ao contorno, p. 20 ε Fator de volatilidade, p. 45 ϖ Soma dos quadrados da distância, p. 45 ϱ Parâmetro de raio, p. 35 ζ Parâmetro de forma da função RBF, p. 41 a Índice de somatório, p. 42 b Índice de somatório, p. 42 f Termo fonte, p. 13 f corte Frequência de corte, p. 16 f c Frequência central da fonte, p. 17 f mu Fator multiplicativo, p. 20 f at Fator de amortecimento, p. 20 g Tipo de orientação e esquema numérico utilizado no MSFM, p. 29 h Espaçamento uniforme da malha, p. 14 i f Posição da fonte na direção horizontal da malha, p. 14 j f Posição da fonte na direção vertical da malha, p. 14 xviii

19 k Índice de somatório, p. 30 m Inclinação de segmento de reta, p. 44 n Índice de discretização temporal, p. 13 n amort Número de pontos da camada de amortecimento, p. 20 nps Número de pontos de suavização, p. 30 q Parâmetro de forma para expoente da função RBF, p. 41 r i j Distância entre os pontos x i e x j, p. 40 t Tempo, p. 12 t d Translação temporal da fonte no tempo, p. 17 t f Período da função Gaussiana, p. 17 w Peso da função bicúbica, p. 42 x Coordenada horizontal, p. 12 x f Coordenada horizontal da fonte, p. 13 y Derivada de polinômio de terceiro grau, p. 44 z Coordenada vertical, p. 12 z f Coordenada vertical da fonte, p. 13 xix

20 Lista de Abreviaturas ART Asymptotic Ray Theory (Teoria Assintótica do Raio), p. 4 AVA Amplitude versus Angle (Amplitude versus Ângulo), p. 2 AVO Amplitude versus Offset (Amplitude versus Afastamento), p. 3 CMP Common Mid Point (Ponto Médio Comum), p. 8 FIM Fast Iterative Method (Método Rápido Iterativo), p. 125 FMM Fast Marching Method (Método Rápido de Marcha), p. 6 FSM Fast Sweeping Method (Método Rápido de Varredura), p. 7 GMM Group Marching Method (Grupo de Método de Marcha), p. 6 HAFMM Higher Accuracy Fast Marching Method (Método Rápido de Marcha de Alta Precisão), p. 6 MEF Método dos Elementos Finitos, p. 40 MLSA MSFM Moving Least-Squares Approximation (Aproximação por Mínimos Quadrados Móveis), p. 126 Multistencils Fast Marching Method (Método Rápido de Marcha com Multi-Estêncis), p. 7 MTT Matriz de Tempo de Trânsito, p. 4 RBF Radial Basis Functions (Funções de Base Radial), p. 39 RNAs Redes Neurais Artificiais, p. 40 RTM Reverse Time Migration (Migração Reversa no Tempo), p. 1 xx

21 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações Preliminares A aplicação da técnica de imageamento sísmico, também conhecida como migração sísmica, durante a fase de processamento é uma das etapas mais importantes no processo de exploração de petróleo, pois permite delimitar/verificar o posicionamento das diversas interfaces (refletores) que formam a geologia da subsuperfície. O seu desenvolvimento nos últimos anos se tornou ainda mais crucial para produzir imagens mais acuradas, uma vez que os refletores de interesse estão localizados em altas profundidades e imersos em meios com grande grau de complexidade, como aqueles envolvendo flancos salinos, onde pode existir expressivas variações laterais de velocidade e mergulhos bastante acentuados. Graças aos esforços de diversos pesquisadores, atualmente, existem vários métodos de migração sísmica que podem ser aplicados pela indústria petrolífera para a geração de imagens sísmicas bi ou tridimensionais, a depender do volume de dados e da qualidade que se deseja obter. Dentre os diversos métodos de migração existentes, pode-se citar como o mais indicado para imagear meios altamente complexos o método denominado por Migração Reversa no Tempo (RTM - Reverse Time Migration) introduzido por MCMECHAN (1983), WHITMORE (1983) e BAYSAL et al. (1983) por produzir imagens sísmicas precisas em relação aos demais, como a migração Kirchhoff (SCHNEIDER, 1978; WIGGINS, 1984), por exemplo. A habilidade da RTM em produzir imagens de boa qualidade é devida ao fato desta ser baseada na equação completa da onda, não admitindo simplificações na sua formulação, o que permite contemplar os diversos eventos de outras ondas que surgem no decorrer do campo de propagação, como múltiplas reflexões, refrações, difrações, ondas evanescentes, etc. (ZHANG e SUN, 2008), o que é tratado simplificadamente ou mesmo negligenciado na maioria das demais metodologias. Os processos de migração agem, basicamente, em dois aspectos distintos do dado 1

22 sísmico: tempo de trânsito (traveltime), que trata da parte cinemática, e amplitude que trata da parte dinâmica. Para o tempo de trânsito, que carrega informações sobre o posicionamento das estruturas geológicas do meio e de suas velocidades, a migração atua de forma a reposicionar as reflexões tanto em suas coordenadas de superfície quanto nas coordenadas de tempo ou nas coordenadas de profundidade relativas à origem das reflexões. Para a amplitude, que traz informações sobre a litologia e fluidos na subsuperfície, e mais especificamente informações sobre o contraste das propriedades das camadas que definem a interface de reflexão, a migração age de modo a corrigir efeitos de propagação da onda e fornecer valores de amplitude que, relativamente, representam o conjunto das propriedades petrofísicas do meio (SANTIAGO, 2004). No início, o imageamento visava obter somente a posição dos refletores, sem se preocupar com a amplitude associada à reflexão gerada por cada refletor. Fato este ocorrido devido aos grandes volumes de óleo encontrados naquela época não exigirem grande processamento/interpretação para serem localizados. Entretanto, com o aumento da complexidade e profundidade das geologias envolvidas foi necessário levar em conta a importância das amplitudes associadas às reflexões, exatamente por serem estas capazes de fornecer informações a respeito da subsuperfície. A viabilização de tal estudo foi possível graças ao aumento dos recursos computacionais, que possibilitaram realizar as análises sísmicas com técnicas mais apuradas, como o uso da equação completa da onda. Um dos estudos mais notáveis sobre as amplitudes é aquele relacionado à construção de curvas de refletividade, como Amplitude versus Afastamento (AVO - Amplitude versus Offset) e Amplitudes versus Ângulo (AVA - Amplitude versus Angle), já que as amplitudes estão diretamente ligadas às propriedades litológicas do meio (VEEKEN, 2007). Em função destes estudos, passou a ser crucial preservar as amplitudes nas imagens migradas. Caracterizando que o objetivo é obter não só o posicionamento correto dos refletores em profundidade como também a construção das curvas de refletividade, para posterior processo de inversão. Tendo em vista isso, a determinação das amplitudes com maior acurácia têm se tornado fundamental para estudos de AVO e AVA (GUITTON et al., 2007) e o desenvolvimento de técnicas de migração que as forneçam corretamente após a migração, em meios complexos, continua sendo um desafio (DENG e MCMECHAN, 2007). A geração de imagens, em profundidade, a partir de dados sísmicos utilizando a RTM fornece, em geral, o valor do coeficiente de reflexão, a menos das perdas por transmissão, que são função dos parâmetros geofísicos (densidade e velocidade das ondas compressionais e cisalhantes) e do ângulo de incidência (Lei de Snell). O processo de empilhamento tradicional pós migração não leva em conta a influência do ângulo sob o qual uma imagem foi gerada, o que pode acarretar na perda de 2

23 precisão na visualização dos refletores que estão localizados em altas profundidades devido aos poucos registros da energia refletida por estes causados pelas perdas por transmissão em comparação àqueles em baixa profundidade. Além de que há o surgimento do efeito sorriso de migração decorrente da reflexão total após um certo ângulo crítico de incidência (devido às head waves 1 ). Logo é extremamente importante delimitar a região, para cada geologia complexa, onde ainda é possível obter imagem com razoável padrão de qualidade em função do ângulo. Naturalmente, também é desejável que o coeficiente de reflexão estimado após a migração seja em função apenas dos parâmetros geofísicos e não mais dependentes dos ângulos de incidência/reflexão, pois é através dos parâmetros que é possível caracterizar os meios geológicos nos quais estão inseridos os refletores. Desta forma, obter informações de ângulo de reflexão corretas, permite melhorar a qualidade das imagens obtidas pela migração possibilitando avaliar as amplitudes registradas nas imagens de maneira mais coerente. Além disto, conhecer o ângulo de reflexão corretamente, possibilita traçar as curvas de refletividade de AVA, realizar filtragem de ruídos, fazer o empilhamento de imagens no domínio do ângulo, etc. auxiliando inclusive no chamado estudo de anomalias de amplitude. O estudo das anomalias de amplitudes tem sido bastante usado na indústria petrolífera como uma ferramenta auxiliar tanto na determinação de novas reservas de petróleo e gás quanto na caracterização daquelas que estão em processo de produção. Tradicionalmente, esse estudo é feito através da análise de AVO, já que, a princípio, não é possível calcular o ângulo correto em cada ponto de reflexão. Essa análise seria mais coerente se fosse feita em relação ao ângulo de incidência e não ao afastamento fonte-receptor, uma vez que a amplitude refletida é função do ângulo de incidência e dos parâmetros do meio em cada lado da interface (PAUL, 2004; RESNICK et al., 1987). Em geral, as análises de AVA são feitas aplicando-se uma transformada offset para ângulo em dados AVO. Rotineiramente, a mesma é feita supondo-se que o modelo é constituído de camadas planas horizontais e utilizando-se as velocidades intervalares oriundas do campo de velocidades (determinado através da análise de velocidades) e a Lei de Snell para obter os ângulos em profundidade. Assim, a suposição do modelo de camadas planas horizontais, aplicada em áreas onde o mergulho das camadas geológicas é acentuado, leva à obtenção de valores de ângulos de reflexão maiores do que os reais, gerando interpretações não confiáveis da presença ou ausência de hidrocarbonetos nos reservatórios (SANTIAGO, 2004). Embora para meios suaves, os quais não apresentam variações laterais de impedância, usar AVO ou AVA não faça muita diferença, pois de certa forma offset e ângulo de incidência estão relacionados, em meios que apresentam altas complexidades estruturais acima 1 Ondas reflatadas sob ângulo crítico (SHERIFF, 2002). 3

24 ou no entorno dos objetivos, AVO e AVA não possuem uma relação simples (SILVA, 2009), e portanto não conduzem a resultados similares. O traçado de raios (ray tracing) constitui uma das ferramentas principais dentre as utilizadas na obtenção dos ângulos necessários para fazer a transformação de offset para ângulo (RESNICK et al., 1987; VEEKEN e RAUCH-DAVIES, 2006; VEEKEN, 2007). Pelo traçamento de raios, o ângulo é obtido naturalmente, uma vez que este constitui um dos principais parâmetros do sistema de equações. Assim, o ângulo é determinado ao longo do caminho do raio em profundidade. A abordagem pelo traçado de raios, baseada na teoria assintótica do raio (ART - Asymptotic Ray Theory), é possibilitada graças à divisão da equação da onda em duas partes: cinemática e dinâmica (CERVENÝ, 1985). Sendo de enorme interesse, a parte cinemática, não só por esta permitir obter os ângulos de incidência, mas também pela geração dos tempos de trânsito. Embora apresente a vantagem de possuir um baixo custo computacional, o traçado de raios produz algumas ambiguidades em estruturas complexas quanto a existência de regiões nas quais os raios se interceptam (caminhos múltiplos - multipath) e/ou mesmo naquelas onde estes não chegam (zonas de sombras - shadow zones). Salienta-se que os problemas relacionados aos caminhos múltiplos são possíveis de serem resolvidos aplicando a técnica denominada por feixes gaussianos (Gaussian beams) (POPOV, 2002). O cálculo dos tempos de trânsito é de grande importância sobre vários aspectos no processamento sísmico (PESTANA e PIMENTEL, 1996; ZHANG et al., 2009) podendo ser obtido de várias maneiras, como por exemplo, pela solução direta da equação iconal (eikonal) (SETHIAN e POPOVICI, 1999; VIDALE, 1988) ou a solução dos sistemas de equações derivados desta (BLEISTEIN, 1984; CERVENÝ, 1987; CHANG e MCMECHAN, 1986), pela extrapolação da equação completa (two-way wave equation) (BULCÃO, 2004; LOEWENTHAL e HU, 1991) ou unidirecional (one-way wave equation) (CLAERBOUT, 1971, 1985) da onda, etc. A geração do tempo de trânsito está relacionada à ideia de identificar um certo evento, tal como a chegada da primeira frente de onda em um dado ponto do macromodelo de velocidades. Esta ideia é antiga, sendo que o uso do tempo de trânsito associado à onda primária como condição de imagem constitui a base dos métodos de migração, já que é utilizada para ligar um evento registrado no sismograma (reflexão) com um ponto em profundidade que o gerou (refletor). A obtenção do tempo de trânsito utilizando a extrapolação da equação completa da onda baseiase em registrar o momento em que a frente de onda incide pela primeira vez em cada ponto do macro-modelo, assim como as amplitudes associadas, de acordo com um critério pré-estabelecido. Os tempos de trânsito são armazenados em uma estrutura de dados denominada por matriz de tempo de trânsito (MTT), a qual é geralmente referida como condição de imagem (quando se está realizando a etapa 4

25 de migração). Ressalta-se que, mesmo não sendo o objetivo, o procedimento descrito anteriormente tem como principal dificuldade a determinação do coeficiente de reflexão/transmissão em função do ângulo. A determinação correta do ângulo possibilita a recuperação das perdas por transmissão, ocorridas durante a extrapolação do campo de ondas oriundas da fonte (propagação) e dos receptores (depropagação) (DENG e MCMECHAN, 2007). Uma vez que há uma grande dificuldade de obtenção dos ângulos de incidência/reflexão com precisão, para modelagens utilizando a equação da onda, o presente trabalho propõe uma nova metodologia para obtê-los baseado na matriz de tempo de trânsito e no macro-modelo de velocidades. A metodologia proposta considera o meio como sendo isotrópico com modelagem direta baseada na solução, por diferenças finitas, da equação da onda acústica sem simplificações na sua formulação original. Destaca-se que a metodologia proposta, pode ser facilmente estendida para o caso da equação elástica da onda. A seguir, faz-se uma breve revisão bibliográfica sobre os principais métodos de obtenção de tempo de trânsito que estão diretamente relacionados com as matrizes de tempo de trânsito utilizadas neste trabalho, bem como as metodologias existentes para a obtenção dos ângulos de incidência/reflexão. 1.2 Revisão Bibliográfica Uma vez que a metodologia desenvolvida neste trabalho é baseada em matrizes de tempo de trânsito, cabe revisar as formas de obtê-las. Faz-se-ão duas descrições diferentes: a primeira será aquela onde os tempos de trânsitos são obtidos diretamente da equação iconal via esquemas de diferenças finitas e outra é através de um critério numérico, embutido na modelagem sísmica, capaz de registrar os tempos durante a extrapolação do campo de ondas. Em se tratando da obtenção de tempos de trânsito através da solução da equação iconal, RESHEF e KOSLOFF (1986) foram os primeiros a propor calcular os tempos de trânsitos diretamente sobre uma malha regular através de uma extrapolação plana. Desta forma, usando uma aproximação local de diferenças finitas de primeira ordem para a equação iconal, os autores obtêm os tempos para todo o macro-modelo de velocidades. Porém, devido a forma de extrapolação utilizada neste esquema, o mesmo apresenta resultados inadequados, mesmo em modelos homogêneos. Visando resolver esta questão, VIDALE (1988, 1990) desenvolveu, no caso 2D, uma extrapolação retangular e, no caso 3D, em forma de cubo, baseado também em diferenças finitas, o qual simula de forma mais adequada o avanço da propagação de frentes de ondas circulares e esféricas, respectivamente. Neste esquema, os tempos de trânsito obtidos eliminam a necessidade do processo de interpolação usado 5

26 comumente nos métodos anteriores, como no traçado de raios (CERVENÝ, 1987), por exemplo. Caso se deseje fazer o traçamento de raios, este é feito utilizando o gradiente do tempo de trânsito. Embora o esquema do autor funcione bem em uma variedade de modelos, este não satisfaz o princípio da causalidade quando aplicado em modelos contendo fortes contrastes de velocidades. VAN TRIER e SYMES (1991) propuseram resolver a equação iconal através da extrapolação do gradiente do tempo de trânsito aplicando o método upwind finite difference (ENGQUIST e OSHER, 1980), já que as mudanças nas componentes do gradiente do tempo de trânsito são descritas pela lei de conservação hiperbólica da mecânica dos fluidos. Para melhorar os problemas de precisão, ZHANG (1991) desenvolveu esta metodologia fazendo a extrapolação do tempo de trânsito em coordenadas polares. Uma extensão do esquema de VAN TRIER e SYMES (1991) foi feita para o caso 3D por POPOVICI (1991) que, mais tarde, foi modificado por SCHNEIDER (1995) para reduzir problemas de estabilidade usando malhas adaptativas. Inspirado no método de Vidale, PODVIN e LECOMTE (1991) sugeriram um esquema estável para a obtenção de tempos de trânsito baseado no princípio de Huygens e na aproximação de frente de ondas planas. Nesta metodologia é possível obter os tempos até em modelos contendo fortes contrastes de velocidades. SCHNEIDER et al. (1992) propuseram uma metodologia para a obtenção dos tempos de trânsito que utiliza a técnica de propagação dinâmica. O método é baseado no princípio de Fermat e usa técnicas de cálculo simples juntamente com um esquema de mapeamento sistemático para calcular os tempos em uma malha regular uniforme. O mapeamento é feito através de duas abordagens diferentes; uma chamada de mapeamento de força bruta (brute force), a qual obtém os tempos extrapolando coluna por coluna (ou por linha), e a outra é feita de forma mais natural, através da expansão na forma retangular. O método consegue obter os tempos nos casos em que o campo de velocidade apresente grandes contrastes na distribuição de velocidades. TSITSIKLIS (1995), e mais tarde SETHIAN (1996, 1999b) propuseram uma nova metodologia de solução para a equação iconal, popularmente conhecida por Fast Marching Method (FMM). A abordagem de Tsitsiklis está voltada para a obtenção de soluções aproximadas de problemas com trajetórias de tempos mínimos, enquanto a de Sethian está direcionada a soluções de problemas que incorporam frentes evolutivas, isto é, problemas de propagação de ondas (VAZ, 2004). Utilizando a discretização upwind de GODUNOV (1959), a ideia do FMM é que a solução em cada ponto dependa apenas do ponto vizinho que possui o menor tempo, isto é, a extrapolação é feita seguindo o princípio da causalidade (Huygens). Destaca-se que, a precisão do FMM é dependente do tamanho do espaçamento da malha e da ordem 6

27 do esquema de diferenças finitas utilizado (SETHIAN e POPOVICI, 1999). Uma desvantagem do FMM é que ele possui uma complexidade computacional muito elevada, da ordem de O(Nlog(N)), onde N é o número de pontos da malha, já que, a cada passo do esquema, obtém-se a solução para um único ponto. Para tornar o método mais rápido, KIM (2001) propôs o Group Marching Method (GMM) onde a solução é obtida para um grupo de pontos em um único passo de tempo, os quais representam o avanço da frente de ondas. Dessa forma, o autor reduziu a complexidade computacional para O(N). Para melhorar a precisão do FMM, SETHIAN (1999a) sugeriu o Higher Accuracy Fast Marching Method (HAFMM) no qual utilizam-se operadores de diferenças finitas de segunda ordem. Ainda assim, o método continuou apresentando graves erros no início do processo de extrapolação devido a grande curvatura das frentes de onda. Para sanar este problema, ALKHALIFAH e FOMEL (2001) propuseram aplicar o FMM em coordenadas esféricas (3D) e polares (2D). A implementação em coordenadas polares melhorou a precisão da solução sem, praticamente, nenhuma perda da eficiência computacional. Mais recentemente, HASSOUNA e FARAG (2007) propuseram uma versão melhorada do FMM que permite trabalhar com espaçamentos diferentes nas duas direções x e z ( x = z)), chamada de Multistencils Fast Marching Method (MSFM) objetivando melhorar a precisão da solução nas direções diagonais da malha. A solução da equação iconal é obtida em cada ponto da malha usando dois estêncis, sendo escolhida como solução aquela que melhor satisfaz a condição upwind. Os autores estenderam esta abordagem para o caso 3D onde seis estêncis são usados para cobrir 26 pontos vizinhos, enquanto que no 2D, dois estêncis são suficientes para cobrir 8 pontos. Motivado pelos trabalhos de BOUÉ e DUPUIS (1999) e ZHAO et al. (2000), ZHAO (2004) apresentou um algoritmo iterativo, chamado de Fast Sweeping Method (FSM) para resolver a equação iconal sobre uma malha retangular. O método usa a discretização upwind de Godunov e Gauss-Seidel para resolver o sistema discretizado, tendo uma complexidade ótima de O(N). Agora, da-se-á uma breve revisão bibliográfica dos principais trabalhos relacionados à forma de obtenção da matriz de tempo de trânsito utilizando um critério numérico, incorporado na modelagem sísmica. LOEWENTHAL e HU (1991) desenvolveram dois procedimentos para obter a matriz de tempo de trânsito baseada nos seguintes critérios: a matriz de tempo é formada com base na amplitude máxima da grandeza associada ao campo (pressão no caso acústico) de ondas e a outra é baseada na amplitude registrada na primeira quebra 2 (critério do tempo mínimo), mas desconsiderando as ondas frontais 2 Registro do primeiro evento de pico máximo do sinal sísmico. 7

28 (head waves). Os autores mostraram que o critério da amplitude máxima fornece os melhores resultados. Inspirado nos trabalhos de LOEWENTHAL e HU (1991), BULCÃO (2004) propôs um novo critério para a extração do tempo de trânsito baseado na amplitude máxima nas proximidades da primeira quebra, isto é, no first break 3 do sinal proveniente da fonte. Com o emprego deste novo critério a matriz de tempo de trânsito apresenta um número bem inferior de descontinuidades para as regiões distantes do ponto de aplicação da fonte sísmica. Na sequência, segue uma rápida descrição dos principais trabalhos relacionados à extração de ângulos de incidência/reflexão em profundidade. RESNICK et al. (1987) foram os primeiros a discutir sobre o procedimento simplificado de calcular os ângulos através de uma relação trigonométrica obtida a partir de um triângulo retângulo fazendo a suposição de que todas as camadas são plano horizontais. Ele mostrou como obter o ângulo quando o refletor estava em posição inclinada, contanto que o ângulo de mergulho do refletor seja conhecido a priori. BLEISTEIN (1987), TYGEL et al. (1993) e BLEISTEIN et al. (1999) mostraram como obter o ângulo de incidência e de mergulho do refletor sem conhecimento nenhum acerca da trajetória do raio incidente ou das propriedades do refletor, usando para tanto a Migração para Afastamento Nulo (MZO - Zero Offset Migration) baseada na migração Kirchhoff e na técnica de empilhamento ponderado ao longo de curvas de difrações para controle das amplitudes. Como demonstrado por VAS- QUEZ et al. (2003) e TYGEL et al. (1999), a metodologia é aplicada fazendo um reagrupamento dos dados obtidos pelo experimento sísmico para o domínio CMP (Common Mid Point) resultando em gráficos de AVO. Na sequência é aplicada uma segunda MZO, com pesos distintos da primeira, obtendo-se os ângulos de incidência e consequentemente os gráficos de AVA. O primeiro trabalho a utilizar o tempo de trânsito na obtenção dos ângulos de incidência foi proposto por DENG e MCMECHAN (2007), os quais desenvolveram uma forma de obter os ângulos através de um processo de interpolação na matriz de tempo de trânsito. Porém os autores não exploraram adequadamente as técnicas e aproximações utilizadas, bem como não abordaram as questões relacionadas ao tratamento de descontinuidades destas matrizes, justificando que se trata de um problema local para geometrias complexas. Ressalta-se que, as referências correspondentes aos métodos de obtenção de gradientes utilizados para a aplicação da metodologia desenvolvida, serão abordadas ao longo deste trabalho. 3 Primeiro evento considerado como sinal proveniente da fonte sísmica (SHERIFF, 2002). 8

29 1.3 Objetivo e Metodologia O objetivo deste trabalho é apresentar uma metodologia desenvolvida para extração de ângulos de incidência/reflexão em profundidade, fazendo-se uma composição de ângulos obtidos a partir da aplicação do operador gradiente no macro-modelo de velocidades e na matriz de tempo de trânsito. Utilizam-se duas abordagens diferentes para a geração das matrizes de tempo, a saber: modelagem sísmica da equação completa da onda acústica, por diferenças finitas, e solução direta da equação iconal, mediante o Multistencils Fast Marching Method. Relativamente à obtenção dos gradientes necessários para a aplicação da metodologia proposta, são adotados os operadores de diferenças finitas de quarta ordem, a interpolação através das funções de base radial e a spline cúbica local de Akima. Ressalta-se que foi adicionalmente desenvolvido um esquema numérico para a geração do gradiente diretamente da frente de ondas propagada, correspondente àquele obtido da matriz de tempo de trânsito, aplicando-se para tanto os operadores de diferenças finitas de quarta ordem ao campo de pressões, durante a propagação do sinal sísmico emitido pela fonte. 1.4 Estrutura da Dissertação Este trabalho está estruturado como segue: No capítulo 2, são apresentados os métodos para obtenção de tempo de trânsito pela equação completa da onda, através de um critério numérico embutido na modelagem sísmica, e pela solução da equação iconal, via Multistencils Fast Marching Method. Ao final do capítulo, é descrito o procedimento de suavização do macro-modelo de velocidades, necessário para melhores estimativas dos gradientes ao longo dos refletores que constituem o modelo. No capítulo 3, apresentam-se a metodologia desenvolvida para obter os ângulos de incidência/reflexão em profundidade e os métodos utilizados para cálculo dos gradientes. Inicialmente, é feita uma descrição sobre frentes de onda e como ocorre o fenômeno de partição de energia, quando esta incide sobre um refletor contendo diferentes propriedades acústicas. No desfecho do capítulo, é mostrado uma outra abordagem, desenvolvida adicionalmente neste trabalho, para geração das curvas de ângulos, correspondentes àquelas oriundas da matriz de tempo de trânsito, aplicando o operador de diferenças finitas de quarta ordem diretamente sobre o campo de pressões durante a propagação. No capítulo 4, é exposto o procedimento empregado para a geração de soluções de referência (semi-analíticas), que são utilizadas a título de comparação com as 9

30 soluções obtidas pelos métodos de gradientes. Sendo o procedimento empregado baseado no traçamento cinemático de raios, é feita uma breve descrição de duas metodologias tradicionais da teoria de raios, o shooting method e o bending method. Ainda, com o objetivo de descrever estas duas abordagens, é presentado, inicialmente, o princípio de Fermat e a Lei de Snell, necessários para compreender os demais conceitos desenvolvidos no capítulo. No capítulo 5, são apresentados os resultados e respectivas análises da metodologia desenvolvida neste trabalho para os casos de macro-modelos velocidades que possuem soluções de referência, visando avaliar a precisão dos resultados numéricos obtidos. Destaca-se que é avaliada a influência dos principais parâmetros da modelagem sísmica e do modelo de velocidades que podem contribuir significativamente na melhor estimativa das curvas de ângulos de incidência/reflexão em profundidade. No capítulo 6, são apresentados as conclusões e alguns comentários, bem como as sugestões de trabalhos futuros, envolvendo a metodologia desenvolvida neste trabalho. Ao final deste trabalho, no apêndice A, é descrito a forma de obtenção dos operadores de diferenças finitas, que são utilizados ao longo deste trabalho, através da série de Taylor. 10

31 Capítulo 2 Geração de Matrizes de Tempo de Trânsito Via Métodos Numéricos O cálculo dos tempos de trânsito é de grande importância sobre vários aspectos no processamento sísmico. Por exemplo, os métodos de migração e modelagem Kirchhoff requerem o cálculo da função de Green, que por sua vez depende do cálculo do tempo de percurso (tempo de trânsito) entre as posições de registro na superfície e os pontos em profundidade no modelo de velocidade (PESTANA e PIMENTEL, 1996). Da mesma forma, na RTM que pode ser entendida como um problema de condição de contorno associado à imposição de uma condição de imagem, o tempo de trânsito é o responsável por permitir a geração da imagem em profundidade. Neste caso, a matriz de tempo de trânsito contém simplesmente o tempo gasto pelo campo de ondas para percorrer a distância entre o ponto de aplicação da fonte e cada ponto da malha em profundidade (tempo da onda direta). Observando-se um evento (frente de onda) de maneira isolada, a solução da equação da onda que governa a propagação do evento possui duas diferentes propriedades básicas, uma propriedade cinemática e outra dinâmica. A informação cinemática, que está associada ao tempo de propagação, é utilizada no imageamento para ligar um evento registrado no sismograma (reflexão) com um ponto em profundidade que o gerou (refletor), sendo descrita pelas trajetórias de propagação (raios) e pelos tempos de trânsito. A parte dinâmica trata da distribuição espacial da energia propagada, ou seja, traz informações sobre amplitudes, que estão relacionadas com os coeficientes de reflexão dos refletores. Em técnicas como o traçado de raios (BLEISTEIN, 1984; CERVENÝ, 1987; POPOV, 2002), que é baseado na solução da equação da onda por ondas planas, as parcelas cinemática e dinâmica da solução podem ser obtidas separadamente através da solução da equação iconal e de transporte, respectivamente. Assim, para obter a matriz de tempo de trânsito nestes casos, basta resolver a equação iconal do 11

32 problema relacionado, como será visto na seção 2.2. Já quando se adotam métodos de discretização da equação da onda (como o MDF ou MEF) associadas a técnicas discretas de marcha no tempo, a matriz de tempo de trânsito é geralmente obtida aplicando-se as chamadas condições de imagem, que nada mais são do que critérios baseados na amplitude do campo de ondas propagante, como será visto na seção No presente trabalho, além da matriz de tempo de trânsito possibilitar a construção de imagens, motivo pelo qual a mesma é associada a chamada condição de imagem, ela se constitui como um dado essencial para a geração de informações de ângulo de incidência em profundidade para cada ponto do macro-modelo de velocidades. Portanto, como ficará mais evidente no decorrer deste capítulo, a precisão na obtenção do ângulo dependerá diretamente da qualidade da matriz de tempo de trânsito associada, uma vez que na metodologia proposta o ângulo de incidência virá, em parte, do gradiente numérico da matriz de tempo de trânsito. Neste trabalho, duas técnicas distintas serão utilizadas para se obter as matrizes de tempo de trânsito, a saber: propagação de ondas via o método das diferenças finitas e solução da equação iconal. Neste capítulo serão apresentados os métodos para obtenção de tempo de trânsito pela equação completa da onda, através de um critério numérico embutido na modelagem sísmica, e pela solução da equação iconal, via MSFM. Ao final, é descrito o procedimento de suavização do modelo de macro-velocidades. 2.1 Tempo de Trânsito Via Propagação do Campo de Ondas Equação da Onda Acústica A equação da onda acústica utilizada neste trabalho é aquela já amplamente difundida e utilizada para a modelagem e migração sísmica, dada pela equação (2.1) para o caso 2D (BERKHOUT, 1987; BULLEN e BRUCE, 1985). 2 P(x, t) + 2 P(x, t) 1 2 P(x, t) = 0, (2.1) x 2 z 2 C 2 (x) t 2 onde P(x, t) representa o campo de pressão (pressão acústica) no ponto x = (x, z) no instante de tempo t do meio descrito pelo campo discreto de velocidades de propagação C(x). Para o problema geofísico existe ainda a necessidade de se prescrever o termo 12

33 fonte, denotado por f (t)δ(x x f )δ(z z f ) resultando na equação (2.2). 2 P(x, t) + 2 P(x, t) 1 2 P(x, t) = f (t)δ(x x x 2 z 2 C 2 (x) t 2 f )δ(z z f ), (2.2) onde (x f, z f ) = x f representa o ponto de aplicação da fonte sísmica e δ o delta de Dirac. Para resolver a equação (2.2) numericamente, deve-se discretizá-la no espaço e no tempo, sendo as coordenadas discretas: x i x, z j z, t n t. Dessa forma: P(x, t) P n i, j, f (t) f n. Onde: i = 1, 2,..., I total, j = 1, 2,..., J total, n = 1, 2,..., N total, e x, z e t são os respectivos espaçamentos da malha na direção x, z e temporal. Isto permitirá escrever as demais derivadas existentes na equação (2.2) de forma discreta através dos operadores de diferenças finitas, conforme será apresentado na seção Destaca-se que no caso da geofísica, as condições iniciais são dadas por: ( P t P 0 i, j = 0, (2.3) ) 0 i, j = 0 (2.4) e as condições de contorno são dadas conforme descrito na seção Aproximações Discretas para Derivadas Espaciais e Temporais A obtenção dos operadores de diferenças finitas pode ser feita tanto por expansão em série de Taylor como por interpolação polinomial (FORTUNA, 2000), sendo que a técnica mais utilizada nos processos de modelagem sísmica é aquela baseada na 13

34 série de Taylor por ser considerada uma ferramenta matemática básica na definição de aproximações para as derivadas. Então, utilizando quarta ordem de precisão para as aproximações das derivadas espaciais e segunda ordem para a derivada temporal de P, chega-se à (conforme apêndice A): 2 P(x, t) x 2 = (P xx ) n i, j = 2 P(x, t) z 2 = (P zz ) n i, j = 2 P(x, t) = (P t 2 tt ) n i, j = 1 ( P n 1 ( t) 2 i, j 2P n i, j + Pn+1 i, j 1 12( x) 2 [ P n i 2, j + 16 ( P n i 1, j + Pn i+1, j) 30P n i, j P n i+2, j],(2.5) 1 [ P n 12( z) 2 i, j ( P n i, j 1 + Pn i, j+1) 30P n i, j P n i, j+2], (2.6) ). (2.7) A justificativa para a adoção destes operadores discretos vem dos inúmeros trabalhos encontrados na literatura (ALFORD et al., 1974; BULCÃO, 2004; CUNHA, 1997; FARIA, 1986; MUFTI, 1990; SILVA, 2009) indicando uma boa relação entre a precisão dos resultados e o custo computacional envolvido, comparativamente a outras aproximações Equação da Onda Discretizada por Diferenças Finitas Fazendo a substituição das equações (2.5), (2.6) e (2.7) em (2.2), explicitando-se o campo de pressões no tempo n + 1 em função dos tempos anteriores e fazendose x = z = h, obtém-se a equação da onda na versão discretizada, referente ao equilíbrio em um ponto (i, j) da malha computacional, dada por: P n+1 i, j = 1 12 ( Ci, j t h ) 2 [ P n i 2, j + Pn i+2, j + Pn i, j 2 + Pn i, j+2 ) ] + 60P n i, j 16 ( P n i 1, j + Pn i+1, j + Pn i, j 1 + Pn i, j+1 +2P n i, j Pn 1 i, j + f n δ i,i f δ j, j f. (2.8) A equação (2.8) implica que o (n + 1)-ésimo passo de tempo depende somente dos dois tempos anteriores (n)-ésimo e (n 1)-ésimo, conforme indicado na figura 2.1, ou seja, esta equação representa um esquema de marcha recursivo explicito no tempo. Desta forma, possui t crítico e, consequentemente, requerendo um critério de estabilidade. Contrariamente aos esquemas implícitos de marcha, que possibilitam t teoricamente ilimitados. Optou-se por utilizar o esquema explícito, uma vez que este é frequentemente adotado para problemas de propagação de ondas 14

35 com relativo baixo custo computacional, comparativamente aos esquemas implícitos que geram um acoplamento entre equações onde o custo computacional e espaço para armazenamento matricial podem ser muito maiores do que aqueles para esquemas explícitos devido à necessidade de solução do sistema de equações envolvido (DORS, 2007). Figura 2.1: Representação gráfica do operador de diferenças finitas com quarta ordem no espaço e segunda no tempo Dispersão Numérica e Estabilidade Conforme FORTUNA (2000), a dispersão numérica ocorre quando o método numérico faz com que ondas, de diferentes comprimentos, propaguem-se com velocidades distintas, conduzindo à presença de oscilações na solução computacional. Ainda, de acordo com FORTUNA (2000), um método numérico estável é aquele no qual quaisquer perturbações ou erros na solução não são amplificados sem limite. Os exemplos mais diretos para essas perturbações e erros são condições de fronteira ou iniciais aproximadas de forma incorreta, e acúmulo de erros de arredondamento cometidos durante os cálculos. O primeiro caso é evitado com uma correta discretização das condições auxiliares; o segundo não pode ser evitado, devendo, portanto, ser controlado. Os erros de arredondamento não devem crescer sem limites, a ponto de influir desastrosamente na solução numérica. O acúmulo desses erros pode ser evitado seguido-se os critérios de estabilidade dos métodos numéricos, isto é, condições que garantam que o método numérico seja estável. Para se evitar a dispersão numérica, deve-se limitar o espaçamento entre os pontos da malha de tal forma que este seja pequeno comparado com o comprimento 15

36 de onda gerado pela fonte. Para o caso da equação (2.8), isso é conseguido através da relação (2.9) (BULCÃO, 2004; MUFTI, 1990): h C min µ f corte, (2.9) onde h é o espaçamento da malha uniforme, C min é a menor velocidade do modelo, f corte é a frequência de corte da fonte ou frequência máxima utilizada e µ é um número empírico que determina quantos pontos da malha serão empregados para representar o menor comprimento de onda. Quanto ao intervalo de tempo t, em geral métodos explícitos apresentam um limite superior no valor do mesmo que deve ser utilizado para garantir a estabilidade do método. Este é, normalmente, expresso em função dos valores de x, z e da velocidade de propagação C. Assim, a condição de estabilidade é dada pela expressão (2.10) (BULCÃO, 2004; FARIA, 1986; MUFTI, 1990): t h µc max, (2.10) onde C max é a maior velocidade do modelo e µ é um número que define quantos intervalos de tempo serão necessários para que a frente de onda percorra uma distância equivalente ao espaçamento entre os pontos da malha. Para o operador dado pela equação (2.8), os valores dos parâmetros µ e µ são 5 e 4, respectivamente (BULCÃO, 2004). Destaca-se que, o critério dado por (2.10) deve ser respeitado para que não ocorra instabilidade numérica no processo de marcha no tempo Termo Fonte Na seção foi incorporado um termo fonte a equação da onda na posição x f, cujo objetivo é iniciar a propagação no tempo e no espaço. Com o propósito de simular uma fonte sísmica real, este termo fonte precisa ter algumas características, como ser preferencialmente limitado, tanto no domínio do tempo, para simular uma fonte sísmica do tipo explosiva, quanto no domínio da frequência, para que se tenha um controle sobre a frequência máxima ao qual o modelo numérico está sujeito (BULCÃO, 2004; COSTA, 2006). Como pode ser observado na expressão (2.9), a frequência influencia diretamente no grau de refinamento da discretização da malha computacional. O termo fonte utilizado neste trabalho para a geração do sinal sísmico é dado 16

37 pela derivada segunda da Gaussiana (CUNHA, 1997), como segue: f (t) = [ 1 2π (π f c t d ) 2] e π(π f ct d ) 2, (2.11) onde t d = n t t f representa uma translação temporal da fonte no tempo, e sendo t f o período da função Gaussiana, dado por: e f c a frequência central da fonte, dada por: t f = 2 π f c (2.12) f c = f corte 3 π. (2.13) A figura 2.2 ilustra um exemplo da função fonte no domínio do tempo para f corte = 30Hz. Figura 2.2: Função fonte dada pela segunda derivada da Gaussiana (CUNHA, 1997) para f corte = 30Hz Tipos de Condições de Contorno As denominadas condições de contorno (ou de fronteira), são definidas nas bordas das regiões que delimitam a malha computacional na qual se deseja resolver a equação (2.2). A condição de contorno mais comum em levantamentos sísmicos é a chamada condição de contorno essencial ou de Dirichlet, e corresponde a prescrever a pressão P n i, j = 0, (2.14) 17

38 no respectivo contorno. Esta condição é utilizada para dados marítimos simulando as condições de reflexão na superfície do mar ou em dados terrestres (CUNHA, 1997), simulando a superfície do solo. Outra condição de contorno consiste em especificar o valor da derivada, ou da taxa de modificação, de P na direção normal ao contorno, sendo esta chamada de condição de contorno natural ou de Neumann, dada por: ( ) n P = 0, (2.15) η i, j onde η corresponde à normal externa ao referido contorno. Assim, fica caracterizado que é possível a ocorrência no mesmo problema de condições de contorno onde P é prescrito em uma parte do contorno e a sua derivada normal especificada em outra parte, isto é, o problema pode apresentar condições de fronteira mistas. Outra condição de contorno bastante utilizada em modelagem geofísica, devido à introdução de contornos artificiais, é aquela denominada por condição de contorno não-reflexiva ou condição de contorno absorsora (REYNOLDS, 1978). Esta é utilizada quando se deseja simular problemas com domínios infinitos ou semi-infinitos visando garantir um correto truncamento do modelo numérico sem o surgimento de reflexões artificiais nos respectivos bordos. Assim, pode-se dizer que as condições de contorno não-reflexivas visam absorver a energia da frente de ondas quando esta incide no contorno. Cabe destacar que, as reflexões indesejadas geradas pelos contornos artificiais são muito problemáticas para o resultado da modelagem, pois interagem com as reflexões provenientes dos eventos em subsuperfície, afetando a qualidade do dado registrado (SILVA, 2008). O modo mais simples de se derivar uma condição de contorno não-reflexiva é através da fatoração da equação da onda unidimensional, tal que 2 P x 1 ( 2 P 2 C 2 t = 2 x + 1 C ) ( t x 1 C ) [P] = 0. (2.16) t O primeiro termo do segundo membro da equação (2.16) é relativo a ondas viajando no sentido negativo do eixo x e o segundo termo, no sentido positivo. Assim, para eliminar as reflexões no contorno esquerdo e direito basta empregar, respectivamente as equações (2.17) e (2.18) abaixo: ( x + 1 ) [P] = 0 (2.17) C t 18

39 ( x 1 ) [P] = 0. (2.18) C t Discretizando as equações (2.17) e (2.18) usando os operadores de diferenças finitas de primeira ordem no espaço e no tempo, indicados no apêndice A, tem-se que: P n+1 1, j = P n 1, j + tc ( 1, j P n 2, j x Pn 1, j), (2.19) P n+1 I total, j = P n 1, j tc I total (, j P n x Itotal, j ) Pn I total 1, j. (2.20) Vale ressaltar que as equações (2.19) e (2.20) são formuladas via suposição de que a direção de propagação da onda é normal ao contorno. Logo, para aplicar adequadamente a condição não-reflexiva para problemas 2D e 3D, seria necessário decompor o campo de ondas em sua parte normal e tangencial, de modo a absorver somente a parcela normal do mesmo. Outra forma de se reduzir as reflexões espúrias geradas pelo truncamento dos contornos, é aplicar uma camada de amortecimento numérico para reduzir a intensidade da onda antes desta incidir sobre o contorno (CERJAN et al., 1985). O procedimento é feito aplicando a expressão (2.21) a cada ponto da malha pertencente à camada de amortecimento (figura 2.3) durante a propagação do campo de ondas. A redução da amplitude no ponto (i, j) é feita graças aos fatores multiplicativos gerados pela expressão (2.22). Figura 2.3: Camada de amortecimento do lado direito da malha ilustrando a redução do campo de pressão no ponto (i, j). sendo P n i, j = f mu(υ)p n i, j, (2.21) f mu (υ) = e [ f at(n amort υ)] 2, (2.22) 19

40 onde f mu é o fator multiplicativo para atenuar o campo de pressão, υ é um índice que denota a distância de determinado ponto em relação ao contorno do modelo, f at é o fator de amortecimento referente à intensidade da redução de amplitude da pressão que se deseja e n amort é o número de pontos que constitui a camada de amortecimento Equação não Reflexiva da Onda Uma alternativa a equação da onda acústica tradicional (2.1) que visa melhorar a qualidade da matriz de tempo de trânsito é a chamada equação da onda acústica não-reflexiva (two way nonreflecting wave equation) (BAYSAL et al., 1984) que pode ser expressa via equação (2.23) assumindo impedância constante ao longo do meio. C(x) x ( C(x) ) P(x, t) + C(x) ( C(x) x z ) P(x, t) 2 P(x, t) = 0. (2.23) z t 2 Em meios homogêneos a equação (2.23) se torna idêntica à equação acústica tradicional, (2.1), já que a primeira é obtida via modificação da segunda. Para meios heterogêneos, BAYSAL et al. (1984) mostrou que a equação não-reflexiva tem a vantagem de fornecer o coeficiente de reflexão igual a zero para incidência normal e menor àquele gerado pela equação reflexiva para incidências diferentes de zero. Portanto a equação acústica não-reflexiva possibilita atenuar as reflexões nas proximidades do refletor, o que pode, a princípio, melhorar as matrizes de tempo de trânsito obtidas, diminuindo as descontinuidades nestas Obtenção do Tempo de Trânsito Utilizou-se neste trabalho o critério da amplitude máxima desenvolvida por LO- EWENTHAL e HU (1991) e o critério da amplitude máxima nas proximidades da primeira quebra (first break) proposto por BULCÃO (2004). Destaca-se que uma grande vantagem deste último critério, é que as matrizes de tempo de trânsito apresentam um comportamento mais suave (contínuo), para regiões distantes do ponto de aplicação da fonte. Segue abaixo o Algoritmo 01 referente ao critério da amplitude máxima. Basicamente, neste algoritmo, a partir do sinal sísmico gerado pela fonte, para cada ponto do modelo (i, j), a matriz de tempo de trânsito (MTT), registrará o tempo de chegada da frente de onda de máxima amplitude naquele ponto. Juntamente com o cálculo da matriz MTT, também é feito o registro da máxima amplitude naquele ponto pela matriz de amplitude, P reg, uma vez que esta faz parte da condição necessária para 20

41 registrar os tempos de trânsito (linha 1). Algoritmo 01 1 se ( P(i, j, n) > P reg (i, j) ) então 2 P reg (i, j) P(i, j, n) 3 MTT(i, j) n t 4 fim se fim onde: P(i, j, n) é o campo de ondas incidente em cada ponto da malha no intervalo de tempo n; P reg (i, j) é a matriz que registra a amplitude em cada ponto. O segundo critério leva em consideração o intervalo de tempo associado ao comprimento de onda da fonte sísmica, dada pela expressão (2.12). Para detectar a amplitude máxima nas proximidades da primeira quebra, segue o Algoritmo 02, abaixo. Algoritmo 02 1 cond 1 [ (t MTT(i, j)) 1, 5 t f ] 2 cond 2 [ P(i, j, n) > P reg (i, j) ] 3 cond 3 [ P reg (i, j) = 0 ] 4 se (cond 2 e (cond 1 ou cond 3 )) então 5 P reg (i, j) P(i, j, n) 6 MTT(i, j) n t 7 fim se fim onde cond 1, cond 2 e cond 3 são variáveis lógicas e, em ambos os casos, t = n t. A cada passo de tempo n, quando o campo em cada ponto (i, j) é recalculado, os algoritmos analisam se o campo nesse novo passo satisfaz as condições impostas. Caso sejam, ele grava o tempo t, substituindo o valor de tempo de trânsito para este ponto até encontrar um valor do campo de onda que volte a satisfazer as condições substituindo pelo valor registrado anteriormente como sendo o campo de máxima amplitude ou de amplitude máxima nas proximidades da primeira quebra da onda direta. 21

42 2.2 Tempo de Trânsito Via Solução da Equação Iconal Equação Iconal Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da equação (2.1), obtémse a equação da onda acústica 2D no domínio da frequência (equação de Helmholtz) dada por (BLEISTEIN, 1984; CERVENÝ, 1987; POPOV, 2002): 2 U(x, ω) + 2 U(x, ω) ω2 U(x, ω) = 0, (2.24) x 2 z 2 C 2 (x) onde U é o campo de pressão no domínio espaço-frequência e ω representa a frequência angular. A equação da onda acústica no domínio da frequência (2.24) admite uma solução baseada em uma série assintótica (JEFFREYS e JEFFREYS, 1950), como segue: U(x, ω) = e iωτ(x) k=0 A k (x) ( iω) k, (2.25) onde A k (x) e τ(x) são funções que fornecem amplitude e o tempo de trânsito, respectivamente. A série descrita em (2.25) é conhecida como série de raios (ray series). Considerando a aproximação de ordem zero da série (2.25) (altas frequências - ω ) e fazendo A 0 (x) = A(x), tem-se: U(x, ω) = A(x)e iωτ(x). (2.26) Substituindo (2.26) na equação de Helmholtz (2.24), obtém-se a equação iconal e a equação de transporte ( τ(x) 2 x A(x) x ( ) 2 ( ) 2 τ(x) τ(x) + = x z + τ(x) z 1 C 2 (x) (2.27) ) ( ) A(x) 2 τ(x) + A(x) + 2 τ(x) = 0. (2.28) z 2 x 2 z A partir da EDP, não linear e não-homogênea (2.27) é, geralmente, obtido um sistema não linear de equações diferenciais ordinárias (EDO) de primeira ordem através do método das características (ZAUDERER, 1989). Este sistema é conhecido como sistema de traçado de raios ou equações cinemáticas do raio. 22

43 2.2.2 Obtenção do Tempo de Trânsito Diversas abordagens de solução da equação iconal (2.27) têm sido propostas na literatura, isto se deve ao fato da mesma surgir em várias áreas de aplicação, como computação gráfica (BRUSS, 1982), processamento de imagens (SETHIAN, 1999a), geociências (RAWLINSON e SAMBRIDGE, 2005), remoção de ruídos (MALLADI e SETHIAN, 1996), etc. Como há um grande número de estratégias numéricas diferentes para resolver a equação iconal, existem várias formas de classificar as técnicas necessárias para resolvê-la. Mas, basicamente, pode-se identificar três abordagens: a primeira é aquela já tradicionalmente conhecida que resolve a iconal utilizando o método das características (BLEISTEIN, 1984; CERVENÝ, 1987; ZAUDERER, 1989), a segunda é aproximando a iconal via o método das diferenças finitas (SCHNEIDER et al., 1992; VIDALE, 1988, 1990) e a terceira é aquela baseada na expansão de frente de ondas usando esquemas de diferenças finitas avançados (upwind) (SETHIAN, 1996; SETHIAN e POPOVICI, 1999). Neste último caso está enquadrado o método denominado por Multistencil Fast Marching Method (MSFM) desenvolvido por HAS- SOUNA e FARAG (2007) que é uma melhoria do Fast Marching Method (FMM) proposto inicialmente por SETHIAN (1996, 1999b). Como neste trabalho a obtenção do tempo de trânsito utilizando a iconal será feita através do MSFM e este é baseado no FMM, faz-se na próxima seção uma descrição de ambas as metodologias Fast Marching Method O FMM tem como principais vantagens sobre os demais métodos o fato de ser altamente eficiente e incondicionalmente estável, uma vez que segue o princípio da causalidade de maneira sequencial, isto é, a solução é atualizada ponto a ponto em ordem crescente, como explicado abaixo. Como este método ainda tem algumas deficiências, modificações objetivando melhorar sua precisão (RAWLINSON e LIN, 2003) e aumentar sua eficiência (YATZIV et al., 2006) têm sido propostas. Seguindo os trabalhos de HASSOUNA e FARAG (2007); SETHIAN (1996, 1999a) o lado esquerdo da equação (2.27) é escrito como: max(d x i, j τ, D+x i, j τ, 0)2 + max(d z i, jτ, D+z i, j τ, 0)2 = 1 C 2 i, j, (2.29) onde D i, j e D + i, j representam os operadores de diferenças finitas atrasadas, (A.6), e progressivas, (A.7), de primeira ordem aplicados no correspondente ponto (i, j) da malha. Como D i, j e D + i, j são aproximados, normalmente, utilizando operadores de 23

44 primeira ordem, a equação (2.29) pode ser reescrita como: sendo ( τi, j τ ) 2 ( 1 τi, j τ ) max, 0 + max, 0 =, (2.30) x z Ci, 2 j A solução da equação (2.30) é dada como segue: τ 1 = min ( τ i 1, j, τ i+1, j ), (2.31) τ 2 = min ( τ i, j 1, τ i, j+1 ). (2.32) 1. τ i, j > max(τ 1, τ 2 ), então τ i, j é a solução de máximo da equação quadrática ( τi, j τ 1 x 2. τ 2 > τ i, j > τ 1, então τ i, j = τ 1 + x C i, j ; 3. τ 1 > τ i, j > τ 2, então τ i, j = τ 2 + z C i, j. ) 2 ( τi, j τ ) = ; z Ci, 2 j A ideia do FMM é gerar frentes de ondas de tal forma que o princípio de Huygens seja satisfeito em cada ponto da malha, isto é, as frentes de onda se propaguem baseadas na relação de causalidade, o qual implica em dizer que o tempo de trânsito τ i, j em qualquer ponto depende apenas dos pontos vizinhos que têm o menor valor de tempo registrado. Para compreender como a frente de onda se propaga ou, para ser mais claro, como os tempos de trânsitos são obtidos, considere a figura 2.4(a), onde a frente de onda será propagada a partir da origem (valor conhecido). A origem está sendo representada por um ponto na cor preta, enquanto que as posições na cor clara representam os pontos cujo valores do tempo de trânsito são desconhecidos. resolver a equação (2.30) para os pontos vizinhos a origem, como mostrado na figura 2.4(b), obtém-se uma possível solução para os mesmos nesta região, sendo estes representados por um quadrado na cor cinza. Estes pontos são inseridos numa zona fina, conhecida como narrow band. Agora, a frente avança sobre um dos quadrados, como segue: seleciona-se o ponto que possui o menor tempo de trânsito, τ, do narrow band, suponha que seja o ponto A conforme figura 2.4(c). Daí, aplica-se novamente a equação (2.30) para encontrar os possíveis valores dos pontos vizinhos a A, figura 2.4(d). E assim, segue esse mesmo processo para os demais pontos, como ilustram as figuras 2.4(e) e 2.4(f) para o caso do ponto B. Como durante a propagação da frente de onda são obtidos tempos de trânsito com valor temporário (pontos de cor cinza), estes são armazenados em uma estrutura 24 Ao

45 (a) Busca dos pontos mais próximo a origem. (b) Cálculo do tempo de trânsito dos pontos vizinhos. (c) Localiza o ponto A com menor tempo de trânsito. (d) A partir do ponto fixo A é calculado o tempo de trânsito dos pontos vizinhos. (e) Localiza o ponto B com menor tempo de trânsito. (f) A partir do ponto fixo B é calculado o tempo dos vizinhos. Figura 2.4: Ilustração esquemática do funcionamento do FMM. 25

46 de dados do tipo árvore binária, chamada heap. A cada passo do algoritmo um ponto com menor valor de tempo é removido e outros são adicionados. O FMM honra o princípio de Huygens, já que o algoritmo só deve avançar partindo do ponto de menor tempo ao longo da frente de onda, garantindo que cada ponto da frente se comporte como uma nova fonte (fonte secundária). Esta estratégia assegura que no FMM as frentes de onda que se propagam no meio sejam causais, estabelecendo um esquema estável incondicionalmente (VAZ, 2004). Uma outra abordagem do FMM é utilizar operadores de diferenças finitas de segunda ordem para D i, j e D+ i, j, isto é, (A.8) e (A.9), respectivamente. Neste caso o método é chamado Higher Accuracy Fast Marching Method (HAFMM) (SETHIAN, 1999a). Neste caso, a equação (2.30) é reescrita como: onde [ 3(τi, j τ 1 ) 2 [ ] 3(τi, j τ 2 ) 2 max, 0] + max, 0 = 1, (2.33) 2 x 2 z Ci, 2 j ( 4τi 1, j τ i 2, j τ 1 = min 3 ( 4τi, j 1 τ i, j 2 τ 2 = min 3, 4τ ) i+1, j τ i+2, j 3, 4τ i, j+1 τ i, j+2 3, (2.34) ). (2.35) Cabe destacar que, a primeira aproximação do FMM, baseada nos esquemas de diferenças finitas de primeira ordem pode resultar em grandes erros nos tempos de trânsito, principalmente nos dois seguintes itens: 1. quando há uma grande curvatura das frentes de onda, o que ocorre geralmente em torno da fonte (ALKHALIFAH e FOMEL, 2001); 2. quando as frentes da onda se propagam em direção diagonal em relação a orientação da malha. De modo geral, isto é melhorado com a utilização do HAFMM, o qual permite uma redução da ordem do erro no cálculo das derivadas envolvidas, mas implicando em um inevitável aumento do custo computacional. Para minimizar o erro no primeiro item, ALKHALIFAH e FOMEL (2001) propuseram o FMM em coordenadas esféricas (3D) e polares (2D). Segundo os autores, a implementação em coordenadas polares melhorou a precisão da solução, praticamente, sem nenhuma perda da eficiência computacional. Quanto ao segundo item, HASSOUNA e FARAG (2007) propuseram o MSFM, que obtém a solução pela iconal em cada ponto da malha usando dois estêncis e então seleciona a solução que satisfaz a condição de upwind, como explicado abaixo. 26

47 Multistencils Fast Marching Method 2D De acordo com HASSOUNA e FARAG (2007), dois procedimentos são possíveis para minimizar o erro cometido na direção diagonal. O primeiro consiste em usar apenas um estêncil centrado em x e alinhado com o sistema de coordenadas naturais. Este sistema de coordenadas é, então, rotacionado de tal forma a interceptar os pontos das diagonais. Assim, a equação iconal é resolvida ao longo do sistema xy e ao longo do sistema xȳ. Logo, duas soluções são encontradas para o tempo de trânsito em x, sendo que aquela que satisfaz a relação de causalidade do FMM é selecionada. Esse procedimento está limitado a malhas uniformes, onde o espaçamento na direção x é igual àquele na direção z ( x = z). O segundo procedimento é mais geral, pois usa dois estêncis centrados em x e inclui todos os pontos vizinhos das direções horizontais e verticais mais aqueles das diagonais. Dessa forma, os gradientes nas diagonais são aproximados usando derivadas direcionais. Para descrever o procedimento, considere o estêncil S 1, que cobre os pontos na direção do sistema de coordenadas naturais, e S 2, que cobre os pontos nas direções diagonais, os quais interceptam os pontos da malha p 1, p 2, q 1 e q 2, conforme ilustrado na figura 2.5. Seja os vetores unitários r 1 = [r 11, r 12 ] T e r 2 = [r 21, r 22 ] T ao longo dos segmentos de reta p 2 p 1 e q 2 q 1, respectivamente, e τ 1 e τ 2 as derivadas direcionais ao longo de r 1 e r 2, respectivamente, que podem ser escritas como: (a) Estêncil S 1. (b) Estêncil S 2. Figura 2.5: Ilustração dos pontos envolvidos nos estêncis S 1 e S 2 para um ponto central x. τ 1 = r 1 τ(x) = r 11 τ x + r 12 τ z, (2.36) τ 2 = r 2 τ(x) = r 21 τ x + r 22 τ z, (2.37) 27

48 esta duas expressões podem ser reescrita em forma matricial, então: Assim, tem-se que: τ 1 τ 2 = r 11 r 12 r 21 r 22 τ x τ z. (2.38) τ = R τ(x) τ(x) = R 1 τ, aplicando a operação de transposição em ambos lados na última expressão: [ τ(x)] T = (R 1 τ) T [ τ(x)] T = τ T R T. Uma vez que τ(x) 2 = [ τ(x)] T τ(x), então τ(x) 2 = τ T R T R 1 τ = τ T (RR T ) 1 τ = 1 C 2 (x). (2.39) Se Θ é o ângulo entre os vetores direcionais, então RR T é dado como: r 1 2 r 1 r 2 r 1 r 2 r 2 2 = 1 cos(θ) cos(θ) 1 (2.40) e (RR T ) 1 = 1 sen 2 (Θ) 1 cos(θ) cos(θ) 1. (2.41) Substituindo (2.41) em (2.39), chega-se a uma expressão fechada que relaciona as derivadas direcionais do tempo de trânsito ao longo de um estêncil arbitrário que é obtida como segue: τ 2 1 2τ 1 τ 2 cos(θ) + τ 2 2 = sen2 (Θ), (2.42) Ci, 2 j A aproximação de primeira ordem para a derivada direcional τ v que obedece a 28

49 solução da equação (2.29) é expressa como: ( ) τi, j τ v τ v = max x i, j x v, 0, v = 1, 2, (2.43) onde τ i, j, τ 1 e τ 2 estão dados em (2.31) e (2.32) e x v é um ponto da malha conhecido em que τ v é mínimo. Por outro lado, a aproximação de segunda ordem que também obedece (2.29) é expressa como sendo: ( ) 3(τi, j τ v ) τ v = max 2 x i, j x v, 0, v = 1, 2, (2.44) onde τ 1 e τ 2 estão dados em (2.34) e (2.35) e assim como mencionado anteriormente, x v é um ponto da malha conhecido em que τ v é mínimo. De acordo com HASSOUNA e FARAG (2007), para facilitar a compreensão, toma-se uma malha uniformemente distribuída, isto é, x = z = h que implica Θ = π. Neste caso, a solução na direção do sistema de coordenadas naturais pode 2 ser obtida utilizando as aproximações de primeira ordem, dadas em (2.30), ou de segunda, dadas em (2.33). Por outro lado, para as direções diagonais, tem-se as expressões (2.45) e (2.46) para os esquemas de primeira e segunda ordem, respectivamente. ( τi, j τ 2 ( ) 1 τi, j τ 2 2 max, 0) + max, 0 = 1, (2.45) 2h 2h Ci, 2 j [ ] 3(τi, j τ 1 ) 2 [ ] max 2 x 2 + z, 0 3(τi, j τ 2 ) 2 + max 2 2 x 2 + z, 0 = 1. (2.46) 2 Ci, 2 j Para ambos os estêncis, se τ i, j > max (τ 1, τ 2 ), então as expressões (2.30), (2.33), (2.45) e (2.46) podem ser reduzidas a uma equação do segundo grau na forma: onde g está dado na tabela 2.1. [( ) 2 ( ) 2 ] g(h) τi, j τ 1 + τi, j τ 2 = 1, (2.47) Ci, 2 j Tabela 2.1: Valores da função g = g(h) dependente do tipo de orientação e esquema numérico utilizado. Estêncil Primeira ordem Segunda ordem S 1 g = 1/h 2 g = 9/4h 2 S 2 g = 1/2h 2 g = 9/8h 2 A condição upwind para o caso mais geral (para detalhes sobre a dedução desta 29

50 condição, ver HASSOUNA e FARAG (2007)), é dada por: τ 1 τ 2 g( x, z)sen(θ) C i, j. (2.48) Neste caso, o valor de g = g( x, z) para ambos os estêncis é apresentado na tabela 2.2. Tabela 2.2: Coeficientes de condição upwind para ambos os estêncis S 1 e S 2. Estêncil Primeira ordem Segunda ordem S 1 g = min( x, z) g = 2 min( x, z) S 2 g = x 2 + z 2 g = 2 x 2 + z Suavização do Campo de Vagarosidade É altamente desejável que a matriz de tempo de trânsito seja o mais suave possível, isto é, apresente um reduzido número de descontinuidades para melhorar o cálculo dos gradientes associados. Sabe-se que, estas descontinuidades são causadas durante a propagação do campo de ondas pelas diversas reflexões e reverberações provenientes principalmente na presença de altos contrastes de impedância entre as interfaces que podem interagir construtivamente nos valores das amplitudes (BUL- CÃO, 2004). Como observado nos algoritmos mostrados na seção 2.1.3, um efeito construtivo nas amplitudes significa que a matriz de tempo, MT T, poderá registrar tempos que não o da onda direta, isto é, tempos maiores do que deveria ser registrado. Dentro deste contexto, um procedimento que pode ser empregado para minimizar as reflexões decorrentes da propagação do campo de ondas, visando melhorar os resultados associados à obtenção da matriz de tempo de trânsito através da redução das descontinuidades presentes na mesma, é a suavização do modelo de velocidades, para diminuir os contrastes de impedância acústica ao longo do modelo. A suavização é feita utilizando o campo de vagarosidade (inverso da velocidade), conforme mostra a expressão (2.49), de modo a garantir que o tempo de trânsito necessário para se alcançar um determinado ponto da malha não seja alterado significativamente (LOEWENTHAL et al., 1987). MV i, j = 1 2 nps + 1 nps k= nps 1 C i+k, j, (2.49) onde MV i, j é a média móvel atribuída a cada nó (i, j) da malha considerando nps pontos em uma dada direção i e/ou direção j, sendo C i, j a velocidade em cada nó 30

51 (i, j). A fim de mostrar o efeito do processo de suavização sobre o modelo de velocidades, o conjunto de figuras 2.6 ilustram a redução do contraste de impedância entre as camadas quando aplicado uma suavização com nps = 10 pontos tanto na direção i quanto na direção j. Ressalta-se que, embora o processo de suavização seja crucial para a redução do contrate de impedância, o valor de nps adotado não deve ser alto a tal ponto que influencie significativamente na direção de propagação da onda. (a) Modelo sem suavização. (b) Perfil de velocidades do modelo ao lado. (c) Modelo com suavização. (d) Perfil de velocidades do modelo ao lado. Figura 2.6: Ilustração do efeito produzido pelo processo de suavização com nps = 10 pontos por direção no macro-modelo de velocidades. 31

52 Capítulo 3 Obtenção de Ângulos de Incidência Utilizando MTT Durante anos a técnica de AVO tem sido utilizada com ou sem sucesso, normalmente como um caracterizador da litologia, mas em muitos casos como um indicador da existência de hidrocarbonetos (VASQUEZ, 1999). A caracterização da subsuperfície através dos estudos de AVO pode ser crucial na fase do processamento sísmico para evidenciar melhor a existência de hidrocarbonetos. Sendo que, o seu grande êxito é devido ao fato de ser aplicado em meios com baixa ou sem nenhuma variação lateral de impedância onde usar AVO ou AVA não faz muita diferença (SILVA, 2009), daí o porquê da amplitude refletida ser medida em função do afastamento e não do ângulo de incidência/reflexão. No entanto, a análise de AVO é originária dos estudos de AVA (YILMAZ, 2001), como pode ser observado nas equações de Zoeppritz (Zoeppritz (1919) apud CASTAGNA e BACKUS (1993)) onde a amplitude refletida é função do ângulo e dos parâmetros do meio (PAUL, 2004). Cada vez mais os refletores de interesse estão localizados em altas profundidades e imersos em meios com grande grau de complexidade, como aqueles envolvendo flancos salinos, expressivas variações laterais de velocidade e mergulhos bastante acentuados, requerendo que o estudo das curvas de refletividades sejam feitas através da técnica de AVA, uma vez que a característica mais importante do processo de reflexão é sua dependência com o ângulo, ou seja, a quantidade de energia que é refletida em uma interface depende do ângulo de incidência do campo de ondas com relação a normal do refletor (SILVA, 2009). A partir deste contexto, desenvolve-se neste trabalho uma metodologia de extração de ângulos de incidência/reflexão que consiste na utilização da matriz de tempo de trânsito (MTT) e do macro-modelo de velocidades. Basicamente, a ideia é fazer a aplicação do operador gradiente na MTT para extrair o ângulo entre o campo incidente e a componente vertical do mesmo e, de igual modo, repete-se o mesmo procedimento para o macro-modelo de velocidades, onde é obtido o ângulo formado 32

53 pela reta normal ao refletor e a componente vertical do gradiente. A partir daí, faz-se a composição destes dois ângulos de tal modo a obter o ângulo incidente em cada ponto ao longo da superfície refletora. Neste capítulo, serão apresentados a metodologia desenvolvida para obter os ângulos de incidência e os métodos utilizados para calcular as derivadas numericamente. Mas, primeiramente, faz-se uma descrição sobre frente de onda e como ocorre o fenômeno de partição de energia quando esta incide sobre um refletor contendo diferentes propriedades acústicas. No final do capítulo é mostrado uma outra abordagem desenvolvida neste trabalho para obter os ângulos, correspondentes àqueles oriundos da matriz de tempo de trânsito, aplicando o operador de diferenças finitas de quarta ordem durante a propagação do campo de ondas. 3.1 Conceitos Preliminares Frente de Onda A frente de onda é dada pelas curvas de nível da variável tempo, isto é, t = τ(x) = constante. Matematicamente, as curvas de nível descrevem curvas no plano, e superfícies no espaço, ao longo das quais uma função assume valores constantes. As curvas de nível são bastante utilizadas em mapas meteorológicos para fazer a representação de pontos de mesma temperatura, chamadas isotermas ou da mesma pressão, chamadas isobáricas. Outro tipo comum de curvas de nível são aquelas utilizadas com frequência para representar mapas topográficos, onde as curvas de nível representam coleções de pontos de mesma altura (LARSON et al., 1998). Daí, fica caracterizado que as frentes de onda descritas pelo tempo são curvas de nível no espaço bidimensional e superfícies no tridimensional (POPOV, 2002). (a) Isócronas correspondentes à propagação ao lado. (b) Propagação de campo de ondas em diferentes instantes de tempo. Figura 3.1: Frentes de onda definidas pelas isócronas associadas à amplitude máxima correspondente à propagação do campo de ondas. Sendo assim, as curvas de nível que representam pontos que possuem o mesmo 33

54 tempo são chamadas isócronas. Conforme ilustrado na figura 3.1, durante o processo de propagação, para o caso deste trabalho, as isócronas estarão sempre associadas aos registros da amplitude máxima ou da amplitude máxima nas proximidades da primeira quebra do sinal da fonte sísmica que passa por cada ponto da malha Operador Gradiente O operador gradiente é o elemento chave da metodologia proposta neste trabalho, pois é através da aplicação deste operador sobre o macro modelo de velocidades e sobre a matriz de tempo de trânsito que serão obtidos os ângulos auxiliares necessários para compor o ângulo de incidência/reflexão em profundidade. A aplicação do operador gradiente sobre uma função G(x, z) no ponto (x, z), denotado por G(x, z), é definido como: ( G(x, z) G(x, z) = (Gx, G z ) =, x ) G(x, z), (3.1) z e sua magnitude G(x, z) dada por: G(x, z) = G 2 x + G 2 z. (3.2) Figura 3.2: Orientação da forma como é obtido o ângulo θ. Utilizando a equação (3.1), pode-se então calcular o ângulo associado a direção do gradiente com a componente horizontal ou vertical. Conforme ilustrado na figura (3.2), o ângulo será obtido em relação a componente vertical pela seguinte expressão: ( ) θ(x, z) = tan 1 Gx. (3.3) G z 34

55 Ressalta-se que o cálculo numérico das derivadas na expressão (3.1) está diretamente relacionado com a precisão do ângulo obtido, sendo extremamente desejável, portanto, utilizar aproximações adequadas nestes cálculos Reflexão e Refração das Ondas Acústicas Considere a figura 3.3 onde um raio de propagação 1 de uma onda compressional incide obliquamente sobre um refletor plano horizontal. Pelo princípio de Huygens, haverá o fenômeno de partição de energia (amplitudes) devido à diferença de propriedades acústicas (velocidade entre os meios - C 1 e C 2 ) levando ao surgimento de um raio de onda refletido e um transmitido. No meio acústico os raios incidente, refletido e transmitido são sempre perpendiculares às suas respectivas frentes de onda (CERVENÝ, 1987; POPOV, 2002). Associado a cada raio de propagação, há naturalmente o surgimento dos ângulos definidos entre os raios de propagação e a normal ao refletor, sendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Figura 3.3: Raio incidente gerando um raio refletido e transmitido no meio acústico. Como será mostrado na seção 4.1.1, os ângulos γ e φ podem ser relacionados através da Lei de Snell a qual estabelece que os senos dos ângulos de incidência e transmissão são diretamente proporcionais às velocidades da onda nos respectivos meios, ou seja: ou, reescrevendo na forma tradicional: C 2 sen(γ) = C 1 sen(φ), (3.4) sen(γ) C 1 = sen(φ) C 2 = ϱ, (3.5) 1 Linha imaginária na direção de propagação da onda. 35

56 onde ϱ é conhecido como parâmetro do raio. A partir da Lei de Snell é possível descrever o surgimento das head waves que ocorrem a partir do ângulo crítico quando toda a energia incidente passar a ser refletida. As head waves surgem para equilibrar o campo de pressões em ângulos maiores que o crítico, onde as frentes de onda abaixo e acima do refletor se separam causando uma descontinuidade, conforme ilustra figura 3.4. Isto ocorre só se C 1 < C 2 e, naturalmente, para φ = 90. Nesta situação a equação (3.5) é escrita na forma da expressão (3.6), onde γ c é o ângulo crítico. C 1 C 2 = sen(γ c ). (3.6) Figura 3.4: Ilustração do surgimento das head waves. Uma forma de medir o quanto de energia é refletido e transmitido quando o raio de propagação incide sobre um certo ponto do refletor é através dos coeficientes de reflexão e transmissão. O coeficiente de reflexão é dado por: R r (x, z, γ) = κcos(γ) [ 1 κ 2 sen 2 (γ) ] 1/2 κcos(γ) + [ 1 κ 2 sen 2 (γ) ] 1/2, (3.7) e o de transmissão R t (x, z, γ) = 1 + R r (x, z, γ) = 2κcos(γ) κcos(γ) + [ 1 κ 2 sen 2 (γ) ] 1/2, (3.8) onde κ = C 2 C 1. Na teoria dos raios, os coeficientes de reflexão e transmissão governam as amplitudes do raio quando este se reflete ou se transmite através de uma interface suave. 36

57 Isto ocorre porque na vizinhança da interface, esta se comporta como plano tangente e a frente de onda do raio incidente é aproximada como uma frente de onda plana (VASQUEZ, 1999). 3.2 Metodologia Proposta para Obtenção de Ângulo de Incidência A metodologia proposta baseia-se em obter ângulos auxiliares a partir da MTT e do modelo de velocidades para compor o ângulo final de incidência em profundidade, conforme explicado a seguir Ângulo da MTT Novamente, considere um vetor de propagação ou raio de propagação para uma dada isócrona. Uma vez que a direção de propagação é perpendicular às isócronas, o vetor gradiente também cumpre o mesmo papel, ou seja, fornece a direção de propagação. Sendo assim, pode-se obter o ângulo entre a direção do raio de propagação e a componente vertical do vetor gradiente (eixo z do modelo) usando as componentes do gradiente obtido a partir das isócronas, conforme figura a 3.5. Este é o primeiro ângulo auxiliar necessário para obter o ângulo de incidência/reflexão, o qual é chamado aqui de ângulo α. Figura 3.5: Raio de propagação dado pela direção do vetor gradiente e isócronas representando as frentes de onda Ângulo do Modelo de Velocidades Em se tratando do modelo, considere um refletor plano em situação inclinada, conforme figura 3.6. Da mesma forma que descrito anteriormente, pode-se obter o 37

58 ângulo entre a direção do vetor gradiente e a vertical quando o operador gradiente é aplicado sobre o macro-modelo de velocidades, já que este vetor é paralelo à direção normal do refletor. Portanto, a aplicação do operador gradiente fornece o segundo ângulo auxiliar dado como sendo entre a reta normal ao refletor e a componente vertical do vetor gradiente, o qual é chamado de ângulo β. Figura 3.6: Vetor gradiente e suas componentes em um certo ponto do refletor Composição do Ângulo de Incidência/Reflexão Para fazer a composição do ângulo de incidência, vai-se sintetizar as duas considerações feitas nas duas seções anteriores. Para tanto, considere a figura 3.7 que ilustra os ângulos α, sendo formado entre o raio incidente e a reta vertical, e β, o ângulo entre a reta normal ao refletor e a reta vertical. Ambos os ângulos são oriundos da aplicação das equações (3.1), (3.2) e (3.3), sendo que, como já visto, o primeiro vem da matriz de tempo de trânsito e o segundo do macro-modelo de velocidades. Como resultado final, faz-se a aplicação da equação (3.9) para obter o ângulo γ de incidência/reflexão em cada ponto da malha. γ = α β (3.9) Os demais casos em que são consideradas as diversas formas que um raio pode incidir sobre o refletor, assim como as posições que este se encontra em subsuperfície (inclinado, vertical e horizontal) não foram mostrados por se tratar de simples situações semelhantes ao caso mostrado aqui. 38

59 (a) Raio de propagação incidindo pelo lado direito em relação à normal. (b) Raio de propagação incidindo pelo lado esquerdo em relação à normal. Figura 3.7: Exemplo de um raio de propagação incidindo sobre um refletor inclinado onde as componentes do vetor gradiente da matriz de tempo de trânsito são positivos. 3.3 Métodos Numéricos para Cálculo de Gradientes A principal dificuldade da aplicação da metodologia desenvolvida é, numericamente, a obtenção das derivadas que compõem o vetor gradiente. Isto porque tanto a matriz de tempo de trânsito quanto o macro-modelo de velocidades possuírem fortes descontinuidades e a operação de derivação leva em conta a influência local das propriedades sendo bastante sensível a pequenas alterações. Para diminuir as fortes descontinuidades e aplicar os procedimentos de obtenção de derivadas explicados nas seções seguintes, faz-se uso do procedimento de suavização mostrado na seção 2.3, pois este reduz as reflexões advindas da propagação do campo de ondas durante a obtenção da matriz de tempo de trânsito. Sendo assim, para a matriz de tempo, menos descontinuidades significa menos contraste de impedância acústica por parte do modelo que a gerou, assim como redução da forte descontinuidade deste, como mostrado na figura 2.6. Serão abordados, três procedimentos de obtenção das derivadas, a saber: os tradicionais operadores de diferenças finitas (FORTUNA, 2000; STRIKWERDA, 2004); as funções de base radial (RBFs - Radial Basis Functions) (BUHMANN, 2003; LIU, 2002) e splines cúbicas locais conhecidas como polinômio de Akima (AKIMA, 1974a,b, 1996), os quais serão mostrados nas próximas seções. Uma outra abordagem desenvolvida neste trabalho foi a extração do gradiente, através do operador de diferenças finitas de quarta ordem, durante a propagação do campo de ondas, isto é, diretamente do campo de pressão, como será visto na seção

60 3.3.1 Gradiente Via Operadores de Diferenças Finitas No apêndice A, encontra-se o desenvolvimento de como são obtidos os principais operadores de diferenças finitas utilizados ao longo deste trabalho, assim como o operador de derivada primeira de quarta ordem utilizado na obtenção das derivadas numéricas Gradiente Via Funções de Base Radial As funções de base radial são muito conhecidas no contexto das redes neurais artificiais (RNAs) (BISHOP, 1996) e mais recentemente vêm sendo usadas nas aplicações que necessitam resolver EDPs, impondo-se como uma boa alternativa ao método dos elementos finitos (MEF), por exemplo, já que não há a necessidade do processo de geração de malha (LIU, 2002). Embora o método das RBFs para aproximação de funções seja hoje uma das técnicas mais usadas para aproximar dados dispersos (BUHMANN, 2003), o seu uso neste trabalho se deu devido à facilidade de implementação e fácil controle dos pontos de influência que corroboram para encontrar o valor de um certo ponto em questão, como será visto a seguir. Para facilitar a exposição da obtenção das derivadas utilizando as RBFs, considere um conjunto de dados arbitrários e distintos a serem interpolados, isto é, {(x 1, u 1 ), (x 2, u 2 ),...,(x i, u i ),...,(x N, u N )}, onde u i é o valor da função u amostrada no ponto x i R 2 e N corresponde ao número total de pontos da malha. Deseja-se encontrar uma função de interpolação ũ i = ũ(x i ) = u(x i ) da forma: ũ i = N σ j ψ i j (3.10) j=1 e, posteriormente, suas derivadas parciais: ũ i N x = ψ i j σ j x, (3.11) j=1 ũ i N z = ψ i j σ j z, (3.12) j=1 sendo σ j os pesos da função de interpolação a serem determinados, ψ i j = ψ(r i j ) uma função de base radial, ou seja, uma função radial com respeito a distância euclidiana em torno do ponto x i (centro), onde r i j é dado por: r i j = (x i x j ) 2 + (z i z j ) 2. (3.13) 40

61 Pertencente a uma classe especial de funções, a RBF ψ = ψ(r) está associada a uma função unidimensional cujos valores, em geral, crescem ou decrescem monotonicamente em relação a distância r. Para possibilitar a determinação dos pesos σ j em (3.10), MICCHELLI (1986) mostrou a existência de uma gama de funções adequadas para interpolação que geram um sistema linear de equações consistente e determinado. A tabela 3.1 mostra as tradicionais funções utilizadas como RBFs (BUHMANN, 2003; LIU, 2002; SCHA- BACK, 2000). Algumas delas possuem parâmetros livres chamados de parâmetros de forma os quais controlam a forma da RBF, como pode ser visto na figura 3.8. Estes parâmetros, portanto, precisam ser ajustados para se conseguir uma melhor performace (LIU, 2002), como é o caso do parâmetro ζ que controla o raio de influência de cada função e que pode alterar significativamente a qualidade da solução. Tabela 3.1: RBFs tradicionais. Nome RBF Parâmetro de forma Multiquádrica ψ(r) = (r 2 + ζ) q ζ, q Gaussiana ψ(r) = e ζr ζ Logarítmica ψ(r) = r ζ log r ζ Quando q = ±1/2 a função multiquádrica é classicamente conhecida como multiquádrica de HARDY (1971). Destaca-se que, neste trabalho foi utilizada a função multiquádrica tomando o caso particular quando q = 1/2, a qual é chamada de multiquádrica inversa. Dessa forma, para uma malha com dimensão total de N pontos, é gerada uma matriz de interpolação densa da ordem de N 2 que apresenta um custo computacional proibitivo para os problemas a serem analisados. Então, para contornar este problema, ao invés de fazer uma interpolação global com um custo computacional elevado, adotou-se por usar sub-regiões com tamanho N = 19x19 pontos e obter as derivadas parciais apenas no ponto central destas. Embora existam alguns procedimentos sugeridos na escolha do parâmetro de forma ζ a ser usado na função multiquádrica (FASSHAUER, 2002; FRANKE, 1982; HARDY, 1971; KANSA, 1990; RIPPA, 1999), adotou-se um esquema semelhante ao leave-one-out cross validation cuja ideia é selecionar o parâmetro através da minimização de uma função custo que coleciona erros para uma sequência de previsões parciais dos dados (LIMA, 2009). Da série de testes realizados, observou-se que ζ = 10 4 gera os melhores resultados Gradiente Via Spline Cúbica Local A fim de evitar resolver um sistema linear de ordem elevada, diminuir a complexidade e o tempo computacional para fazer a interpolação de um conjunto de 41

62 (a) Multiquádrica (q = 1/2). (b) Multiquádrica inversa (q = 1/2). (c) Gaussiana. (d) Logarítmica. Figura 3.8: RBFs tradicionais. dados, AKIMA (1970) apresentou um novo conceito de interpolação, inicialmente, unidimensional, mais tarde estendido para o caso bidimensional aplicado em malhas retangulares (AKIMA, 1974a,b) e triangulares (AKIMA, 1978a,b). O grande diferencial do método de interpolação desenvolvido pelo autor é que, ao invés de ser aplicado no conjunto de dados como um todo, é aplicado localmente utilizando um polinômio de terceiro grau. Essa característica o torna muito diferente da spline cúbica tradicional a qual é aplicada em todo conjunto de dados gerando um sistema linear de ordem elevada. Por ser baseado em um polinômio cúbico, a interpolação usando o polinômio de Akima costuma ser chamada de spline de Akima constituindo-se numa classe de spline. Com o propósito de fazer a explicação do procedimento de extração das derivadas pelo polinômio de Akima, considere o mesmo conjunto de dados definidos na seção a serem interpolados. O método é baseado em uma função contínua por partes composta por um conjunto de polinômios bicúbicos ũ i j da forma (AKIMA, 1974a,b): ũ i j = 3 3 w ab (x x i ) a (z z j ) b, (3.14) a=0 b=0 42

63 onde w ab são os pesos do polinômio. Cada polinômio bicúbico é aplicado em uma célula retangular, (x, z) [x i, x i+1 ]x[z j, z j+1 ], sendo determinado através dos valores dos dados, u i, j, e pelos valores das derivadas parciais (3.15), (3.16) e (3.17) nos quatro cantos da célula, isto é, nos pontos (i, j), (i, j + 1), (i + 1, j + 1) e (i + 1, j) mostrados na figura 3.9. ũ i j x = ũ i j z = 2 ũ i j x z = 3 a=0 3 a=0 3 a=0 3 aw ab (x x i ) a 1 (z z j ) b, (3.15) b=0 3 bw ab (x x i ) a (z z j ) b 1, (3.16) b=0 3 abw ab (x x i ) a 1 (z z j ) b 1. (3.17) b=0 Figura 3.9: Malha e célula computacional mostrando os pontos que determinam o polinômio bicúbico. Como evidenciado, a interpolação pelo método Akima requer que sejam determinadas as derivadas parciais para, posteriormente, poder resolver um sistema linear localmente. A forma como são calculadas as derivadas parciais é que torna este método único. Como neste trabalho se utiliza apenas as derivadas parciais (3.15) e (3.16), faz-se abaixo a descrição de como as mesmas são calculadas. Esta descrição será feita seguindo os trabalhos de AKIMA (1991) para o caso bidimensional e AKIMA (1996) para o caso unidimensional, nos quais Akima apresenta um novo procedimento para obter as derivadas. Como se trata apenas das derivadas nas direções do sistema de coordenadas cartesianas, toma-se, como exemplo, para descrever o procedimento apenas a direção do eixo x, como consta em AKIMA (1991). Sendo assim, a equação (3.14) é reescrita como: ũ = 3 w a (x x i ) a. (3.18) a=0 43

64 Usando os valores dos dados correspondentes ao pontos i e i + 1, Akima determinou que os coeficientes do polinômio cúbico são dados por: w 0 = u i w 1 = u i, w 2 = 3m i 2u i u i+1 x i+1 x i, w 3 = u i + u i+1 2m i x i+1 x i, onde m i é a inclinação do segmento de reta que liga os pontos i e i + 1, ou seja: m i = u i+1 u i x i+1 x i. A derivada, u i, é encontrada através da expressão: u i = 4 k=1 ρ k y k 4 k=1 ρ k. (3.19) onde y k é a derivada calculada em i por um polinômio de terceiro grau passando pelo ponto i e outros três pontos vizinhos (figura 3.9): y 1 y 2 y 3 y 4 = F(i, i 3, i 2, i 1), (3.20) = F(i, i 2, i 1, i + 1), (3.21) = F(i, i 1, i + 1, i + 2), (3.22) = F(i, i + 1, i + 2, i + 3), (3.23) sendo F um polinômio de grau três aplicado nos respectivos pontos acima utilizado na determinação de y k. Para os pontos i, i + 1, i + 2 e i + 3, por exemplo, o polinômio é dado por: F(i, i + 1, i + 2, i + 3) = l 1 + l 2 + l 3, (3.24) onde 44

65 l 1 = (u i+1 u i )(x i+2 x i ) 2 (x i+3 x i ) 2 x i+3 x i+2, l 2 = (u i+2 u i )(x i+3 x i ) 2 (x i+1 x i ) 2 (x i+1 x i+3 ), l 3 = (u i+3 u i )(x i+1 x i ) 2 (x i+2 x i ) 2 (x i+2 x i+1 ), = (x i+1 x i )(x i+2 x i )(x i+3 x i )(x i+2 x i+1 )(x i+3 x i+2 )(x i+3 x i+1 ). Os pesos, ρ k, são inversamente proporcionais ao produto do que Akima chamou de fator de volatilidade (volatility) e fator distância: ρ k = 1 ε k ϖ k. (3.25) O fator distância, ϖ k, é a soma dos quadrados da distância do ponto i aos outros três pontos vizinhos e o fator de volatilidade, ε k, é a soma dos quadrados dos desvios obtidos via regressão linear nesses mesmos pontos (o mesmo conjunto de pontos mostrados nas equações (3.20) a (3.23)). Neste trabalho, utilizou-se a sub-rotina RGPD3P (AKIMA, 1996) adaptada para obter apenas as duas derivadas parciais, sendo que a mesma se encontra disponível no repositório Netlib Gradiente Via Propagação do Campo de Ondas Neste trabalho, desenvolveu-se um procedimento alternativo para obtenção do gradiente e, consequentemente, dos ângulos auxiliares correspondentes àqueles oriundos da matriz de tempo de trânsito. A ideia deste esquema é utilizar os mesmos algoritmos usados para obter os tempos de trânsito (ver seção 2.1.3), isto é, usar as condições que possibilitam registrar os tempos como condição auxiliar para obter as derivadas parciais do campo de pressão durante a propagação do campo de ondas em cada ponto da malha. Partindo do Algoritmo 01, por exemplo, tem-se o Algoritmo 03, onde observa-se que o procedimento requer que seja determinado o ponto de máxima amplitude, P reg (i, j). Tão logo registrada tal amplitude em um certo ponto (i, j), dá-se início ao processo do cálculo das derivadas do campo de pressão, DPX atual e DPZ atual, aplicado sobre a parte restante da onda que passará naquele ponto. Isto é possibilitado graças a variável T janela(i, j) que, ao invés de armazenar o tempo da amplitude máxima, armazena o tempo que falta para todo restante do campo passar através do ponto em questão, ou seja, a partir do campo de pressão máximo registrado, abre-se uma janela de tempo para cada ponto da malha

66 Algoritmo 03 1 se ( P(i, j, n) > P reg (i, j) ) então 2 P reg (i, j) P(i, j, n) 3 T janela(i, j) n t + t f 4 fim se 5 se (T janela(i, j) > n t) então 6 DPX atual 7 DPZ atual P(i, j) x P(i, j) z 8 GRAD atual (DPX atual ) 2 + (DPZ atual ) 2 9 GRAD reg (DPX reg (i, j)) 2 + (DPZ reg (i, j)) 2 10 se (GRAD atual > GRAD reg ) então 11 DPX reg DPX atual 12 DPZ reg DPZ atual 13 fim se 14 fim se fim onde: T janela(i, j) é uma matriz que contém os valores da janela de tempo criada para cada ponto a partir do instante de tempo em que é registrada a amplitude maior do que a anterior até alcançar a máxima armazenada, P reg (i, j); DPX atual e DPZ atual são os valores das derivadas parciais nas direções x e z do campo de pressão no instante de tempo atual obtidos através dos operadores de diferenças finitas de quarta ordem, (A.13), assim como DPX reg (i, j) e DPZ reg (i, j) que contém as derivadas já registradas; GRAD atual e GRAD reg armazenam a soma dos quadrados das derivadas parciais, respectivamente, no instante de tempo atual e naquele já registrado. Dentro da janela de tempo criada, vários valores para as derivadas parciais são calculados, selecionando-se as derivadas cuja soma dos quadrados seja maior do que aquela já registrada anteriormente (linha 10). Após o campo de ondas percorrer todo o modelo de velocidades, calcula-se os ângulos auxiliares correspondentes àqueles obtidos pela matriz de tempo de trânsito, conforme descrito na seção 3.2. De forma opcional, no procedimento descrito anteriormente, também pode-se obter a matriz de tempo, MTT. Nos exemplos mostrados no capítulo 5 isso será realizado para efeito de comparação. Nota-se que obter o gradiente do campo de pressão no decorrer da propagação do campo de ondas com a metodologia descrita implica em um aumento considerável 46

67 de tempo de processamento, assim como em um aumento da quantidade de memória utilizada. Estes são fatores que, computacionalmente, podem tornar este procedimento menos atraente, haja vista que a dimensão dos macro-modelos de velocidades utilizados nas modelagens sísmicas terem dimensões, geralmente, elevadas. 47

68 Capítulo 4 Soluções de Referência Com o intuito de comparar os resultados obtidos com a metodologia proposta neste trabalho, implementou-se o traçamento cinemático de raios para a geração dos ângulos de incidência e das matrizes de tempo de trânsito de forma semi-analítica baseado na ideia do traçado de raios entre dois pontos (two-point ray tracing), mas resolvido pelo shooting method (traçado de raios tradicional - ray tracing). Este tipo de problema é considerado como traçado de raios de valor de contorno (boundaryvalue ray tracing), cuja solução é obtida pelo bending method, mas, devido às dificuldades de implementação e custo computacional, é amplamente resolvido pelo shooting method (CERVENÝ, 1987). Neste capítulo, faz-se uma breve descrição tanto do shooting method quanto do bending method para dar uma ideia destas duas abordagens, sendo que mais detalhes destes dois métodos podem ser encontrados em CERVENÝ (1987) ou CERVENÝ (2001). Com o objetivo de descrever as duas abordagens, apresenta-se inicialmente o princípio de Fermat e a Lei de Snell, necessários para compreender os demais conceitos desenvolvidos no capítulo. 4.1 Conceitos Preliminares Princípio de Fermat e Lei de Snell Para descrever inicialmente a teoria de raios, um princípio bastante utilizado é aquele formulado por Pierre Fermat conhecido como princípio de Fermat (tempo mínimo) (CERVENÝ, 1987), cuja ideia foi desenvolvida inicialmente para o caso de raios ópticos, mas que é igualmente aplicada para o caso dos raios de ondas sísmicas. Este princípio é baseado no fato de que para um conjunto de caminhos percorridos pelos raios emitidos de um ponto a outro, aquele de caminho mais curto não corresponde à chegada de menor tempo entre os dois pontos. Antigamente, pensava-se que o caminho percorrido pela luz indo de um ponto a 48

69 outro através de uma superfície refletora era o de caminho mais curto possível. Mais tarde, descobriu-se que um feixe de luz atravessando uma interface não toma uma linha reta ou um caminho mais curto entre um ponto no meio incidente e um no meio de transmissão. Fermat, propôs seu princípio de tempo mínimo válido tanto para reflexão quanto refração onde, basicamente, o caminho real entre dois pontos tomados por um feixe de luz é aquele que corre em menor tempo. Uma consequência direta do princípio de Fermat é a Lei de Snell, já que o traçado de raios corresponde aos tempos de trânsito estacionários. Neste caso, entende-se a estacionalidade como mínimo tempo, embora existam importantes situações físicas para as quais o tempo de trânsito é máximo (MARGRAVE, 2003). Uma vez que se está tratando apenas o caso acústico, a Lei de Snell é uma relação que rege os ângulos de incidência e transmissão da frente de onda compressional ao atravessar uma interface separada por dois meios com propriedades acústicas distintas. Como exemplo da aplicação do princípio de Fermat para o caso da refração, considere a figura 4.1(a) onde se deseja encontrar qual curva fornece o tempo de trânsito para um campo de onda elementar (raio) que vai do ponto A ao ponto B. Em outras palavras, deseja-se encontrar o tempo mínimo t com relação à variável L. Sendo assim (HECHT, 2002): isto é, t = AO C 1 + OB C 2, (4.1) [H 2 + ( L L ) 2 ] 1/2 t = (H2 + L 2 ) 1/2 C 1 + C 2. (4.2) Minimizando a equação (4.2) ( dt dl = 0) e observando na figura 4.1(a) que sen(γ) = sen(φ) = L (H 2 + L 2 ) 1/2, L L [H 2 + ( L L ) 2 ] 1/2, tem-se: a qual corresponde a Lei de Snell. sen(γ) C 1 = sen(φ) C 2, (4.3) Desta forma, a Lei de Snell relaciona os ângulos de incidência, γ, e transmissão, φ, da frente de onda de modo que os senos dos ângulos de incidência e transmissão 49

70 (a) Princípio de Fermat aplicado a reflação. (b) Raio se propagando através de um meio estratificado. Figura 4.1: Ilustração geométrica do princípio de Fermat. são diretamente proporcionais às velocidades das ondas nos respectivos meios (C 1 e C 2 ). Portanto se um feixe de luz ou um campo de onda viaja do ponto A ao ponto B no menor tempo possível, deve satisfazer a Lei de Snell. No caso em que se tem um material composto de k camadas estratificadas, cada uma com diferentes velocidades, como na figura 4.1(b), o tempo de trânsito de A até B será dado por: t = k k=1 d k C k, (4.4) onde d k e C k denotam a extensão e a velocidade, respectivamente, associadas com a k-ésima camada. 50

71 Claramente que, para uma distribuição contínua da velocidade, C(x), o tempo de trânsito de um raio sísmico ao longo de um possível caminho que liga o ponto A ao ponto B é dado pelo funcional de Fermat: τ(x) = B A dt = B A 1 dl, (4.5) C(x) onde dl denota o comprimento infinitesimal da curva ao longo do caminho. Um exemplo de aplicação, é o caso da tomografia sísmica interpoços onde, aproveitando a existência de poços já perfurados, coloca-se a fonte em um poço e os receptores em outro. registra-se os tempos de chegada das mesmas. Emitindo um campo de ondas sísmicas a partir da fonte, Abordagens Tradicionais do Traçado de Raios Na teoria de raios, duas abordagens principais são tradicionalmente aplicadas (PIMENTEL, 1994; ZHANG et al., 2009): a primeira e mais usada é conhecida como shooting method e a segunda como bending method. No caso da primeira abordagem, a direção e o ponto de partida do raio são conhecidos e, assim, constituem um sistema completo de condições iniciais para a determinação da trajetória do raio (initial-value ray tracing). Já no segundo caso, que também é conhecido como traçado de raios de dois pontos (two-point ray tracing ou boundary-value ray tracing), a direção do raio não é conhecida, exceto o ponto de partida (fonte) e o de chegada (receptor). Uma forma de encontrar a trajetória que satisfaça o sistema de traçado de raios é, neste caso, determinar uma trajetória inicial a qual é submetida a um processo de pertubação ou minimização até encontrar o melhor caminho Shooting Method Classicamente o shooting method padrão é conhecido por método de traçado de raios (ray tracing) sendo baseado nas equações (2.27) e (2.28) advindas da ART. Como já dito anteriormente, a parte cinemática é responsável por gerar os tempos de trânsito, a frente de onda e as trajetórias do raio enquanto que a parte dinâmica é responsável pelas amplitudes, a qual caracteriza a energia da onda. No entanto, é possível tratar a parte cinemática sem fazer uso da teoria assintótica. De forma muito mais simples, pode-se utilizar o princípio de Fermat e a Lei de Snell, os quais foram usados ao longo de muito tempo na sismologia para a geração de resultados bem apreciáveis (CERVENÝ, 2001). Para um conjunto de ângulos de partida, o traçado de raios gera um conjunto de caminhos onde o tempo de trânsito e os ângulos de incidência são obtidos ao longo das trajetórias (figura 4.2). Como dificuldades, este método apresenta problemas quando aplicado em modelos contendo geometrias 51

72 complexas nas quais podem existir múltiplos caminhos (multipath) e a geração de zonas de sombra (shadow zones). Como vantagem a relativa facilidade de implementação e baixo custo computacional comparativamente à propagação do campo de ondas da equação completa da onda (via MDF, por exemplo). Figura 4.2: Ilustração do shooting method Bending Method Em relação ao bending method, de acordo com CERVENÝ (2001), a ideia é traçar um raio inicial que posteriormente deve ser perturbado iterativamente até alcançar uma solução que satisfaça o sistema de equações do raio ou que minimize o tempo de trânsito (figura 4.3). O raio inicial é apenas uma referência auxiliar para ligar os dois pontos e, além disso, não precisa satisfazer o princípio de Fermat e nem mesmo a Lei de Snell. Se o raio inicial arbitrado estiver longe do raio que efetivamente deveria ser a solução, o método diverge. Esta trajetória inicial é estimada através de um algoritmo independente chamado de estimador de raio (ray estimator). O bending method pode ser aplicado como um pós-processador (postprocessor), corrigindo a trajetória inicial. Por um lado, o bending method é geralmente mais rápido do que o shooting method (CERVENÝ, 1987), mas tendo como desvantagem o fato de que os tempos de trânsito obtidos não podem ser garantidos como mínimos globais (ZHANG et al., 2009). Além disso, o bending method exige estimadores de raios adequados, caso contrario, os raios e os tempos de trânsito podem resultar imprecisos ou mesmo incorretos. 52

73 Figura 4.3: Ilustração do bending method. 4.2 Geração de Soluções de Referência Para gerar as soluções de referência, implementou-se um procedimento iterativo convergente para a obtenção dos ângulos de incidência e das matrizes de tempo de trânsito, bem como das respectivas derivadas parciais, baseado no traçado de raios de dois pontos com procedimento de solução idealizado no shooting method. Assim, são conhecidos o ponto e a direção inicial de partida do raio, além disso, também é conhecido o ponto em profundidade que o raio deve atingir. O esquema foi implementado para macro-modelos de velocidades contendo várias camadas paralelas horizontais e inclinadas. Para descrever o procedimento, considere as figuras 4.4(a) e 4.4(b), as quais apresentam um modelo homogêneo e outro constituído por três camadas paralelas horizontais homogêneas, respectivamente. A obtenção dos ângulos, dos tempos de trânsito e dos gradientes para o primeiro modelo é feita de forma imediata. Como pode ser visto neste modelo, os dados analíticos para um certo ponto (x i, z i ) são dados por: ( ) γ = cos 1 zi z f, (4.6) d i τ i = d i C i, (4.7) τ i x = x i x f d i, (4.8) 53

74 τ i z = z i z f d i, (4.9) onde γ é o ângulo em relação à vertical (ângulo incidente quando o ponto (x i, z i ) está sobre a interface), τ i é o tempo de trânsito, τ i e τ i são as derivadas parciais x z que compõem o vetor gradiente τ, e d i é a distância entre o ponto fonte (x f, z f ) e o ponto em questão. Para o caso do segundo modelo onde há mais camadas e se deseja que um certo raio atinja um determinado ponto da malha, o procedimento é iterativo. Para fazer a descrição, suponha que o objetivo é traçar um raio que vá da fonte até o ponto fixo (x 3, z 3 ) localizado na terceira camada. Basicamente, a ideia é: 1. lançar um raio inicial com um certo ângulo em relação a vertical (ângulo incidente), γ 1 ; 2. identificar a posição que este raio atinge a primeira interface, (x 1, z 1 ), através da expressão (4.10), já que, a priori, se sabe a profundidade da interface, x 1 = x f z 1 z f tan(γ 1 ); (4.10) 3. utilizar a Lei de Snell para conhecer o ângulo de partida, φ 1, que neste caso corresponde ao ângulo de incidência na segunda interface, γ 2, e, repetir o passo 2, identificando a posição da incidência via expressão x 2 = x 1 z 2 z 1 tan(γ 2 ); (4.11) 4. novamente, é aplicado a Lei de Snell e verificado se o raio atingiu o ponto desejado, (x 3, z 3 ), via expressão x 3 = x 2 z 3 z 2 tan(γ 3 ). (4.12) As expressões (4.7) a (4.9) são reescritas para o caso tratado, como segue: τ 3 = d 1 C 1 + d 2 C 2 + d 3 C 3, (4.13) τ 3 x = x 3 x 2 d 3, (4.14) τ 3 z = z 3 z 2 d 3. (4.15) 54

75 (a) Modelo homogêneo. (b) Modelo de camadas paralelas horizontais. (c) Modelo de camadas inclinadas. Figura 4.4: Ilustração de modelos discretizados para obtenção de dados. 55

76 Como, em geral, o raio não atinge o ponto desejado na primeira tentativa, o processo precisa ser repetido via incremento ou decremento do ângulo de partida na primeira camada, γ. Além do fato de o raio não atingir o ponto em questão, isto é, não satisfazer o critério de tolerância estabelecido, o processo também pode ser repetido caso o ângulo de incidência em uma dada interface ultrapasse o ângulo crítico. Além do acréscimo ou decréscimo do ângulo de partida, a garantia de convergência é feita através do tamanho do incremento, γ, que, dependendo da necessidade, assume valores cada vez menores para que seja possível alcançar o ponto desejado. Para efeito de redução do custo computacional, o procedimento é efeito apenas do lado esquerdo ou direito em relação a posição da fonte, dependendo o quão próximo esta se encontra do bordo, e a solução nos demais pontos são encontrados através de simetria. No caso de modelos contendo camadas paralelas inclinadas com um certo ângulo de mergulho, Φ, como mostrado na figura 4.4(c), os dados são obtidos via rotação inversa em torno da fonte. Por exemplo, dado um ponto (x i, z i ) no modelo atual, é possível obter o ponto (x i, z i ) como se o modelo estivesse na configuração horizontal através da expressão (4.16) e aplicando-se o procedimento descrito anteriormente. x i z i = cos(φ) sen(φ) sen(φ) cos(φ) + x i x f z i z f + x f z f. (4.16) 56

77 Capítulo 5 Exemplos Neste capítulo, serão apresentados os resultados e respectivas análises da metodologia desenvolvida neste trabalho para os casos de macro-modelos de velocidades que possuem solução de referência, visando avaliar a precisão dos resultados numéricos obtidos. Desta forma, será possível avaliar a influência dos principais parâmetros da modelagem sísmica e do modelo de velocidades na estimativa dos ângulos de incidência/reflexão em profundidade. Inicialmente, serão testadas as técnicas para a obtenção dos ângulos de reflexão utilizando para tal soluções analíticas para o ângulo de mergulho/inclinação do macro-modelo de velocidades e soluções semi-analíticas para a matriz de tempo de trânsito correspondente, geradas pela aplicação do procedimento descrito na seção 4.2. O propósito é avaliar as estratégias desenvolvidas para fazer a composição dos ângulos α (MTT) e β (modelo) para a geração dos ângulos finais de reflexão, γ, assim como expor a dificuldade de obtenção das derivadas numéricas através dos métodos de gradientes descritos na seção 3.3, relembrando que as mesmas são necessárias para a aplicação da metodologia desenvolvida. Posteriormente, serão desenvolvidos e apresentados exemplos visando avaliar as situações onde a matriz de tempo de trânsito é obtida via propagação do campo de ondas e pela solução da equação iconal. Por fim, será apresentado um exemplo, para um modelo de 5 camadas planainclinadas, no qual são obtidas as curvas de ângulos de reflexão pelas metodologias propostas. 5.1 Análise dos Métodos de Extração de Gradiente a Partir de Dados Semi-Analíticos Pretende-se mostrar nesta seção a capacidade dos métodos de extração de gradientes quando estes são aplicados sobre dados com solução conhecida, visando avaliar a precisão intrínseca dos mesmos. Para este propósito, serão fornecidos, como dados 57

78 de entrada, o modelo de velocidades, onde é conhecido o ângulo formado pela reta normal ao refletor e a vertical; e a matriz de tempo de trânsito semi-analítica, da qual é conhecido o ângulo formado pela direção do campo incidente em relação à vertical. Ressalta-se que a importância destes testes, dá-se, uma vez que os métodos de gradientes serão utilizados em dados numéricos, nos exemplos que seguem nas próximas seções, tornando-se necessário avaliar a qualidade dos resultados obtidos por estes, quando aplicados em dados analíticos e semi-analíticos, para que se possa ter uma ideia da suscetibilidade a erros intrínseca de cada um. Observa-se que, para facilitar a descrição nas figuras que ilustrarão os resultados nas próximas seções, os métodos de obtenção de gradientes descritos na seção 3.3, serão abreviados como segue: (i) operadores de diferenças finitas de quarta ordem, ODF 4; (ii) interpolação através das funções de base radial, Int RBF, e (iii) spline cúbica local de Akima, SCL Akima Extração do Ângulo do Modelo de Velocidades Como já dito anteriormente, com a aplicação do operador gradiente sobre o macro-modelo de velocidades extrai-se o ângulo auxiliar, β, necessário para compor o ângulo de incidência (subseção 3.2.2). Em função disto, há a necessidade de se adequar o modelo para obter este ângulo. A adequação do modelo é feita aplicando o procedimento de suavização mostrado na seção 2.3, com o propósito de analisar a sua influência nas metodologias de obtenção de gradientes. Para exibir os resultados das análises realizadas nesta subseção, inicialmente, será considerado um modelo de velocidades constituído por duas camadas homogêneas separadas por um refletor em posição inclinada. O objetivo é mostrar a habilidade dos métodos de obtenção de gradientes para estimar os ângulos de mergulho adotados, de Φ = 10 e Φ = 20, quando diferentes números de pontos de suavização são utilizados, mantendo-se o espaçamento da malha constante. Destaca-se que, para os casos em que o refletor encontra-se em posição plano-inclinada, estimar o ângulo formado pelo vetor gradiente e sua componente vertical é equivalente a estimar o ângulo de mergulho, isto é, implica em Φ = β ao longo de todo o refletor. Ressaltase também que este ângulo de mergulho possui solução, uma vez que são utilizadas funções específicas para a geração do refletor, como retas e senoides. A tabela 5.1 mostra os parâmetros numéricos utilizados nesta primeira análise. As figuras 5.1(a) e 5.1(b) mostram o modelo de velocidades sem e com suavização, respectivamente. Destaca-se que, o processo de suavização do modelo de velocidades visa regularizar a curva que forma o refletor fazendo com que os patamares locais presentes na formação da superfície refletora (figura 5.1(a)) sejam praticamente eliminados, conforme observado na figura 5.1(b). 58

79 Tabela 5.1: Parâmetros utilizados na análise de um modelo contendo um refletor plano-inclinado. Parâmetros Valor Significado/Unidade I total 101 Número de pontos na direção x J total 101 Número de pontos na direção z h 10 Espaçamento da malha (m) (h = x = z) nps 5 Número de pontos de suavização Φ 10 Ângulo de mergulho (graus) (a) Modelo de velocidades sem suavização constituído por um refletor com ângulo de mergulho de Φ = 10. (b) Modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. A reta tracejada indica a posição analítica do refletor/interface. Figura 5.1: Ilustração de modelos sem e com suavização. 59

80 Observando-se a figura 5.1(b) pode-se notar que o processo de suavização transforma a linha de interface em uma camada contínua em torno da reta colocada ao longo do refletor, faixa esta claramente proporcional à quantidade de pontos utilizados na suavização. Comparando-se os gráficos da figura 5.2 com aqueles das figuras 5.3 a 5.5, nota-se que a não suavização do modelo pode causar erros locais elevados no cálculo da direção da normal do refletor. Portanto, para os demais exemplos, o processo de suavização do modelo de velocidades será um procedimento indispensável na obtenção das melhores aproximações numéricas para as derivadas (gradientes). (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.2: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades sem suavização. Avaliando agora a influência do grau de suavização na qualidade dos resultados, observe inicialmente a figura 5.3, a qual apresenta o ângulo de mergulho analítico (linha reta) e aqueles estimados pelos três métodos de gradientes ao longo do refletor 60

81 da figura 5.1(b). Observa-se que a curva de ângulo obtida para cada método exibe um comportamento característico, isto é, com oscilações periódicas. No caso da SCL Akima e do ODF 4, as oscilações ocorrem em torno da solução analítica, sendo que no primeiro, o erro máximo encontra-se em pouco mais de um grau, enquanto que no segundo, mesmo apresentando comportamento similares ao anterior, apresenta pontos com erro de 3, 5, como pode ser observado na figura 5.3(b). Por outro lado, a Int RBF mostra um resultado mais regular e consistente, apresentando um erro máximo em torno de um grau. Vale ressaltar que a RBF utilizada é a multiquádrica inversa (subseção 3.3.2) com parâmetro de forma ζ = 10 4, o qual, neste exemplo e nos demais, fornece os melhores resultados. (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.3: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. O que os resultados apresentam em comum é o fato dos três métodos, mesmo com a suavização de 5 pontos, ainda conseguirem detectar os patamares locais presentes 61

82 ao longo do refletor (observado pela periodicidade das oscilações), significando que é necessário mais pontos na suavização do modelo para estreitamento das oscilações e, consequentemente, melhora da precisão dos resultados. Desta forma, aplicando-se agora uma suavização com nps = 10 pontos, a qual regulariza ainda mais o contraste de velocidades entre as camadas, Observa-se através da figura 5.4, que, de modo geral, houve uma redução nos erros cometidos pelos três métodos na estimativa do ângulo de mergulho, a menos da SCL Akima que em algumas regiões amplificou os erros. Também é importante notar que, a Int RBF apresenta o melhor resultado, com um erro de menos de 0, 5 enquanto que o ODF 4 e a SCL Akima exibem erros, ainda, de forma bastante oscilatória em torno da solução analítica. (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.4: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades suavizado com 10 pontos. 62

83 Para uma última análise, utiliza-se o valor limite de nps = 20 pontos para a suavização (resultados na figura 5.5). Observando-se que valores maiores do que este poderiam causar interferência entre os refletores, conforme descrito a frente. (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.5: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 10 com o modelo de velocidades suavizado com 20 pontos. Observando então os resultados da figura 5.5, nota-se que o erro, como um todo, foi reduzido quase pela metade em relação ao caso anterior, com a Int RBF apresentando um resultado ainda mais preciso. Embora esta redução seja bastante significativa, adotar um modelo com elevado número de pontos de suavização, pode ocasionar a perda de precisão na estimativa dos ângulos ao longo do refletor, justificada, em modelos complexos ou mesmo simples, pela possível interferência entre as superfícies refletoras, que contêm, por exemplo, elevado grau de curvatura, a qual pode ser eliminada pela suavização. Portanto, deve-se utilizar um número de pontos 63

84 adequados de tal forma que o ângulo de incidência obtido no final da aplicação da metodologia desenvolvida não seja gravemente alterado, conforme será exemplificado no último exemplo desta subseção. Assim, para os três casos avaliados anteriormente, ficou claro que o aumento do número de pontos utilizados na suavização do modelo melhora a estimativa dos ângulos de mergulho. A seguir, apresenta-se os resultados para o segundo ângulo de mergulho (Φ = 20 ) ilustrado na figura 5.6. O objetivo agora é mostrar que à medida que a inclinação do refletor aumenta, se aproximando do ângulo de 45, menos pontos na suavização do modelo são necessários para estimar o ângulo com mais precisão. Como será verificado, isto é válido para os três métodos de gradientes. Figura 5.6: Modelo de velocidades sem suavização constituído por um refletor com ângulo de mergulho de Φ = 20. A figura 5.7 apresenta os resultados obtidos considerando o modelo suavizado com nps = 5 pontos. Comparando este resultado com aquele mostrado na figura 5.3, vê-se que os erros produzidos para cada método, de modo geral, são menores. Isto é justificado pela redução dos patamares locais que formam o refletor, o que leva a necessidade de menos pontos de suavização para estimar os ângulos. Apenas para confirmar o resultado anterior, fez-se uma suavização com nps = 10 pontos. Na figura 5.8 é possível observar os resultados obtidos, os quais podem ser comparados com aqueles da figura 5.4, de forma a verificar que há uma redução dos erros estimados pelos três métodos. Um detalhe que é observado na comparação das referidas figuras é que a SCL Akima apresenta mais oscilações e erros do que ODF 4, o que caracteriza necessidade de mais pontos na suavização do modelo para 64

85 (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.7: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 20 com o modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. se conseguir um melhor resultado para este método. De modo geral, como será visto na subseção e na seção 5.2, a SCL Akima consegue obter muito bons resultados quando o dado de entrada fornecido é a matriz de tempo de trânsito semi-analítica (subseção 5.1.2), mas, por outro lado, mostra-se bastante sensível aos dados numéricos, acarretando em erros consideravelmente maiores (seção 5.2). Já no caso da Int RBF, como ficou claro nos resultados apresentados, esta mostrou-se muito mais adequada na estimativa do ângulo de mergulho (Φ = β), por gerar curvas de ângulo praticamente sem oscilações. 65

86 (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.8: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho de 20 com o modelo de velocidades suavizado com 10 pontos. Para finalizar as análises apresentadas, neste exemplo, referentes à obtenção de ângulos de mergulho dos refletores, apresentam-se os resultados para o modelo de velocidades da figura 5.9(a). Tal modelo visa demostrar a influência de uma suavização excessiva na precisão do cálculo do ângulo de mergulho. Para tanto, o modelo da figura 5.9(a), constituído por dois refletores e três camadas homogêneas, foi submetido às suavizações de 5, 10 e 20 pontos. Ressalta-se que, a geração da superfície curva foi feita por uma senoide, o que implica que os ângulos analíticos sejam dados facilmente pela expressão: Φ(x) = tan 1 (cos(x)). 66

87 (a) Modelo de velocidades sem suavização. (b) Modelo de velocidades suavizado com nps = 5 pontos. (c) Modelo de velocidades suavizado com nps = 10 pontos. (d) Modelo de velocidades suavizado com nps = 20 pontos. Figura 5.9: Modelo de velocidades submetido ao processo de suavização. 67

88 A figura 5.10 apresenta os resultados numéricos para o modelo da figura 5.9(b). Como era de se esperar, uma suavização com 5 pontos faz com que a SCL Akima e o ODF 4 apresentem oscilações ao longo da curva, enquanto que a Int RBF apresente uma curva mais regular. Nota-se que na região do lado esquerdo da figura 5.10(a) há um afastamento maior entre as curvas numéricas e teóricas, em relação ao lado direito, devido à interferência ocorrida entre os refletores, ocasionada pelo processo de suavização. (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.10: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho para o modelo de velocidades da figura 5.9(b). 68

89 Adotando-se agora uma suavização com 10 pontos (modelo da figura 5.9(c)), chega-se à resultados menos oscilantes e mais precisos na parte direita do gráfico, como pode ser visto na figura Entretanto, em relação à solução analítica, é comprovada a deterioração dos resultados apresentados pelas curvas de ângulos na parte esquerda da figura, para os três métodos de gradientes. Como já observado, este fato é ainda mais evidenciado quando é feita uma suavização com 20 pontos (modelo da figura 5.9(d)), conforme apresentado na figura Ressalta-se, nesta figura, que os três métodos apresentam soluções quase praticamente idênticas, inclusive na detecção da interferência ocorrida entre os refletores. (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.11: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho para o modelo de velocidades da figura 5.9(c). 69

90 Portanto, conclui-se que, quando o modelo de velocidades é constituído por refletores contendo um elevado grau de curvatura, ou próximos entre si, o procedimento de suavização do modelo de velocidades pode ocasionar a deterioração dos resultados, e assim implicar na perda de precisão na estimativa dos ângulos ao longo do refletor da respectiva região. Sendo assim, deve-se limitar o número máximo de pontos utilizados na suavização, de tal forma que não haja interferências ou perda de curvaturas. Dos exemplos analisados, tira-se como número adequado a faixa dada por 0 < nps 10. (a) Ângulo de mergulho estimado, Φ. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo de mergulho. Figura 5.12: Resultados na aproximação do ângulo de mergulho para o modelo de velocidades da figura 5.9(d). 70

91 5.1.2 Extração do Ângulo da Matriz de Tempo de Trânsito Nesta subseção, o objetivo é aplicar os métodos propostos para a extração de gradientes, a fim de obter o ângulo α a partir da matriz de tempo de trânsito. Tal ângulo, como já mencionado, é utilizado para compor o ângulo de reflexão em profundidade, conforme descrito na subseção Para tanto, serão utilizadas as matrizes de tempo de trânsito semi-analíticas, obtidas mediante o procedimento apresentado na seção 4.2, visando avaliar os referidos métodos na ausência de ruídos numéricos, gerados geralmente quando utilizam-se modelagens ou a solução via equação iconal para obter a matriz de tempo de trânsito. Assim, os exemplos utilizam as matrizes de tempo de trânsito mostradas na figura 5.13, correspondentes aos dois primeiros modelos de velocidades considerados na subseção 5.1.1, ou seja, aqueles das figuras 5.1(a) e 5.6, porém sem aplicar suavização. A figura 5.14 exibe o ângulo α estimado e o erro absoluto cometido por cada método ao longo do refletor da figura 5.1(a), que possui ângulo de mergulho de 10, com a fonte localizada a 500 metros de distância e 50 metros de profundidade em relação à origem do sistema de eixos mostrado no respectivo modelo. Observa-se na figura 5.14(a) que a SCL Akima exibe um resultado bastante apreciável já que os erros, presentes na curva de ângulo, são bem reduzidos, ao contrário do ODF 4, que mostra oscilações e amplificação dos erros próximo aos dois extremos da curva. Já no caso da Int RBF, embora a curva de ângulo seja mais suave em relação ao ODF 4, a mesma mostra também um aumento dos erros quando se aproxima dos extremos. Para se ter uma ideia geral de quão boa é a aproximação de cada método em todo modelo, a figura 5.14(c) apresenta as curvas de nível referentes aos três métodos, juntamente com a solução semi-analítica. É possível verificar que os três métodos conseguem estimar o ângulo α em cada ponto do modelo de forma muito satisfatória, a menos dos pontos localizados na vizinhança e sobre o refletor. Agora, considerando o caso em que o refletor tem uma inclinação de 20 (modelo da figura 5.6), é possível ver na figura 5.15 que, em relação ao caso anterior, o método ODF 4 apresenta muitas oscilações quando os ângulos são avaliados sobre o refletor, o que se constitui em uma característica geral dos operadores de diferenças finitas quando aplicados nas regiões onde há fortes descontinuidades. Por outro lado, a Int RBF mantém um certo padrão quanto a suavidade da curva de ângulos, embora a curva apresente um pequeno deslocamento em relação a solução semianalítica. Quanto à SCL Akima, os resultados ainda são bastantes satisfatórios para a situação em questão. Assim, de modo geral, vê-se que nos dois modelos avaliados (Φ = 10 e 20 ) anteriormente, os três métodos utilizados conseguiram obter os ângulos com muita 71

92 (a) Matriz de tempo de trânsito semi-analítica correspondente ao modelo da figura 5.1(a). (b) Matriz de tempo de trânsito semi-analítica correspondente ao modelo da figura 5.6. Figura 5.13: Matrizes de tempo de trânsito semi-analíticas obtidas para dois diferentes modelos. precisão nas regiões homogêneas onde não há problemas de descontinuidades na matriz de tempo de trânsito (figuras 5.14(c) e 5.15(c)). Porém, quando aplicados em regiões localizadas sobre ou nas proximidades dos refletores, que são justamente as regiões de maior interesse, o erro cometido é bastante significativo, a exceção da SCL Akima que mostra bons resultados tanto sobre, quanto nas proximidades do refletor. 72

93 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representada por curvas de níveis. Figura 5.14: Resultados na aproximação do ângulo α para o modelo de velocidades da figura 5.1(a). 73

94 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representada por curvas de níveis. Figura 5.15: Resultados na aproximação do ângulo α para o modelo de velocidades da figura

95 5.1.3 Composição do Ângulo de Incidência/Reflexão Para complementar os resultados das subseções e 5.1.2, apresentam-se aqui os gráficos referentes aos ângulos de reflexão em profundidade, obtidos pela composição dos ângulos α (MTT) e β (modelo), utilizando-se o procedimento descrito na subseção Vale ressaltar mais uma vez que, o objetivo desta subseção, bem como das duas anteriores, é aplicar o procedimento, ou melhor, os passos necessários para obter o ângulo de incidência em profundidade a partir de dados de entrada livres de ruídos, com o intuito de demonstrar a grande dificuldade existente no cálculo de derivadas de funções descontínuas utilizando processos numéricos. Neste contexto, os resultados da composição entre os ângulos, oriundos do modelo de velocidades e da matriz de tempo de trânsito, são realizados fazendo-se uma correspondência entre os resultados gerados por cada método de gradiente. Então, combinando as curvas de ângulos procedentes do modelo com ângulo de mergulho de 10, obtidas utilizando suavização com 10 pontos (figura 5.5), com aquelas oriundas da matriz de tempo de trânsito da figura 5.14(a), obtém-se as curvas de ângulo de incidência, indicadas pela figura Da mesma forma, para o caso das figuras 5.8(a) com 5.15(a) resulta na figura 5.17 onde, neste caso, o ângulo de mergulho é de 20 obtido empregando suavização com 10 pontos. Observando os resultados supracitados, evidencia-se que, após o procedimento ser aplicado, as curvas de ângulos de reflexão geradas pela SCL Akima são bastante próximas da solução de referência, sendo este o melhor resultado entre todos os métodos. Embora as curvas produzidas pela Int RBF não sejam tão precisas quanto aquelas geradas pela SCL Akima, é a que se destaca por apresentar curvas mais suaves. Enquanto que aquelas concebidas pelo ODF 4 apresentam oscilações e aumento da magnitude do erro de forma mais acentuada, à medida que se aproxima dos extremos. Ressalta-se que, o fato das curvas de ângulos obtidas pela SCL Akima, através da matriz de tempo de trânsito semi-analítica gerada a partir do modelo não suavizado, serem as melhores concebidas entre todos os métodos, não será evidenciado adiante. Quando este método será submetido à matrizes de tempo de trânsito oriundas da modelagem sísmica, uma vez que estes introduzem ruídos numéricos na matriz de tempo. Relativamente à redução da magnitude do erro, bem como das possíveis oscilações que possam ser produzidas pelos métodos de gradientes, na próxima seção, serão avaliadas algumas estratégias inerentes ao procedimento de obtenção da matriz de tempo de trânsito visando produzir curvas de ângulos mais suaves. 75

96 (a) Ângulo de incidência, γ. (b) Erro absoluto. Figura 5.16: Resultados na aproximação do ângulo γ de incidência após composição do ângulo α e β sobre o refletor do modelo de velocidades da figura 5.1(a). 76

97 (a) Ângulo de incidência, γ. (b) Erro absoluto. Figura 5.17: Resultados na aproximação do ângulo γ de incidência após composição do ângulo α e β sobre o refletor do modelo de velocidades da figura

98 5.2 Extração de Ângulos a Partir de Dados Numéricos O objetivo nesta seção é avaliar a precisão da técnica proposta para obter os ângulos do campo incidente considerando os dados de entrada numéricos. Isto significa que a matriz de tempo de trânsito será obtida através da propagação do campo de ondas (seção 2.1), mediante a aplicação de um dos critérios descritos na subseção 2.1.3, e também pela solução da equação iconal (seção 2.2), utilizando o MSFM exposto na subseção Extração do Ângulo a Partir da MTT Obtida Pela Equação da Onda Igualmente ao objetivo da subseção 5.1.2, aqui serão mostrados os resultados da obtenção do ângulo do campo incidente com a reta vertical, α, a partir da matriz de tempo de trânsito oriunda da propagação do campo de ondas via equação da onda. Uma vez que a qualidade de tal matriz depende dos parâmetros de modelagem, torna-se importante avaliar os resultados de ângulo em função de cada um destes. Desta forma, os parâmetros avaliados são: 1. tamanho do incremento temporal, t; 2. valor da frequência de corte, f corte, da fonte sísmica; 3. magnitude do contraste de velocidades do modelo; 4. grau de suavização do modelo para obtenção da MTT Influência do Tamanho de Incremento de Tempo Para determinar a influência do tamanho de incremento de tempo, inicialmente, é avaliada a diferença entre as matrizes de tempo de trânsito obtidas pelas equações acústica tradicional e acústica não-reflexiva. A fim de fazer esta avaliação, serão aplicados os dois critérios vistos na subseção (Algoritmos 01 e 02), com o objetivo de mostrar que os resultados obtidos pelos mesmos são quase praticamente indiferentes em se tratando de modelos como o da figura 5.1(a) e que, portanto, para os exemplos analisados adiante, poderá ser adotada apenas uma das duas equações e um dos dois algoritmos citados. Ressalta-se que, tal resultado pode não ser válido para modelos muito complexos e que, deste modo, aplica-se somente para os modelos analisados neste trabalho. A tabela 5.2 mostra os parâmetros numéricos utilizados nas modelagens. 78

99 Tabela 5.2: Parâmetros utilizados nas modelagens do modelo da figura 5.1(a). Parâmetros Valor Significado/Unidade I total 101 Número de pontos na direção x J total 101 Número de pontos na direção z h 10 Espaçamento da malha (m) (h = x = z) nps 0 Número de pontos de suavização Φ 10 Ângulo de mergulho (graus) x f 500 Posição da fonte na direção horizontal (m) z f 50 Posição da fonte na direção vertical (m) t 10 3 Incremento temporal (s) t total 0,8 Tempo total de análise (s) f corte 30 Frequência de corte (Hz) A figura 5.18(a) mostra uma comparação entre as matrizes de tempo de trânsito, através de isócronas, oriundas da solução de referência e da propagação do campo de ondas mediante a equação acústica tradicional. Destaca-se que, foram utilizados os critérios da amplitude máxima e amplitude máxima nas proximidades da primeira quebra (Algoritmos 01 e 02), os quais são abreviados como AMPM e AMPMQ. Similarmente, a figura 5.18(b) exibe as isócronas obtidas mediante a equação acústica não-reflexiva com os mesmo critérios. Comparativamente à solução de referência observa-se, nas figuras 5.18(a) e 5.18(b) que as isócronas obtidas através da propagação do campo de ondas para cada uma das equações, mantêm a mesma conformação ao longo do modelo de velocidades, o que indica que a direção de propagação da onda é praticamente a mesma da solução de referência. Nas mesmas figuras citadas, evidencia-se que o resultado da equação não-reflexiva está sobre aquele da equação tradicional. Ressalta-se que, a solução do campo de ondas pela equação não-reflexiva apresenta um custo computacional relativamente maior quando comparado com aquele da equação acústica tradicional, uma vez que a primeira contém um termo a mais em relação a segunda. Em função disto e também do fato que os modelos de velocidades aqui utilizados não contêm grandes complexidades geométricas, adotou-se a equação tradicional nos testes realizados neste trabalho. A mesma justificativa é utilizada em relação a adoção do critério da AMPM em detrimento à AMPMQ. Sendo assim, seguem os resultados para a equação acústica tradicional empregando o critério da amplitude máxima. As figuras 5.19, 5.20 e 5.21 mostram o resultado obtido para os parâmetros descritos na tabela 5.2, destacando-se que, especificamente quanto ao resultado da figura 5.19, é importante compará-lo com aquele da figura 5.14, que mostra os ângulos obtidos a partir da matriz de tempo de trânsito semi-analítica. Da observação destas duas figuras, fica bastante perceptível que a estimativa dos ângulos feita pela Int 79

100 RBF mostra uma curva de ângulo relativamente suave e bastante semelhante entre elas. Em contrapartida, observa-se um erro bem mais acentuado produzido pelos gradientes numéricos calculados pelos outros dois métodos, sendo a SCL Akima bastante sensível às mudanças ocorridas na matriz de tempo de trânsito devido ao uso da modelagem sísmica, mostrando uma curva de ângulo bem mais dispersa. Também nota-se que a curva gerada por ODF 4 apresenta muitas oscilações, chegando a mostrar o mesmo comportamento que a curva obtida pela SCL Akima em algumas regiões ao longo do refletor. Na figura 5.19, além de serem mostrados os ângulos obtidos pelos métodos de gradientes, também exibe-se a curva de ângulo determinada através da aplicação do ODF 4 durante a propagação do campo de ondas, isto é, obtida pelo gradiente da frente de ondas, conforme procedimento descrito na subseção Confrontando-se esta curva com aquelas geradas por ODF 4 e a SCL Akima, nota-se que a mesma apresenta um resultado ligeiramente melhor, já que produziu curvas mais suaves. No geral, vê-se que a matriz de tempo de trânsito obtida pela modelagem levou os métodos de gradientes a produzirem uma matriz de ângulos com muitos ruídos ao longo do modelo de velocidades, como pode ser observado na figura 5.19(c). Ainda assim, cabe destacar que o gradiente numérico produzido pela Int RBF mostrou um melhor resultado na região acima e sobre o refletor, como é indicado pela figura 5.20 que mostra os ângulos estimados para a segunda e primeira linhas acima do refletor. Por outro lado, nas proximidades abaixo do refletor (figura 5.21), isto é, para os ângulos de refração, as curvas são melhor computadas quando obtidas diretamente pela frente de onda, já que esta exibe uma curva sem oscilações e mais próxima da curva de referência. Ressalta-se que os erros mostrados nas figuras 5.20 e 5.21 ocorrem somente nas regiões próximas ao refletor. Assim, para reduzir o espalhamento e as oscilações nas curvas de ângulos, realizam-se testes reduzindo o incremento t, até encontrar-se um valor adequado para o mesmo, que foi de t = , o qual é chamado de t ótimo. Por questões de simplicidade e concisão então, visando somente demonstrar a respectiva melhora nas curvas de ângulos, repetiu-se a modelagem feita anteriormente utilizando este t. As figuras 5.22, 5.23 e 5.24 exibem os resultados obtidos. Comparando os resultados entre as respectivas figuras provenientes da primeira modelagem com aquelas desta segunda, para as quatro curvas de ângulos, na região sobre e acima do refletor, vê-se que a Int RBF é uma importante metodologia na determinação das derivadas numéricas, uma vez que esta mostra-se quase praticamente independe do incremento de tempo, possibilitando a geração de curvas mais suaves e próximas da solução de referência. Já nos demais métodos, a obtenção de curvas suaves e sem oscilações depende do valor de incremento adotado na modelagem sísmica, o que fica evidenciado nos resultados apresentados. 80

101 Vale destacar, na comparação entre os resultados produzidos através das duas modelagens, que para os resultados obtidos utilizando o t ótimo, em regiões afastadas do refletor, foi melhorado de forma bastante significativa por todos os métodos, como pode ser observado ao confrontar as figuras 5.19(c) e 5.22(c). (a) Isócronas obtidas pelos critérios AMPM e AMPMQ via equação acústica tradicional. (b) Isócronas obtidas pelos critérios AMPM e AMPMQ via equação acústica não-reflexiva. Figura 5.18: Comparação entre matrizes de tempo de trânsito obtidas com diferentes equações e critérios. 81

102 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.19: Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com t = 10 3 s. 82

103 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.20: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor. 83

104 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.21: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor. 84

105 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.22: Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com t = s. 85

106 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.23: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor. 86

107 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.24: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor. 87

108 Influência da Frequência de Corte Um outro parâmetro da modelagem que influencia nas curvas de ângulo é a frequência de corte utilizada para controlar o comprimento de onda emitido pela fonte sísmica (subseção ). Para avaliar esta influência, realizou-se três modelagens com os respectivos valores de frequência de 30, 60 e 120Hz. As modelagens foram feitas no modelo da figura 5.25, o qual contém o mesmo número de pontos utilizados no modelo da figura 5.1, mas com o espaçamento da malha reduzido para 4m devido ao critério de dispersão numérica, conforme descrito na subseção A tabela 5.3 descreve os parâmetros utilizados. Tabela 5.3: Parâmetros utilizados na modelagem do modelo da figura Parâmetros Valor Significado/Unidade I total 101 Número de pontos na direção x J total 101 Número de pontos na direção z h 4 Espaçamento da malha (m) (h = x = z) nps 0 Número de pontos de suavização Φ 10 Ângulo de mergulho (graus) x f 200 Posição da fonte na direção horizontal (m) z f 20 Posição da fonte na direção vertical (m) t Incremento temporal (s) t total 0,6 Tempo total de análise (s) f corte 30, 60 e 120 Variação na frequência de corte (Hz) Figura 5.25: Modelo de velocidades para análise da frequência de corte, f corte. O primeiro resultado exibido, corresponde à frequência de corte de 30Hz nas figuras 5.26, 5.27 e Este resultado é confrontado com aqueles das figuras 5.29, 88

109 5.30 e 5.31, referentes à frequência de 60Hz, e aqueles das figuras 5.32, 5.33 e 5.34 relativas à frequência de 120Hz. As observações podem ser agrupadas como segue: (i) quanto a precisão das curvas obtidas sobre o refletor: É possível observar nas figuras 5.26, 5.29 e 5.32 que, o aumento da frequência de corte, fez com que a Int RBF produzisse curvas de ângulos com maior precisão, pois é notado uma redução na magnitude do erro. No entanto, tal resultado não é evidenciado para as curvas geradas por ODF 4, SCL Akima e para as curvas obtidas através da frente de onda, sendo que, nos resultados apresentados por estes, a magnitude do erro foi ampliada, após o acréscimo da frequência, como pode ser visto nas respectivas figuras que indicam o erro absoluto. Destaca-se ainda, o surgimento de oscilações nas curvas geradas por estes três métodos para o último valor de frequência adotado. (ii) quanto a precisão das curvas obtidas na região acima do refletor: Contemplando as figuras 5.27, 5.30 e 5.33, respectivamente, vê-se que todos os métodos originaram curvas suficientemente satisfatórias, apresentando uma magnitude no erro cada vez menor com o aumento da frequência. Salienta-se os bons resultados gerados pela Int RBF na frequência de corte de 120Hz. (iii) quanto a precisão das curvas obtidas na região abaixo do refletor: Consultando as respectivas figuras 5.28, 5.31 e 5.34, verifica-se que a magnitude do erro produzido pelos métodos ODF 4, SCL Akima e pela frente de ondas é progressivamente reduzida com o acrescimento da frequência. Por outro lado, isto não é comprovado nas curvas originadas a partir da Int RBF. Por fim, destaca-se que nas figuras 5.26(c), 5.29(c) e 5.32(c), à medida que o valor da frequência aumenta, ocorre a contração e amplificação das oscilações presentes nas curvas de nível nas proximidades do refletor, assinalando que o erro está mais concentrado naquela região. Tal evento, é razoável de se esperar, uma vez que o acréscimo da frequência implica em redução do comprimento de onda, fato este evidenciado pela relação λ = C/ f corte. Portanto, pode-se intuir que um aumento ainda maior na frequência, poderia contrair ainda mais as oscilações. Entretanto, este procedimento provoca uma diminuição no valor de incremento de tempo e no espaçamento da malha, e consequentemente um acréscimo no custo computacional de forma considerável inviabilizando a estratégia. Assim, como de modo geral, não se observa um ganho efetivo de precisão nos resultados nas vizinhanças próximas ou sobre o refletor com o aumento da frequência, conclui-se que a melhor opção é adotar a frequência de 30Hz para as análises numéricas, uma vez que este representará um menor custo computacional ( t, x e z maiores) correspondente, inclusive, ao valor comumente utilizado em geofísica. 89

110 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.26: Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com f corte = 30Hz. 90

111 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.27: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, utilizando f corte = 30Hz. 91

112 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.28: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, utilizando f corte = 30Hz. 92

113 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.29: Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com f corte = 60Hz. 93

114 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.30: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, utilizando f corte = 60Hz. 94

115 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.31: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, utilizando f corte = 60Hz. 95

116 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de nível. Figura 5.32: Resultados na aproximação do ângulo α (em graus) quando a matriz de tempo de trânsito é obtida com f corte = 120Hz. 96

117 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.33: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, utilizando f corte = 120Hz. 97

118 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.34: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, utilizando f corte = 120Hz. 98

119 Influência do Contraste de Velocidades Para avaliar a influência da magnitude do contraste de velocidades existente entre as camadas, realizou-se duas modelagens, como já dito, com a equação acústica tradicional via aplicação do critério AMPM, no mesmo modelo da figura 5.1(a), utilizando-se o t ótimo e a frequência de corte de 30Hz obtidos nas subseções anteriores. A única mudança feita no modelo foi alterar a velocidade da camada inferior de 2000m/s para 1550m/s e, posteriormente, para 3000m/s, criando-se um contraste baixo e alto, respectivamente. Destaca-se que, como já foi observado nos resultados anteriores, que a obtenção do ângulo α nas regiões homogêneas do modelo de velocidades é feita com bastante precisão, então, é natural que para um contraste baixo entre as camadas os ângulos sobre o refletor sejam melhor estimados, como pode ser visto na figura Por outro lado, quando a matriz de tempo é obtida a partir de um contraste mais elevado, a determinação dos ângulos sobre e nas proximidades do refletor apresenta resultados menos precisos. Neste caso a matriz de tempo possui uma forte descontinuidade gerada pela grande diferença de velocidades entre as camadas, o que acarreta em forte descontinuidade na matriz de ângulo, sobre e nas proximidades do refletor, como pode ser visto na figura Em função destes resultados, vê-se que a geração das curvas de ângulos são bastante difíceis de serem avaliadas, sobre e nas vizinhanças do refletor, quando a matriz de tempo de trânsito é obtida de um modelo de velocidades dotado de alto contrastes entre as camadas. Destaca-se que isto se trata de um problema numérico inerente a todos os métodos na obtenção das derivadas que compõem o vetor gradiente. Como consequência, conclui-se que para modelos contendo altos contrastes, devese utilizar o procedimento de suavização, para que não se produzam grandes descontinuidades na matriz de tempo de trânsito, e assim melhorem as estimativas das curvas de ângulos nas regiões de maior interesse. Na próxima subseção é analisada esta questão do número de pontos que deve ser utilizado neste processo de suavização. 99

120 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.35: Resultados na aproximação do ângulo α para um contraste baixo de velocidades entre as camadas. 100

121 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.36: Resultados na aproximação do ângulo α para um contraste alto de velocidades entre as camadas. 101

122 Influência do Grau de Suavização do Modelo Em função dos resultados verificados na subseção , envolvendo um modelo simples de velocidades, pôde-se observar que, para os ângulos serem melhor estimados, é necessário que haja um gradiente suave entre as camadas que delimitam a superfície refletora, evidenciado pelos resultados do modelo com baixo contraste entre as camadas. Então, nesta subseção é avaliada a influência da quantidade de pontos usados na suavização do modelo para obter a matriz de tempo de trânsito durante a modelagem. Para tanto, foram feitas duas modelagens de forma análoga ao caso da subseção anterior ( ), mas utilizando o modelo de velocidades suavizado com 5 e 10 pontos. As figuras 5.37, 5.38 e 5.39 mostram as estimativas nos ângulos obtidos através da aplicação dos métodos de gradientes, sobre a matriz de tempo de trânsito obtida pela propagação do campo de ondas no modelo de velocidades da figura 5.1(b), suavizado com 5 pontos. Comparando estes resultados com aqueles das figuras 5.22, 5.23 e 5.24, nota-se uma significativa redução na ordem do erro das curvas geradas pelos métodos, exceto a Int RBF que, em um primeiro momento, mostrou-se menos sensível à suavização em relação aos demais métodos. Destaca-se que, nas regiões abaixo do refletor, houve um aumento da magnitude do erro nas curvas geradas por ODF 4, SCL Akima e aquela obtida pela frente de onda. Tal fato, também é evidenciado para o caso das curvas obtidas quando se utiliza a suavização com 10 pontos, inclusive para aquelas geradas pela Int RBF, como observado na figura Comparativamente aos resultados obtidos com a suavização de 5 pontos, nas figuras 5.40 e 5.41, percebe-se que, de modo geral, houve uma redução no erro produzido por todos os métodos, sobretudo na região sobre o refletor quando utilizase 10 pontos. Também é notado que, usando 10 pontos na suavização, as curvas de ângulos, a princípio, tendem para um certo limite onde elas se equiparam, ou seja, as mesmas se tornam praticamente iguais para os três métodos de extração de gradientes. Isto caracteriza que há um limite para o número de pontos utilizados na suavização, a partir do qual os resultados produzidos pelos três métodos de gradientes não mostram praticamente nenhuma distinção. Este fato também será observado na subseção onde a matriz de tempo de trânsito será obtida pela solução da equação iconal. Assim, como o objetivo é determinar os melhores parâmetros que propiciem curvas de ângulos mais suaves e mais próximas da solução de referência sobre o refletor, passa-se a adotar 10 pontos para a suavização do modelo, em se tratando da obtenção da matriz de tempo de trânsito originada a partir da modelagem sísmica. Tal valor, será utilizado na geração das curvas de ângulos de incidência que serão mostradas na subseção

123 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.37: Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. 103

124 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.38: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. 104

125 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.39: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. 105

126 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representado por curvas de níveis. Figura 5.40: Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 10 pontos. 106

127 (a) Ângulo α estimado para a segunda linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.41: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 10 pontos. 107

128 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a segunda linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.42: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões abaixo do refletor, para a MTT obtida pela modelagem sísmica a partir do modelo de velocidades suavizado com 10 pontos. 108

129 5.2.2 Extração do Ângulo a Partir da matriz de tempo de trânsito Obtida Pela Equação Iconal Nesta subseção, o objetivo é mostrar os resultados obtidos pela aplicação dos métodos de gradientes sobre a matriz de tempo de trânsito oriunda da solução da equação iconal pelo MSFM, para a obtenção de ângulos de reflexão em profundidade. A ideia aqui é apresentar os resultados para o modelo de velocidades da figura 5.1 considerando a mesma posição da fonte daquela dada na tabela 5.2. Os primeiros resultados obtidos são aqueles mostrados nas figuras 5.43 e 5.44, considerando a matriz de tempo de trânsito gerada pelo MSFM a partir do modelo de velocidades sem suavização. Nestes resultados, nota-se que os ângulos acima e sobre o refletor são melhor estimados em relação àqueles obtidos pela modelagem sísmica com o modelo de velocidades sem suavização (observar figuras 5.22, 5.23 e 5.24). Vê-se também que a curva de ângulo que mais se aproxima da solução de referência é aquela gerada pela SCL Akima, a menos dos saltos ocorridos exatamente onde está o degrau presente na formação do refletor. Como já observado nos resultados anteriores, tal situação também acontece nas curvas geradas pelo ODF 4. Também é possível notar que os ângulos, para uma linha acima do refletor (figura 5.44(a)), são muito bem estimados pelos três métodos de gradientes, com amplo destaque para as curvas geradas pela SCL Akima e o ODF 4. Entretanto, quando se trata das curvas geradas para os ângulos situados uma linha abaixo do refletor (figura 5.44(c)), as curvas apresentam uma oscilação em torno da solução de referência, exceto para a curva gerada pela Int RBF. Então, como já foi visto na subseção , para melhorar a solução e tornar as curvas de ângulos mais suaves e sem oscilação pode-se similarmente aplicar uma suavização no modelo antes de aplicar o MSFM. Assim, as figuras 5.45 e 5.46 exibem os resultados no caso em que o modelo de velocidades foi suavizado com 3 pontos. Delas observa-se um fato, já comentado na subseção , que refere-se à tendência apresentada pelas curvas de ângulos a se aproximarem a tal ponto que praticamente não há distinção entre os resultados gerados pelos três métodos de gradientes. Tal fato também é evidenciado nas figuras 5.47 e 5.48, que exibem a caracterização do mesmo acontecimento para o caso de uma suavização com 5 pontos. Assim, como o valor de suavização de 5 pontos possibilitou a geração de curvas de ângulos mais suaves, ele será utilizado na geração das curvas de ângulos de reflexão que serão apresentadas na subseção

130 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representados por curvas de níveis. Figura 5.43: Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades sem suavização. 110

131 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.44: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima e abaixo do refletor, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades sem suavização. 111

132 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representados por curvas de níveis. Figura 5.45: Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 3 pontos. 112

133 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.46: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima e abaixo do refletor, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 3 pontos. 113

134 (a) Ângulo α estimado ao longo do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Matriz de ângulos representados por curvas de níveis. Figura 5.47: Resultados na aproximação do ângulo α, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. 114

135 (a) Ângulo α estimado para a primeira linha acima do refletor. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. (c) Ângulo α estimado para a primeira linha abaixo do refletor. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo α. Figura 5.48: Resultados na aproximação do ângulo α em regiões acima e abaixo do refletor, para a MTT obtida pelo MSFM a partir do modelo de velocidades suavizado com 5 pontos. 115

136 5.2.3 Aplicação para um Modelo com Várias Camadas Neste último exemplo, objetiva-se apresentar diretamente as curvas de ângulos de incidência/reflexão para as matrizes de tempo de trânsito obtidas, tanto pela modelagem sísmica quanto pela solução da equação iconal, a partir de um modelo de velocidades contendo várias camadas. Especificamente, o propósito é avaliar as curvas sobre os refletores à medida que estes estão localizados em maior profundidade, isto é, localizam-se mais distantes do ponto de aplicação da fonte. Para tanto, serão utilizados os valores dos parâmetros que mais influenciaram significativamente na melhor estimativa dos ângulos oriundos da matriz de tempo de trânsito, como foi visto nas subseções e Em suma, serão mostradas as curvas de ângulos de reflexão após a composição dos ângulos α e β, igualmente ao que foi feito na subseção As curvas de ângulos de incidência/reflexão serão apresentadas sobre os 4 refletores presentes no modelo da figura 5.49, os quais estão dispostos em forma planos inclinados com ângulo de mergulho de 10 e separados por 5 camadas homogêneas. Figura 5.49: Modelo de velocidades utilizado para obtenção das curvas de incidência. 116

137 Ângulo de Incidência Oriundo da Propagação de Ondas Para a obtenção das curvas de ângulos de incidência utilizando a matriz de tempo de trânsito gerada através da propagação do campo de ondas, a tabela 5.4 sintetiza os parâmetros empregados. Na figura 5.50, é possível observar o modelo, correspondente àquele da figura 5.49, suavizado com o valor de nps = 10 pontos. Ressalta-se que os ângulos (β) oriundos do modelo foram obtidos a partir daquele mostrado na figura As figuras 5.51 e 5.52 exibem as curvas de ângulos obtidas ao longo dos refletores, sendo que, na primeira figura, são mostradas as curvas para os refletores 1 e 2, enquanto na segunda, para os refletores 3 e 4. A partir dos resultados apresentados, vê-se que as curvas de incidência geradas por todos os métodos de gradientes são muito próximas da solução de referência, destacando-se que as mesmas apresentam-se bastante suaves ao longo de cada refletor. Além disso, cabe salientar que àquelas determinadas pela Int RBF são levemente mais regulares. Como característica geral, evidencia-se que, à medida que a profundidade aumenta, a magnitude do erro de todas as curvas diminui. Tal característica é devida ao fato de, quanto mais distante da fonte estiver o refletor, mais plana é a configuração da frente de ondas nas proximidades deste, o que implica na geração de curvas de tempo (isócronas) mais planas e suaves naquela região. As curvas finais, apresentadas nas figuras supracitadas, são os melhores resultados obtidos através da metodologia desenvolvida, a qual depende diretamente dos métodos estimadores de gradientes que, por sua vez, dependem da qualidade dos dados de entrada fornecidos. 117

138 Tabela 5.4: Parâmetros utilizados na modelagem sísmica do modelo de velocidades da figura Parâmetros Valor Significado/Unidade I total 101 Número de pontos na direção x J total 351 Número de pontos na direção z h 10 Espaçamento da malha (m) (h = x = z) nps 10 Número de pontos de suavização Φ 10 Ângulo de mergulho (graus) x f 500 Posição da fonte na direção horizontal (m) z f 20 Posição da fonte na direção vertical (m) t Incremento temporal (s) t total 1,2 Tempo total de análise (s) f corte 30 Variação na frequência de corte (Hz) Figura 5.50: Modelo de velocidades suavizado com 10 pontos, utilizado na obtenção da MTT pela modelagem sísmica. 118

139 (a) Ângulo γ estimado sobre o refletor 1. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo γ. (c) Ângulo γ estimado sobre o refletor 2. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo γ. Figura 5.51: Resultados na aproximação do ângulo γ sobre os refletores 1 e

140 (a) Ângulo γ estimado sobre o refletor 3. (b) Erro absoluto na estimativa do ângulo γ. (c) Ângulo γ estimado sobre o refletor 4. (d) Erro absoluto na estimativa do ângulo γ. Figura 5.52: Resultados na aproximação do ângulo γ sobre os refletores 3 e

141 Ângulo de Incidência Oriundo da Solução Iconal Para a matriz de tempo de trânsito originada a partir da solução da equação iconal, a figura 5.53 apresenta o mesmo modelo de velocidades visto anteriormente, mas suavizado com 5 pontos, no qual o MSFM foi aplicado. Observa-se que os ângulos originados do modelo foram obtidos da mesma forma descrita na subseção anterior. As figuras 5.54 e 5.55 indicam os resultados obtidos, evidenciando-se aqui a mesma conclusão feita na subseção , exceto pelo fato de as curvas apresentarem suaves oscilações nas proximidades da solução de referência. Destaca-se, quanto a suavidade e precisão das curvas de ângulos, que a obtenção das matrizes de tempo de trânsito pelo MSFM é mais adequada, em relação àquelas obtidas pela modelagem sísmica, a qual requer um modelo suavizado com número de pontos superior ao primeiro, assim como apresenta dependência de parâmetros inerentes a modelagem que influem diretamente na qualidade da matriz de tempo. Figura 5.53: Modelo de velocidades suavizado com 5 pontos, utilizado na obtenção da MTT pelo MSFM. 121