Física Experimental 1

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1 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Física Experimento 3: Pêndulo simples Informações sobre a Equipe Nome: Nome: Nome: Bancada: Turma: Data:

2 Objetivos Você investigará neste experimento o movimento de um objeto suspenso por um fio: um pêndulo. O pêndulo é um dos objetos mais emblemáticos da física. Foi através de seu estudo que Galileu Galilei começou a desenvolver a intuição que o levaria a enunciar princípios gerais do movimento. Preste atenção na diferença que existe entre o que você de fato mede e a interpretação dos resultados de medida! Para entender o comportamento de um objeto real, devemos sempre buscar o modelo teórico mais simples que descreva as observações: o objetivo é capturar com o mínimo de suposições a essência do comportamento do objeto estudado. E são suas medidas que determinam se o objeto à sua frente é bem descrito pelo modelo simplificador adotado, e não o contrário! Observações tais como mas o pêndulo não pode fazer isso! são completamente nonsense, e o pêndulo lhe responderá apenas: Can t I? Just watch me!. Por isso é bom mantê-lo no regime em que você tem pelo menos alguma chance de entendê-lo! Você aprenderá neste experimento métodos importantes de análise estatística. O dado experimental mais relevante nesse experimento será o período de oscilação do pêndulo, e a precisão com que você poderá medi-lo guiará suas conclusões. Você determinará o melhor procedimento experimental a ser seguido. Material utilizado: Cronômetro, pêndulo (peça de alumínio), linha, trena, suporte com regulagem de altura e posição ( cabuetas ). Lembretes Sempre leia todo o material (teoria e roteiro) antes da aula experimental. Justifique suas respostas sempre que necessário. Organize sua bancada ao final do experimento. O material utilizado está sob sua responsabilidade durante a aula. E o mais importante: antes de perguntar qualquer coisa ao professor, esforce-se em descobrir a resposta sozinho(a) ou discutindo com colegas! 2

3 Experimento 3: Pêndulo simples Utilização do aparato de medida O aparato experimental disponível no curso de física experimental é ilustrado na Fig. 1. Ele consiste de uma haste vertical na qual duas hastes horizontais se apoiam. Figura 1: Aparato experimental. A haste horizontal superior dá sustentação ao pêndulo, evitando que ele caia caso escape. É nela que você deve prender seu fio. Esse arranjo permite a você ajustar com calma o comprimento do fio do pêndulo usando a haste inferior. A haste inferior fixa o ponto de apoio da oscilação do pêndulo. Variando a altura em que essa haste se prende à haste vertical, você ajusta o comprimento do pêndulo. 3

4 1 Considerações iniciais Uma massa suspensa pelo fio forma em princípio um pêndulo físico, isto é, um pêndulo com massa distribuída ao longo de toda a sua extensão. Sob algumas circunstâncias, você sabe que não é necessário determinar a distribuição de massa do pêndulo físico em seus mínimos detalhes, pois ele deve ser bem descrito pelo modelo do pêndulo simples. Cite condições necessárias para que isso ocorra. Discuta com seus colegas algumas complicações que você poderia encontrar no pêndulo à sua frente com relação ao modelo do pêndulo simples. Cite-as abaixo. O movimento do pêndulo simples é bem descrito pela mecânica de Newton. Desenhe no esquema abaixo os vetores das forças atuando sobre a massa m. l 7 m A geometria do problema nos sugere decompor as forças atuando sobre o pêndulo nas direções do fio e ortogonal a ele. Desenhe na figura o vetor força resultante. Sendo θ(t) o ângulo entre o fio e a vertical, escreva a equação para a aceleração angular θ(t) = d 2 θ(t)/dt 2 do pêndulo decorrente da 2 a lei de Newton. 4

5 Experimento 3: Pêndulo simples Você sabe que essa equação admite soluções oscilatórias, o movimento harmônico simples, em certo limite. Em que aproximação isso vale? Nesse caso, mostre por substituição direta na equação obtida acima que θ(t) = θ 0 cos[ω(t t 0 )) é solução. Deduza com isso a frequência de oscilação ω como função de l e g, a aceleração da gravidade. Nessa aproximação, o período de oscilação T = 2π/ω depende de sua amplitude θ 0? 2 Atividades O movimento do pêndulo simples possui algumas características gerais bem conhecidas, como você revisou acima. Vamos investigar experimentalmente um pêndulo real e determinar seu comportamento com relação ao modelo simplificado. Monte o pêndulo com comprimento l em torno de 80 cm (isso é apenas uma sugestão!). Coloqueo para oscilar seguindo as aproximações que você julgar necessárias. Perturbe o pêndulo e observe como o movimento parece periódico. Para testar seu comportamento de forma um pouco mais detalhada, buscamos medir seu período de oscilação T. E embora pareça uma medida simples, devemos pensar cuidadosamente sobre a melhor forma de realizá-la para que seja confiável. 2.1 Medida do período de oscilação de um pêndulo Para realizar medidas confiáveis, é preciso considerar todos os detalhes do procedimento, desde o ato de soltar o pêndulo até a forma como determinar os pontos de início e fim da oscilação. Leve 5

6 em conta sempre a lei zero da engenharia (lei de Murphy): tudo que pode dar errado dará errado. Analise o seguinte procedimento de medida: Procedimento 1 Experimentador desloca o pêndulo ligeiramente de seu equilíbrio com uma das mãos. Na outra mão, segura o cronômetro. Experimentador solta o pêndulo com uma das mãos e dispara o cronômetro com a outra. Após uma oscilação, o pêndulo é segurado pela mesma mão que o soltou e o cronômetro é parado com a outra. Esse procedimento possui vários problemas. Aponte e descreva sucintamente uma fonte presente de erro sistemático: Descreva sucintamente uma fonte de erro aleatório nesse procedimento: Vamos agora criar um novo procedimento de forma a minimizar os erros do primeiro. Considere o procedimento revisado: Procedimento 2 Experimentadora perturba o pêndulo, colocando-o para oscilar; observa algumas oscilações para pegar o ritmo do pêndulo e determina visualmente pontos de inflexão da trajetória. Escolhendo algum ponto da trajetória como referência, experimentadora dispara o cronômetro. O cronômetro é parado quando o pêndulo retorna ao ponto inicial com mesma velocidade. O erro sistemático apontado no primeiro procedimento desaparece no segundo? Explique. Explique sucintamente por que o tempo de reação da experimentadora não deve causar erro sistemático nesse procedimento. 6

7 Experimento 3: Pêndulo simples Aindaassim, haveráumafontedeerrodaqualnãoépossívelselivrar. A pegadadoritmo sempre produz erro aleatório, mesmo para Chico Science. Para diminuir a influência do erro aleatório, é necessário adquirir estatística. Vamos repetir várias vezes medidas de 1 período T do pêndulo. Denotamos o intervalo de tempo medido como t, para não confundi-lo conceitualmente com T (uma propriedade do pêndulo). Assim, almejamos determinar o valor mais confiável e incerteza de T a partir de medidas de t. Pense em seu procedimento experimental e descreva-o no espaço abaixo. Que ponto da trajetória do pêndulo você utilizará como referência para o início da oscilação, o ponto de velocidade máxima ou de deslocamento máximo? Justifique sua escolha. t 1. Realize 16 medidas de 1 período do pêndulo (cada membro da equipe!), denotadas por Membro 1: t 1 Membro 2: t 1 Membro 3: t 1 Utilizando todos os dados, calcule algumas propriedades estatísticas importantes de seu conjunto de medidas: a média t 1, o desvio padrão σ t1 e o desvio padrão da média σ t1. t 1 σ t1 σ t1 Com base nas propriedades estatísticas acima, enuncie seu valor T 1 para o período do pêndulo. T 1 = 7

8 Escreva no quadro abaixo a expressão para a incerteza σ T1 como função do erro estatístico apropriado (σ t1 ou σ t1?) e da incerteza instrumental σ i. Embase sua escolha de σ t1 ou σ t1 para a composição da incerteza. 2.2 Medida de 10 períodos de oscilação do pêndulo Você deve ter percebido uma certa dificuldade prática em medir o período do pêndulo, dificuldade essa que seria ainda maior para medir períodos mais curtos de oscilação. A causa disso é o tempo de reação humano, t R, que, por ser apenas algumas vezes menor que T, introduz erro aleatório na medida. Estime o tempo de reação humano, descrevendo seu método de estimativa. t R = Para diminuir o erro aleatório causado pelo tempo de reação, devemos tentar aumentar a razão entre o tempo de medida t e seu tempo de reação t R. Uma forma de se fazer isso é diminuir t R, o que requereria treinamento como Bruce Lee e está fora do escopo desta disciplina. A outra forma é aumentar t, pela medida de múltiplas oscilações consecutivas. Meça o tempo t 10 tomado pelo pêndulo em 10 oscilações (i.e. meça t 10 = 10T). Cada membro da equipe deve contribuir com 16 medidas para coletar estatística. Membro 1: t 10 Membro 2: t 10 Membro 3: t 10 8

9 Experimento 3: Pêndulo simples Determine abaixo as propriedades estatísticas do conjunto de medidas. t 10 σ t10 σ t10 Com base nas propriedades estatísticas acima, enuncie os valores T 10 para o período do pêndulo conforme encontrado pelo método de medir 10 períodos consecutivos (note que t 10 = 10T 10 ). T 10 = Escreva no quadro abaixo a expressão para a incerteza σ T10 como função do erro estatístico apropriado (note, novamente, que t 10 = 10T 10 ) e da incerteza instrumental σ i. Qual dos dois procedimentos de medida é mais prejudicado pela incerteza instrumental: medir 1 período ou 10 períodos? Justifique. 2.3 Análise estatística dos dados Analisemos como os dois procedimentos de medida testados se comparam, investigando as fontes de incerteza a afetar cada um deles. Gráfico 1: Numa folha de papel milimetrado, represente o histograma das medidas de 1 período, t 1. Não se esqueça de colocar título e denominar os eixos! Gráfico 2: Numa folha de papel milimetrado, represente o histograma das medidas de 10 períodos, t 10. 9

10 Escreva nas tabelas abaixo os intervalos e frequências dos histogramas, utilizando tantas linhas e colunas quanto necessárias. Não se esqueça de denominar as colunas, incluindo-se aí unidades e incertezas, caso necessário. Coloque títulos nas tabelas. Para os conjuntos de dados acima, escreva o número de dados N σ esperados dentro do intervalo de 1 desvio padrão (1σ) no entorno da média. Faça a mesma estimativa para N 2σ e N 3σ (i.e. o número de dados abarcados pelo intervalo 2σ e 3σ, respectivamente). Utilize como incerteza nesses números a flutuação estatística típica esperada para um processo gaussiano aleatório. 10 N 1σ = N 2σ = N 3σ =

11 Experimento 3: Pêndulo simples No gráfico 1, marque com uma linha vertical tracejada a posição do valor médio do conjunto, t 1. Apontedamesmaformaosvaloresdet 1 queseencontrama1desviopadrão(denotado por σ 1 ) de distância da média, i.e. t 1 σ 1 e t 1 +σ 1. Marque, além disso, os pontos de tolerância para o erro na média, denotado por σ t1, nos valores t 1 σ t1 e t 1 +σ t1. No gráfico 2, repita o mesmo procedimento, denominando σ 10 o desvio padrão de t 10. Analise os histogramas. Determine a partir do histograma no gráfico 1 o número de dados N σ (1) abarcados no intervalo de 1σ 1 em torno da média, i.e. entre os pontos t 1 σ 1 e t 1 + σ 1. Determine a quantidade de dados N (1) 2σ no intervalo de 2σ 1 no entorno da média. Faça o mesmo para N (1) 3σ, o número de dados no intervalo 3σ 1 ao redor da média. N (1) σ = N (1) 2σ = N (1) 3σ = Determine as quantidades equivalentes a partir do histograma no gráfico 2. N (10) σ = N (10) 2σ = N (10) 3σ = Esses números são compatíveis com o esperado para uma distribuição gaussiana? Justifique. Determine a partir de cada histograma seus valores mais prováveis t mp 1 e t mp 10 (moda), e escrevaos abaixo, sempre denotando a margem de tolerância estimada a partir do histograma. t mp 1 = t mp 10 = Os valores mais prováveis são compatíveis com os respectivos valores médios? Justifique. Compare agora os dois métodos de medida quantitativamente. Compare os desvios padrão σ 1 e σ 10. Eles coincidem (i.e. são compatíveis)? 11

12 Se sim, isso poderia indicar que a fonte de erro aleatório nos dois procedimentos de medida deve ser a mesma. Nosso principal suspeito é seu tempo de reação. Considere a sua medida independente para o tempo de reação. Você diria que os valores de σ 1 e σ 10 justificam essa hipótese? Explique. Compare os valores medidos de T 1 e T 10 obtidos pelos dois métodos. São compatíveis? Embase sua resposta em seus dados. Qual método de medida é mais preciso, segundo seus dados? Embase sua resposta. Aponte a fonte de incerteza mais importante em cada caso (estatística ou instrumental), sempre embasando sua resposta nos dados experimentais. É possível também considerar o que pode ser dito sobre T conhecendo-se apenas 1 medida (em vez do conjunto inteiro), caso em que devemos nos perguntar qual é a incerteza de cada medida. Enuncie o valor experimental de T 1 caso ele fosse determinado por apenas uma medida possuindo as propriedades estatísticas do conjunto t 1 (escolha ao acaso uma medida em sua tabela!). T 1 = Enuncie o valor experimental de T 10 caso ele fosse determinado por apenas uma medida possuindo as propriedades estatísticas do conjunto t 10 (note que t 10 = 10T 10 ). T 10 = Compare os valores de período obtidos pelos dois métodos. São compatíveis? 12

13 Experimento 3: Pêndulo simples Suponha que você queira se livrar completamente da fonte de erro aleatório, e para tanto realize um número N max de medidas de t 10. De acordo com seus dados, quanto deve ser N max? Faz sentido continuar aumentando o conjunto de medidas para além de N max? Por quê? Suponha que você quisesse aumentar ainda mais a precisão da medida de período, caso em que você esbarraria na incerteza instrumental. Como você faria para diminuir a influência de σ i? Forte sugestão: você deve ter completado todas as atividas propostas até aqui antes de iniciar a segunda aula deste experimento Dica: Tente não sonhar com pêndulos e variâncias esta noite 2.4 Medida da magnitude da aceleração gravitacional no laboratório No início deste experimento, você apontou o cenário esperado em que o pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples. Tendo o cuidado de se manter dentro desses limites, é possível medir a aceleração da gravidade. Segundo o modelo teórico do pêndulo simples, a relação entre seu período T, o comprimento l do fio e a magnitude da aceleração local da gravidade g, é dada pela expressão T = 2π g l. (1) Deve ser possível, então, determinar g pelo movimento do pêndulo, bastando para isso medir T e l. 13

14 Meça o período T do pêndulo para 5 valores diferentes de l. Coloque seus resultados na próxima tabela. Na tabela, o intervalo de tempo t se refere ao dado bruto medido, enquanto T é o período do pêndulo (determinado a partir de t). OBS: a forma de medida do período fica a seu critério. Use o espaço abaixo para descrever de forma sucinta seu procedimento experimental, definindo o que é t em seu caso e como é medido. Enuncie o valor adotado para a incerteza em t (use suas medidas anteriores). Descreva no espaço abaixo seu procedimento para medida de l, explicando como você definiu esse comprimento em sua medida. l t T 2.5 Gráfico linear para análise de dados Analise esses dados por representação gráfica. Uma relação linear entre duas grandezas medidas pode ser quantitativamente determinada por um ajuste de reta aos dados. Em nosso caso, no entanto, a Eq. (1) não é uma relação linear entre T e l (esperamos segundo o modelo teórico que T varie com l). Mas isso é fácil de contornar. Por uma troca de variáveis, chamamos x = l e y = T para reescrever a Eq. (1) como uma relação do tipo y = Ax+B, em que A = 2π g e B = 0. (2) Com isso, podemos proceder com o ajuste linear. O coeficiente linear A da reta (sua inclinação, ou derivada), deve fornecer o valor de g, enquanto seu coeficiente linear B é esperado nulo. 14

15 Experimento 3: Pêndulo simples Utilize seus dados de l e T para obter as novas variáveis x e y (com incertezas!). x y Escreva no quadro abaixo a expressão utilizada no cálculo das incertezas σ x como função de σ l. Gráfico 3: Numa folha de papel milimetrado, faça o gráfico de x = l versus y = T. Denote sempre as grandezas e unidades nos eixos! Utilize barras de erro! Estude seu gráfico. A relação encontrada experimentalmente é linear, justificando seu modelo? Encontre visualmente uma boa reta de ajuste aos dados. Utilize uma régua para guiar seus olhos na escolha de boas retas possíveis. Você perceberá que existe uma região ampla de possibilidades. De fato, o ajuste visual consiste num método grosseiro, e por isso veremos técnicas melhores ao longo do curso. Para traçar a reta, considere todos os pontos experimentais. Para determinar o coeficiente angular do ajuste visual e sua incerteza aproximada, trace duas retas extremas no gráfico: uma com inclinação máxima e outra com inclinação mínima. Lembre-se de que as duas retas devem se ajustar bem a todos os dados. Determine o coeficiente angular de cada reta. Para facilitar a leitura, encontre dois pontos em que cada reta cruze ao mesmo tempo ambas as marcações (horizontal e vertical) do papel milimetrado e marque esses pontos no gráfico. Escolha pontos distantes para maximizar sua precisão. Para a reta com coeficiente angular mínimo A min, leia no papel a distância x e y entre esses dois pontos. Calcule então a inclinação da reta A min = y/ x. x y A min 15

16 Faça o mesmo para a reta com coeficiente angular máximo A max. x y A max Para determinar graficamente o coeficiente linear da reta visual e seu erro, utilize uma régua para estimar os valores máximo B max e mínimo B min do ponto onde as retas possíveis cruzariam o eixo x = 0 (cuidado: verifique se esse ponto aparece em seu gráfico!). B min B max Utilize seus resultados para enunciar os coeficientes A e B da reta visual e suas incertezas. A = B = Trace no gráfico a reta ajustada visualmente (utilize caneta que a ressalte das demais). Utilizando a Eq. (2), determine o valor de g obtido a partir da reta ajustada. g = Considere o valor aceito para a magnitude da aceleração da gravidade como g 0 = 9,781 m/s 2. Seu resultado experimental é compatível com esse valor? Justifique. O coeficiente linear B obtido experimentalmente é nulo? Ou seja, você defenderia B = 0 ou B 0 com base em seus dados? Justifique. Caso B 0, conjecture sobre o possível motivo. 16