Admita que, à entrada de uma fibra óptica, a componente longitudinal do campo eléctrico é dada por. a frequência (angular) da portadora.

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1 Aula de Problemas 5 Problema Admita que, à entrada de uma fibra óptica, a componente lonitudinal do campo eléctrico é dada por z,,,, exp E x y z t F x y t i t em que o sinal modulante t é um impulso aussiano com «chirp» ou trinado C, com t i C t exp, sendo f a frequência (anular) da portadora A função, F x y representa a função modal transversal e, do ponto de vista deste problema, tem um interesse muito reduzido (porquê?) Admitese que a fibra óptica funciona no reime linear monomodal Note, em primeiro luar, que se tem t t t expexp i t, t C a que corresponde um desvio «dinâmico» de frequência (em relação à portadora) de d t C dt ie, um desvio para o azul na frente do impulso na cauda do impulso t e um desvio para o vermelho t no caso em que se tem C Propaação & Antenas Páina

2 Nestas circunstâncias, comece por determinar a transformada de Fourier GF t t expi t dt exp, i C i C em que representa o desvio de frequência no espectro do sinal em relação à portadora Mostre, em particular, que, desinando por a larura espectral FWHM (full-width at half maximum) de G, se tem ln G C exp C C este modo, para um impulso sem trinado (ie, com C ), vem apenas ln 665 Comente este resultado Em seuida, admitindo que pode aproximar a constante de propaação lonitudinal, do modo fundamental da fibra óptica, por, com (o coeficiente é conhecido por dispersão da velocidade de rupo),, v v v, mostre que se tem Propaação & Antenas Páina

3 z,,,,, exp E x y z t F x y A z t i z t Nesta última expressão, tem-se em particular A z, t exp Q z i Ct z Q z com, ainda, z Q zc i Note que, com efeito, se recupera i C t Q A t t, exp Tem-se, ainda, quando se faz, ic t z z v Q z A z, t exp t z t assim se mostrando a existência de distorção do sinal modulante se (e só se) v Além disso, mostre também que t A z, t exp Q z Q z z Propaação & Antenas Páina 3

4 com z z Q z C Note que se tem Q z C Q z Interprete fisicamente o resultado obtido Note, ainda, que pode definir z de forma a simplificar a escrita do resultado: z z z z t z Q z C A z, t exp Q z Represente raficamente z Q z C z z em função da distância normalizada (sendo definindo L o chamado comprimento de dispersão),, L Q z sn C z z z L L L, Propaação & Antenas Páina 4

5 para sn e considerando : (i) C ; (ii) C ; (iii) C Na fiura da páina seuinte representa-se raficamente, em função do tempo (normalizado e adimensional), L L A, exp t L Q Q Q sn C para L L e considerando três casos distintos: (i) C ; (ii) C ; (iii) C Considera-se que sn Representa-se, ainda, o sinal à entrada, ie, t A, Propaação & Antenas Páina 5

6 Suestão: Na resolução deste problema pode usar o seuinte interal: b exp a x b xd x exp a 4 a Propaação & Antenas Páina 6

7 Problema As fibras ópticas convencionais, que operam no intervalo de comprimentos de onda 3 6 μm, são usualmente projectadas para funcionar em reime monomodal (SMF = sinle-mode fibers) para c μm etermine, nestas circunstâncias, o valor máximo do raio a (do núcleo) para um índice de refracção (do núcleo) n 45 e supondo que o contraste dieléctrico é 3 3 Solução Na aproximação de pequeno contraste dieléctrico (como é o caso), os modos que se propaam na fibra óptica são modos quase-tem, vularmente desinados por modos LP (linearmente polarizados) O modo fundamental é, então, o modo LP que corresponde no caso eral, rioroso ao modo híbrido HE O seundo modo LP que se propaa (à medida que a frequência normalizada v, adimensional, aumenta) é o modo LP Este modo LP corresponde, na verdade, a três modos a saber: (i) os modos transversais TE e TM, que têm a mesma frequência de corte; (ii) o modo híbrido HE, que tem uma frequência de corte lieiramente superior Fazendo coincidir a frequência de corte do LP com a dos modos TE e TM, a correspondente frequência normalizada de corte v c corresponde à primeira solução da equação c x J m m m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m v tal como se indica na fiura anexa da páina seuinte Propaação & Antenas Páina 7

8 Assim, de acordo com esta fiura, vem (aproximadamente): v 448 c Loo, para que a fibra opere como uma SMF, é necessário que v k a n n v c Atendendo, então, a que NA n n n n n NA n v n k a, f k kc c c c Propaação & Antenas Páina 8

9 a 448 c vc n 448 a n max max c donde se infere que n 45 c μm amax 489 μm 3 3 Em eral pode-se relacionar o raio a do núcleo com o contraste dieléctrico uma vez fixado o valor do comprimento de onda de corte c Com efeito, vem sucessivamente v a v c c c n c na Loo, para vc 448 e n 5, obtém-se o ráfico versus a que, a seuir, se inclui Propaação & Antenas Páina 9

10 Problema 3 O coeficiente da dispersão da velocidade de rupo,, é usualmente expresso em ps km Porém, também é comum a utilização de um outro coeficiente de dispersão,, expresso em ps km nm Sendo o atraso de rupo, tem-se L, v em que L é o comprimento da liação óptica e v a velocidade de rupo efinem-se, então, d d, L d L d etermine a relação existente entre estes dois coeficientes Para 55 μm, um valor típico para o coeficiente da VG (dispersão da velocidade de rupo) é ps km Qual é o correspondente valor do coeficiente? Solução Comecemos por notar que d d d d d d Loo, como c d c f, d infere-se que d c d c d d Consideremos, então, que 7 55 μm ps km s m Propaação & Antenas Páina

11 Nestas condições, obtém-se ps km nm s m s m s m 5696 ps km nm 6 ps km nm Em termos de uma estimativa (muito) rosseira, podemos dizer que para uma liação com L km e uma larura espectral nm se obtém um alaramento dos impulsos dado por L 6 ps Mais adiante iremos ver como é possível determinar uma estimativa, mais riorosa, para este alaramento dos impulsos Problema 4 Uma fórmula empírica para o atraso de rupo, em função do comprimento de onda (medido no vácuo), é a seuinte: A B C Nesta expressão, os coeficientes A, B, C são constantes a determinar experimentalmente Mostre que, nestas condições, o coeficiente de dispersão, introduzido no problema anterior, é dado pela expressão 4 S 4, em que é o comprimento de onda de dispersão nula, ie, onde se tem Por sua vez, define-se o coeficiente de dispersão de ordem superior Propaação & Antenas Páina

12 d S d Mostre, então, que se tem S S Nas expressões para e para S aparece um coeficiente S Este coeficiente é tal que S S como se infere da expressão para S Notando que os valores típicos são 3 nm S 9 ps km nm etermine, então, para Solução A partir da expressão 55 μm, o valor de A B C deduz-se que d 3 C 4 B C B d B Loo, da definição (ver problema anterior) d L d tira-se que B C 4 L B Propaação & Antenas Páina

13 Porém, tem-se, donde se infere que C 4 C 4 B B Assim, vem B L 4 Consequentemente, resulta daqui que d d B B B S 4 d d L L L B B B B 6 B S L L L L L ou, finalmente, 4 B S 3 L Loo, como S S, tira-se que S 8B B S L L 8 e, após substituir esta última identidade nas expressões para e S, obtém-se (QE): 4 4 S S, S Para Propaação & Antenas Páina 3

14 3 nm S 9 ps km nm 9 s m 3 3 vem então 5 55 nm 697 s m 697 ps km nm 7 ps km nm Propaação & Antenas Páina 4

15 Problema 5 Numa fibra óptica, operada em reime linear monomodal, o coeficiente de alaramento de impulsos aussianos com trinado é tal que L L 3 L C V C V 3 4 Nesta expressão, admite-se que os impulsos de entrada têm a forma Propaação & Antenas Páina 5

16 i C t A, t exp sendo C o parâmetro de «chirp» ou trinado esina-se por a larura RMS (root mean square) dos impulsos Tem-se t t, em que t m m t A z, t d t A z, t d t Note-se que se tem z esinou-se por L o comprimento da fibra óptica Introduziu-se o parâmetro adimensional V onde é larura espectral RMS da fonte óptica (admite-se que o espectro da fonte óptica é aussiano) Sendo T B o «time-slot» alocado a cada «bit» do sistema de comunicação óptica diital, o débito binário, ou «bit rate», é dado por B TB Considere, como rera prática, que o valor máximo do débito binário é tal que 4B B B 4 Propaação & Antenas Páina 6

17 Nestas condições, desprezando 3 (ie, fazendo 3 ) e a existência de trinado, mostre que se têm as duas seuintes situações-limite: (i) Quando a fonte óptica é um laser multimodal ou um LE (liht-emittin diode), em que se pode considerar que V, então B 4 L Note-se que se tem Para L km, 5 nm (um LE) e 7 ps km nm, determine o valor máximo do débito binário Solução: B 984 Mb/s (ii) Quando a fonte óptica é um laser monomodal, em que se pode considerar que V, então B 4 L Para L km e Solução: B 559 Gb/s ps km, determine o valor máximo do débito binário Propaação & Antenas Páina 7