Simulação Numérica de Fibras Compensadoras de Dispersão e de Redes de Bragg

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1 Simulação Numérica de Fibras Compensadoras de Dispersão e de Redes de Bragg Filipe Correia da Silva Matias Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Orientador: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa Júri Presidente: Professor Doutor Fernando Duarte Nunes Orientador: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa Vogal: Professor Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves Maio de 2014

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3 Agradecimentos Agradecimentos Agradeço em primeiro lugar ao meu orientador, Professor Doutor António Topa, pela orientação, transmissão de conhecimentos, apoio e disponibilidade ao longo da elaboração desta dissertação. Agradeço à minha família, em especial aos meus pais, pela formação e oportunidades que me proporcionaram e pela força que me deram para alcançar os meus objectivos. Finalmente, um agradecimento especial à Ana que me acompanhou no meu percurso académico incentivando-me sempre e pela incansável paciência e apoio demonstrado nesta fase final do percurso. A todos, muito obrigado! iii

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5 Resumo Resumo Nesta dissertação pretende-se analisar o fenómeno da dispersão temporal inerente à propagação de impulsos em regime linear e estudar duas técnicas que permitem combater este efeito degradador que constitui um dos factores mais limitativos nos sistemas de comunicação óptica. São estudadas as contribuições da dispersão material e da dispersão do guia de onda na dispersão total em fibras ópticas monomodais. Deduz-se a equação da propagação de impulsos em regime linear que permite verificar a existência de efeitos dispersivos impostos por coeficientes de dispersão que regem a dispersão de velocidade de grupo e a dispersão de ordem superior. Simula-se com recurso ao Matlab a propagação de impulsos gaussianos de forma a demonstrar e estudar os efeitos dispersivos causados na sua propagação. São apresentadas duas das técnicas de compensação de dispersão mais utilizadas em regime linear: as fibras compensadoras de dispersão e as redes de Bragg. As simulações efectuadas para as fibras compensadoras de dispersão permitiram concluir que é possível recuperar na totalidade a forma inicial do impulso quando se contabilizam isoladamente os efeitos da dispersão de velocidade de grupo e de ordem superior mas que o mesmo não se sucede quando consideradas simultaneamente. O estudo das redes de Bragg é iniciado com uma descrição do seu princípio de funcionamento que incide sobre a reflexão de Fresnel, sobre a teoria dos modos acoplados e sobre teoria matricial. Por fim, apresentam-se três tipos de redes, redes de Bragg uniformes, apodizadas e aperiódicas e estudam-se as principais características e contribuições para a compensação de dispersão. Palavras-chave Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas, Dispersão de Velocidade de Grupo, Dispersão de Ordem Superior, Compensação de Dispersão, Fibras Compensadoras de Dispersão, Redes de Bragg. v

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7 Abstract Abstract This dissertation aims to analyse the time dispersion phenomenon inherent to pulse propagation in linear regime and study two techniques used to solve this degrading effect which is one of the most limiting factors in optical communication systems. The material dispersion and waveguide dispersion contributions in total dispersion single-mode optical fibers are studied. The pulse propagation equation in linear regime is derived which allows to verify the existence of dispersive effects caused by dispersion coefficients that governs the group velocity dispersion and higher-order dispersion. Propagation of gaussian pulses is simulated in Matlab in order to demonstrate and study the dispersive effects in their propagation. The two main techniques for dispersion compensation which are considered are dispersion compensating fibers and fiber Bragg gratings. The dispersion compensating fiber simulations demonstrated that is possible to fully recover the initial shape of the pulse when group velocity dispersion and higher-order dispersion are considered separately but not when both are considered simultaneously. The study of fiber Bragg gratings starts with a description of its operating principle that focuses on Fresnel s reflection, on coupled-mode theory and on matrix theory. Finally, the uniform fiber Bragg gratings, apodized fiber Bragg gratings and chirped fiber Bragg gratings are presented and theirs main features and contributions to dispersion compensation are studied. Keywords Pulse Propagation in Optical Fibers, Group Velocity Dispersion, Higher-order Dispersion, Dispersion Compensation, Dispersion Compensating Fibers, Fiber Bragg Gratings. vii

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9 Índice Índice Agradecimentos... iii Resumo...v Abstract... vii Índice... ix Lista de Figuras... xi Lista de Tabelas... xv Lista de Acrónimos... xvii Lista de Símbolos... xix 1 Introdução Enquadramento Perspectiva Histórica Estado da Arte Elementos de um Sistema de Comunicação Óptica Estrutura da Fibra Óptica Tipos de Fibras Ópticas Comparação da Transmissão por Fibra Óptica com Outros Meios de Transmissão Motivação Objectivos Estrutura da Dissertação Contribuições Principais Propagação de Impulsos em Regime Linear Dispersão em Fibras Ópticas Equação de Propagação de Impulsos Simulação Numérica da Propagação de Impulsos Equação Geral do Alargamento de Impulsos Desvio Dinâmico de Frequência (Chirp) Evolução da Largura do Impulso Gaussiano Efeito da Dispersão de Velocidade de Grupo ix

10 2.7.1 Impulso Gaussiano Impulso Supergaussiano Impulso Supergaussiano com Chirp Impulso Supergaussiano com Chirp Efeito da Dispersão de Ordem Superior Impulso Gaussiano Fibras Compensadoras de Dispersão Compensação da Dispersão de Velocidade de Grupo Impulso Gaussiano Impulso Supergaussiano Compensação da Dispersão de Ordem Superior Impulso Gaussiano Impulso Supergaussiano Compensação da Dispersão de Velocidade de Grupo na Presença da Dispersão de Ordem Superior Redes de Bragg Princípio de Funcionamento Classificação das Redes de Bragg Redes de Bragg Uniformes Redes de Bragg Apodizadas Redes de Bragg Aperiódicas Conclusões Discussão e Análise Crítica dos Resultados Perspectiva de Trabalho Futuro Referências x

11 Lista de Figuras Lista de Figuras Figura 1.1. Atenuação da fibra óptica ao longo das décadas e janelas de transmissão Figura 1.2 Esquema e principais elementos de um sistema de comunicação óptica Figura 1.3. Estrutura da fibra óptica Figura 1.4. Representação da reflexão total interna Figura 1.5. Tipos de fibras ópticas Figura 2.1. Representação da dispersão de impulsos na fibra óptica: impulsos à entrada da fibra (à esquerda) e impulsos à saída da fibra óptica (à direita) Figura 2.2. Dispersão total e as contribuições de dispersão material,, e de dispersão do guia de onda, numa fibra monomodal convencional Figura 2.3. Desvio de frequência instantânea à saída do laser Figura 2.4. Representação do padrão de olho à entrada do circuito de decisão sem transmissão na fibra e com modulação directa do laser (à esquerda) e após transmissão e com modulação directa (à direita) Figura 2.5. Evolução da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala para o parâmetro chirp, e Figura 2.6. Influência do parâmetro de chirp C no produto Figura 2.7. Impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra óptica Figura 2.8. Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica visto de duas perspectivas Figura 2.9. Evolução do espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica Figura Impulso supergaussiano à entrada e à saída da fibra óptica Figura Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica visto de duas perspectivas Figura Evolução do espectro do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica Figura Impulso supergaussiano com chirp à entrada e à saída da fibra óptica Figura Evolução do impulso superaussiano com chirp ao longo da fibra óptica visto de duas perspectivas Figura Evolução do espectro do impulso supergaussiano com chirp ao longo da fibra óptica Figura Impulso supergaussiano com chirp à entrada e à saída da fibra óptica xi

12 Figura Evolução do impulso superaussiano com chirp ao longo da fibra óptica visto de duas perspectivas Figura Evolução do espectro do impulso supergaussiano com chirp ao longo da fibra óptica Figura Impulso gaussiano com largura em três distâncias distintas da fibra óptica Figura Impulso gaussiano com largura em cinco distâncias distintas da fibra óptica Figura Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com para Figura Impulso gaussiano em casos distintos Figura Impulso gaussiano com e para diferentes valores de Figura 3.1. Esquema de uma ligação por fibra óptica com DCF Figura 3.2. Impulso gaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DVG Figura 3.3. Evolução do impulso gaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DVG Figura 3.4. Impulso supergaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DVG Figura 3.5. Evolução do impulso supergaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DVG Figura 3.6. Impulso gaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DOS Figura 3.7. Evolução do impulso gaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DOS Figura 3.8. Impulso supergaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DOS Figura 3.9. Evolução do impulso supergaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DOS Figura Impulso gaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DVG na presença da DOS Figura Evolução do impulso gaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DVG na presença da DOS Figura 4.1. Representação da variação do índice de refracção de uma FBG (retirado de [11]) Figura 4.2. Representação do funcionamento de uma FBG (retirado de [13])...59 Figura 4.3. Estrutura referente à modificação de índice de refracção de uma FBG uniforme Figura 4.4. Variação do parâmetro com, demonstrando a existência da banda proibida xii

13 Figura 4.5. Espectro da reflectividade em unidades lineares (à esquerda) e em db (à direita) para e...63 Figura 4.6. Reflectividade máxima em função do comprimento da rede para os coeficientes de acoplamento, e...63 Figura 4.7. Espectro da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em db (à direita) para e...64 Figura 4.8. Atraso de grupo numa FBG uniforme com e para e Figura 4.9. Dispersão numa FBG uniforme com e para e Figura Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para os coeficientes de acoplamento, e Figura Espectro da reflectividade da FBG uniforme (à esquerda) e espectro da reflectividade da FBG com apodização seno elevado e apodização Blackman (à direita) Figura Estrutura referente à modificação de índice de refracção de uma CFBG Figura Perfil de modulação do índice de refracção com amplitude constante e variação do período espacial (adaptado de [14]) Figura Perfil de modulação do índice de refracção com variação da amplitude (adaptado de [14]) Figura Perfil do período espacial Figura Reflexão das frequências altas e das frequências baixas em diferentes distâncias da CFBG Figura Reflectividade e atraso de grupo de uma CFBG de comprimento e coeficiente de aperiodicidade linear de Figura Dispersão de uma CFBG de comprimento com aperiodicidade linear em função do coeficiente de aperiodicidade xiii

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15 Lista de Tabelas Lista de Tabelas Tabela 3.1. Características do impulso gaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DVG Tabela 3.2. Características do impulso gaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DOS Tabela 3.3. Características do impulso supergaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DOS Tabela 3.4. Características do impulso gaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DVG na presença da DOS xv

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17 Lista de Acrónimos Lista de Acrónimos Acrónimo Significado BER CFBG DCF DOS DSF DVG EDFA FBG FFT LD LED IFFT ISI NA SMF TAT TPC WDM Bit-Error Rate Chirped Fiber Bragg Gratting Dispersion Compensating Fiber Dispersão de Ordem Superior Dispersion Shifted Fiber Dispersão de Velocidade de Grupo Erbium-Doped Fiber Amplifier Fiber Bragg Gratting Fast Fourier Transform Laser Diode Light Emitting Diodes Inverse Fast Fourier Transform Intersymbol Interference Numerical Aperture Single-Mode Fiber Transatlantic Telecommunication Cable Trans-Pacific Cable Wavelength Division Multiplexing xvii

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19 Lista de Símbolos Lista de Símbolos Símbolo Descrição Envolvente do campo eléctrico Amplitude do impulso Amplitude espectral da onda negativa Amplitude espectral da onda positiva Transformada de Fourier de A Raio do núcleo da fibra óptica Coeficiente de atenuação de potência Variação longitudinal do campo eléctrico Transformada de Fourier de B Índice de refracção modal normalizado Coeficiente de propagação longitudinal Constante de propagação transversal Inverso da velocidade de grupo Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo Coeficiente de dispersão de ordem superior Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo de uma SMF Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo de uma DCF Coeficiente de dispersão de ordem superior de uma SMF Coeficiente de dispersão de ordem superior de uma DCF Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo de uma FBG Factor de Henry Parâmetro chirp Coeficiente de aperiodicidade Velocidade de propagação da luz no vácuo Coeficiente de dispersão Dispersão material Dispersão do guia de onda Dispersão de uma FBG Contraste dieléctrico Factor de dissintonia Transição do índice de refracção xix

20 Vector campo eléctrico Amplitude do campo eléctrico Transformada de Fourier de E Variação transversal do campo eléctrico Frequência Perfil de apodização Variável normalizada da frequência Fase do coeficiente de reflexão de uma FBG Coeficiente de confinamento de uma FBG Imaginário Função de Bessel de primeira espécie de ordem zero Função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero Coeficiente de dispersão de ordem superior Coeficiente de acoplamento Comprimento da fibra óptica Comprimento da SMF Comprimento da DCF Comprimento da FBG Comprimento de dispersão Comprimento de dispersão de ordem superior Comprimento de onda Comprimento de onda de Bragg Comprimento de onda de dispersão nula Dispersão material Índice de grupo da bainha da fibra óptica Índice de refracção modal Índice de refracção do meio exterior à fibra óptica Índice de refracção do núcleo da fibra óptica Índice de refracção a bainha da fibra óptica Índice de grupo do guia Constante de propagação longitudinal das ondas positivas e negativas Reflectividade máxima de uma FBG Coeficiente de reflexão Coeficiente de reflexão de uma FBG Desvio de frequência angular em relação à portadora Declive de dispersão Parâmetro de dispersão de ordem superior para Largura efectiva do impulso xx

21 Largura RMS de um impulso em regime linear à entrada da fibra óptica Período temporal de um bit Variável do tempo Coeficiente de transmissão de uma FBG Momento de primeira ordem Momento de segunda ordem Variável normalizada do tempo Atraso de grupo Largura temporal característica do impulso Periodicidade espacial Constante de propagação transversal do núcleo da fibra óptica V Largura espectral normalizada da fonte Frequência normalizada Velocidade de grupo Frequência angular Frequência angular da portadora Variável normalizada da distância Coordenadas cartesianas no espaço xxi

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23 Capítulo 1 Introdução 1 Introdução Este capítulo dá uma visão global da dissertação. Começa por um enquadramento, apresenta a motivação e os objectivos relacionados com a elaboração da dissertação assim como a sua estrutura e finaliza-se o capítulo com as contribuições principais. 1

24 1.1 Enquadramento Perspectiva Histórica No início da década de 1840 surgiram as primeiras experiências que demonstravam o princípio fundamental da propagação de luz em fibras ópticas: a possibilidade de direccionar luz através da refracção [1]. Contudo na década de 1950 a comunicação por impulsos ópticos ainda se deparava com dois grandes obstáculos: a falta de uma fonte óptica coerente e de um meio de transmissão adequado [2]. O primeiro obstáculo foi superado com a invenção do laser cujo funcionamento foi demonstrado por Theodore Maiman, em 1960, e que veio impulsionar as comunicações ópticas. Em 1962 foram criados os lasers semicondutores que, no entanto, funcionavam à temperatura do azoto líquido. Apenas em 1970 apareceram os primeiros lasers semicondutores a operarem à temperatura ambiente [3]. Em 1966, Charles Kao e Charles Hockman concluíram que o uso de fibras ópticas como meio de propagação apenas seria viável caso estas apresentassem valores de atenuação na ordem dos, contudo nesta época as fibras ópticas exibiam perdas superiores a. O valor elevado das perdas foi justificado pelas impurezas do vidro. Só em 1970, Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz, a trabalhar para a Corning Glass Works, conseguiram atingir o objectivo definido por Kao e Hockman ao produzir uma fibra óptica monomodal com atenuação de no comprimento de onda de [3]. Desde então continuaram os esforços para alcançar melhores condições para a utilização de fibras ópticas em sistemas de comunicação, desenvolvendo-se nas últimas décadas diversas gerações de sistemas de comunicação óptica tendo cada geração originado um aumento considerável nos ritmos de transmissão e nas distâncias alcançadas. A primeira geração que surgiu no ano de 1980, tratava-se de fibras ópticas multimodais a operar na primeira janela uma vez que, nesta altura, as fibras ópticas apresentavam um mínimo de atenuação nesta banda e as fontes ópticas e fotodetectores disponíveis funcionavam nesses comprimentos de onda. O débito binário de transmissão típico era de e tinha um espaçamento entre repetidores de cerca de [4]. No ano de 1987, com desenvolvimento de fontes ópticas e fotodetectores capazes de funcionar na segunda janela criou-se a segunda geração de sistemas de comunicação óptica. Esta geração utilizava fibras ópticas multimodais atingindo débitos binários na ordem dos e levou a um aumento substancial da distância de transmissão entre repetidores para derivado das menores perdas e da menor distorção do sinal óptico que as fibras ópticas apresentam nesta janela. Em 1988 foi instalado o primeiro cabo submarino com fibra óptica designado de sistema TAT- 8 (Transatlantic Telecommunication Cable) e que pertencia à segunda geração. Este sistema utilizava lasers semicondutores multimodais a operar a com repetidores a cada e com um débito binário de. No ano seguinte foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable) que apresentava 2

25 características idênticas às do TAT-8 [3]. Já se conhecia desde 1979 que na terceira janela as fibras ópticas atingiam o mínimo absoluto de atenuação ( em ) mas em contrapartida a dispersão nessa janela tinha um valor considerável de cerca de. Esta limitação foi ultrapassada com a criação de fibras de dispersão deslocadas (DSFs) que apresentam uma dispersão muito baixa para. Em 1990 a utilização simultânea de DSFs e de lasers semicondutores monomodais permitiu o aparecimento da terceira geração de sistemas de comunicação óptica que operava na terceira janela e atingia débitos binários até. Os cabos submarinos TAT-9, TPC-4 e TAT-10/11 pertencem à terceira geração alcançando débitos binários de e operando a. Nesta geração eram utilizados regeneradores eléctricos com espaçamentos típicos de de forma a aumentar o comprimento de ligação mas que por outro lado aumentavam a complexidade da ligação uma vez que era necessária a conversão do sinal óptico para eléctrico para se efectuar a regeneração da amplitude (rescaling), a regeneração da forma (reshaping) e a regeneração temporal (retiming) sendo desta forma estes regeneradores conhecidos por regeneradores 3R. Esta complexidade foi eliminada com o aparecimento de amplificadores ópticos que possibilitam a amplificação directa sem recurso a elementos electrónicos adicionais permitindo ligações totalmente no domínio óptico entrando assim na era da fotónica. Dos amplificadores ópticos salientam-se as fibras amplificadoras dopadas a érbio, geralmente designadas por EDFA s (Erbium- Doped Fiber Amplifiers), que permitem o aumento do espaçamento entre repetidores para [3]. A quarta geração, a primeira verdadeiramente fotónica, combina a utilização de amplificação óptica de forma a aumentar o espaçamento entre amplificadores e a transparência dos sistemas, com o uso de multiplexagem por comprimento de onda, WDM (Wavelength Division Multiplexing), que permite a utilização de várias fontes ópticas a emitir em comprimentos de onda diferentes para transmitir fluxos de informação independentes na mesma fibra óptica aumentando assim o débito binário. Em 1996, entraram em funcionamento os primeiros cabos submarinos desta geração designados por TPC-5 e TAT-12/13. Estes sistemas utilizavam EDFA s a operar a, com espaçamento entre eles de e com débitos binários de. Em 2006, instalou-se o TPC-6 que já atingia débitos binários de. Os sistemas utilizados actualmente pertencem ainda à quarta geração. Na Figura 1.1 pode-se observar a evolução da atenuação das fibras ópticas ao longo das décadas e as janelas de transmissão. 3

26 Figura 1.1. Atenuação da fibra óptica ao longo das décadas e janelas de transmissão Estado da Arte Neste momento aguarda-se pela quinta geração de sistemas de comunicação óptica (já em desenvolvimento) cujo principal obstáculo a ultrapassar é a dispersão uma vez que o problema relacionado com as perdas já foi resolvido com o aparecimento dos EDFA s. Nesse sentido têm vindo a ser testadas várias técnicas, nomeadamente a compensação da dispersão com sistemas de précompensação ou pós-compensação de dispersão com o intuito de melhorar os sistemas anteriores, a gestão de dispersão para permitir uma nova projecção de sistemas convencionais e finalmente os sistemas com solitões (sistemas RZ não-lineares) que tiram partindo da não linearidade da fibra óptica revolucionando a forma de conceber sistemas de comunicação óptica. Estas três soluções apresentam algumas semelhanças, especificamente a utilização de EDFA s a operar na terceira janela para a amplificação óptica, o recurso à técnica WDM para aumentar o débito binário e o uso de gestão de dispersão, especialmente nos sistemas WDM, tanto para sistemas convencionais como para sistemas com solitões [3]. Os sistemas de comunicação óptica estão na vanguarda das telecomunicações cobrindo as necessidades da sociedade: transmissão de elevados fluxos de informação de forma eficiente e segura a ritmos elevados. 4

27 1.1.3 Elementos de um Sistema de Comunicação Óptica Um sistema de comunicação é uma rede pela qual se transmite informação entre um emissor e um receptor normalmente através de uma onda portadora. Num sistema de comunicação óptica utiliza-se como portadora ondas electromagnéticas do espectro óptico contidas entre a região do infravermelho longínquo ( ) e a região dos ultravioletas ( ). Na Figura 1.2 está apresentado um esquema de um sistema de comunicação óptica com os elementos que tipicamente o compõem. Os elementos chave são o emissor composto por um circuito eléctrico de excitação e uma fonte óptica, o cabo de fibra óptica que contém fibras ópticas garantindolhes protecção mecânica e ambiental e o receptor formado por um fotodetector, um amplificador eléctrico, um igualador e um circuito de regeneração do sinal digital. Figura 1.2 Esquema e principais elementos de um sistema de comunicação óptica. A fonte óptica é utilizada para emitir potência óptica na fibra óptica e deve ter dimensões compatíveis com as dimensões do núcleo da fibra óptica uma vez que a potência óptica fica confinada essencialmente no núcleo. As fontes ópticas mais utilizadas são os díodos emissores de luz (LED Light Emitting Diodes) e os díodos-laser (LD Laser Diode) por permitirem a modulação rápida da luz através da variação de corrente eléctrica de excitação para o débito de transmissão desejado produzindo assim um sinal óptico que codifica o sinal de dados. O cabo de fibra óptica para além da função de proteger as fibras ópticas pode conter fios de cobre que asseguram a alimentação dos amplificadores ópticos. Estes cabos podem ser submarinos, aéreos (suspensos em postes) ou enterrados directamente no solo. Para ligações longas fazem-se juntas, com carácter permanente, que resultam da fusão entre as fibras ópticas de forma a unir os vários troços de cabo. Além das juntas, utilizam-se também conectores que permitem a abertura do cabo de forma simples em casos de necessidade, como por exemplo, para substituir o emissor ou o 5

28 receptor. No receptor, o fotodetector deve, tal como o emissor, apresentar dimensões compatíveis com as dimensões do núcleo da fibra óptica e também ser extremamente sensível de forma a detectar níveis muito baixos de potência óptica derivados dos efeitos de atenuação e distorção sofridos ao longo de transmissão. Os fotodetectores tipicamente utilizados são os fotodíodos. A qualidade de um sistema de comunicações óptica é avaliada através do seu bit-error rate (BER) que define a probabilidade de ocorrência de um bit errado para um dado débito binário sendo que quanto menor for o valor do BER maior é a qualidade da ligação Estrutura da Fibra Óptica A fibra óptica é um guia de ondas dieléctrico cilíndrico constituído por um núcleo com características favoráveis à propagação da luz e por uma camada designada por bainha com características que favorecem a reflexão interna dentro do núcleo [5]. O núcleo e a bainha são constituídos por vidro, mais concretamente sílica ( ) e apresentam índices de refracção diferentes sendo o índice de refracção do núcleo superior ao da bainha. De modo a melhorar as suas propriedades de transmissão podem-se adicionar alguns dopantes, como por exemplo, e para aumentar o índice de transmissão e para reduzi-lo [4] [5]. A incorporação da bainha foi um dos factores determinantes para o desenvolvimento da tecnologia, no entanto, as fibras ópticas quando entravam em contacto com uma superfície que não o ar levavam à ocorrência de perdas inevitáveis. A solução foi encontrada com um revestimento com um material com índice de refracção menor que o do vidro [5]. Na Figura 1.3 está representada a estrutura da fibra óptica. Figura 1.3. Estrutura da fibra óptica. A transmissão da luz ao longo da fibra óptica pode ser explicada pela teoria dos raios da Óptica Geométrica, embora apenas seja válida quando o raio do núcleo é muito maior que o comprimento de onda da luz. Segundo a Óptica Geométrica, a potência óptica injectada na fibra óptica é parcialmente reflectida e refractada na fronteira entre o núcleo e a bainha. Considerando o índice de refracção do núcleo,, constante e superior ao índice de refracção da bainha,, o confinamento da potência 6

29 óptica no núcleo da fibra óptica resulta da reflexão interna total que acontece quando os raios incidem na fronteira entre o núcleo e a bainha com ângulos superiores a ( ) (1.1) As sucessivas reflexões na fronteira mantêm um ângulo superior a, facto que é assegurado pela diferença dos índices de refracção e desta forma garante-se o confinamento da potência óptica no núcleo da fibra óptica. A abertura numérica representa a capacidade da fibra óptica para captar luz e é dada por (1.2) em que é o índice de refracção do meio exterior à fibra e é o ângulo máximo possível entre o raio incidente na entrada da fibra óptica e o eixo vertical da fibra óptica para o qual o raio reflectido se mantém confinado ao núcleo como se pode observar pela Figura 1.4. Figura 1.4. Representação da reflexão total interna. A abertura numérica está relacionada com as perdas de potência óptica que resultam no acoplamento da fonte óptica à fibra óptica. Para índices de refracção do núcleo e da bainha muito próximos ( pode-se aproximar a abertura numérica a (1.3) com (1.4) em que é a fracção da diferença de índices entre o núcleo e a bainha. 7

30 1.1.5 Tipos de Fibras Ópticas Os tipos de fibras ópticas diferenciam-se pelo perfil do índice de refracção, isto é, a forma como o índice de refracção varia ao longo do núcleo e bainha, e pelo número de modos de propagação que está relacionado com as dimensões do núcleo e bainha. Na Figura 1.5 representa-se o perfil do índice de refracção, o princípio básico de propagação e as dimensões típicas dos três tipos de fibra óptica: fibra de índice em degrau (multimodo), fibra de índice gradual (multimodo) e fibra de índice em degrau (monomodo). Figura 1.5. Tipos de fibras ópticas. A fibra de índice em degrau (multimodo) foi o primeiro tipo de fibra desenvolvido e apresenta um índice de refracção uniforme no núcleo e na bainha sendo o da bainha inferior ao do núcleo. Este tipo de fibra apresenta uma velocidade de propagação constante no núcleo, derivada do índice de refracção também constante, o que implica que os raios com ângulos de incidência na fronteira entre núcleo e bainha mais reduzidos percorram caminhos mais longos chegando assim com atraso à saída da fibra óptica em relação aos raios que viajam por caminhos mais curtos. Este facto origina a distorção do sinal. As fibras de índice gradual (multimodo) permitem compensar em grande parte os efeitos 8

31 distorcivos apresentados pelas fibras de índice em degrau (multimodo) através do decréscimo contínuo do índice de refracção à medida que se avança do centro do núcleo para a bainha. Desta forma elimina-se o atraso entre raios uma vez que a velocidade em pontos mais próximos é inferior à velocidade em pontos mais distantes fazendo com que os vários modos de propagação tenham o mesmo tempo de propagação e consequentemente o mesmo instante de chegada. Porém, estas fibras apresentam uma abertura numérica inferior às fibras ópticas de índice gradual tornando o acoplamento da luz à fibra óptica mais difícil. As fibras ópticas monomodo permitem melhorias adicionais nos efeitos distorcivos por terem dimensões do raio do núcleo comparáveis ao comprimento de onda do sinal. Neste caso não se pode recorrer à Óptica Geométrica para descrever a propagação da luz ao longo da fibra óptica sendo necessário utilizar a teoria da propagação na fibra óptica [6]. Segundo esta teoria, a propagação das ondas na fibra óptica com índice em degrau apresenta uma frequência normalizada dada por (1.5) e determina se a propagação é assegurada por um ou mais modos, ou seja, se a propagação é monomodo ou multimodo. Para observa-se propagação monomodo. Por avaliação da equação (1.5) conclui-se que a frequência normalizada é proporcional ao raio do núcleo pelo que é possível obter propagação monomodo através da redução do raio do núcleo. No caso de tem-se propagação multimodal sendo possível estimar o número de modos por (1.6) Este tipo de fibras ópticas apresentam uma abertura numérica muito baixa implicando perdas de acoplamento da luz à fibra óptica elevadas [4] Comparação da Transmissão por Fibra Óptica com Outros Meios de Transmissão Os sistemas de comunicação óptica apresentam vantagens em relação aos sistemas de cabo metálico e aos sistemas via espaço livre ou atmosfera nomeadamente: Tamanho: um cabo pode conter várias fibras ópticas uma vez que o diâmetro típico de uma fibra óptica é e apresentar, ainda assim, um diâmetro muito menor que os cabos de suporte metálico. Peso: para sistemas de débito binário elevado os cabos de fibras ópticas apresentam vantagens consideráveis facilitando o transporte e a instalação. 9

32 Largura de banda: as fibras ópticas apresentam larguras de banda superiores em várias ordens de grandeza em relação aos meios de transmissão metálica. É possível aumentar a capacidade alterando o emissor óptico, melhorando o receptor ou através de técnicas de multiplexagem. Espaçamento entre repetidores: o espaçamento entre repetidores é significativamente superior em sistemas de comunicação óptica do que em sistemas de cabo em suporte metálico uma vez que as fibras ópticas apresentam perdas baixas. Isolamento eléctrico: a fibra óptica ao não apresentar características condutoras não necessita de isolamento eléctrico. Diafonia: como não há acoplamento óptico entre fibras os sistemas de comunicação óptica não apresentam diafonia. O mesmo não se sucede nos sistemas de pares de fios onde a diafonia pode ser o principal efeito limitativo de desempenho. Radiação: os sistemas de comunicação óptica não radiam energia electromagnética garantindo segurança na transmissão de informação uma vez que para se interceptar o sinal é necessário aceder fisicamente ao cabo. Fiabilidade: os elementos ópticos de um sistema de comunicação óptica apresentam elevada fiabilidade em relação aos componentes electrónicos. Dependência das condições atmosféricas: os sistemas de comunicação óptica são pouco afectados por temperaturas ou condições de humidade ao contrário dos sistemas de cabos metálicos em que a humidade é um grande obstáculo. Os cabos submarinos por fibra óptica tiram partido desta vantagem. Custo: o custo de fabrico de fibras ópticas é baixo dada a elevada existência de sílica na terra em contraste com o cobre, usado nos cabos metálicos, que começa a deixar de existir em abundância. Por outro lado, os sistemas de comunicação óptica tornaram-se mais económicos devido ao enorme aumento da sua utilização, do progresso tecnológico e volume de vendas. Atribuição de frequências: os sistemas de cabo, tanto por fibra óptica como por cabo metálico, não necessitam de ter frequências atribuídas para funcionarem legalmente ao contrário dos sistemas não guiados [4]. Em relação a desvantagens, a fibra óptica apresenta menor robustez que os fios de cobre, no entanto, ambos os sistemas de transmissão por cabo estão susceptíveis a cortes no cabo por factores externos. A potência das fontes ópticas é limitada. Devido às pequenas dimensões das fibras ópticas são necessários procedimentos e dispositivos de alta precisão na realização das conexões e juntas. A constante evolução tecnológica não tem facilitado o estabelecimento de padrões para os sistemas de comunicação óptica [7]. 10

33 1.2 Motivação A crescente necessidade de ter acesso a grandes volumes de informação tem sido o grande impulsionador da constante evolução e desenvolvimento da indústria das telecomunicações. Dada a elevada largura de banda e os elevados ritmos de transmissão apresentados, as fibras ópticas têm estado na vanguarda das telecomunicações como meio de transmissão de informação. Sendo a dispersão um dos factores mais limitativos dos sistemas de comunicação óptica de longa distância tem especial interesse o estudo da sua influência bem como de técnicas de compensação da dispersão nesses sistemas. 1.3 Objectivos O trabalho desenvolvido nesta dissertação centra-se no estudo de sistemas de comunicação óptica com principal foco em técnicas de compensação da dispersão inerente a estes sistemas. Primeiramente pretende-se introduzir o conceito dispersão e caracterizar a dispersão total em termos da dispersão material e da dispersão de guia de onda. De seguida pretende-se determinar a equação que rege a propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear para posteriormente servir como base para simular impulsos gaussianos. Estas simulações têm como objectivo demonstrar os efeitos distorcivos causados na propagação dos impulsos. Uma vez identificados e demonstrados os efeitos da dispersão pretende-se estudar dois mecanismos utilizados na compensação da dispersão em regime linear: as fibras compensadoras de dispersão e as redes de Bragg. Neste estudo tenciona-se descrever o funcionamento destes mecanismos e avaliar a sua utilização na compensação da dispersão. 1.4 Estrutura da Dissertação Esta dissertação encontra-se estruturada em cinco capítulos. O primeiro e actual capítulo, Introdução, apresenta um enquadramento que começa com uma perspectiva histórica dando a conhecer a evolução dos sistemas de comunicação óptica até ao seu estado actual (estado da arte), passando de seguida por uma descrição sucinta dos elementos que constituem esses sistemas. Desses elementos, faz-se um estudo mais aprofundado ao meio de transmissão, ou seja, às fibras ópticas apresentando-se a sua estrutura e os seus três tipos e finaliza-se o enquadramento com uma comparação deste meio de transmissão com outros meios. Ainda neste capitulo apresentam-se a motivação da escolha do tema bem como os objectivos da dissertação e respectiva organização e, finalmente as contribuições principais. O Capítulo 2, Propagação de Impulsos em Regime Linear, é iniciado com o conceito de dispersão. De seguida é deduzida a equação que descreve o comportamento de impulsos ao longo da 11

34 propagação numa fibra óptica monomodal em regime linear. Uma vez deduzida a equação que rege a propagação de impulsos em fibras ópticas, descrevem-se os métodos que permitem simulá-la com recurso à ferramenta Matlab. Seguidamente é analisado o alargamento de impulsos causado pela dispersão de velocidade de grupo e pelo efeito de chirp, sendo posteriormente caracterizado para impulsos gaussianos. Finalmente simulam-se impulsos gaussianos para se observar os efeitos, anteriormente identificados, da dispersão de velocidade de grupo e de ordem superior. No Capítulo 3, Fibras Compensadoras de Dispersão, apresenta-se uma das técnicas mais utilizadas para a compensação de dispersão em fibras ópticas assim como o seu funcionamento. Simula-se a propagação de vários impulsos de forma a demonstrar os resultados obtidos na utilização desta técnica para a compensação da dispersão de velocidade de grupo, de ordem superior e da dispersão de velocidade de grupo na presença da dispersão de ordem superior. O Capítulo 4, Redes de Bragg, revela outra técnica usualmente escolhida para compensação de dispersão em fibras ópticas e começa por descrever o princípio de funcionamento utilizado nas redes de Bragg. Seguidamente apresentam-se três tipos de redes de Bragg anunciando o seu funcionamento e principais características. No quinto e último capítulo, Conclusões, expõem-se as considerações finais mais relevantes sobre o trabalho desenvolvido e apresenta-se um conjunto de temas a explorar em trabalhos futuros. 1.5 Contribuições Principais As contribuições principais do trabalho desenvolvido nesta dissertação são: Caracterização da propagação de impulsos em regime linear de forma a identificar a presença do fenómeno de dispersão temporal e consequente alargamento dos impulsos; Simulação numérica da propagação de impulsos numa fibra óptica monomodal e respectiva análise do impacto da dispersão de velocidade de grupo e de ordem superior assim como da contribuição do chirp para o agravamento destes fenómenos; Estudo de técnicas de compensação de dispersão em regime linear com recurso a fibras compensadoras de dispersão e a redes de Bragg e respectiva análise crítica dos resultados obtidos; As técnicas de compensação de dispersão estudadas permitem aumentar os ritmos binários dos sistemas de comunicação óptica actuais. 12

35 Capítulo 2 Propagação de impulsos em regime linear 2 Propagação de impulsos em regime linear Este capítulo apresenta um estudo sobre a propagação de impulsos em regime linear com vista a avaliar a influência de um dos fenómenos limitativos dos sistemas de comunicações ópticas: a dispersão. 13

36 2.1 Dispersão em Fibras Ópticas Um impulso sofre distorção durante a propagação na fibra óptica devido aos fenómenos de atenuação e de dispersão. Estes dois fenómenos são dependentes do comprimento de onda de propagação e impõem um limite à distância e ao ritmo máximo de transmissão numa fibra óptica. A atenuação é a redução de intensidade do sinal e tem como principais causas a absorção e o espalhamento. A dispersão é o alargamento do impulso, no domínio do tempo, à medida que este se propaga na fibra e resulta do facto das componentes espectrais do impulso viajarem ao longo da fibra óptica com diferentes velocidades de grupo [2]. A Figura 2.1 representa o efeito causado pela dispersão na propagação de impulsos na fibra óptica onde se pode observar o alargamento dos impulsos que causa a sobreposição dos mesmos tornando-os por vezes indistinguíveis na recepção. O efeito de sobreposição de impulsos é designado por interferência inter-simbólica (ISI Intersymbol Interference). Figura 2.1. Representação da dispersão de impulsos na fibra óptica: impulsos à entrada da fibra (à esquerda) e impulsos à saída da fibra óptica (à direita). A dispersão em fibras ópticas é consequência de dois efeitos designados por dispersão intermodal e por dispersão intramodal, também denominada por dispersão cromática ou por Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG). A dispersão intermodal afecta apenas a transmissão em fibras multimodais e resulta do facto de cada modo de propagação ter um valor diferente da velocidade de grupo para a mesma frequência. A largura do impulso à saída da fibra óptica depende dos tempos de transmissão do modo que apresenta maior velocidade de grupo (modo fundamental) e do modo que apresenta menor velocidade de grupo (modo de ordem mais elevada) [8]. Este efeito pode ser minimizado através de fibras ópticas com perfil de índice de refracção gradual porém as fibras multimodais não cumprem as exigências, em termos de taxa de transmissão, da maioria das aplicações em telecomunicações 14

37 sendo usualmente preteridas pelas fibras monomodais nos sistemas de telecomunicações. A dispersão intramodal consiste no alargamento temporal de um impulso óptico dentro de um modo de propagação e resulta da dependência da velocidade de grupo do modo com o comprimento de onda. Existem dois tipos de contribuições para a dispersão intramodal: a dispersão material e a dispersão do guia de onda. A dispersão material resulta do facto do índice de refracção do material que constitui a fibra óptica variar não linearmente com o comprimento de onda. Uma vez que a velocidade de grupo de um modo varia em função do índice de refracção, as várias componentes espectrais de um determinado modo propagam-se com velocidades de grupo diferentes apresentando um atraso entre si, o que origina o alargamento temporal dos impulsos transmitidos. A dispersão do guia de onda ocorre pelo facto da potência óptica que se propaga na fibra não ficar totalmente confinada ao núcleo da fibra havendo também propagação na bainha tendo a distribuição da energia pelo núcleo e bainha dependência do comprimento de onda. A velocidade de grupo varia consoante a percentagem de potência que se propaga no núcleo e na bainha provocando o alargamento dos impulsos. O parâmetro de dispersão,, é dado por ( ) (2.1) onde é o parâmetro da DVG e é responsável pelo alargamento do impulso no interior da fibra. O parâmetro de dispersão pode ser escrito como a soma de dois termos tal que (2.2) onde representa a dispersão material e representa a dispersão do guia de onda, que são dados, respectivamente, pelas expressões (2.3) [ ] (2.4) Por observação da Figura 2.2 nota-se que para uma fibra óptica monomodal convencional o parâmetro de dispersão total anula-se para um comprimento de onda próximo de (2ª janela), denominado por comprimento de onda de dispersão nula. Pode-se observar ainda que para dispersões negativas as componentes de baixas frequência do impulso deslocam-se a uma velocidade maior do que para dispersões positivas. Desta forma, é possível minimizar os efeitos da dispersão através do controlo das características da fibra óptica. Alterando o perfil do índice de refracção e diminuindo as dimensões do núcleo é possível fabricar fibras ópticas com dispersão total 15

38 nula para um comprimento de onda de (3ª janela), designadas por fibras de dispersão deslocada, sendo vantajosas para os sistemas de comunicações ópticas uma vez que operam na banda onde a atenuação da fibra é mínima [9]. Figura 2.2. Dispersão total e as contribuições de dispersão material,, e de dispersão do guia de onda, numa fibra monomodal convencional. Apesar do efeito da DVG ser predominante na dispersão, quando a portadora se encontra na vizinhança do comprimento de onda de dispersão nula ou quando o sinal tem uma largura temporal muito pequena é necessário ter em conta os termos dispersivos de ordem superior. A dispersão de ordem superior (DOS) é determinada através do declive de dispersão S (2.5) A dispersão total em função do comprimento de onda é dada por [ ( ) ] (2.6) onde é o parâmetro de dispersão de ordem superior para o nulo da DVG. Aplicando a equação (2.1) e (2.6) na equação (2.5) obtém-se ( ) [ ( ) ] (2.7) em que representa o parâmetro de dispersão de ordem superior. 16

39 2.2 Equação de Propagação de Impulsos Nesta secção, pretende-se deduzir a equação que regula a propagação de impulsos em regime linear numa fibra óptica monomodal. Seja um impulso que se propaga na fibra óptica, pode-se representar o impulso à entrada da fibra, ou seja, por. Assumindo que este impulso modula uma portadora de frequência angular e supondo que o campo eléctrico está polarizado linearmente segundo o eixo dos x, temse (2.8) Pode-se rescrever a equação (2.8) tal que (2.9) com (2.10) onde representa a amplitude do campo eléctrico, representa a variação transversal do modo fundamental,, uma vez que se está na presença de um regime monomodal, e representa a variação longitudinal do campo eléctrico à entrada da fibra óptica. A aproximação aos modos é razoável pois consideram-se fibras de pequeno contraste dieléctrico, isto é. Utilizando um sistema de coordenadas cilíndricas e sendo a coordenada transversal, tem-se então { ( ) ( ) (2.11) onde corresponde à função de Bessel de primeira espécie de ordem zero e corresponde à função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero, o raio do núcleo da fibra óptica é representado por e e representam a constante de propagação transversal no núcleo e a constante de atenuação na bainha, respectivamente. Estas duas constantes podem ser normalizadas tais que (2.12) sendo a frequência normalizada dada por 17

40 (2.13) onde representa a constante de propagação no vácuo, o índice de refracção do núcleo e o índice de refracção da bainha. De modo a determinar o campo eléctrico num ponto transformada de Fourier do campo em, introduz-se inicialmente a (2.14) (2.15) tendo como respectivas transformadas inversas (2.16) (2.17) A partir da equação (2.9) e da equação (2.10) deduz-se então (2.18) (2.19) Sendo a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se (2.20) (2.21) Admitindo que na fibra a polarização se mantém inalterada, pode-se calcular o campo eléctrico num ponto a partir de (2.22) com 18

41 (2.23) De forma a simplificar a notação considera-se apenas a transmissão da intensidade do campo eléctrico e não a sua fase e tendo em conta a equação (2.21) tem-se { [ ]} (2.24) Introduzindo o desvio de frequência em relação à portadora,, da equação (2.24) obtém-se { [ ]} (2.25) A introdução de um desenvolvimento em série de Taylor para do cálculo do integral da equação (2.25) fazendo permite a simplificação (2.26) (2.27) (2.28) em que corresponde à constante de propagação. Assim é possível escrever [ ] (2.29) com [ ] (2.30) Comparando as equações (2.29) e (2.30) pode-se observar que é uma função lentamente variável no tempo, enquanto é uma função rapidamente variável no tempo uma vez que, em geral, tem-se (pois os impulsos são de banda estreita) pelo que oscila com uma frequência muito menor do que. Os coeficientes introduzidos na equação (2.27) são dados por (2.31) 19

42 em que corresponde a um número inteiro Para resolver a equação (2.30) é necessário determinar os coeficientes da equação (2.31). O primeiro coeficiente,, está fisicamente relacionado com o inverso da velocidade de grupo, o segundo coeficiente,, designa-se por coeficiente de dispersão de velocidade de grupo e ao terceiro coeficiente,, dá-se o nome de coeficiente de dispersão de ordem superior. Estes coeficientes são dados por (2.32) (2.33) (2.34) onde ( ) (2.35) representa a velocidade de grupo. A partir das equações (2.23) e (2.30) pode-se escrever [ ] (2.36) e recorrendo à equação (2.30) é possível calcular a partir de, sendo útil definir primeiro (2.37) Assim, da equação (2.30), resulta (2.38) Introduzindo as perdas pode-se reescrever a equação (2.38) (2.39) onde α representa o coeficiente de atenuação de potência. 20

43 Sabendo que (2.40) (2.41) (2.42) (2.43) pode-se generalizar, com,, (2.44) de onde se conclui que (2.45) Assim, a partir das equações (2.38) e (2.44), obtém-se a equação diferencial linear que permite calcular a partir de (2.46) Uma vez que, como referido anteriormente, os impulsos são geralmente de banda estreita, é razoável desprezar os termos de ordem igual ou superior a quatro. Neste caso a equação (2.46) pode ser reduzida a (2.47) 2.3 Simulação Numérica da Propagação de Impulsos A simulação numérica da propagação de impulsos é feita com recurso ao programa Matlab com o intuito de se efectuar um estudo sobre a propagação de diferentes tipos de impulsos. De seguida, demonstra-se como se pode resolver numericamente a equação (2.47) que governa a propagação de 21

44 impulsos numa fibra óptica em regime linear, através da FFT (Fast Fourier Transform) e da IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) funções disponibilizadas no programa utilizado. Considerando desprezáveis as perdas,, e os efeitos dispersivos para,, da equação (2.47) resulta (2.48) No domínio das transformadas de Fourier, pode-se reescrever a equação (2.48) (2.49) que tem como solução (2.50) Tem-se então (2.51) de onde se depreende que (2.52) Através da análise da equação (2.52) constata-se que na ausência de efeitos dispersivos o impulso propaga-se sem distorção com velocidade de grupo (2.53) e com atraso de grupo (2.54) Na maioria dos casos práticos não é aceitável desprezarem-se os coeficientes e mas ao desprezar-se a influência de dispersão de ordem superior torna-se possível a análise isolada do efeito da DVG na propagação de impulsos. Tendo em conta a equação (2.54), pode-se reescrever a equação (2.52) na forma 22

45 ( ) (2.55) Define-se o comprimento de dispersão por (2.56) onde é um tempo característico do impulso e é o coeficiente da DVG. Note-se que os efeitos dispersivos numa ligação de comprimento são apenas desprezáveis para comprimentos Através da normalização das variáveis para o espaço e para tempo obtém-se (2.57) (2.58) Com recurso à fórmula das derivadas parciais (2.59) (2.60) e ao passar de variáveis reais para variáveis normalizadas tem-se (2.61) (2.62) Para se determinar a equação de propagação de impulsos no domínio das novas variáveis tornase útil calcular primeiro (2.63) 23

46 (2.64) Substituindo as equações (2.61), (2.62), (2.63) e (2.64) na equação (2.47) obtém-se (2.65) Simplificando a equação (2.65) e multiplicando todos os termos por tem-se (2.66) Sabendo que { (2.67) ou seja, e tendo em conta a equação (2.56) tem-se (2.68) (2.69) em que representa o coeficiente de dispersão de ordem superior. Obtém-se assim a forma mais simplificada da equação (2.66) (2.70) Introduzindo o par de Fourier (2.71) (2.72) onde domínio da frequência normalizada é uma frequência normalizada, pode-se escrever a equação (2.70) no 24

47 [ ] (2.73) cuja solução é [ ] (2.74) Em suma, a resolução numérica da equação (2.70) pode resumir-se em três passos [3]: (i) Cálculo de [ ] (ii) Cálculo de [ ] (iii) Cálculo de [ ] 2.4 Equação Geral do Alargamento de Impulsos Nesta secção pretende-se demonstrar a dedução da equação do alargamento de impulsos durante a propagação em fibras ópticas em regime linear. No estudo da dispersão em fibras ópticas caracteriza-se a largura efectiva temporal para um impulso com forma arbitrária à saída da fibra por (2.75) onde representa os diferentes momentos característicos do impulso, que podem ser definidos em termos do espectro do impulsos por (2.76) Admitindo que (2.77) pode-se simplificar a equação (2.76) 25

48 (2.78) Definem-se então os momentos de primeira e segunda ordem, respectivamente, por (2.79) (2.80) As equações (2.79) e (2.80) podem ser reescritas por (2.81) (2.82) Definindo a transformada de Fourier de por (2.83) que tem como transformada inversa (2.84) e ao substituir a equação (2.84) na equação (2.81) obtém-se [ ] (2.85) Alterando a ordem dos integrais na equação (2.85) [ ] (2.86) Aplicando a segunda relação de Parseval dada por 26

49 (2.87) à equação (2.86), o momento de primeira ordem fica (2.88) onde. é a derivada parcial em relação à frequência da transformada de Fourier do impulso Para determinar a equação do momento de segunda ordem utiliza-se um procedimento análogo ao utilizado para a equação do momento de primeira ordem, mas emprega-se a terceira relação de Parseval dada por (2.89) obtendo-se então o momento de segunda ordem (2.90) Para o cálculo da variação do atraso de grupo, é necessário especificar primeiro seguinte forma da (2.91) em que é dado por (2.92) em que o parâmetro resulta do efeito de chirp inicial, é o espectro do impulso e é a constante de propagação. Sendo o atraso de grupo,, dado por (2.93) verifica-se a dependência da constante de propagação com a frequência e com a coordenada 27

50 longitudinal. De forma a simplificar, considera-se que a constante de propagação não varia ao longo da propagação, que e que. Desta forma, da equação (2.93) tem-se (2.94) Pode-se concluir pelas equações (2.91) e (2.92) que (2.95) onde (2.96) em que, e. Tendo em conta as equações (2.91) e (2.95), obtém-se a partir da equação (2.88) (2.97) Tendo em consideração a equação (2.92), pode-se reescrever a equação (2.97) obtendo-se (2.98) onde se admite que para e, como referido anteriormente, que não varia ao longo da propagação. Substituindo a equação (2.94) na equação (2.98) tem-se (2.99) Seja (2.100) e por comparação das equações (2.99) e (2.100) obtém-se a equação final do momento de primeira ordem (2.101) 28

51 Utilizando o mesmo raciocínio, calcula-se de seguida o momento de segunda ordem. Substituindo a equação (2.95) na equação (2.90) obtém-se (2.102) Tendo em conta a equação (2.92), pode-se reescrever a equação (2.102) obtendo-se (2.103) Com base na equação (2.100) infere-se que (2.104) Aplicando a equações (2.104) e (2.101) na equação (2.75), vem que (2.105) Fazendo, obtém-se finalmente a equação para a largura temporal efectiva de um impulso com forma arbitrária [ ] [ ] (2.106) Por observação da equação (2.106), verifica-se que o alargamento do impulso é afectado pela média da velocidade de grupo,, e pelo parâmetro que é responsável pelo efeito de chirp. 2.5 Desvio Dinâmico de Frequência (Chirp) A utilização de modulação directa da corrente de injecção num laser semicondutor para emissão de sinais provoca um desvio de frequência instantânea da portadora dos sinais designado de chirp. A modulação directa provoca a variação da densidade de portadores de carga eléctrica na região activa que tem como consequência a variação substancial do índice de refracção do material constituinte da 29

52 região activa devido à injecção ou subtracção de grandes quantidades de portadores desta região, o que leva a variações da frequência dos fotões emitidos e, em ultima instância, à variação da frequência do sinal óptico emitido [4]. Na Figura 2.3 está representado o desvio de frequência instantâneo (relativamente à frequência óptica em que o laser está a emitir) observado à saída de um laser onde se observam variações acima de 100 GHz o que significa que o sinal óptico à saída apresenta componentes espectrais numa banda de mais 100 GHz, o que contribui para um aumento significativo da largura espectral do sinal óptico na saída da fonte óptica. Figura 2.3. Desvio de frequência instantânea à saída do laser. O chirp aliado à dispersão na fibra óptica é um factor limitativo importante na transmissão a ritmos binários elevados por conduzir a um maior alargamento do espectro do sinal relativamente à ausência de chirp. Na Figura 2.4 pode-se verificar que o efeito combinado do chirp com a dispersão leva à distorção e fecho do padrão de olho representando o aumento da ISI e consequente deterioramento no desempenho da ligação. Figura 2.4. Representação do padrão de olho à entrada do circuito de decisão sem transmissão na fibra e com modulação directa do laser (à esquerda) e após transmissão e com modulação directa (à direita). 30

53 Na propagação de impulsos em fibras ópticas o chirp é caracterizado por um parâmetro adimensional que é simétrico ao factor de Henry, parâmetro característico do laser, e é dado por (2.107) 2.6 Evolução da Largura do Impulso Gaussiano Com base na dedução da equação geral do alargamento de impulsos em regime linear descrita na secção 2.4, pretende-se estudar a evolução da largura de impulsos gaussianos. O coeficiente de alargamento,, do impulso gaussiano, desprezando a largura espectral da fonte aproximação razoável para um laser monomodal com pequena largura espectral - é dado por ( ) ( ) ( ) ( ) (2.108) em que é o comprimento da ligação, é o parâmetro de chirp e é a largura inicial do impulso gaussiano. Ao desprezar-se o coeficiente de dispersão de ordem superior, ou seja, pode-se reduzir a equação (2.108) ficando ( ) ( ) (2.109) Por observação da Figura 2.5, verifica-se que para qualquer valor do parâmetro de chirp existe alargamento do impulso devido ao efeito da DVG, sendo que para o alargamento é mais acentuado uma vez que se soma o efeito do parâmetro de chirp ao efeito da DVG. Para podese observar uma ligeira contracção do impulso devido ao parâmetro de chirp ter um efeito contrário ao efeito da DVG até ao ponto (2.110) atingindo uma largura mínima dada por (2.111) 31

54 porém o impulso alarga após o ponto referido pela equação (2.110), o que revela que o efeito da DVG acaba por ser dominante. Figura 2.5. Evolução da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala parâmetro chirp, e. para o O alargamento do impulso influencia o débito binário utilizado na transmissão. Considerando o período temporal atribuído a um bit, tem-se como débito binário. De forma a evitar interferência inter-simbólica é utilizado o critério (2.112) Assumindo um coeficiente de alargamento tal que (2.113) tem-se um débito binário correspondente (2.114) em que é o critério de folga e representa a separação entre impulsos vizinhos em unidades normalizadas e. 32

55 Definindo (2.115) pode-se resolver a equação (2.109) em ordem a x, obtendo (2.116) (2.117) E deste modo (2.118) em que corresponde à figura de mérito. Figura 2.6. Influência do parâmetro de chirp C no produto. Na Figura 2.6, pode-se observar a influência do parâmetro de chirp no produto dado pela equação (2.117) na zona de dispersão anómala ( ) e na zona de dispersão normal ( ) com e. 33

56 2.7 Efeito da Dispersão de Velocidade de Grupo Pretende-se agora simular a evolução de dois tipos de impulsos numa fibra óptica através do método descrito na secção 2.3 com o intuito de se observar o efeito provocado pela DVG nesses impulsos Impulso Gaussiano Considerando a forma geral de um impulso supergaussiano dada por ( ) (2.119) em que representa o parâmetro de chirp e a rapidez com que o impulso atinge o seu valor máximo. Para se obter um impulso gaussiano, considera-se chirp é nulo,, tem-se e para o caso em que o parâmetro de ( ) (2.120) Figura 2.7. Impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra óptica. 34

57 Figura 2.8. Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica visto de duas perspectivas. Por observação da Figura 2.7 e da Figura 2.8, constata-se que há alterações nas características do impulso gaussiano havendo alargamento do impulso e diminuição da sua amplitude à medida que este se propaga pela fibra óptica. Estes fenómenos ocorrem devido à influência da DVG. Figura 2.9. Evolução do espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica. Na Figura 2.9, verifica-se que o espectro do impulso mantém-se constante ao longo da fibra óptica, o que se deve ao facto de se ter desprezado a atenuação na fibra óptica e consequentemente nenhuma das componentes espectrais é atenuada. 35

58 2.7.2 Impulso Supergaussiano O impulso supergaussiano tem particular interesse por ser uma boa aproximação de um impulso rectangular, podendo modelar as transições abruptas de estado on/off. Através do aumento do valor do parâmetro, que regula a queda do impulso, é possível obter impulsos mais próximos do impulso rectangular [2]. Considerando o impulso supergaussiano com e sem influência do parâmetro de chirp,, da equação (2.119) resulta ( ) (2.121) Figura Impulso supergaussiano à entrada e à saída da fibra óptica. Figura Evolução do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica visto de duas perspectivas. 36

59 Ao analisar a Figura 2.7, a Figura 2.8 a Figura 2.10 e a Figura 2.11, pode-se concluir que o impulso supergaussiano sofre um alargamento a um ritmo mais elevado que o impulso gaussiano, mas contrariamente ao impulso gaussiano apresenta uma distorção da sua forma. A maior rapidez no alargamento do impulso supergaussiano deve-se ao facto do seu espectro ser mais largo que o do impulso gaussiano. Uma vez que a DVG provoca atrasos em cada componente de frequência em relação à frequência central,, um impulso com o espectro mais largo, ou seja, com maior número de componentes de frequência sofre um alargamento mais rápido. Figura Evolução do espectro do impulso supergaussiano ao longo da fibra óptica. A Figura 2.12 mostra que o espectro do impulso mantém-se inalterado ao longo da fibra óptica uma vez que se desprezou a atenuação tal como na simulação do impulso gaussiano Impulso Supergaussiano com Chirp Para o estudo da influência do parâmetro de chirp positivo na propagação de impulsos supergaussianos, considera-se e e da equação (2.119) tem-se ( ) (2.122) 37

60 Figura Impulso supergaussiano com chirp à entrada e à saída da fibra óptica. Figura Evolução do impulso superaussiano com chirp duas perspectivas. ao longo da fibra óptica visto de 38

61 Figura Evolução do espectro do impulso supergaussiano com chirp óptica. ao longo da fibra Ao analisar a Figura 2.13, a Figura 2.14 e a Figura 2.15 obtidas para o parâmetro de chirp na zona de dispersão anómala ( ) conclui-se que a presença de chirp positivo introduz uma compensação da DVG num período inicial da propagação contrariando o alargamento do impulso mas que a determinada altura a DVG torna-se dominante. A partir dessa altura, e comparando com as figuras obtidas na ausência do efeito de chirp da secção 2.7.2, verifica-se que existe um alargamento maior dos impulsos na presença de chirp Impulso Supergaussiano com Chirp Para se estudar o efeito do parâmetro de chirp negativo no impulso supergaussiano, toma-se e, obtendo da equação (2.119) ( ) (2.123) 39

62 Figura Impulso supergaussiano com chirp à entrada e à saída da fibra óptica. Figura Evolução do impulso superaussiano com chirp duas perspectivas. ao longo da fibra óptica visto de 40

63 Figura Evolução do espectro do impulso supergaussiano com chirp óptica. ao longo da fibra Comparando os resultados obtidos nas simulações desta secção para o parâmetro de chirp negativo com os resultados obtidos na secção 2.7.3, onde se utilizou um parâmetro de chirp positivo, constata-se que neste caso existe um agravamento do fenómeno da DVG pelo que se conclui que o parâmetro de chirp negativo apresenta um impacto mais negativo na propagação do impulso. 2.8 Efeito da Dispersão de Ordem Superior Após o estudo feito sobre o efeito da DVG na secção 2.7, pretende-se agora analisar a contribuição do efeito da DOS na propagação de impulsos em fibras ópticas, uma vez que apesar do efeito da DVG, associado ao termo, ser dominante no alargamento dos impulsos é necessário incluir nalgumas situações o efeito da DOS governada pelo termo. Por exemplo, quando o comprimento de onda do impulso é muito próximo do comprimento de onda de dispersão nula tem-se e consequentemente o efeito da DOS torna-se dominante e quando se consideram impulsos ultracurtos que apresentam um espectro largo é necessário incluir mesmo quando [10]. Introduzindo a amplitude normalizada (2.124) 41

64 onde é a potência de pico do impulso e as perdas na fibra óptica. Definindo e tendo em conta a equação (2.47) considerando, satisfaz (2.125) sendo a solução geral dada por (2.126) em que é a transformada de Fourier para e é dada por (2.127) Através do método descrito na secção 2.3, efectuaram-se simulações em Matlab de forma a analisar o efeito da DOS na propagação de impulsos gaussianos na fibra óptica Impulso Gaussiano Para se estudar o efeito da DOS é útil introduzir primeiro o comprimento de dispersão associado ao parâmetro dado por (2.128) O efeito da DOS tem um papel significativo na dispersão dos impulsos para [10]. ou para Considerando um impulso gaussiano com, e na ausência de chirp, ou seja,, obtiveram-se a Figura 2.19 e a Figura 2.20 que representam a forma do impulso em diferentes distâncias da propagação na fibra óptica para dois valores diferentes de largura do impulso. 42

65 Figura Impulso gaussiano com largura em três distâncias distintas da fibra óptica. Figura Impulso gaussiano com largura em cinco distâncias distintas da fibra óptica. Ao analisar a Figura 2.19 e a Figura 2.20 apresentadas para o impulso gaussiano com e com verifica-se que a influência do termo começa a notar-se mais rapidamente para o primeiro caso do que para o segundo de onde se conclui que quanto menor a largura do impulso mais evidentes são os efeitos da DOS para distâncias mais curtas. Esta afirmação pode ser constatada ao comparar a Figura 2.19 que apresenta uma alteração na forma do impulso para a distância de 50km com Figura 2.20 na qual não se verifica alteração na forma do impulso para a mesma distância sendo esta apenas verificada a partir dos 200km. À medida que o impulso se propaga na fibra óptica maiores são as deformações do impulso em relação ao impulso inicial tornando-o assimétrico com mais e maiores oscilações na cauda do impulso como se pode observar pela Figura

66 Figura Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com para. Na Figura 2.22, apresenta-se o impulso inicial e o impulso final para dois casos distintos: um em que apenas se considera a influência do termo e outro em que para além do termo é considerado também o termo. Note-se que para o segundo caso, ou seja, para o impulso apresenta igualmente distorção do impulso embora com oscilações menores. Figura Impulso gaussiano em casos distintos. Para finalizar o estudo da dispersão de ordem superior na propagação de impulsos introduz-se o parâmetro de chirp ao impulso gaussiano para observar a influência deste parâmetro no termo. Uma vez que o termo é afectado por um factor de apenas foram considerados valores de positivos pois para valores de simétricos a evolução do impulso seria similar. 44

67 Figura Impulso gaussiano com e para diferentes valores de. Por observação da Figura 2.23, constata-se que quanto maior for o módulo do parâmetro de chirp mais significativos são os efeitos da DOS. 45

68 46

69 Capítulo 3 Fibras Compensadoras de Dispersão 3 Fibras Compensadoras de Dispersão Este capítulo introduz uma técnica de compensação de dispersão em regime linear: a compensação de dispersão com recurso a DCFs (Dispersion Compensating Fibers) e apresenta os resultados obtidos para compensação da DVG, da DOS e da DVG na presença da DOS. 47

70 A compensação de dispersão baseada em DCF permite a compensação total da dispersão quando a potência média do sinal óptico é baixa o suficiente para se considerarem os efeitos não lineares desprezáveis. Esta técnica utiliza um troço de fibra do tipo DCF de comprimento após o troço de fibra monomodal convencional (SMF) de comprimento de forma a eliminar o efeito da dispersão tirando partido da natureza linear da solução geral da equação da propagação do impulso numa fibra óptica dada pela equação (2.47) [2]. Desta forma pretende-se reduzir a dispersão média da ligação a zero através da combinação de troços de fibra óptica com coeficientes de dispersão de sinal contrário. Na Figura 3.1 apresenta-se um esquema de uma ligação por fibra óptica com recurso a DCF e pode-se observar a alteração da forma do impulso ao longo da ligação dado que à saída do emissor o impulso apresenta uma forma que ao atravessar a SMF sofre um alargamento e finalmente, à saída da DCF recupera a sua forma inicial. Figura 3.1. Esquema de uma ligação por fibra óptica com DCF. À saída da DCF o impulso é dado por [ ] (3.1) onde o comprimento total da ligação é dado por e e correspondem aos coeficientes da DVG e da DOS, respectivamente, para o troço de fibra com comprimento com. De forma a recuperar a forma inicial do impulso deve-se escolher uma DCF cujos parâmetros permitam eliminar os termos e. Para satisfazer essa condição tem-se (3.2) Ao avaliar a equação (3.2) conclui-se que e com têm de apresentar sinais contrários e para que a ligação seja viável economicamente deve ter um valor elevado em módulo de modo a permitir que o comprimento da DCF,, seja o mais pequeno possível. Contudo, esta técnica apresenta algumas desvantagens, nomeadamente o facto de potenciar os efeitos não lineares, os elevados custos de fabrico, as perdas elevadas ( causadas pelo valor reduzido da frequência normalizada comparativamente às perdas exibidas pela SMF (, as perdas de inserção elevadas (tipicamente superiores a ) e uma área efectiva reduzida [2]. De seguida apresenta-se o estudo da compensação de dispersão baseada em DCF para três 48

71 casos distintos: no primeiro caso considera-se apenas a compensação do coeficiente da DVG,, desprezando-se o coeficiente de DOS,, no segundo caso faz-se o estudo oposto, ou seja, compensa-se e considera-se e finalmente estuda-se a compensação da dispersão considerando simultaneamente e. 3.1 Compensação da Dispersão de Velocidade de Grupo No caso em que se considera uma fibra monomodal convencional com desprezar o parâmetro obtendo da equação (3.1) pode-se [ ] (3.3) que tem como condição para compensação perfeita da DVG (3.4) Dado que as fibras tipicamente usadas em telecomunicações apresentam valores positivos para o coeficiente de DVG ( infere-se da equação (3.4) que a fibra DCF deve ter valores negativos de DVG (. Assim o comprimento da DCF a utilizar para compensação perfeita da DVG é dado por (3.5) e como referido anteriormente deseja-se ter o menor comprimento de DCF possível que pode ser concretizado para elevados valores negativos de. Apresentam-se seguidamente os resultados das simulações da evolução do impulso gaussiano e do impulso supergaussiano na fibra óptica bem como a respectiva compensação da DVG com recurso a DCFs Impulso Gaussiano Considerando a expressão do impulso gaussiano na ausência de chirp dada pela equação (2.120) simulou-se a forma do impulso à entrada e à saída da SMF assim como à entrada e à saída da DCF. Simulou-se também a propagação do impulso ao longo da SMF e ao longo da DCF de forma a observar-se o efeito contrário sofrido pelo impulso nestes dois tipos de fibra. Ambas as simulações foram realizadas de acordo com os parâmetros da Tabela

72 Tabela 3.1. Características do impulso gaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DVG. Parâmetro [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Valor Figura 3.2. Impulso gaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DVG. Figura 3.3. Evolução do impulso gaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DVG. Por observação da Figura 3.2 e da Figura 3.3 verifica-se que o impulso recupera a sua forma inicial à saída da DCF e desta forma demonstra-se que com recurso à DCF é possível alcançar a 50

73 compensação perfeita da DVG Impulso Supergaussiano Procedeu-se de igual forma à simulação do impulso supergaussiano na ausência de chirp dado pela equação (2.121) e com os mesmos parâmetros apresentados na Tabela 3.1. Figura 3.4. Impulso supergaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DVG. Figura 3.5. Evolução do impulso supergaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DVG. A Figura 3.4 e a Figura 3.5 demonstram que também para o impulso supergaussiano a DCF garante a compensação total da DVG ao recuperar a forma do impulso que foi transmitido pela SMF eliminando os efeitos causados pela DVG. 51

74 3.2 Compensação da Dispersão de Ordem Superior Quando se utilizam ritmos binários superiores a 100 Gb/s por canal devem-se utilizar impulsos ultracurtos, contudo, neste caso não se podem desprezar os efeitos da DOS e torna-se difícil compensar a DVG. Assim, para o estudo da compensação da dispersão de ordem superior consideram-se desprezáveis os efeitos DVG ao utilizar obtendo-se então da equação (3.1) [ ] (3.6) A condição para a compensação perfeita das DOS é dada por (3.7) De onde se conclui que para satisfazer a condição da compensação perfeita da DOS o comprimento da DCF deve ser (3.8) Pretende-se novamente, do ponto de vista económico, que o comprimento da DCF seja o menor possível e desta forma minimizam-se também as perdas introduzidas. Apresentam-se de seguida os resultados obtidos para a compensação da DOS para o impulso gaussiano e para o impulso supergaussiano Impulso Gaussiano Considerando a expressão do impulso gaussiano na ausência de chirp dada pela equação (2.120) simulou-se a influência da DOS na propagação do impulso na SMF e a respectiva compensação na DCF com os parâmetros da Tabela 3.2. Tabela 3.2. Características do impulso gaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DOS. Parâmetro [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Valor

75 Figura 3.6. Impulso gaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DOS. Figura 3.7. Evolução do impulso gaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DOS. Na Figura 3.6 e na Figura 3.7 constata-se que a utilização da DCF permite eliminar as oscilações na cauda do impulso assim como reduzir o seu alargamento (efeitos provocados pela DOS) recuperando-se assim a forma inicial do impulso. 53

76 3.2.2 Impulso Supergaussiano Os parâmetros considerados para a simulação da compensação da DOS para um impulso supergaussiano sem chirp dado pela equação (2.121) são apresentados na Tabela 3.3. Tabela 3.3. Características do impulso supergaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DOS. Parâmetro [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Valor De seguida apresentam-se os resultados obtidos nas simulações. Figura 3.8. Impulso supergaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DOS. Figura 3.9. Evolução do impulso supergaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DOS. 54

77 A Figura 3.8 e a Figura 3.9 comprovam que a utilização da DCF permite a compensação total da DOS eliminando os efeitos sofridos pelo impulso na propagação na SMF. 3.3 Compensação da Dispersão de Velocidade de Grupo na Presença da Dispersão de Ordem Superior Na propagação de impulsos ultracurtos, onde o efeito da DOS não se pode desprezar, torna-se difícil compensar a DVG pois estes impulsos apresentam espectros largos, porém nesta secção pretende-se mostrar os resultados obtidos para a compensação da DVG quando se consideram simultaneamente os efeitos causados por e por. Nas simulações utilizaram-se um impulso gaussiano,, e os parâmetros da Tabela 3.4. Tabela 3.4. Características do impulso gaussiano e dos troços de fibra óptica e para compensação da DVG na presença da DOS. Parâmetro [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Valor Figura Impulso gaussiano à entrada e à saída da SMF (à esquerda) e à entrada e à saída da DCF (à direita) para compensação da DVG na presença da DOS. 55

78 Figura Evolução do impulso gaussiano ao longo da SMF (à esquerda) e ao longo da DCF (à direita) para compensação da DVG na presença da DOS. Como se pode observar pela Figura 3.10 e pela Figura 3.11 não é possível compensar completamente na DCF os efeitos simultâneos da DVG e da DOS provocados pela propagação do impulso na SMF. À saída da DCF o impulso apresenta assimetria e oscilações impostas por pelo que não se consegue recuperar a forma inicial do impulso transmitido na SMF. 56

79 Capítulo 4 Redes de Bragg 4 Redes de Bragg Este capítulo foca-se noutra técnica de compensação de dispersão em regime linear: a compensação de dispersão utilizando redes de Bragg. Apresenta-se o princípio de funcionamento das redes de Bragg assim como três tipos destas redes. 57

80 As redes de difracção são componentes ópticos com estruturas periódicas que permitem separar espacialmente luz policromática nos comprimentos de onda que a constituem. Estas redes são compostas por um substrato transparente ou reflector formado por uma série de estruturas paralelas e equidistantes entre si que provocam variações periódicas de amplitude ou fase. As estruturas provocam efeitos de difracção e interferência mútua em cada comprimento de onda da luz incidente sendo estes transmitidos ou reflectidos em direcções discretas designadas por ordens [11]. As redes de Bragg (Fiber Bragg Gratings FBGs) surgem das redes de difracção e apresentam variadas aplicações em telecomunicações podendo ser utilizadas em pontos distintos de uma ligação. Na emissão as FBGs são utilizadas como elementos reflectores em lasers semicondutores e lasers de fibra óptica e permitem ainda a emissão monomodal com elevada estabilidade. Na transmissão utilizam-se nos amplificadores ópticos de forma a permitir a recirculação da bombagem, a igualação espectral do ganho, a estabilização dos díodos de bombagem, a compensação de dispersão e a filtragem. Na recepção e em componentes ópticos de redes de multiplexagem as FBGs têm o papel de filtros e desmultiplexadores [12]. Devido ao âmbito da dissertação o estudo das FBGs centra-se na compensação da dispersão. 4.1 Princípio de Funcionamento As FBGs actuam por filtragem através da reflexão de determinados comprimentos de onda do espectro da luz incidente permitindo a transmissão sem perdas dos restantes comprimentos de onda. Este comportamento é obtido através da variação em intervalos periódicos ou aperiódicos do índice de refracção do núcleo da fibra (representada pela Figura 4.1) que forma um espelho dieléctrico para um comprimento de onda específico actuando como um filtro óptico reflector como se pode observar pela Figura 4.2. Figura 4.1. Representação da variação do índice de refracção de uma FBG (retirado de [11]). 58

81 Figura 4.2. Representação do funcionamento de uma FBG (retirado de [13]). A condição de Bragg que impõe que o espectro de reflexão esteja centrado no comprimento de onda de Bragg,, é dado por (4.1) onde é o período de perturbação do índice de refracção e é o índice de refracção modal médio do núcleo da fibra óptica. O princípio fundamental de funcionamento utilizado pela FBG é a reflexão de Fresnel que anuncia que a luz que se propaga entre meios com índices de refracção diferentes pode ser reflectida e refractada simultaneamente. Quando uma onda electromagnética atravessa uma interface entre dois meios dieléctricos diferentes ocorre reflexão de parte da sua energia com coeficiente de reflexão,, dado por (4.2) em que e são os índices de refracção dos dois meios envolvidos. Ao considerar uma pequena transição do índice de refracção,, obtém-se para o coeficiente de reflexão [ ] [ ] (4.3) 59

82 Numa FBG existem milhares de transições do índice de refracção tornando possível a ocorrência de reflexão total caso cada contribuição das reflexões de Fresnel esteja em fase [11]. A teoria dos modos acoplados permite a análise do comportamento das FBGs na fibra óptica uma vez que possibilita a definição da resposta espectral de FBGs uniformes com modulação periódica do índice de refracção. A ideia fundamental desta teoria consiste no cálculo dos modos de estruturas sem perturbações ou não acopladas uma vez que estes já estão previamente definidos e para estruturas mais complexas, com perturbações, pode-se encontrar a solução a partir de uma combinação linear desses modos. Contudo este tipo de análise torna-se complicado quando se consideram situações com perturbações aperiódicas e/ou de amplitude variável e por esse motivo surgiu a teoria matricial que consiste na aproximação de toda a estrutura num conjunto de secções contíguas de modulação uniforme e periódica em que cada uma das regiões é representada por uma matriz. Desta forma o comportamento geral de toda a estrutura pode ser obtido através da multiplicação das matrizes de cada secção desde que se garanta a continuidade de fase entre elementos [14]. 4.2 Classificação das Redes de Bragg Os comportamentos espectrais das FBGs dependem do perfil de modulação de índice de refracção que pode ser representado, de um modo geral, por (4.4) em que representa a modulação introduzida no núcleo da fibra óptica. De acordo com este parâmetro é possível distinguir os tipos de FBGs: FBGs uniformes, FBGs apodizadas, FBGs aperiódicas, FBGs amostradas, FBGs angulares e FBGs com variação de fase. Neste estudo são abordados os três primeiros tipos de FBGs acima referidos Redes de Bragg Uniformes As FBGs uniformes são o tipo de FBGs mais simples, envolvem um processo de fabrico mais comum e são as menos específicas em termos de aplicação. Devido à sua facilidade de manufactura são muito utilizadas quer na área das telecomunicações quer na área dos sensores. As propriedades espectrais das FBGs uniformes mantêm-se constantes ao longo do eixo de propagação com o índice de refracção a variar uniforme e periodicamente (ver Figura 4.3) segundo a equação ( ) (4.5) 60

83 em que é a profundidade de modulação. Figura 4.3. Estrutura referente à modificação de índice de refracção de uma FBG uniforme. As equações que descrevem os modos acoplados que representam o acoplamento entre as ondas que se propagam no sentido positivo (sem reflexão), designadas por ondas forward, e as ondas que se propagam no sentido negativo (com reflexão), denominadas por ondas backward, são dadas por (4.6) (4.7) em que e são as amplitudes espectrais das duas ondas e ( ) (4.8) (4.9) são o factor de dessintonia do comprimento de onda Bragg e o coeficiente de acoplamento, respectivamente e é o coeficiente de confinamento. A solução geral das equações (4.6) e (4.7) é (4.10) (4.11) Substituindo as equações (4.10) e (4.11) nas equações (4.6) e (4.7) obtém-se ( ) ( ) (4.12) ( ) ( ) (4.13) 61

84 onde as equações são satisfeitas para valores de,, e diferentes de zero e com dado por (4.14) Note-se que para valores de contidos no intervalo, torna-se imaginário puro o que implica que a maioria do campo incidente na FBG seja reflectido verificando-se a existência de uma banda proibida, uma das principais características das FBGs e que está representada na Figura 4.4. Figura 4.4. Variação do parâmetro com, demonstrando a existência da banda proibida. Ao resolver analiticamente as equações dos modos de acoplamento (equações (4.10), (4.11), (4.12) e (4.13)) obtém-se para o coeficiente de reflexão ( ) (4.15) com fase [ ] (4.16) Na Figura 4.5 está representado o espectro da reflectividade para dois valores de em que se constata que na zona da banda proibida a reflectividade aproxima-se de à medida que o valor do produto aumenta apresentando um comportamento de filtro, como já tinha sido referido anteriormente. Para um factor de dessintonia e para valores de superiores a 3 pode-se 62

85 considerar que a reflectividade é aproximadamente 100%. Porém, também é possível observar a presença de lobos secundários laterais de elevadas amplitudes provocada por reflexões nos extremos da FBG, onde não há variação do índice de refracção, que contribuem para a existência de diafonia entre canais muito próximos sendo este efeito uma desvantagem das FBGs uniformes. Figura 4.5. Espectro da reflectividade em unidades lineares (à esquerda) e em db (à direita) para e. O máximo de reflectividade que ocorre no centro da banda proibida pode ser obtido em função do coeficiente de acoplamento e do comprimento da rede a partir da equação (4.15) (4.17) Na Figura 4.6 apresenta-se a reflectividade máxima em função do comprimento da rede para valores de coeficiente de acoplamento diferentes. Observa-se que o aumento do comprimento da rede contribui para o aumento da reflectividade e que quanto maior for o valor de maior é a rapidez do crescimento da reflectividade que tende assimptoticamente para o valor unitário com o aumento do comprimento da rede. Figura 4.6. Reflectividade máxima em função do comprimento da rede para os coeficientes de acoplamento, e. 63

86 Seguindo um procedimento análogo ao efectuado no cálculo do coeficiente de reflexão, obtém-se o coeficiente de transmissão ( ) (4.18) Como se pode observar pela Figura 4.7 a transmissividade apresenta um comportamento complementar ao observado para a reflectividade. Figura 4.7. Espectro da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em db (à direita) para e. Para o estudo da dispersão nas FBGs que tem origem na variação não linear da fase do coeficiente de reflexão, é necessário primeiro deduzir a partir da fase do sinal reflectido a expressão para o atraso de grupo dada por (4.19) Figura 4.8. Atraso de grupo numa FBG uniforme com e para e. 64

87 A dispersão nas FBGs uniformes é então obtida a partir da derivada do atraso de grupo em ordem ao comprimento de onda (4.20) em que representa o coeficiente de dispersão de velocidade de grupo da FBG. Figura 4.9. Dispersão numa FBG uniforme com e para e. Ao analisar-se a Figura 4.8 e a Figura 4.9 verifica-se que os valores de dispersão mais elevados dão-se fora da zona da banda proibida e que se justificam pelo elevado atraso de grupo apresentado na proximidade da zona proibida provocado pelas sucessivas reflexões nas extremidades da rede. Com o aumento do produto constata-se o aumento da dispersão. Note-se ainda que para o comprimento de onda onde ocorre a maior reflectividade o valor de dispersão é nulo. Na Figura 4.10 apresenta-se a variação da largura de banda da banda proibida da FBG uniforme, para diferentes valores do coeficiente de acoplamento, em função do comprimento que é dada por ( ) (4.21) 65

88 Figura Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para os coeficientes de acoplamento, e. Por observação da Figura 4.10 conclui-se que para o mesmo valor de a largura de banda da banda proibida é menor quanto maior for o comprimento da rede. Verifica-se que a largura de banda tende a estabilizar para um valor mínimo a partir de um certo comprimento de onda. Menores comprimentos de rede levam a larguras de banda maiores porém, o valor da reflectividade máxima será também mais baixo de onde se conclui que as FBG uniformes apresentam larguras de banda reduzidas não permitindo a utilização de ritmos binários altos [2] Redes de Bragg Apodizadas De modo a suprimir os lobos secundários indesejados apresentados no espectro de reflectividade das FBGs uniformes recorre-se a técnicas de apodização. Este tipo de técnicas resulta da variação da amplitude do coeficiente de modulação do índice de refracção ao longo do comprimento da rede. As propriedades espectrais das FBGs apodizadas são dadas por ( ) (4.22) em que representa a função de apodização. Na Figura 4.11 pode-se observar o espectro de reflectividade de uma FBG uniforme e o resultado de duas técnicas de apodização implementadas nessa FBG. 66

89 O perfil de uma das técnicas utilizadas é o perfil de seno elevado que é dado por ( ) (4.23) e o perfil da segunda técnica de apodização utilizada designa-se por perfil de Blackman e obtém-se através de (4.24) com ( ) (4.25) Figura Espectro da reflectividade da FBG uniforme (à esquerda) e espectro da reflectividade da FBG com apodização seno elevado e apodização Blackman (à direita). Como se pode observar pela Figura 4.11 demonstra-se que a utilização de técnicas de apodização permite eliminar os lobos secundários presentes no espectro de reflectividade das FBGs uniformes colmatando uma das desvantagens dessas redes Redes de Bragg Aperiódicas As redes de Bragg aperiódicas, também designadas por redes chirped (CFBG Chirped Fiber Bragg Gratings), foram desenvolvidas com o intuito de resolver uma das desvantagens anteriormente referida das FBGs uniformes: o reduzido ritmo binário apresentado nestas redes. Assim as CFBGs permitem a compensação de dispersão para ritmos elevados através da variação da condição de 67

90 Bragg ao longo do seu comprimento, ou seja, através da variação progressiva do centro da banda proibida.. Figura Estrutura referente à modificação de índice de refracção de uma CFBG. Este comportamento é obtido variando o período espacial de modulação (ver Figura 4.13) ou o valor médio em amplitude (ver Figura 4.14) do índice de refracção da rede ou ambos em simultâneo. Figura Perfil de modulação do índice de refracção com amplitude constante e variação do período espacial (adaptado de [14]). Figura Perfil de modulação do índice de refracção com variação da amplitude (adaptado de [14]). 68