A GÊNESE INSTRUMENTAL DO APPRENTI GÉOMÈTRE 2 POR LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA NO ESTUDO DA COMPARAÇÃO DE ÁREAS

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1 A GÊNESE INSTRUMENTAL DO APPRENTI GÉOMÈTRE 2 POR LICENCIANDOS EM MATEMÁTICA NO ESTUDO DA COMPARAÇÃO DE ÁREAS The Instrumental Genesis of Apprenti Géomètre 2 by Mathematics Undergraduates on Comparison of Areas Study FRANKLIN FERNANDO FERREIRA PACHÊCO ANDERSON DOUGLAS PEREIRA RODRIGUES DA SILVA, JAILSON CAVALCANTE DE ARAÚJO, ALAN GUSTAVO FERREIRA Resumo Essa pesquisa apresenta resultados de uma investigação que objetivou analisar o processo de gênese instrumental do Apprenti Géomètre 2- AG2 por licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática em tarefas sobre comparação de áreas. A fundamentação teórica está apoiada pela Teoria Instrumental- TI de Rabardel. Para análise do processo de gênese instrumental, usou-se o modelo de Situações de Atividades Instrumentais-S.A.I que aborda os papéis da instrumentalização e instrumentação frente a três polos, sendo eles, sujeito (S), instrumento (I) e objeto (O). Nessa pesquisa, adotou-se os licenciandos de matemática como sujeito (S), o AG2 caracterizou o instrumento (I) e a comparação de áreas configurou o objeto matemático (O). Participaram desse estudo, com abordagem qualitativa, 20 licenciandos do 5º período de matemática. Ao analisar os resultados, contemplou-se dois momentos, dos quais, o primeiro referente à instrumentalização e o segundo à instrumentação. Os resultados evidenciaram que os licenciandos se apropriaram das ferramentas e menus do AG2 por meio das duas questões de familiarização, definindo-se à etapa da instrumentalização. O momento destinado à instrumentação ocorreu quando os licenciandos se apropriarem do AG2 e a partir dele conseguiram obter as resoluções das tarefas sobre comparação de áreas. Palavras-chave: Apprenti Géomètre 2. Comparação de áreas. Gênese Instrumental. Abstract This research presents results of an investigation that aimed to analyze the process of instrumental genesis of Apprenti Géomètre 2- AG2 by Mathematics Undergraduates of the 5th semester in tasks on comparison of areas. The theoretical basis is supported by Rabardel's Instrumental Theory. In order to analyze the process of instrumental genesis, it was used the Instrumented Activity Situation (IAS) model that addresses the instrumentalization and instrumentation roles regards to three focus, subject (S), instrument (I) and object (O). In this research, it was adopted the mathematics undergraduates as subject (S), the AG2 characterized the instrument (I) and the comparison of areas configured the mathematical object (O). Twenty graduates from the 5th math semester participated in this study, with a

2 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 2 qualitative approach. When analyzing the results, two moments were contemplated, of which the first one referred to the instrumentalization and the second to the instrumentation. The results showed that the undergraduates appropriated the tools and menus of the AG2 through the two familiarization questions, defining themselves to the stage of instrumentalization. The moment for instrumentation occurred when the undergraduates appropriated the AG2 and from there they were able to obtain the tasks resolutions on comparison of areas. Keywords: Apprenti Géomètre 2. Comparison of areas. Instrumental genesis. Introdução No cenário atual da educação, as tecnologias estão presentes como um auxílio na prática do professor. Para o processo de ensino da matemática, essas ferramentas ao serem integradas no ambiente sala de aula favorecem uma dinamização a mais ao conteúdo trabalhado, ao invés de apenas a vivência no ambiente papel e lápis. No âmbito da educação matemática, pesquisadores brasileiros (SOUZA, 2010; MORAN, 2012; COSTA, 2016; e outros) têm discutido como o professor deve atuar frente ao seu uso, visto que não basta apenas inseri-la, mas se faz necessário um planejamento adequado por parte do professor para que seu objetivo educacional seja alcançado, proporcionando aprendizagem aos seus alunos, pois devemos levar em consideração que a tecnologia sozinha não contribui para a aprendizagem. Nesse contexto, a Base Nacional Comum Curricular -BNCC (BRASIL, 2017), documento de orientação curricular nacional mais recente, sugere como uma das habilidades específicas para a matemática no Ensino Fundamental utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados (p. 265). A BNCC (BRASIL, 2017) propõe o uso das tecnologias digitais nos cinco blocos de conhecimentos (álgebra, estatística e probabilidade, números e operações, geometria, e grandezas e medidas). Dentre esse conjunto, a presente pesquisa optou pelo bloco das grandezas e medidas, pelo fato de seu teor prático e utilitário no cotidiano e educacional, como também, de modo específico, por abordar o conteúdo de comparação de áreas. Optamos pelo trabalho dessa temática porque sua vivência com softwares educacionais possibilita comparar, visualmente ou por superposição, áreas de faces de objetos, de figuras planas ou de desenhos (BRASIL, 2017, p.287). Nesse sentido, vale ressaltar que se usou para o desenvolvimento dessa pesquisa, o software de geometria dinâmica Apprenti Géomètre 2- AG2 pelo seu dinamismo e interação diante da abordagem do conteúdo. O AG2 foi um dos elementos essenciais nesse método investigativo, pois por meio dele analisou como licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática se apropriaram desse recurso para resolução de tarefas sobre comparação de áreas. Sua escolha se justifica porque pesquisas francesas e brasileiras (CREM, 2007; SILVA, 2016 e outras) o usaram e ressaltaram sua pluralidade para o ensino e aprendizagem da área. Outro ponto a ser destacado é pelo seu dinamismo e facilidade de manipulação, permitindo uma acessibilidade rápida dos menus para a abordagem do trabalho com um conteúdo. Para a realização dessa pesquisa, a base teórica está apoiada pela Teoria Instrumental- TI de Rabardel (1995). A escolha ocorreu por ser possível a partir dela compreender e analisar a articulação de sujeitos (licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática) frente à apropriação das características de um artefato (AG2) e evolui-lo para um instrumento a partir de suas ações na busca da obtenção de resoluções de tarefas corretas sobre um determinado objeto matemático (comparação de áreas). Esse procedimento pode ser denominado na TI de gênese instrumental, no qual enfatiza a maneira que o sujeito se instrumentaliza e torna-se instrumentado, do qual abordaremos posteriormente ao descrever sobre a TI.

3 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 3 O objeto matemático em foco nessa pesquisa se trata da comparação de áreas. Adotou-se uma abordagem de área enquanto grandeza proposta por Douady e Perrin-Glorian (1989) e a situação de comparação idealizada por Baltar (1996). Em termos metodológicos, se trata de uma pesquisa abordagem qualitativa. Participaram desse estudo 20 licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática de uma universidade pública federal do Recife/PE. Nesse sentido, temos a seguinte pergunta de pesquisa: de que maneira ocorre o processo de gênese instrumental do AG2 por licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática para a realização de tarefas sobre comparação de áreas? Para responder esse questionamento, temos como objetivo geral: analisar o processo de gênese instrumental do AG2 por licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática em tarefas sobre comparação de áreas. E de modo específico: caracterizar o processo de instrumentação e instrumentalização dos licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática para a realização de tarefas acerca da comparação de áreas; identificar possíveis facilidades e obstáculos ocorridos no processo de gênese instrumental do AG2 por licenciandos para efetivação das respostas das tarefas sobre a comparação de áreas; e, por fim, identificar quais esquemas de uso os estudantes adotaram para resolução das tarefas. A seguir, apresentamos nossa fundamentação teórica, seguido pelos procedimentos metodológicos, análises e discussão dos resultados, considerações finais, e, por fim as referências que nos deram subsídios para construção desse texto. Fundamentação Teórica A Grandeza área no contexto Educacional da Matemática Presente no bloco das Grandezas e medidas, o conteúdo de área é bastante discutido no âmbito da Educação Matemática por pesquisadores brasileiros e franceses. No contexto francês, as pesquisadoras Douady e Perrin-Glorian (1989) por meio de uma engenharia didática investigaram os conhecimentos de alunos franceses no que concerne a essa conceitualização. Os resultados evidenciaram que os alunos desenvolveram duas concepções associadas a esse conceito, sendo elas a geométrica e a numérica, embora mesmo que as tenham desenvolvido, não houve presença de suas articulações simultaneamente no método investigativo. A geométrica, pelo fato dos mesmos entenderem que a noção de área estava relacionada ao formato das superfícies, o aluno entende que ao modificarmos uma figura, sua área também se altera. Enquanto a numérica, ao atributo (valor) da superfície dada, ou seja, são considerados apenas os aspectos pertinentes para o cálculo, o que leva a fazer extensões incorretas de fórmulas, omissão e/ou utilização inadequada das unidades de medida. Diante dessas dificuldades, essas pesquisadoras propuseram uma abordagem para o conceito de área que traz a articulação e distinção entre três quadros: geométrico, numérico e das grandezas, a qual possui como exigência a diferenciação nítida dos conceitos de área e superfície, da mesma forma que entre área e número. Nessa abordagem da área enquanto grandeza, Douady e Perrin-Glorian (1989) propuseram que a conceitualização da área pode ser compreendida enquanto grandeza e isso se deve ao fato de articular e distinguir esse objeto matemático em três quadros, sendo eles: geométrico, numérico e das grandezas. O quadro geométrico é composto pelas superfícies planas, representadas em muitos casos por polígonos (triângulo, quadriláteros e outros), como também por círculos e regiões que não apresentam uma singularidade quanto ao seu formato, que é necessário fazer aproximações para obtenção de sua região. O quadro numérico consiste nas medidas das áreas de superfícies que se enquadram no conjunto dos números reais não negativos R + (0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, e etc.). Já no quadro das grandezas estão inclusas as superfícies que possuem a mesma área (relação de equivalência), ou seja, se duas ou mais superfícies possuem a mesma área elas são equivalentes do ponto de vista das grandezas, caso contrário, se concebem áreas distintas, elas não pertencem a mesma classe de equivalência.

4 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 4 Na busca de entender o que levavam os alunos a cometerem tais concepções (geométrica e numérica) de maneira isolada, Baltar (1996) realizou um estudo por meio da engenharia didática sobre o conteúdo de área enquanto grandeza também com alunos na França. E propôs de maneira complementar ao estudo de Douady e Perrin-Glorian (1989) três situações que dão sentido ao conceito a área (comparação de áreas, medida de áreas e produção de superfície), que são caracterizados como: As situações de comparação se situam essencialmente em torno do quadro das grandezas. Quando comparamos duas superfícies somos conduzidos a decidir se elas pertencem ou não a uma mesma classe de equivalência. É claro que, com frequência, os quadros geométrico e numérico vão ser necessários para a resolução dos problemas de comparação, mas sua intervenção em geral é secundária com relação à do quadro das grandezas. Nas situações de medida, destacam-se o quadro numérico e a passagem da grandeza ao número por meio da escolha de uma unidade. O resultado esperado numa situação deste tipo é um número seguido de uma unidade. As situações de produção são diferentes das anteriores do ponto de vista da tarefa cognitiva do aluno. Enquanto nas situações de comparação e medida em geral há apenas uma resposta correta para cada situação, as situações de produção, frequentemente admitem várias respostas corretas. Além disso, apesar de a resposta esperada para uma situação de produção ser uma superfície (objeto geométrico), a intervenção dos outros quadros pode ser tão importante quanto a do quadro geométrico (BELLEMAIN; LIMA, 2002, p. 45). Embora Baltar (1996) tenha elaborado as situações que dão sentido ao conceito de área como uma maneira para melhor compreensão da conceitualização da área enquanto grandeza, o resultado de sua pesquisa mostrou que alguns alunos ainda concebiam a concepção geométrica e numérica. No Brasil, Ferreira (2010) subsidiada pela Teoria dos Campos Conceituais- TCC, assim como a pesquisadora supracitada, incluiu nas situações que dão sentido ao conceito de área do trabalho proposto por Baltar (1996) a situação de mudança de unidade. Nesse tipo de situação se destaca o quadro numérico e muitas vezes tem-se a ausência do quadro geométrico, a qual tem como procedimento a representação de uma mesma área com unidades de medida diferentes. Usando as categorias, sua pesquisa também contemplou que a presença de concepções (geométrica e numérica) ainda persistem. O estudo de Silva (2016) que qual adotou as quatro situações que sentido dão conceito de área e a abordagem da área como grandeza, investigou de maneira diagnóstica os conhecimentos de alunos do 6º ano do Ensino Fundamental em três ambientes distintos (papel e lápis, materiais manipuláveis e AG2). Embora a pesquisa tenha proporcionado o estudo da conceitualização da área em diversos ambientes, foi evidenciado que alguns alunos conceberam as concepções associadas à área de forma geométrica ou numérica. Com base nas informações supracitadas, os estudos sobre essa temática comprovam que mesmo em aspecto cultural distintos (alunos franceses e brasileiros) há um entrave para a construção desse conceito mediado na perspectiva da grandeza. Nesse sentido, a presente pesquisa busca analisar como licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática se apropriam do AG2 para tarefas referentes à comparação de áreas. Embora saibamos que as situações de medida, mudança de unidade e produção sejam relevantes para a construção efetiva da área enquanto grandeza, nos limitamos apenas a primeira (comparação de áreas) pelo fato de entender que o tempo de investigação é curto para contemplar as quatros situações que dão sentido ao conceito de área evidenciando como acontece o processo de gênese instrumental. Recursos tecnológicos e Geometria Dinâmica Com os avanços da tecnologia nos últimos anos, podemos verificar que os recursos tecnológicos estão presentes nas mais diversas situações do nosso cotidiano, isto é, no

5 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 5 comércio, na maneira como as pessoas se comunicam, no âmbito educacional, e outros. Na escola, sua presença tem contribuído como um auxílio para a construção do conhecimento nas diversas áreas, por exemplo, matemática, ciências, português e outras (BITTENCOURT; BITTENCOURT, 2010). Algumas escolas brasileiras apresentam escassez de recursos tecnológicos (computadores, televisão, recursos de multimídia e etc.), inviabilizando o uso pedagógico nas aulas, como também existem as instituições que provém deles e os usam como um meio para tornar o processo de ensino mais dinâmico, contribuindo para uma melhor aprendizagem. Essa realidade, geralmente, interfere no trabalho do professor seja positivamente ou não, isto é, caso a instituição disponibilize recursos tecnológicos o professor ao usá-los diversifica sua aula, proporcionando um novo método para o ensino e aprendizagem de um conteúdo. Se essa realidade não existe, torna-se limitada a presença de intervenções pedagógicas com essas ferramentas, e assim o método tradicional persiste (livro didático, quadro, professor e aluno). Nessa pesquisa, evidenciou-se apenas uma abordagem para a relevância do uso de recursos tecnológicos para o ensino, relegando assim seu contexto, em especial da matemática. Considerando essa área de conhecimento, pesquisadores brasileiros como Costa (2016), Pachêco e Silva (2017) e outros, realizaram investigações na Educação Básica sobre conteúdos de matemática (geometria plana e espacial) e ressaltaram que os recursos tecnológicos (GeoGebra e Poly, respectivamente) ao serem integrados no ambiente sala de aula possibilitam uma pluralidade de situações que favorecem um melhor processo de ensino e aprendizagem. Esses softwares citados anteriormente, possuem uma distinção enquanto as suas características pois o GeoGebra pertence a um conjunto de softwares que na atualidade denomina-se de geometria dinâmica- GD, já o Poly se enquadra nas propriedades dos softwares de geometria. Os softwares de GD possibilitam a interação no ambiente computacional, no qual por meio de sua manipulação não há em alguns casos perda das propriedades do objeto de estudo. Considerando a relevância da GD para o processo educativo, a presente pesquisa se apoiou no estudo do AG2. Esse software, também de GD, criado pela CREM (comunidade da Bélgica) no qual foi testado por meio de uma engenharia didática com alunos entre 11 e 13 anos de idade durante um período de 2005 a 2007 na busca de avaliar seu impacto na aprendizagem de conceitos matemáticos (frações, geometria, medidas não convencionais e outros) por meio de figuras e suas manipulações para diversificar o método descritivo de ensino (CREM, 2009). Pesquisas internacionais e nacionais (SKILBECQ, et al, 2009; SILVA, 2016) apontaram que o AG2 permite uma maior exploração, entendimento e visualização do conteúdo em estudo (área enquanto grandeza). Os pesquisadores Skilbecq, et al. (2009) propiciaram que esse recurso tecnológico contemplasse de maneira complementar o contexto do ambiente papel e lápis no que se refere aos conteúdos de frações, grandezas e medidas, como também figuras geométricas planas. Silva (2016) usou o AG2 para o processo de ensino e aprendizagem do conceito de área enquanto grandeza geométrica. E com o auxílio dele, enfatizou que o mesmo possibilitou uma diversidade de conhecimento quanto às situações que dão sentido ao conceito de área, mesmo que os alunos ainda contemplassem a concepção numérica associada ao conceito de área. Dessa forma, para nossa investigação, o AG2 serviu como aporte para análise do processo de gênese instrumental de licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática em tarefas acerca da comparação de áreas. A seguir expomos por meio da figura 1 a tela inicial (ambiente de manipulação do AG2).

6 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 6 Figura 1: tela inicial do ambiente do AG2 Fonte: Apprenti Géomètre 2 Como ilustra a figura 1, esse foi o ambiente em que os licenciandos trabalharam para que nossa pesquisa fosse realizada. Como já descrito, para a obtenção de análise e verificação se eles se apropriaram do AG2 e integraram a sua prática para resolver problemas de comparação de áreas, analisamos sob a luz da TI de Rabardel (1995) o processo de gênese instrumental. A Teoria Instrumental- TI A teoria instrumental- TI, criada pelo francês Rabardel (1995), aborda como um dos seus elementos a articulação e distinção entre sujeito- artefato- instrumento. Esses componentes na TI podem ser compreendidos da seguinte maneira: o sujeito é aquele que pensa na complexidade das situações educacionais (tarefas) e na busca de resolvê-las se respaldam de seus conhecimentos prévios ou experiências anteriores para obtenção de resultados. Esse procedimento que o sujeito traça e desenvolve para alcançar as respostas das tarefas com o auxílio do artefato pode ser caracterizado como esquemas do qual Rabardel (1995) se baseia nas ideias de Vergnaud (1990). O artefato é qualquer objeto, seja ele material manipulável, simbólico, softwares e outros que possuam características próprias. Quando o sujeito atribui ações de uso ao artefato e por meio desse procedimento se consegue alcançar o objetivo da situação proposta por meio dessa prática, esse artefato passa a ser compreendido como um instrumento. Desse modo, Rabardel (1995) discute que artefatos e instrumentos são distintos, pois salienta que a existência do instrumento é acarretada por intermédio do artefato, acrescido com situações de uso, e que este processo de transformação de artefato em instrumento denomina-se de gênese instrumental. A gênese instrumental contempla dois elementos, sendo eles, a instrumentalização e a instrumentação. A instrumentalização, segundo Rabardel (1995), é o processo que o sujeito busca adquirir conhecimentos quanto às propriedades, funções e aplicabilidades do artefato mediante as situações propostas (tarefas) para serem resolvidas. Já a instrumentação é intermediada por meio do uso, ou seja, quando o sujeito conhece as funcionalidades do artefato, o usa na intenção de obter a resposta da situação proposta, nesse caso, transformando-o em instrumento, no qual se respaldou nas funcionalidades dos artefatos e nos esquemas de uso para se chegar à resposta.

7 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 7 Cabe salientar que o processo de gênese instrumental deve ser compreendido a longo prazo, pois é necessária uma apropriação do artefato pelo sujeito para integrá-lo a sua prática afim de usá-lo objetivando o resultado correto após suas ações. Em outras palavras, o sujeito deve explorar as características do artefato a fim de conhecer e entender que naquele contexto o mesmo, por intermédio de suas funcionalidades, servirá de apoio para traçar metas e chegar ao resultado. Realizado esse procedimento e conseguido êxito ou em alguns casos não, seja por falta de tempo ou fatores externos (psicológico, tarefas mal formuladas e outras), pode-se dizer que o artefato foi transformado em instrumento e o sujeito encontra-se instrumentado. Esses processos de instrumentalização e instrumentação que de maneira sintetizada, podemos associar à transformação de artefato em instrumento, podem ser compreendidos e analisados pelo modelo de Situações de Atividades Instrumentadas- S.A.I, conforme expõe a figura 2, a seguir: Figura 2: esquematização do processo de instrumentalização e instrumentação Fonte: Elaborado pelos autores (2018). Tradução nossa, baseado na TI de Rabardel (1995) Na tentativa de explicitar o processo de instrumentalização e instrumentação, Rabardel (1995) propõe a esquematização, conforme expõe a figura 2, que explica de maneira resumida a TI, em especial o processo de gênese instrumental e as interações entre sujeito, objeto e instrumento. Nesse momento, como podemos perceber mediante a figura 2, encontramos a presença do elemento objeto (O), que não foi explanado explicitamente, mas que se encontra presente no processo de gênese instrumental. Esse objeto (O) se trata por ser definido como sendo a ação pelo qual o instrumento está sendo usado, podendo ser um material, real, objeto de trabalho e outros. Nessa pesquisa, o objeto (O) é definido como o conteúdo no qual queremos evidenciar o processo de instrumentalização e instrumentação, portanto, ao propor o processo de gênese instrumental, o elemento objeto está articulado a eles, pois esse se trata por compreender o resultado final da trajetória em estudo. Voltando a proposta de esquematização de Rabardel (1995), temos que o processo de instrumentalização está associado à maneira que o sujeito conhece as características do instrumento para a resolução da tarefa: [S(i)-O], como também às propriedades dos instrumentos para o objeto [I- O]. Já a Instrumentação está interligada a maneira que o sujeito conduz os elementos dos instrumentos para a realização de tarefas: [S- I]. Enfim, o modelo S.A.I é evidenciado para entender como o sujeito se relaciona com o instrumento para a realização de tarefas e seus esquemas e evolução do artefato para o instrumento sobre elas. Partindo do pressuposto que a TI estuda o desenvolvimento dos sujeitos frente ao processo da gênese instrumental, nessa pesquisa, investigou-se sob essa perspectiva teórica a ação do sujeito (licenciandos em matemática) sob o artefato (Apprenti Géomètre 2) objetivando que esses alunos se apropriassem das funcionalidades e limites desse software para realização de distintas tarefas, transformando o AG2 (artefato inicial) em um instrumento para resolução das situações propostas acerca da grandeza área. Procedimentos metodológicos

8 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 8 Essa pesquisa, com uma abordagem qualitativa, investiga os conhecimentos mobilizados e os distintos esquemas de uso propiciados pelos sujeitos (licenciandos) para a transformação de artefato (AG2) em instrumento, procedimento denominado de gênese instrumental, referentes às tarefas sobre a comparação de áreas (objeto matemático). Cabe ressaltar que as atividades propostas para os licenciandos sejam elas tanto as questões de familiarização quanto as propostas (comparação de áreas) para verificação do processo de gênese instrumental foram retiradas da dissertação de Silva (2016), no qual propôs essa vivência com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, a luz da Teoria dos Campos Conceituais- TCC (VERGNAUD,1990), portanto, se trata de um outro contexto educacional e sob óticas teóricas diferentes. Considerando essas informações, nosso trabalho foi realizado com 20 licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática de uma universidade pública federal situada na cidade do Recife/PE, por meio de três encontros presenciais no próprio ambiente sala de aula, conforme descrito no quadro 01. Encontros presenciais Descrições das etapas vivenciadas Carga horária de aulas 1º Familiarização com o AG2 4 2º Momento de aplicação, estratégias e resolução das 4 atividades 3º Reflexões sobre as estratégias e respostas adotadas nas resoluções das atividades com o AG2 4 Quadro 01: descrição das aulas. Fonte: elaborado pelo autor da pesquisa Como o quadro 1 elucida, essa pesquisa foi realizada em três encontros presenciais, mas antes do iniciar a investigação organizamos o ambiente sala de aula e agrupamos os licenciandos. O trabalho foi vivenciado de maneira que participantes da pesquisa se agrupassem formando quatro grupos de cinco pessoas. Para Rabardel (1995), os esquemas de uso podem ser individuais (E.A.I) ou coletivos (E.A.C.I). Este autor discute que um grupo ao realizar uma atividade objetiva atender a resolução correta do objeto de estudo, nesse caso, mesmo permanecendo em grupos, cada indivíduo possui um próprio esquema de resolução. Dessa forma, o trabalho se deu de maneira coletiva, mas que o processo de gênese instrumental foi realizado a contemplar as características individuais de cada licenciando em matemática. O primeiro encontro foi o momento de familiarização com o software (AG2), no qual os licenciandos manipularam, questionaram sobre limites e possibilidades quanto ao seu uso. Nesse momento, aplicaram-se duas questões para que os licenciandos as reproduzissem e por meio desses procedimentos se apropriassem das ferramentas e menus do AG2, sendo elas expostas a seguir por meio da figura 3: Figura 3: atividade para reprodução e manipulação do AG2

9 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 9 Fonte: Silva (2016, p.109; 114) Após o processo de apropriação das ferramentas do AG2 e um momento dedicado para a reprodução das duas questões, o segundo encontro foi destinado para que os licenciandos respondessem duas questões sobre a comparação de áreas, conforme exposto na figura 4: Figura 4: questões sobre comparação de áreas Fonte: Silva (2016, p.57; 66) Essas duas questões objetivaram que os alunos comparassem por meio da superfície A, se as demais superfícies planas possuíam ou não a mesma área. O terceiro momento foi destinado a entender e analisarmos os procedimentos adotados pelos licenciandos para as resoluções das atividades com o AG2. Nele verificou-se como ocorreu ou não o processo de instrumentação e instrumentalização e, em caso afirmativo, de que maneira se deu esse processo. Para isso, em nossas análises, adotou-se o modelo S.A.I proposto por Rabardel (1995) no qual discuti que: o processo de instrumentação é ocorrido do [S-I] e instrumentalização [S-O], [S-(I)-O] e [I-O]. Considerando o modelo S.A.I (RABARDEL, 1995) a gênese instrumental foi analisada pela tríade (S, I, O) conforme apresenta a figura 5: Figura 5: Adaptação dos autores do modelo S.A.I (RABARDEL,1995) Fonte: Elaborado pelos autores Para o registro de todo o procedimento adotado pelo grupo, como também individualmente, os licenciandos instalaram o Tube Catcher, programa gratuito que faz gravação de áudio e vídeo, capturando a tela do computador. Após a finalização da construção de todas atividades, os pesquisadores recolheram os vídeos para análise. Análises de resultados

10 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 10 Como descrito na metodologia, adaptamos o modelo S.A.I proposto por Rabardel (1995) para nosso método investigo, contemplando a tríade da seguinte maneira: sujeitos (S) licenciandos do 5º período de matemática, o objeto (O) o conteúdo de comparação de áreas, e o instrumento (I) o software AG2. Vale salientar que os licenciandos estavam agrupados em cinco, totalizando-se quatro conjuntos de participantes. Cada grupo, foi enumerado (G1, G2, G3 e G4) e os seus componentes também (L1, L2, L3, L4 e L5), por exemplo, G1 (L1 atél5) e G4 (L1 até L5), na busca de enriquecer com mais detalhes as análises do processo de instrumentação e instrumentalização (gênese instrumental). A realização de trabalhos em grupos é um dos elementos discutido e caracterizado por Rabardel (1995) como (E.A.C.I). Ele menciona que o trabalho em conjunto contribui para que os participantes possam alternar informações e chegar a um consenso de como se resolve o objeto de estudo vivenciado. Embora seja relevante, esse autor enfatiza que apesar do trabalho ser direcionado para o grupo, cada pessoa pensa e age de uma maneira. Mesmo se um grupo de estudo traçar procedimentos semelhantes de estratégias para obtenção do resultado de um objeto, cabe lembrar que cada participante pertencente ao mesmo grupo pensou em esquemas de ações distintos ou semelhantes para um dado objeto. Por isso, o processo de gênese instrumental é investigado de maneira pessoal, ou seja, individual, mesmo que um ou mais sujeitos estejam inclusos em grupos. Para simplificar esse método investigativo, Rabardel (1995) propôs o modelo S.A.I para análise de como ocorre o processo de gênese instrumental (transformação de artefato em instrumento). Esse modelo foi elucidado como uma maneira mais prática de verificação do processo de gênese instrumental, em outras palavras, como o sujeito (S) se relaciona com o artefato, transformando-o em instrumento (I) para realização de tarefas sobre um determinado objeto (O). Advindo dessas informações, analisamos o processo de instrumentação e instrumentalização conforme os três encontros presenciais, sendo composto por 4 horas aula cada. Permeado por meio dessa vivência, as análises foram divididas em dois momentos, são eles: no primeiro, se identificou o momento de instrumentalização no qual é direcionado para as características do artefato, proporcionando assim a relação de [S-O], [S-(I)-O] e [I-O]; já o segundo momento, o texto apresenta os procedimentos utilizados pelos sujeitos para a instrumentação ocorrida do [S-I]. Nessa etapa, o olhar está sobre como e quais procedimentos adotados pelos sujeitos para conseguir obter a resposta frente a seu objeto de estudo. Em relação ao primeiro momento, destinado a análise realizada para a instrumentalização, ocorreu com base no tempo de familiarização que os licenciandos se apropriaram das diversas ferramentas do AG2 para a reprodução das duas questões propostas, conforme expõe o quadro 2: Questões propostas para familiarização com o AG2 Respostas construídas pelos licenciandos no AG2 Q U E S T Ã 0 1

11 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 11 Q U E S T Ã 0 2 Quadro 2: questões de familiarização Fonte: dados da pesquisa Todos os licenciandos do G1 ao G5 nessa primeira atividade (duas questões) conseguiram a obtenção dos resultados desejados, conforme se nota na resposta do L3 pertencente ao G2 (barco) e do L5 que integra o G5 (casa). A dinâmica em agrupar os licenciandos nesse primeiro encontro foi para que ambos se ajudassem em um objetivo comum, pois na busca da resolução surgem esquemas individuais que contribuem de maneira coletiva com as trocas de informações. Embora os E.A.C.I sejam relevantes, Rabardel (1995) discute que cada ser humano diante um objeto de estudo, mesmo permanecendo em grupo, age de uma maneira, exercendo esquemas distintos mesmos que pensem de maneira similares. Após o processo de familiarização com as duas questões já expostas, em que os licenciandos tinham que reproduzi-las, continuou-se o processo de instrumentalização ao se propor uma tarefa contemplando duas questões sobre comparação de áreas, do qual por meio delas foi perceptível a identificação das relações [S-O], [S-(I)-O] e [I-O]. Entre elas, a princípio, identificou-se a interligação entre [S-O]. Os licenciandos ao se depararem com a abordagem de comparação de áreas elucidaram que já haviam estudado em etapas de escolaridade anteriores, dessa forma, a comparação de áreas não foi algo novo para os licenciandos, como já se esperava Já a articulação entre [S (I)-O] ocorreu no processo em que os licenciandos estavam se familiarizando com o AG2. Essa etapa, nessa pesquisa, é relevante pois é o primeiro contato dos licenciandos com o AG2, ou seja, se tratando de um artefato para todos os participantes. Então, considera-se que a apropriação das ferramentas do AG2 por meio das reproduções das figuras consistia em compreender como e para que as funcionalidades do software serviam para o estudo de objeto matemático nessa investigação. Como apresentado no quadro 2, eles observaram que esse software pode ser usado em outras perspectivas, além de reproduzir figuras. Nesse momento, foi evidenciado que a tarefa de reprodução era apenas para que eles se apropriassem das ferramentas e menus do AG2 e que essa vivência os ajudaria quando o trabalho fosse direcionado para a comparação de áreas (O), visto que todos já sabiam manipular o AG2. Quanto ao [I-O] foi analisou-se o contato inicial com o AG2 tanto em quesito de manipulação quanto em resolução de tarefas sobre o conteúdo de comparação de áreas. Durante esses procedimentos observou-se que os licenciandos se apropriaram das diversas ferramentas do AG2 de maneira rápida, pelo menos nas que se usou nesse estudo, no qual pode ser compreendida por meio do quadro 3. Fase inicial Fase de familiarização Fase final

12 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 12 Quadro 3: fase de familiarização do AG2 Fonte: dados da pesquisa O quadro 3 apresenta o procedimento adotado pelo L5 que integra o G5. Pode ser observado que o L5 conseguiu se instrumentalizar nessa atividade, assim como, os demais licenciandos da pesquisa. Para efetivação dessa questão 2 (casa) foi necessário a manipulação de várias ferramentas (mover, ampliar, reduzir, colorir, duplicar, entre outras). Por meio da relação [S-O], [S-(I)-O] e [I-O] nota-se que houve o momento configurado como instrumentalização. E apesar do pouco tempo para os licenciandos se apropriarem do AG2, pelo menos nesse estudo de familiarização e questões propostas sobre a comparação de áreas, eles observaram sua pluralidade nos distintos conteúdos que podem ser trabalhados pelo AG2, por exemplo, área, semelhanças de figuras, perímetro e entre outros. O segundo momento da análise foi destinado à instrumentação [S-I]. Na busca da obtenção das resoluções, os licenciandos se apoiaram em conhecimentos prévios e situações semelhantes já vivenciadas anteriormente para o alcance das respostas. Em outras palavras, se apoiaram em esquemas de ações (procedimentos) com o auxílio do instrumento para alcançar o objeto de estudo (comparação de áreas). Esse momento pode ser compreendido como o processo de instrumentação, pelo qual o sujeito (licenciandos) por meio de seu conhecimento (cognitivo) busca ações (esquemas) por meio do instrumento (AG2) na tentativa de encontrar a resposta correta. A primeira questão solicitava que os licenciandos compararem quais superfícies (B, C, D, E,e F) possuíam a mesma área que a figura A. Observou-se que os esquemas de ações usados pelos licenciandos se respaldaram no método de decomposição e recomposição, sobreposição, inclusão. Percebe-se que essas técnicas não foram trabalhadas no momento de familiarização, ou seja, os licenciandos (S) usaram conhecimentos prévios e concluíram que seria possível comparar as áreas (O) por meio do AG2 (I) apoiados por esses métodos (inclusão, sobreposição, decomposição e outros). Tais procedimentos contribuem para a construção do conceito de área como uma grandeza autônoma e reforçam a ideia de que superfícies diferentes podem ter mesma área. Vale salientar que os licenciandos acertaram os procedimentos e concluíram que apenas as alternativas B e D não concebem a mesma área que a superfície A, conforme apresenta o protocolo do L3 do G2. Questão 1 Respostas do L3 do G2

13 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 13 Quadro 4: questão de comparação sem dados numéricos. Fonte: protocolo do L3 do G2. A partir das técnicas supracitadas para resolver a questão 1, os licenciandos verificaram por meio da inclusão que a superfície A é menor que B, como também a superfície D sendo menor que A. Pela técnica de sobreposição, constatou-se que a superfície retangular C coincidia com A, portanto tendo a mesma área. A superfície F, para verificação se continha ou não mesma medida de A, realizou-se a decomposição de uma das partes, posteriormente fazendo sua recomposição. Após esse procedimento, constatou-se que A e F têm mesma área. No que se refere à superfície E, a mesma foi decomposta e posteriormente recomposta, por meio desse procedimento verificou-se que as superfícies A e E têm mesma área. Cada superfície adotou uma cor, por exemplo: A (cinza), B (azul claro), C (branco) D (vermelho claro), E (verde) e F (azul escuro). As superfícies que após os procedimentos coincidirem com a mesma medida que a superfície A, tornou-se branco como uma forma de identificação que elas pertencem a mesma classe de equivalência. Esse momento se configura a relação do licenciando (S) com o instrumento (I) expondo que os mesmos estão instrumentalizados (conhecem as ferramentas do AG2 e as usam) para determinação do seu objeto de estudo (comparação de áreas). Nota-se que os licenciandos estão também instrumentados, pelo menos para esse tipo de atividade, porque eles se detêm de vivências anteriores e esquematizam (esquemas de uso) procedimentos para o alcance da resposta. Já na segunda questão, o procedimento usado por todos os licenciandos para resolução da questão foi a unidade de medida. Eles adotaram um quadrado e o denominaram de X como superfície unitária e por meio dele realizaram a medição das superfícies propostas. Como respostas, elucidaram que apenas as superfícies D e E concebem a mesma área que a superfície A. Já as superfícies B e F têm áreas menores que A. Por fim, as superfícies C e G possuem áreas maiores que A. Foi necessário nas superfícies E, F, e G a decomposição do quadrado em dois triângulos para a obtenção dos resultados, como ilustra o quadro 5: Questão 2 Resolução do L4 do G3 Quadro 5: questão de comparação com unidade de medida. Fonte: protocolo do L4 do G3

14 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 14 Quanto à superfície G, para sua resolução foi necessário também que os licenciandos dividissem o triângulo em dois triângulos menores, como apresenta a resolução. Além disso, usassem o comando reflexão e rotação para posicionar os triângulos menores em seus devidos lugares (usando-se a opção mover). Para essa resolução, os licenciandos deveriam ter conhecimentos quanto ao uso do AG2 para manipula-lo de maneira correta, como também da situação proposta que se remetia à unidade de medida de área, sem aspecto numérico. Dessa forma, há fortes evidências da instrumentação entre eles. Os sujeitos (licenciandos) adotaram para a resolução da questão 2 (objeto matemático) no ambiente do AG2 unidade de medida padrão para efetivação da medição e comparação das áreas. Com base nas análises dos resultados acerca do processo de instrumentação e instrumentalização (gênese instrumental), subsidiados pela TI de Rabardel (1995) conclui-se que esses procedimentos ocorreram mediante o estudo dos licenciandos (S) ao resolverem questões sobre comparação de áreas (O) mediado com o uso do AG2 (I). Um dos fatores que influenciou nessa investigação para o processo de transformação do artefato em instrumento do AG2 é que os licenciandos não tinham contato com esse recurso tecnológico. Um ponto negativo a mencionar foi o pouco tempo para vivenciar mais atividades sobre a grandeza área, nas quais poderiam contemplar as situações de medida, mudança de unidade e produção de superfícies. Portanto, conclui-se que nessa pesquisa, esses 20 licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática na proposta da TI de Rabardel (1995) permanecem instrumentados e instrumentalizados para resolver situações propostas sobre comparação de áreas usando o AG2. Considerações finais Esta pesquisa investigou como e de que maneira ocorreu o processo de gênese instrumental do AG2 por licenciandos do 5º período de licenciatura em matemática na busca de responder questões relacionadas à comparação de áreas. Por meio dos dados categorizados, pelo menos no que se configura as tarefas de comparações de áreas, evidenciamos que por meio desse estudo os licenciandos se instrumentalizaram com base nas características do AG2, como também tornaram-se instrumentados. No momento de análise da instrumentação que é direcionada para o sujeito mediante o instrumento, notou-se que, pelo menos para a resolução das questões de comparação de áreas, eles se respaldaram de esquemas (sobreposição e unidade de medidas não convencionais) usando o AG2 já conhecidos para obtenção de respostas. Cabe lembrar que na abordagem da área enquanto grandeza, esses são procedimentos adotados no que diz respeito à comparação de áreas, mas não inviabilizamos que outros caso surgissem estariam errados, pelo contrário, os esquemas de acordo com Rabardel (1995) são originados pelo próprio sujeito na busca de resolver tarefas, mesmo que eles se respaldem de vivências anteriores semelhantes ou de seus conhecimentos prévios. Quanto ao processo de instrumentalização, apesar do pouco tempo, observou-se que no primeiro encontro que foi dedicado à familiarização do software, os licenciandos por meio da manipulação se identificaram com os menus e ferramentas proporcionadas pelo AG2. A noção de sujeito e objeto mediado pelo instrumento foi perceptível quando os licenciandos conseguiram a resolução das duas questões de reprodução no primeiro momento, caracterizando-se o processo de conhecimento das diversas ferramentas do AG2. Quando esses licenciandos responderam de maneira correta a tarefa que contemplou a comparação de áreas no segundo momento, ficou evidente que pelo menos nesse estudo eles transformaram o artefato em instrumentos para efetivarem as resoluções. Com base nessas informações, identificamos que os licenciandos não sentiram dificuldades para se apropriarem do AG2 e resolverem as situações propostas. Nessa perspectiva, identificou-se que os esquemas de uso que eles adotaram para resolução das duas questões foram sobreposição, decomposição e recomposição, por fim, ladrilhamento para identificação se as superfícies propostas concebiam a mesma área que a superfície A.

15 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 15 Sugerimos para futuros textos que os pesquisadores demandem de um maior tempo para análise da instrumentalização e instrumentação dos participantes. Quanto ao conteúdo, nos limitamos apenas a situação de comparação de áreas para ter um maior acessibilidade ao processo de gênese instrumental dos licenciandos dado um tipo de tarefa. Apesar disso, elucidamos que trabalhos futuros sejam contemplem as situações de medida, mudança de unidade e produção de superfícies de áreas e que requeiram um tempo maior de estudo para o aprofundamento do processo de gênese instrumental, visto que são situações sobre a conceitualização da área com um teor fortemente utilitário para seu conceito enquanto grandeza. Além disso, para próximos estudos acerca da gênese instrumental sobre o conteúdo de área, sugerimos que eles possam ser trabalhados com materiais manipulativos, papel e lápis ou outros ambientes similares não digitais. As pesquisas, geralmente, pelo simples fato de se respaldarem na TI (RABARDEL, 1995) investigam a gênese instrumental por recursos tecnológicos, mas vale salientar que, como a própria teoria salienta, o artefato pode ser compreendido como material simbólico, manipulável, tecnológico e outros. Dessa forma, estudar essa transformação de artefato em instrumento nessa temática torna-se um trabalho rico em contextos e detalhes para um melhor processo de ensino e aprendizagem. Referências BALTAR, P. M. Enseignement et apprentissage de la notion d aire de surfaces planes : une étude de l acquisition des relations entre les longuers et les aires au collège Tese (Doutorado em Didática da Matemática), Université Joseph Fourier, Grenoble, França, BELLEMAIN, P.; LIMA, P. Um estudo da noção de grandeza e implicações no Ensino Fundamental. Ed. Geral: John A. Fossa. Natal: SBHMat, BITTENCOURT, I. M.; BITTENCOURT, I. G. S. Como professores concebem o uso das TIC em suas práticas pedagógicas. Anais... 5 Encontro de Pesquisa em Educação em Alagoas, Maceió, BRASIL, S. E. F. Base Nacional Curricular Comum - BNCC. Brasília, 2017, p.471. COSTA, A. P. A construção do conceito de quadriláteros notáveis no 6º ano do ensino fundamental: um estudo sob a luz da teoria vanhieliana f. Dissertação (Educação Matemática e Tecnológica). Universidade Federal de Pernambuco, Centro de Educação. Recife, Disponível em: < %A9Pereira.pdf >. Acessado em 20/06/2018. CREM, Apprenti Géomètre. Impact du logiciel Apprenti Géomètre sur certains apprentissages. Tome 2. Nivelles, Bélgica, Ministère de la Communauté Française, CREM, A. G. Apprenti Geometre, Un Instrument Pour L apprentissage De La Geometrie Et De La Mesure Des Grandeurs, p , DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d apprentissage du concept d aire de surface plane. Educational Studies in Mathematics.v.20, n.4, p. 1-50, Disponível em: < 5_A3_0.pdf >. Acesso em 02/06/2017. FERREIRA, L. de F. D. A construção do conceito de área e da relação entre área e perímetro no 3º ciclo do ensino fundamental : estudos sob a ótica da teoria dos campos conceituais f. Dissertação (Mestrado em Educação). Centro de Educação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Disponível em: <

16 Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 16 > acessado em 09/05/2017. MORAN, J. M. Ensino e aprendizagem inovadores com tecnologias audiovisuais e telemáticas. In: MORAN, J. M.; MASETTO, M. T.; BEHRENS, M. A. Novas tecnologias e mediação pedagógica. 19. ed. Campinas: Papirus, PACHÊCO, F. F. F.; SILVA, A. D. P. R. EXPLORANDO POLIEDROS PLATÔNICOS POR MEIO DO POLY: Um Estudo à Luz da Teoria da Aprendizagem Significativa. Anais... XV congresso Internacional de Tecnologia na Educação. Olinda, Disponível em: < > acessado em 04/06/2018. RABARDEL, P. Les hommes et les technologies: une approche cognitive des instruments contemporains. Paris: Armand Colin, Disponível em Acesso em 06/07/2017. SILVA, A. D. P. R. Ensino e Aprendizagem de Área Como Grandeza Geométrica: um estudo por meio dos ambientes papel e lápis, materiais manipulativos e no apprenti géomètre 2 no 6º ano do ensino fundamental f. Dissertação (Educação Matemática e Tecnológica). Universidade Federal de Pernambuco, Centro de Educação. Recife, Disponível em: < > acesso em 12/05/2017. SOUZA, M. F. de O. O uso das TIC no processo de ensino e aprendizagem da Matemática: das práticas às concepções docentes f. Dissertação (Mestrado em Educação) Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, VERGNAUD, G. La théorie des Champs Conceptuels. Recherches em didactique des mathématiques. 10 (2.3) (1990).