Categorias, álgebra homológica, categorias derivadas

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1 Categorias, álgebra homológica, categorias derivadas slides de aula Sasha Anan in ICMC, USP, São Carlos 6//5 5//5

2 4. δ-funtores Nesta seção as categorias são abelianas e os funtores são aditivos. 4.. Definição. Sejam C e C categorias. Um funtor covariante F : C C é dito exato à esquerda (à direita) se, para toda sequência curta exata c c c em C, a sequência Fc Fc Fc (respectivamente, Fc Fc Fc ) é exata em C. Se F é exato à esquerda e à direita, dizemos que F é um funtor exato. Para F : C C contravariante as definições são induzidas, isto é, dizemos que F é um funtor exato à esquerda (à direita) se o funtor covariante F : C op C é exato à esquerda (respectivamente, à direita). Em outras palavras, para toda sequência curta exata c c c em C, a sequência induzida Fc Fc Fc (respectivamente, Fc Fc Fc ) é exata em C. 4.. Exemplo. Seja C uma categoria e seja c C. Então o funtor C(, c) : C Ab é contravariante exato à esquerda. Realmente, seja h c h c c uma sequência curta exata em C. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

3 Então os morfismos C(h, c) : C(c, c) C(c, c), α αh, C(h, c) : C(c, c) C(c, c), β βh induzem a sequência C(c, c) C(c, c) C(c, c) exata em Ab. Com efeito, seja α C(c, c) tal que αh =. Sendo h epi, α =. Daí, C(h, c) é mono. A semiexatidão no segundo termo é óbvia. Seja β C(c, c) tal que βh =. Sendo c conúcleo de h, existe um único morfismo α C(c, c) tal que αh = β. Assim obtemos a exatidão no segundo termo. De maneira semelhante, podemos provar que o funtor C(c, ) : C Ab é covariante exato à esquerda. 4.. Definição. Dizemos que um objeto i C é injetivo se o funtor C(, i) é exato. O conceito dual se chama objeto projetivo. Equivalentemente, um objeto i é injetivo se, para m i γ β a b m qualquer monomorfismo a b em C, todo morfismo γ : a i se estende por m a um β : b i (não necessariamente único), tal que o diagrama à direita seja comutativo. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

4 4.4. Lema. Sejam i, i C. Então o biproduto i i é injetivo se e só se i e i são injetivos. Demonstração. Sejam i e i injetivos e seja m : a b mono. Seja γ : a i i. Então π γ : a i e π γ : a i se estendem por m a β : b i e β : b i, respectivamente. Pela propriedade do produto, obtemos β : b i i desejado (vide o diagrama à direita). i i π γ π i β i β a m β b Reciprocamente, seja i i injetivo. Pela simetria, basta verificar que i é injetivo. Seja m : a b mono e seja γ : a i. Sendo i i injetivo, j γ se estende por m a um β : b i i. Logo, π βm = π j γ = γ e, portanto, γ se estende por m a π β (vide o diagrama à direita) h f 4.5. Lema. Seja a b c uma sequência a h b exata e seja g : b i um morfismo com i injetivo tal que gh =. Então existe um morfismo g tal que g = gf. i π i i j γ a m β b co h Co h m c g g g i S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 4 /

5 Demonstração. Pela Observação.9 e pela propriedade de conúcleo, encontramos um morfismo g fazendo o diagrama comutativo acima, onde m é mono. Pela Definição 4., encontramos g desejado 4.6. Definição. Seja A C, seja I Kom + C com I i = para todo i < e seja ε : A I um morfismo. Dizemos que I é uma resolução de A (denotamos A ε I ) se a sequência A ε I I... é exata. Se, além disso, I i for injetivo para todo i, dizemos que a resolução de A é injetiva. (O conceito dual ao de resolução injetiva se chama resolução projetiva de A.) 4.7. Lema. Seja A ε R A ε uma R R... resolução de A e seja B η I uma f f f resolução injetiva de B. Então todo morfismo f : A B induz um morfismo entre B η I I... complexos f : R I tal que o diagrama à direita é comutativo. Mais ainda, quaisquer dois morfismos f, f : R I induzidos por f são homotópicos. Demonstração. Construímos f indutivamente pelo Lema 4.5. Partimos de g := ηf e obtemos f := g. Para obter f n+, apliquemos o Lema 4.5 S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 5 /

6 ao morfismo g := di n f n. Precisamos encontrar uma homotopia entre dois morfismos f e f induzidos por f. Fazendo a diferença f f, podemos supor que f =. Seja f : R I induzido por f =. Construímos indutivamente morfismos h i : R i I i que fazem a homotopia f. Inicialmente, para i, definimos h i : R i por h i :=. Suponhamos que existam morfismos h i : R i I i, i n, tais que f i = h i+ dr i + d i I hi para todo i n. Apliquemos o Lema 4.5 ao morfismo g := f n d n I hn observando que (f n d n I hn )d n R = f n d n R d n I (f n d n I hn ) = f n d n R d n I f n =. Fazendo h n+ := g, resta observar que f n d n I hn = g = gdr n = hn+ dr n a m a p a γ α i r x x a m a p a γ ε α i j i r π r x x x S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 6 /

7 4.8. Lema. Seja dado o diagrama acima à esquerda com a linha e as colunas exatas e com i injetivo. Então ele pode ser completado ao diagrama comutativo acima à direita com linhas e colunas exatas, onde j e π são a injeção e a projeção do biproduto. Demonstração. Pela Definição 4., existe um β : a i tal que γ = βm. Pela propriedade do produto, os morfismos β e αp : a r induzem o morfismo ε : a i r. Para a projeção π : i r i, temos π εm = βm = γ = π jγ e πεm = αpm = = πjγ. Pela propriedade do produto, εm = jγ. Pela construção de ε, temos αp = πε. Fazendo x := Co ε e observando que x = Co γ e x = Co α, resta só aplicar o Lema. (da serpente) 4.9. Observação. No diagrama comutativo à direita a sequência horizontal é exata se e só se as sequências x diagonais são exatas, onde os x i s são escolhidos para r r decompor as setas r i r i em epi e mono. r Demonstração. O fato segue da Definição.8 e da Observação.9 x S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 7 /

8 Isto permite pensar numa sequência exata como sendo formada por um ziguezague de sequências curtas exatas, como no diagrama à direita. u p 4.. Lema. Seja A A A uma sequência exata, seja ε A I uma resolução injetiva ε e seja A R A u A p A x x... r r r... x x uma resolução arbitrária. Para n, definamos R n := I n Rn. Então existe uma resolução A ε ε ε ε R com as componentes indicadas acima tal que o diagrama à esquer- I j R π R da é comutativo, onde os morfismos j e π são formados pelas injeções j n : I n I n Rn e pelas projeções πn : I n Rn R n, respectivamente. Demonstração. Pela Observação 4.9, podemos decompor todo d n I, n >, como I n X n I n, onde X n n = Im d I = Ker d n I. Do mesmo modo, decompomos todo d n R como R n X n Rn, onde S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 8 /

9 X n n = Im d R = Ker d n R. Aplicando o Lema 4.8 ao diagrama em baixo A u A p A A u A p A ε ε ε ε ε I R I j R π R X X k X X X à esquerda, obtemos o diagrama acima à direita e, em particular, um objeto X e morfismos ε : A R e k : R X. Agora podemos aplicar o Lema 4.8 à terceira linha do diagrama acima à direita e assim por X n X n X n X n X n X n l n I n R n I n j n R n π n R n X n+ X n+ k n X n+ X n+ X n+ S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 9 /

10 diante... Indutivamente, aplicando o Lema 4.8 ao diagrama acima à esquerda, obtemos o diagrama acima à direita e, em particular, um objeto X n+ e morfismos l n : X n Rn e kn : R n X n+. Fazendo := l n k n, pela Observação 4.9, obtemos a resolução desejada d n R ε A R. As comutatividades dos diagramas obtidos implicam que j e π são morfismos induzidos por m e p, respectivamente ε 4.. Observação. Sejam A i i R i, i =,,, A u A p resoluções tais que R n = Rn Rn e suponhamos A que as injeções u n : R n ε ε ε Rn Rn e as projeções R u R p R p n : R n Rn Rn formem morfismos u : R R e p : R R de modo que o diagrama à esquerda seja comutativo e com as linhas exatas. Utilizando a representação matricial (..) da Observação[., obtemos ] ] d n u n =, p n = [ R n ], ε = [ ε α p ] e d n R R = α n, onde [ R n d n R α : A R, αn : R n Rn+, αu = ε, d R α + α ε p = e d n+ R α n + α n+ d n R = para todo n. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

11 [ ] Demonstração. As igualdades u n R n = e p n = [ R n ] são, de fato, dadas. A comutatividade ε p = p ε significa que ε = [[ ε α p ]. A comutatividade ε u = u ε implica αu = ε. Escrevendo d n R = γ n α n δ n β ], n com α n : R n Rn+, β n : R n Rn+, γ n : R n Rn+ e δ n : R n Rn+, da comutatividade d n R p n = p n+ d n R concluímos que δ n = e que β n = d n R. A comutatividade u n+ d n R = d n R u n agora significa que γ n = d n R. Finalmente, as igualdades d R α + α ε p = e d n+ R α n + α n+ d n R = simplesmente expressam que d R ε = e d n+ R d n R = η j S j, j =,, uma resolução injetiva. Suponhamos que ε 4.. Lema. Sejam A i i R i, i =,,, B j η resoluções e seja B I no diagrama abaixo as linhas em cima sejam exatas e as faces de cima, de fundos, de frente, à esquerda e à direita sejam comutativas. Suponhamos também que R n = Rn Rn e S n = I n S n, que os morfismos u e v sejam formados pelas injeções respectivas e que os morfismos p e q sejam formados pelas projeções respectivas. Então existe um morfismo f : R S que faz todo o diagrama comutativo. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

12 A u A p A ε ε ε f f f R u R p R B v B q B f η f η f η I v q S S [ ] [ ] Demonstração. Pela Observação 4., u n R n =, v n I n =, p n = [ R n ], q n = [ S n ], ε = [ ε α p ], η = [ [ ] ] d n β η q, d n R R = α n d n, R [ ] d n d n I S = β n d n, onde α : A R S, β : B I, αn : R n Rn+, β n : S n I n+, αu = ε, βv = η, d R α + α ε p =, d I β + β η q =, d n+ R α n + α n+ d n R = e d n+ I β n + β n+ d n S = para todo n. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

13 [ Vamos procurar f na forma f n := f n g n f n ], onde g n : R n I n. É imediato que f n un = v n f n e f n pn = q n f n. Utilizando d n I f n = f n+ d n R d n S f n = f n+ d n R, vemos que as comutatividades restantes, η f = f ε e d n S f n = f n+ d n R, n, têm a forma βf = f α + g ε p, η qf = f ε p, d n I g n + β n f n = f n+ α n + g n+ d n R. É fácil verificar a segunda igualdade. Vamos utilizar a primeira e a última para determinar os g n s, reescrevendo as igualdades na forma g ε p = βf f α, g n+ d n R = d n I g n + β n f n f n+ α n. u ε p A sequência A A R é exata, pois a sequência u p A A A é exata e ε é mono. Para g := βf f α, temos gu = βf u f αu = βvf f ε = η f f ε =. Pelo Lema 4.5, existe d um g tal que g ε p = g = βf f α. A sequência A ε p R R R é ε exata, pois a sequência A R d R R é exata e p é epi. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 / e

14 Para g := d I g + β f f α, temos gε p = d I g ε p + β f ε p f α ε p = d I βf d I f α+β f ε p +f d R α = β η qf +β f ε p =. Pelo Lema 4.5, existe um g tal que g d R = g = d I g + β f f α. Vamos supor que já encontramos g,..., g n, n, satisfazendo as d n R igualdades acima. A sequência R n R n R n+ é exata. Para g := d n I g n + β n f n f n+ α n, temos gd n R = d n I (d n I g n + β n f n f nαn ) + β n d n f n + f n+ S d n R α n =, pois g n d n R = d n I g n + αn pela hipótese da indução. Pelo Lema 4.5, existe um β n f n f n g n+ : R n+ I n+ tal que g n+ d n R d n R = g = d n I g n + β n f n f n+ α n 4.. Definição. Dizemos que uma categoria C tem suficientes objetos injetivos se, para todo A C, existe um monomorfismo A I com I injetivo. Neste caso, todo objeto A C possui uma resolução injetiva. Realmente, pela hipótese, existe um A I mono com I injetivo. Seja X o conúcleo deste monomorfismo, isto é, a sequência A I X é exata. Pela hipótese, existe um X I mono com I injetivo... Finalmente, obtemos o diagrama comutativo abaixo, S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 4 /

15 A X A I I I... X X onde as setas horizontais são definidas pela composição das respectivas setas diagonais. As sequências curtas diagonais são exatas pela construção. Pela Observação 4.9, obtemos uma resolução injetiva de A Observação. Sejam F : C C um funtor covariante exato à f esquerda e A A A uma sequência exata em C. Então a Ff sequência FA FA FA é exata em C. Demonstração. Temos a decomposição f = mp com as sequências p m A A X e X A exatas. Portanto, as sequências FA FA FX e FX FA são exatas. Agora, Fp Fm a exatidão em FA da sequência com Ff segue da Proposição..4 S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 5 /

16 4.5. Teorema. Sejam C e C categorias, sendo C com suficientes objetos injetivos. Seja F : C C um funtor covariante exato à esquerda. Então existem funtores aditivos R n F : C C, n, tais que F R F e, para qualquer sequência E : A A A exata em C, existem morfismos δ n E : R n FA R n+ FA que fazem a sequência R n FA R n FA R n δe FA n R n+ FA... exata. Além disso, os morfismos δe n são naturais em E. Demonstração. Para todo A C, fixemos (arbitrariamente) A ε A I A, uma resolução injetiva de A. Sendo F aditivo, FI A Kom+ C. Definamos R n FA := H n FI A. Seja f : A B um morfismo em C. Pelo Lema 4.7, existe um morfismo induzido f : I A I B, único a menos de uma homotopia. Definamos R n Ff := H n Ff. Sendo F aditivo, ele preserva homotopias. Pelo Lema.4., H n Ff não depende da escolha de f. Sejam f : A B e g : B C morfismos em C e sejam f : I A I B e g : I B I C, respectivamente, morfismos induzidos. É fácil observar, olhando o diagrama abaixo à esquerda, que g f é induzido por gf. Portanto, R n F (gf ) = H n F (g f ) = (H n Fg )(H n Ff ) = (R n Fg)(R n Ff ). Claramente, I : I A A I A é induzido por A : A A. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 6 /

17 ε A A IA f f ε B B IB g g ε C C I C I A... f IB... g IC... F ε Fd A FA FI I A A FIA Ff Ff Ff F ε Fd B FB FI I B B FIB Daí, R n F =. Assim, R n F é um funtor. Para morfismos f, f : A B em C que induzem f, f : I A I B, respectivamente, podemos observar que f + f : I A I B é induzido por f + f. Sendo F aditivo e sendo, pelo Lema.., H n aditivo, concluímos que R n F (f + f ) = H n F (f + f ) = H n Ff + H n F f = R n Ff + R n Ff. Em outras palavras, R n F é aditivo. Provemos que F R F. A sequência A ε A IA IA é exata em C. Sendo F exato à esquerda (este é o único lugar onde utilizamos este fato), Fd I A a sequência FA F ε A FIA FIA é exata pela Observação 4.4. Claramente, B FI A =. Logo, co j FI : Z FI A H FI A é um isomorfismo. A d I A S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 7 /

18 Recordando que Z FI A = Ker Fd I A, obtemos um isomorfismo i A : FA H FI A = R FA. A naturalidade de i segue da unicidade de morfismos entre núcleos: qualquer morfismo f : A B induz um morfismo (não único) f : I A I B que, por sua vez, produz o diagrama comutativo acima à direita com linhas exatas. u p Seja E : A A A uma sequência exata em C. Apliquemos o Lema 4., fazendo I := I A, R := I A, ε i := ε Ai, i =,. ε Obtemos uma resolução A R, injetiva pelo Lema 4.4, e uma sequência exata de complexos I j A R π I A. Além disso, a exatidão da sequência de complexos é uma consequência das decomposições R n = I A n IA n. Sendo F aditivo, a sequência de complexos FI Fj A FR F π FI A é exata. Logo, pelo Teorema.5, obtemos a sequência longa exata de cohomologias R n H FA n Fj H n FR H n F π R n δ FA n R n+ FA... Para definir δe n := δn, é necessário verificar que δ n independe da escolha de R (não é única a escolha de operadores de bordo em R ). Seja S qualquer outra resolução deste tipo. Então, utilizando o Lema 4. com B i := A i, S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 8 /

19 f i := Ai, i =,,, f :=, f :=, aplicando ao diagrama de resoluções obtido o funtor F e passando às sequências longas de cohomologias, concluímos que δ n independe da escolha de R. A u p j R A A A A u π I A f g I A A p u I p A Consideremos, em C, o diagrama comutativo à esquerda. Então, pelo Lema 4.7, no diagrama de resoluções injetivas à direita, temos morfismos j, π, u, p, f, g induzidos por u, p, u, p, A, A, respectivamente. Pelo Lema 4.7, o diagrama de resoluções é comutativo a menos de homotopias. Em particular, g f R e f g H n FR I. Apliquemos ao diagrama de resoluções H n Fj A H n F π o funtor F. Sendo F aditivo, o diagrama R n FA continua sendo comutativo a menos de homotopias. Apliquemos agora o funtor H n H n Ff H n Fg R n FA. R n Fu R n Fp Pelo Lema.4., obtemos o diagrama comutativo à direita, onde H n Ff e H n Fg são isomorfismos (um é o inverso R n FA do S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 9 /

20 outro). Assim, a sequência longa exata R n H FA n Fj H n FR δ n E H n F π R n FA R n+ FA... gera a sequência longa exata R n FA R n Fu R n R FA n Fp R n δe FA n R n+ FA... Resta mostrar que δe n é natural em E. Consideremos um morfismo de sequências curtas exatas em C, digamos, o que está apresentado pela face em cima do diagrama do Lema 4.. Façamos R := I A, R := I A, I := I B, S := I B. Pelo Lema 4., podemos encontrar R e S de modo que as condições do Lema 4. sejam satisfeitas. Pelos Lema 4. e Teorema.5, obtemos a naturalidade desejada 4.6. Definição. Sejam C e C categorias, sendo C com suficientes objetos injetivos, e seja F : C C um funtor covariante exato à esquerda. Os funtores R n F : C C construídos acima são chamados funtores derivados à direita de F. Seja G : C C um funtor covariante exato à direita, sendo C com suficientes objetos projetivos (isto significa que, para todo A C, existe um epimorfismo P A com P projetivo). De forma análoga à que fizemos acima, podemos definir os funtores derivados à esquerda de G, Ln GA := H n GP A, onde, para todo A C, fixamos (arbitrariamente) uma resolução projetiva P ε A A A. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

21 4.7. Definição. Sejam C, C categorias. Um δ-funtor covariante de C para C é uma coleção de funtores covariantes F = {F n : C C n } m p tal que, para toda sequência curta exata E : A A A em C e para todo n, existem morfismos δf n,e : F n A F n+ A que satisfazem as condições seguintes: A sequência longa l F E : F F m A F A é exata. F p F A δf,e... δ n F...,E F n F n m A F n A F n p F n A δf n,e... Para todo morfismo h : E E entre sequências curtas exatas em C E : A A A F n δf n A,E F n+ A h h h h E : A A A F n h F n+ h F n A δf n,e e para todo n, o quadrado à direita é comutativo. F n+ A Em outras palavras, δf n,e é natural em E. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

22 F n A δf n,e F n+ A αa n α n+ A G n δg n A,E G n+ A esquerda é comutativo. Um morfismo α : F G entre δ-funtores é uma coleção de transformações naturais α = {αn : F n G n n } tal que, para todo n e para toda sequência curta exata E : A A A em C, o quadrado à 4.8. Definição. Um δ-funtor covariante F : C C é chamado universal se, para qualquer outro δ-funtor covariante G : C C e para qualquer transformação natural α : F G, existe um único morfismo α : F G com α = α. É fácil construir uma categoria apropriada de δ-funtores, onde este conceito tem seu sentido usual. Claramente, para qualquer δ-funtor F, o funtor F é exato à esquerda. Daí, em particular, concluímos que, para todo funtor F exato à esquerda, existe (a menos de um isomorfismo) no máximo um δ-funtor universal F tal que F F. Se tal F existe, os funtores F n, n >, são chamados funtores satélites à direita de F Definição. Um funtor covariante F : C C é dito apagador se, para todo A C, existe um m : A A mono tal que Fm =. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

23 d a f a α f a d a α α g b g b α δ b d a f a α f a d a α α g b g b δ b α δ b δ b 4.. Lema. Suponhamos que, no cubo à esquerda, d seja epi e as faces esquerda, de cima, de baixo, de fundos e de frente sejam comutativas. Então a face direita também é comutativa. Suponhamos que, no cubo à direita, g seja mono e as faces esquerda, direita, de cima, de baixo e de fundos sejam comutativas. Então a face frontal também é comutativa. Demonstração. Basta observar que α f d = g α d para o cubo esquerdo e que g α d = g δα para o cubo direito, o que é imediato 4.. Teorema (Grothendieck). Seja F : C C um δ-funtor covariante. Se F n é apagador para todo n >, então F é universal. Demonstração. Seja G : C C um δ-funtor arbitrário e seja S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

24 α : F G uma transformação natural. Basta mostrar por indução sobre n que existem únicas transformações naturais α j : F j G j, j n, tais que α = α F i δf i e, para todo i < n A,E e qualquer sequência E : A F i+ A A A curta exata em C, o quadrado à direita é comutativo. αa i α i+ A A hipótese é óbvia para n =. G i δg i Seja A A,E G i+ C. Para definir α n+ A A, encontramos um m : A A mono tal que F n+ m =. Fazendo p := co m e A := Co m, m p obtemos uma sequência curta exata E : A A A. Sendo F um δ-funtor com F n+ m =, obtemos uma sequência exata F n F A n p F n δ n F A,E F n+ A. Pela hipótese de indução e por G ser F n F n p A F n δf n A,E F n+ A αa n αa n α n+ A,E G n G n p A G n δg n A,E G n+ A um δ-funtor, o diagrama acima é comutativo e com linhas exatas. Sendo δf n,e = co F n p, encontramos um único morfismo α n+ A,E : F n+ A G n+ A que faz o diagrama comutativo. Já temos a S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 4 /

25 unicidade de α n+. Consideremos agora uma outra sequência curta exata E : A m A p A com m apagado por F n+, isto é, E : A m A p A h h h h E : A m A p A F n+ m =. Seja h : E E um morfismo (vide o diagrama acima). Então, como acima, obtemos um morfismo α n+ F n+ A F n A δf n,e A,E : F n+ A F n h F n+ h G n+ A. No α n F n δf n A A cubo à direita, δf n,e F n+ A α n+,e é epi, A,E a face esquerda é comutativa por α n ser transformação natural, as faces de ci- G n+ A αa n G n A δg n,e ma e de baixo são comutativas por F e G serem δ- G n+ h G n h α n+ A,E G n δg n funtores e as faces de fundos e de frente são comutativas pela construção. Aplicando o Lema A,E G n+ A 4. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 5 /

26 (cubo esquerdo), obtemos a comutatividade na face direita. Utilizando o fato obtido, provemos que α n+ A,E independe da escolha da sequência E. Realmente, seja E m : A A p A uma outra sequência curta exata com F n+ m =. Façamos m A A A := A A A e m := h m = h m (vide o diagrama à direita). Pela Proposição.6.8, h m é h mono. Logo, m é mono. De F n+ m = segue que A h F n+ m =. Definamos p, h A A A e h que fazem o diagrama abaixo à esquerda com linhas exatas e comutativo. Assim, obtemos dois morfismos entre sequências curtas exatas E E h h E. Aplicando o fato obtido acima a cada morfismo e levando em conta que h = h = A, obtemos A m A p A A h h A m A p A A h h α n+ A,E = αn+ A,E = α n+ A,E. De maneira semelhante, é fácil provar que α n+ é natural: podemos completar qualquer morfismo h : A A a um morfismo entre sequências A m A p A exatas curtas h : E E com F n+ m = e F n+ m =. Com efeito, tomemos primeiramente uma sequência curta S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 6 /

27 exata E : A m A h m A p A com F n+ m =. Como acima, partindo de A A, podemos fazer A A h A A A. Sendo m mono, h é mono pela Proposição.6.8. Existe um monomorfismo m : A A A A com F n+ m =. Resta fazer m := m h, h := m h e aplicar o fato obtido. Finalmente, provemos que α n+ A δf n,e = δn G,E αn A para toda sequência m p curta exata E : A A A. Para isto, construímos uma sequência curta exata E m : A A p A com F n+ m = e um morfismo h : E E com h := A. Primeiramente, como acima, encontramos um monomorfismo m : A A com F n+ m =. Par- m m tindo de A A A, podemos fazer A A h A A A. Sendo m e m monos, pela Proposição.6.8, h e h são monos. Portanto, obtemos o monomorfismo desejado m := h m = h m : A A := A A A (note que F n+ m = implica F n+ m = ). No cubo em baixo, G n+ h é mono, pois h = A, as faces esquerda e direita são comutativas por α n e αn+ serem transformações naturais, as faces de cima e de baixo são comutativas por F e G serem h h S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 7 /

28 δf n,e F n+ A F n A F n h F n+ h F n δ n αa n F A,E F n+ A α n+ A αa n G n A δg n,e G n+ A G n h α n+ A G n+ h G n δg n A,E G n+ A δ-funtores e a face de fundos é comutativa pela construção de α n+ A (recorde que F n+ m = ). Pelo Lema 4. (veja cubo direito), a face frontal é comutativa m 4.. Observação. Seja A A p A uma sequência curta exata tal que πm = A para algum π : A A. Então a sequência é isomorfa à sequência A j A A π A A h A m A p A A S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 8 /

29 j π do biproduto A A A A. Demonstração. Consideremos o diagrama acima, onde h é induzido por π e p, isto é, π h = p e π h = π. Temos π hm = πm = A = π j e π hm = pm = = π j. Pela propriedade do produto, hm = j. Sendo o diagrama comutativo, pelo Lema. (da serpente), h é um isomorfismo Da Observação 4. segue que toda sequência curta exata m I B p C com I injetivo é isomorfa à sequência do biproduto (aplique a Definição 4. para a := I, b := B, i := I, γ := I ). Por indução, daí segue que qualquer resolução injetiva de um objeto injetivo I é isomorfa à resolução do tipo I I I I I... Aplicando a esta resolução o funtor H n F com n >, temos. Em outras palavras, R n FI = se n > e I for injetivo. Consequentemente, pelo Teorema 4., obtemos o 4.. Corolário. Sejam C e C categorias, sendo C com suficientes objetos injetivos, e seja F : C C um funtor covariante exato à esquerda. Então R F é um δ-funtor universal. Em particular, se vamos construir o δ-funtor R F fixando outras resoluções injetivas, obtemos um δ-funtor isomorfo. S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 9 /

30 Neste sentido, R F independe da escolha de resolução Definição. Sejam C e C categorias, C com suficientes objetos injetivos, e seja F : C C um funtor covariante exato à esquerda. Um objeto A C se chama F -acíclico se, para todo n >, temos R n FA =. Uma resolução A A é dita resolução F -acíclica de A se todo A i é F -acíclico Observação. Podemos calcular R n F utilizando resoluções acíclicas: para qualquer resolução acíclica A A, temos R n FA H n FA para todo n. Demonstração. A resolução A A é um ziguezague de sequências curtas exatas X n mn A n pn X n+, n, onde X A. Cada uma dessas sequências induz sua sequência exata longa. Devido a R n FA k = para todos n > e k, obtemos R n FX k+ R n+ FX k. Consequentemente, R n FA R n FX R FX n para todo n >. Além disso, a sequência FX n Fmn FA FX n R FX n é exata para todo n > (pois R FA n = e R F F ). Logo, R n FA R FX n Co Fp n para todo n >. n Fpn S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

31 Para qualquer complexo C, temos d n C = (ker d C n )jn C πn C (vide o início da subseção.). Por definição, H n C = Co jc n. Sendo πn C epi, Co jc n Co(j C n πn C ). Assim, H n C Co h n, onde hc n é o único morfismo tal que d n C = (ker d C n )hn C. Resta observar que, para n >, temos a decomposição d n FA = (Fmn )(Fp n ), onde Fm n = ker dfa n pela Observação 4.4 S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /

32 Exercícios S. Anan in (ICMC) categorias 6//5 5//5 /