1. Qual é o maior número de Mersenne que você pode obter na calculadora com todos os seus dígitos a vista no display da calculadora?

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1 Conjuntos Numéricos e Funções Exponenciais Números primos de Mersenne 2 p -1 Os números de Mersenne são números que estão uma unidade abaixo de uma potência de 2. Em outras palavras, M n = 2 n - 1. Um número M n é um primo de Mersenne se cumpre as duas condições abaixo: 1. é um número primo; 2. n é um número primo. 1. Qual é o maior número de Mersenne que você pode obter na calculadora com todos os seus dígitos a vista no display da calculadora? 2. Os números M 7 e M 11 são primos de Mersenne? Justifique. 3. Complete a tabela abaixo, seguindo o modelo e responda às questões a seguir: O número é primo? M = 1 Não é primo 1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 a) Se o número n é não é primo, M n pode ser primo? b) Se o número n é primo, M n é necessariamente primo? c) Se o número M n é primo, o número n é primo? 1

2 4. Confirme (ou não) suas respostas completando o quadro abaixo: O número é primo? M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 M19 M20 5. Qual é o maior número de Mersenne que você pode obter na calculadora com todos os seus dígitos a vista? Encontrar primos Mersenne é computacionalmente muito desafiador. Por exemplo, a descoberta de 1963 de que M é primitiva foi anunciada por um design de medidor postal especial, ilustrado abaixo, emitido em Urbana, Illinois (Estados Unidos). G. Woltman organizou um programa de pesquisa distribuída através da Internet, conhecido como GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), no qual centenas de voluntários usam seus computadores pessoais para executar partes da pesquisa. Os esforços dos voluntários do GIMPS tornam este projeto de computação distribuída o descobridor de todos os doze dos maiores primos conhecidos de Mersenne. Na verdade, a partir de 23 de janeiro de 2016, os participantes do GIMPS testaram e verificaram todos os expoentes abaixo de e testaram todos os expoentes abaixo de pelo menos uma vez (GIMPS). 6. Abaixo, temos os primeiros 1398 do número M Quantos dígitos tem esse número? Em média, 4760 dígitos podem ser inseridos em uma página, quantas páginas seriam necessárias para imprimir o número M ? Elabore estratégias para determinar a quantidade de dígitos deste número (Desafio) Quantos números primos de Mersenne, você pode encontrar entre 1 e ? Elabore estratégias para determiner todos os primos de Mersenne no intervalo pedido. 2

3 Conjuntos Numéricos e Funções Exponenciais Números primos de Mersenne MATERIAL Calculadora CASIO fx-82 LA X, fx-991la X ou superior LEVEL 1º ano Ensino Médio ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS E TÉCNICAS Números Primos tem uma grande aplicação na criptografia de dados, permitindo que dados bancários, por exemplo, permaneçam seguros. Esta atividade permite a intercontextualização de funções exponenciais com Números Primos. Números Primos Para esta atividade, é indicado a revisão das definições básicas de números primos Esta atividade propõe uma contextualidade entre dois conteúdos aparentemente desconexos para uma análise mais profunda dos números primos de Mersenne; Quando uma célula da planilha contem um número de mais de 6 dígitos, esse número aparece em notação científica. Se deseja visualizar todos os dígitos, é necessário colocar o cursor em cima da célula e configurar a calculadora de maneira que a parte inferior da tela da calculadora mostre, em vez da fórmula, o valor da célula. Para fazê-lo tem que proceder da seguinte maneira: EXEMPLOS DE SOLUÇÕES ATIVIDADE 01 O maior número primo de Mersenne que a calculadora consegue identificar através da função FACT é IDENTIFICANDO N Esta atividade constitui um importante exercício no processo familiaridade com o tema: Números Primos de Mersenne e ter habilidade em fornecer exemplos, através da função FACT. Para visualizar a fatorização de um número: Insira o número e pressione =; Utilize a função FACT (SHIFT x). 1023= qx Se o número for primo o resultado não se altera. CALCULADORA Alguns números não podem ser fatorizados. Se um dos fatores for igual ou superior a ou dois mais fatores primos do valor tem mais que três dígitos. A parte que não pode ser fatorizado ficará entre parênteses na tela. Logo o maior número primo que a calculadora identifica é o número Perceba que a calculadora não identifica o também número primo O fato da calculadora ter uma limitação é importante para que o estudante possa traçar novas estratégias. Por exemplo: o número

4 Ou um dos fatores é superior ou igual a (e no caso ele seria um número primo) ou dois ou mais fatores possuem mais do que três dígitos. Neste caso, é mais difícil perceber que não conseguem num tempo hábil identificar números primos, passando por todos os divisores. São implementadas teorias para que novos números primos de Mersenne sejam identificados. ATIVIDADE 02 O número M 7=2 7 1 é primo, visto que 7 é primo e 127 é um número primo. Em contrapartida, M11 não o é O número M 11 tem dois fatores primos 23 e 89. A utilização da função FACT dá indiretamente outros exemplos de números primos, por exemplo: o número 89 acima é um número primo. ATIVIDADE 03 Para determinar os valores da coluna M n, podemos utilizar o modo Tabela w9 w 9 2^[$p1 = R10= = OPORTUNIDADE Este é um ótimo momento para estimular o cálculo mental com os seus estudantes. Perceba que para todos os números que não são primos o Número de Mersenne também não o será e que mesmo que um número seja primo o seu número de Mersenne não será necessariamente primo. 4

5 O número é primo? M = 1 Não é primo 1 M = 3 É primo 3 M = 7 É primo 7 M = 15 Não é primo 3x5 M = 31 É primo 31 M = 63 Não é primo 3 2 x7 M = 127 É primo 127 M = 255 Não é primo 3x5x17 M = 511 Não é primo 7x73 M = 1023 É primo 1023 a) Se o número n é não é primo, M n pode ser primo? Não b) Se o número n é primo, M n é necessariamente primo? Não c) Se o número M n é primo, o número n é primo? Sim ATIVIDADE 04 O número é primo? M = Não é primo 23x89 M = Não é primo 3 2 x5x7x13 M = É primo 8191 M = Não é primo 3x43x127 M = Não é primo 7x31x151 M = Não é primo 3x5x17x257 M = É primo M = Não é primo 3 2 x151x193 M = É primo M = Não é primo 3x5 2 x11x31x41 Este é um ótimo momento para estimular o cálculo mental com os seus estudantes. Perceba que para todos os números que não são primos o Número de Mersenne também não o será e que mesmo que um número seja primo o seu número de Mersenne não será necessariamente primo. ATIVIDADE 05 O maior número primo analisando a tabela dos exercícios 3 e 4 é o Primo de Mersenne M 19 = ATIVIDADE 06 Esta atividade deverá ser realizada após a introdução da atividade Quantidade de dígitos de um número muito grande. Não há problemas em deixar algumas perguntas sem respostas. Na Matemática, há várias perguntas que estão sem resposta por séculos, milênios, as chamadas conjecturas. 5

6 O número acima, ou seja, o quadragésimo nono primo de Mersenne tem dígitos. ATIVIDADE 07-6