Pesquisa operacional (DCC035)

Transcrição

1 Pesquisa operacional (DCC035) Cristiano Arbex Valle

2 1 Introdução 2 Exemplo 3 Sub-áreas da Pesquisa Operacional 4 O curso Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 2 / 27

3 1 Introdução 2 Exemplo 3 Sub-áreas da Pesquisa Operacional 4 O curso Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 3 / 27

4 Introdução Pesquisa operacional (PO): É a aplicação de métodos anaĺıticos apropriados para auxiliar o processo de tomada de decisões. Métodos anaĺıticos envolvem a representação de problemas reais através de modelos matemáticos e o uso de métodos quantitativos (algoritmos) para resolve-los. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 4 / 27

5 Introdução Pesquisa operacional (PO): É a aplicação de métodos anaĺıticos apropriados para auxiliar o processo de tomada de decisões. Métodos anaĺıticos envolvem a representação de problemas reais através de modelos matemáticos e o uso de métodos quantitativos (algoritmos) para resolve-los. É uma área fortemente multidisciplinar, composta por: Matemáticos Cientistas da computação Estatísticos Engenheiros Economistas... Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 4 / 27

6 Introdução É um campo da matemática aplicada. Exemplos: Definição de escalas de pilotos, tripulação Gerenciamento de minas, desde a extração do minério até a exportação Tabela do Campeonato Brasileiro Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de bombeiros Definição das rotas dos caminhões de lixo Tratamento de câncer com quimioterapia / radioterapia Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 5 / 27

7 Introdução É um campo da matemática aplicada. Exemplos: Definição de escalas de pilotos, tripulação Gerenciamento de minas, desde a extração do minério até a exportação Tabela do Campeonato Brasileiro Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de bombeiros Definição das rotas dos caminhões de lixo Tratamento de câncer com quimioterapia / radioterapia Otimização: em problemas onde existem inúmeras soluções possíveis, encontrar a melhor dentre elas. A solução ótima depende do critério de avaliação escolhido e das características do problema. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 5 / 27

8 Introdução Em inglês: Operational research, Decision science, Management sciences. PO pode ser considerado um ramo da Data science... o que fazer com dados? Encontrar padrões, Fazer previsões, Tomar decisões (aqui se enquadra a PO). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 6 / 27

9 Introdução Em inglês: Operational research, Decision science, Management sciences. PO pode ser considerado um ramo da Data science... o que fazer com dados? Encontrar padrões, Fazer previsões, Tomar decisões (aqui se enquadra a PO). Uma abordagem matemática pode gerar soluções melhores para problemas de gerenciamento / planejamento, daí o nome Management science. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 6 / 27

10 História Ainda sem um nome formal, muitos trabalhos em PO foram desenvolvidos por indivíduos ao longo do tempo. Por exemplo, Charles Babbage (inventor do conceito de computador programável) estudou o custo do transporte e separação de cartas nos correios da Inglaterra em Este estudo contribuiu para transformar os correios no que conhecemos hoje (envelopes padronizados, selos pré-pagos, etc.). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 7 / 27

11 História A formalização do termo Operational Research ocorreu durante a 2 a Guerra Mundial. Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas, munição, remédios, etc). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 8 / 27

12 História A formalização do termo Operational Research ocorreu durante a 2 a Guerra Mundial. Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas, munição, remédios, etc). Na Inglaterra, passou-se a estudar métodos matemáticos para gerenciamento destes recursos. O termo foi cunhado e definido como um método científico para prover decisões baseadas em critérios quantitativos sobre os processos operacionais. Após o fim da guerra, PO se expandiu e passou a tratar problemas em diversas outras áreas, além da militar. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 8 / 27

13 1 Introdução 2 Exemplo 3 Sub-áreas da Pesquisa Operacional 4 O curso Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 9 / 27

14 Exemplo: O problema da dieta Em uma cidade pequena com um mercado bem limitado, temos apenas os seguintes produtos: Alimento Preço por porção Proteína (g) Vit. A (mg) Carne de boi R$ Soja R$ Leite R$ Devemos consumir pelo menos 8g de proteína por dia e 150mg de Vitamina A (valores totalmente fictícios). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 10 / 27

15 Exemplo: O problema da dieta Em uma cidade pequena com um mercado bem limitado, temos apenas os seguintes produtos: Alimento Preço por porção Proteína (g) Vit. A (mg) Carne de boi R$ Soja R$ Leite R$ Devemos consumir pelo menos 8g de proteína por dia e 150mg de Vitamina A (valores totalmente fictícios). O que comprar (e consumir) de forma que o nosso gasto seja o mínimo possível? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 10 / 27

16 Exemplo: O problema da dieta Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja e leite. Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar variáveis B, S e L. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 11 / 27

17 Exemplo: O problema da dieta Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja e leite. Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar variáveis B, S e L. Queremos gastar o mínimo possível, por isso gostaríamos de valores para as variáveis de forma que o valor da função 3B + 1.2S + 1.5L seja o menor possível. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 11 / 27

18 Exemplo: O problema da dieta Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja e leite. Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar variáveis B, S e L. Queremos gastar o mínimo possível, por isso gostaríamos de valores para as variáveis de forma que o valor da função 3B + 1.2S + 1.5L seja o menor possível. Temos que garantir que vamos consumir o mínimo recomendado de proteína e Vitamina A: 3B + 1S + 2L 8 (Proteína) 60B + 22S + 34L 150 (Vitamina A) Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 11 / 27

19 Exemplo: O problema da dieta Alimento Preço por porção Proteína (g) Vit. A (mg) Carne de boi R$ Soja R$ Leite R$ Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 12 / 27

20 Exemplo: O problema da dieta Alimento Preço por porção Proteína (g) Vit. A (mg) Carne de boi R$ Soja R$ Leite R$ Transformamos um problema da vida real em um modelo matemático: Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a 3B + 1S + 2L 8 (Proteína) 60B + 22S + 34L 150 (Vitamina A) B, S, L 0 Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 12 / 27

21 1 Introdução 2 Exemplo 3 Sub-áreas da Pesquisa Operacional 4 O curso Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 13 / 27

22 Sub-áreas PO é uma área extensa e que possui várias subáreas, algumas das áreas são mais antigas que a própria PO. Alguns exemplos: Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 14 / 27

23 Sub-áreas PO é uma área extensa e que possui várias subáreas, algumas das áreas são mais antigas que a própria PO. Alguns exemplos: Controle de inventário Também conhecido como controle de estoque. Manter itens em estoques custa caro. Não ter os itens na hora da venda significa perder o cliente. Há incerteza sobre demanda. Quando fazer compras para preencher o estoque? Quantos produtos comprar por vez? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 14 / 27

24 Sub-áreas Teoria de Filas Estudo da formação de filas O que vale mais a pena? Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores. Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 15 / 27

25 Sub-áreas Teoria de Filas Estudo da formação de filas O que vale mais a pena? Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores. Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores. Exemplo de aplicação: Canal de Suez. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 15 / 27

26 Sub-áreas Análise do caminho crítico Escalonamento de atividades e recursos. Questões críticas em um projeto: Qual o tempo previsto de duração? Posso realocar recursos para reduzir o tempo? Quanto tempo cada atividade vai durar? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 16 / 27

27 Sub-áreas Processos de Markov Estudo de processos estocásticos com certas características: Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de mudanças de um estado para o outro. Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e direcionar campanhas de marketing. Ex.: Divisão de mercado entre Apple x Android x Windows Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 17 / 27

28 Sub-áreas Processos de Markov Estudo de processos estocásticos com certas características: Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de mudanças de um estado para o outro. Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e direcionar campanhas de marketing. Ex.: Divisão de mercado entre Apple x Android x Windows Outras aplicações: Identificação de mudanças no humor do mercado (ex.: crises como a de 2008). Reconhecimento automático de voz. É base do algoritmo PageRank do Google, utilizado para definir quais páginas aparecem primeiro na busca. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 17 / 27

29 Sub-áreas Teoria de jogos Modelos matemáticos que estudam conflito e cooperação entre tomadores de decisão racionais. Aplicações em ciência poĺıtica, economia, biologia, esportes, etc. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 18 / 27

30 Sub-áreas Teoria de jogos Modelos matemáticos que estudam conflito e cooperação entre tomadores de decisão racionais. Aplicações em ciência poĺıtica, economia, biologia, esportes, etc. Exemplo: definição da estratégia de pit stops na Fórmula 1. Operational researchers build mathematical models which can crunch data on relative track positions, fuel consumption, tyre wear and weather conditions, along with a host of other factors. These computer models can run millions of scenarios simultaneously and find the strategies most likely to succeed (Fonte). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 18 / 27

31 Sub-áreas Programação linear Modela matematicamente problemas através de equações e variáveis lineares Possui um número enorme de aplicações práticas. Modelos possuem uma função objetivo, variáveis lineares e restrições. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 19 / 27

32 Sub-áreas Programação linear Modela matematicamente problemas através de equações e variáveis lineares Possui um número enorme de aplicações práticas. Modelos possuem uma função objetivo, variáveis lineares e restrições. Exemplo: O problema da dieta Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a 3B + 1S + 2L 8 (Proteína) 60B + 22S + 34L 150 (Vitamina A) Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 19 / 27

33 Sub-áreas Programação inteira Semelhante à Prog, Linear, mas algumas (ou todas) variáveis têm que ser necessariamente inteiras. Muito mais difíceis de resolver, do ponto de vista computacional, que modelos de Prog. Linear. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 20 / 27

34 Sub-áreas Programação inteira Semelhante à Prog, Linear, mas algumas (ou todas) variáveis têm que ser necessariamente inteiras. Muito mais difíceis de resolver, do ponto de vista computacional, que modelos de Prog. Linear. Modelam inúmeros problemas da vida real: Onde construir antenas de celulares Escala de trabalho de pilotos, médicos, etc. Planejamento de produção de uma fábrica Menor rota para veículos que devem fazer várias entregas Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 20 / 27

35 Sub-áreas Programação inteira Exemplo clássico: o problema da mochila N itens, cada um com valor v i e peso p i, i N. Sabendo que a mochila possui capacidade limitada, quais itens um ladrão deve roubar para maximizar o valor roubado? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 21 / 27

36 Sub-áreas Programação inteira Exemplo clássico: o problema da mochila N itens, cada um com valor v i e peso p i, i N. Sabendo que a mochila possui capacidade limitada, quais itens um ladrão deve roubar para maximizar o valor roubado? Na prática, a programação inteira fornece os melhores algoritmos para se resolver uma enorma gama de problemas difíceis. No caso do caixeiro viajante, ninguém bate a programação inteira. Projeto Concorde. Algoritmos exponenciais mas que em alguns casos funcionam bem na prática. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 21 / 27

37 Sub-áreas Programação quadrática Ocorre quando o objetivo do problema é representado por uma função quadrática. Exemplo clássico: o modelo de seleção de portfolios de Markowitz, que rendeu o prêmio Nobel de Economia ao autor. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 22 / 27

38 Sub-áreas Programação quadrática Ocorre quando o objetivo do problema é representado por uma função quadrática. Exemplo clássico: o modelo de seleção de portfolios de Markowitz, que rendeu o prêmio Nobel de Economia ao autor. Objetivo é encontrar o portfolio que minimiza a volatilidade. Figura : Em qual portfolio era melhor ter investido? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 22 / 27

39 Sub-áreas Programação não-linear E quando os problemas da vida real são representados por equações e desigualdades não lineares? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 23 / 27

40 Sub-áreas Programação não-linear E quando os problemas da vida real são representados por equações e desigualdades não lineares? Este é o caso mais difícil: muitas vezes não conseguimos nem garantir que encontraremos a solução ótima. Modela diversos problemas em Engenharia, Economia, etc. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 23 / 27

41 Sub-áreas Programação não-linear E quais as aplicações mais populares de programação não-linear hoje em dia? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 24 / 27

42 Sub-áreas Programação não-linear E quais as aplicações mais populares de programação não-linear hoje em dia? A maioria dos algoritmos de Machine Learning resolvem problemas não-lineares. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 24 / 27

43 1 Introdução 2 Exemplo 3 Sub-áreas da Pesquisa Operacional 4 O curso Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 25 / 27

44 DCC035 O curso aqui dado foca mais nas áreas de Programação linear (principalmente) e Programação inteira. Os professores do LAPO (Laboratório de Pesquisa Operacional) oferecem matérias mais avançadas na pós para aqueles interessados. Avaliações: 3 provas valendo 25 pontos cada. 1 ou 2 trabalhos práticos valendo 20 pontos. Listas de exercícios valendo 10 pontos. Total: 105 pontos Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 26 / 27

45 DCC035 Notas de aula serão disponibilizados e o material é suficiente para acompanhamento integral do curso. Em caso de interesse, alguns bons livros sugeridos: Guenin, Koenemman and Tunçel. A Gentle Introduction to Optimization. Papadimitriou and Steiglitz. Combinatorial Optimization. Chvátal. Linear Programming. Dantzig and Thapa. Linear Programming. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 27 / 27

46 DCC035 Notas de aula serão disponibilizados e o material é suficiente para acompanhamento integral do curso. Em caso de interesse, alguns bons livros sugeridos: Guenin, Koenemman and Tunçel. A Gentle Introduction to Optimization. Papadimitriou and Steiglitz. Combinatorial Optimization. Chvátal. Linear Programming. Dantzig and Thapa. Linear Programming. Não é necessário comprar livros, há muito recurso online bom. Exemplo: Optimization methods in Management Science Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional (DCC035) 27 / 27