1.3 modelagem e formas de representação de problemas

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1 1.3 modelagem e formas de representação de problemas Para obter soluções ótimas a Pesquisa Operacional se vale de modelagens, ou seja, estabelece modelos, normalmente matemáticos que representam a realidade estudada. Modelos são representações da realidade, mas a realidade normalmente envolve tal complexidade e quantidade tão grande de variáveis que não é possível, nem teria utilidade alguma um modelo que levasse em conta toda essa complexidade e número de variáveis. Dessa forma em Pesquisa Operacional consideramos um modelo matemático simplificado. Heloísio Caetano Mendes define um modelo matemático como uma representação ou interpretação simplificada da realidade, ou a interpretação de um fragmento de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais. Portanto um modelo pode ser mais ou menos complexo dependendo da realidade que representa. Contador afirma que podemos em geral construir modelos que são muito mais simples do que a realidade e ainda assim conseguir empregá-los para prever e explicar fenômenos com alto grau de precisão. Ele afirma ainda que o truque é achar as variáveis certas e a relação correta entre elas. Contador, citando Ackoff e Sasieni resume modelo como sendo uma representação simplificada da realidade devendo satisfazer a duas condições fundamentais: Ser simples de entender, resolver e aplicar, Fornecer uma representação completa e realista do problema real, incorporando apenas os elementos necessários para caracterizar sua essência. Três modelos são normalmente utilizados na maioria das ciências, e, portanto na Pesquisa Operacional: Modelos Icônicos; Modelos Analógicos e Modelos Simbólicos. Nos modelos icônicos as características relevantes dos objetos reais são representadas como se parecem, mas normalmente com mudança de escala, são, portanto imagens, daí o termo icônico. Um modelo de um carro de formula 1 em escala 1:30 colocado num túnel de vento é o exemplo da modelagem a qual nos referimos. Os modelos analógicos usam um conjunto de propriedades para representar outro conjunto de propriedade. O desenho das linhas do Metrô ou então o diagrama unifilar de uma instalação hidráulica são exemplos deste tipo de modelo. Os modelos simbólicos usam letras, numero e outros símbolos para representar as variáveis e suas relações. Redundam, portanto em expressões matemáticas, geralmente equações e inequações. A fórmula do movimento de um corpo em queda livre é um exemplo deste modelo É fácil de entender que os modelos icônicos são os mais difíceis de serem utilizados enquanto os modelos simbólicos são os mais fáceis. Frequentemente os três tipos são empregados em sequência. Os dois primeiros para uma primeira abordagem e consequente construção do último, que é então, utilizado a partir daí como ferramenta rotineira para o determinado problema. 9

2 Na Pesquisa Operacional procura-se sempre que possível estabelecer modelos simbólicos, não só porque são mais fáceis de manipular como também porque produzem quase sempre resultados mais exatos que os modelos icônicos e analógicos (Contador). Um exemplo simples de modelo simbólico poderia ser o seguinte: Sueli faz bonecas artesanais de pano. Cada uma das bonecas custa para ser feita, considerando materiais e mão de obra R$ 18,00 e ela as vende por R$ 30,00. Além disso, ela tem um custo fixo de R$ 96,00 por mês. Qual o modelo matemático que representa o lucro dessa operação? Considerando x o número de bonecas vendidas ao longo de um mês o modelo matemático seria o seguinte: = Perceba que poderíamos responder a questões a partir deste modelo, por exemplo: Caso Sueli venda 15 bonecas qual será o lucro mensal dela? = = $ 84,00 Quantas bonecas, no mínimo, Sueli deverá vender por mês para não ter prejuízo? Não ter prejuízo significa um lucro maior ou igual a zero, portanto: Evidentemente os problemas de Pesquisa Operacional não são tão elementares assim, são dotadas de uma maior complexidade, em especial pela introdução de restrições. Heloísio Caetano Mendes estabelece as seguintes etapas básicas para um projeto de Pesquisa Operacional: Formulação do problema, Construção do modelo e, Obtenção da solução. O mesmo autor apresenta um exemplo que deixa mais claro o processo e as dificuldades envolvidas: Considere que você tenha duas filhas em famílias diferentes: Débora Helena e Denise Maria. Se você pudesse planejaria sair com as duas ao mesmo tempo, e a todo tempo. Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras coisas) para sair todo dia. Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir quantas vezes ao mês sair com cada uma! Vamos chamar de x 1 a quantidade de vezes que você vai sair com a Débora por semana e x 2 a quantidade de vezes que você vai sair com a Denise, também por semana. Essas variáveis são chamadas (x 1 e x 2 ) são chamadas Variáveis de Decisão e são valores que representam o cerne do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente. 10

3 Veja que você pode sair quantas vezes quiser com cada uma das suas filhas. Entretanto existem alguns problemas: Débora é metida e gosta de lugares caros. Um passeio com elas custa R$180,00. Já Denise é mais simples, gosta de passeios mais baratos. Sair com ela custa só R$100,00. Por último, você tem um limite de gastos: no máximo R$ 800,00 por semana. Como fazer para garantir que você não se endivide? Perceba que se você sai com Débora x 1 vezes por semana você gastará 180x 1 reais por semana. Com Denise gastará 100x 2 reais por semana. Portanto, os seus gastos semanais limitados a R$ 800,00 seguem o seguinte modelo matemático: Essa é a função objetivo, aquilo que você tem que alcançar, balanceando os passeios com uma e com a outra. Perceba que existem inúmeras soluções possíveis para essa inequação, e qualquer uma seria válida se não tivéssemos restrições impostas. Nesse caso as restrições seriam nos tempos gatos nos passeios. Débora é mais sossegada, um passeio com ela dura apenas 2 horas, já Denise, mais agitada usa 4 horas do seu precioso tempo e você só tem 20 horas semanais disponíveis para esses passeios. Essas restrições matematicamente seriam expressas da seguinte forma: Claro está que o número de passeios é um valor maior ou igual a zero, não existe um número de passeios negativo. Portanto temos mais duas restrições: 0 0 Sua decisão será a obtenção do valor máximo do número de saídas com ambas as filhas e matematicamente corresponde à resolução do sistema de inequações: Evidentemente essa solução é um pouco mais complexa do que as soluções de um sistema convencional de equações. Na unidade II iremos ver como esses sistemas são resolvidos. 1.4 Campos de aplicação da PO: Técnicas e Métodos A Pesquisa Operacional serve fundamentalmente para resolver problemas. Existe um problema quando alguém: Deseja algo (objetivo). Dispões de alternativas para alcançá-lo, com diferentes probabilidades. Tem dúvidas quanto à linha de ação a escolher. Esses problemas são muito frequentes em Administração, seja ela em organizações públicas ou privadas, e dentre as muitas áreas que podem ser citadas elencamos: Análise de investimentos 11

4 Programação da Produção Planejamento Estratégico Controle de Projetos Alocação de Recursos Manutenção de Equipamentos Seleção de Equipamentos. Hillier e Lieberman na obra Introdução à Pesquisa Operacional mencionam o interessante exemplo de aplicação reproduzido abaixo, envolvendo a conhecida empresa de transporte FedEx. Exemplo de Aplicação da Pesquisa Operacional: A Federal Expres (FedEx) é a maior empresa de transporte expresso do mundo. Todos os dias, ela entrega 6,5 milhões de documentos, pacotes e outros itens nos Estados Unidos e em mais de 220 países e territórios ao redor do mundo. Em alguns casos, pode-se garantir a entrega dessas remesas até as 10h30 da manhã seguinte. As mudanças envolvidas no fornecimento desse serviço são estarrecedoras. Esses milhões de embarque diários têm que ser classificados um a um e direcionados para o local geral correto (usualmente por via aérea) e, então, devem ser entregues no destino exato (normalmente utilizando-se veículo motorizado) em um período surpreendentemente curto. Como tudo isso é possível? A pesquisa operacional (PO) é o motor tecnológico que propulsiona a empresa. Desde sua fundação em 1973, a PO ajudou na tomada de suas principais decisões de negócios, inclusive investimento em equipamentos, estrutura de rotas, cronograma, finanças e localização de suas instalações. Após ter literalmente creditada à PO a salvação da empresa durante seus primeiros anos, tornou-se habitual ter a PO representada nas reuniões de diretoria semanais e, de fato, vários dos diretores atuais provêm do destacado grupo de PO da FedEx. A FedEx acaba sendo reconhecida como uma empresa nível mundial. Rotineiramente ela se encontra no topo da lista anual das Empresas Mais Admiradas da Fortune Magazine. Ela também foi a primeira vencedora (em 1991) do prêmio hoje conhecido com INFORMS Prize, que é concedido anualmente para a integração efetiva e repetida da PO na tomada de decisão organizacional de maneira pioneira, variada, inovadora e duradoura. Saiba mais: Assista o filme Naufrago (Cast Away) que mostra a complexidade das operações da FedEx e a obcessão por alcançar resultados. A Pesquisa Operacional utiliza muitos modelos diferentes, sendo que podemos citar como principais os seguintes: Programação matemática (linear, não linear, inteira, dinâmica, geométrica e estocástica) Teoria das filas Teoria dos estoques Simulação Teoria dos grafos (que inclui PERT e COM) Teoria dos jogos Teoria da decisão Amostragem Regressões 12

5 Análise discriminante Séries temporais Neste material iremos nos ater ao principal destes modelos, a Programação Linear, que veremos na unidade II. Resumo: Nesta unidade vimos como a Programação linear nasceu a partir dos esforços dos aliados na Segunda Guerra Mundial para resolver os grandes problemas de logística (movimentação de tropas, equipamentos, alimentação, munições etc); a enorme falta de recursos necessários para a manutenção das forças militares e como isso foi em parte resolvido com a utilização de equipes multidisciplinares e do equacionamento lógico e racional. Pudemos verificar a importância atual da Pesquisa Operacional nas organizações modernas e como ela evoluiu a partir do enorme desenvolvimento da computação e das telecomunicações na segunda metade do século XX em diante. Por último verificamos como se comportam os modelos utilizados para a resolução de problemas e tomadas de decisões 13