Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Teste de hipótese com relação a média Teste de hipótese: relação entre os tipos de erro Aula de hoje Teste de hipótese: duas (casos 1, 2 e 3)

2 Caso 1: Suponha que a hipótese nula seja do tipo H 0 : X - Y que as populações tenham distribuição Normal e variâncias X 2 e Y 2 conhecidas. O teste é baseado na diferença das amostrais. Podemos definir a seguinte estatística: Z= X Y X Y Var [ X Y ] 1/ 2 Z tem distribuição Normal (0,1) pois assumimos que as populações possuem distribuição Normal.

3 Caso 1: A variância de Z é definida como: Var [ X Y ]= 2 X 2 Y n 1 n 2 As regiões críticas são: Z z se H 1 : X Y Z z se H 1 : X Y Z z /2 ou Z z /2 se H 1 : X Y Exemplo do Livro do Trivedi (pg. 707)

4 Caso 2: Suponha que a hipótese nula seja do tipo H 0 : X - Y que as populações tenham distribuição Normal e variâncias X 2 e Y 2 desconhecidas mas iguais ( X 2 = Y 2 ). Portanto usaremos a variância amostral. O teste é baseado na diferença das amostrais. Podemos definir a seguinte estatística: T = X Y X Y S 1 p 1 n 1 n 2 T tem distribuição t-student com n 1 n 2 2 graus de liberdade

5 Caso 2: A variância amostral conjunta das populações X e Y pode ser definida como: 2 2 n 2 1 S Y As regiões críticas são: S 2 p = n 1 1 S X n 1 n 2 2 T t se H 1 : X Y T t se H 1 : X Y T t / 2 out t /2 se H 1 : X Y Exemplo do Livro do Trivedi (pg. 708)

6 Caso 3 (Wilcoxon, Mann, Whitney test, non-parametric or distribution free test): Suponha que as distribuições das populações X e Y são desconhecidas. Queremos testar para todo x: H 0 : f X x = f Y x, H 1 : f X x = f Y x c onde c é uma constante positiva f X x f Y x c x

7 Assuma que duas amostras aleatórias de tamanhos n 1 e n 2 são coletadas de duas populações e chamadas de x 1, x 2,..., x n1 e y 1,y 2,..., y n2. Combine os dois conjuntos de amostras e ordene em ordem crescente. Assinale um rank 1, 2, 3,..., n 1 +n 2, para os n 1 +n 2 valores ordenados Exemplo: População X: 1, 7, 17 População Y: 3, 10, 25 Conjunto ordenado: 1, 3, 7, 10, 17, 25 r(1)=1, r(3)=2, r(7)=3, r(10)=4, r(17)=5, r(25)=6

8 Considere r(y i ) como sendo o rank da v.a. Y i e defina a estatística: n W = 2 i=1 r Y i A estatística W é uma soma de ranks. Se a hipóstese H 1 é verdadeira, então a função densidade de Y está deslocada para a direita. Logo as amostras de Y tendem a ter valor maior que as amostras de X e, portanto, a estatística W será maior do que sob a hipótese H 0. A região crítica será W > w 0

9 A distribuição de W sob H 0 pode ser obtida dado que: O total de amostras da população X é n 1 +n 2 O número total de maneiras de combinar os ranks a partir de n 1 e n 2 é dado por: n 1 n 2 n 2

10 Seja #(W=w) o conjunto de todas as combinações dos ranks de Y que somam w. Como cada uma das combinações tem a mesma chance, temos: P[W =w H 0 ]= W =w = # # n 1 n 2 n 2 O nível de significância é definido como: P [W w H 0 ] W =w n 1! n 2! n 1 n 2!

11 A distribuição F W (w) para valores pequenos de n 1 e n 2 pode ser obtida por métodos combinatoriais. Para n 1 >= 10, n 2 >= 10 e sob a hipótese H 0, pode-se mostrar que W tem distribuição Gaussiana com: E [W ]= n 1 n n Var [W ]= n n n n

12 Exercício do livro do Trivedi, pag. 711