Detecção de Clusters Espaciais Em Modelos de Regressão Poisson Duplo com Inflação de Zeros

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1 Detecção de Custers Espaciais Em Modeos de Regressão Poisson Dupo com Infação de Zeros José Cardoso Neto a, Luiz H. Duczma b, Max S. de Lima a and Letícia P. Pinto b a Universidade Federa do Amazonas, b Universidade Federa de Minas Gerais 1. Introdução Recentemente a Estatística Scan (Kudorff 1997) têm sido extendida para acomodar ajuste por covariáveis (Loh, 2007; Jung, 2009; Zhang and Lin, 2009) usando a regressão de Poisson. No entanto, na presença simutânea da sobredispersão e infação de zeros, esta Estatística apresenta um excessivo erro tipo I (Lima et a, 2013). Sem ajuste por covariáveis, Cançado et a (2014) propôs uma Estatística Scan para o modeo Poisson com excesso de zeros ZIP, Zhang et a (2012) desenvoveram esta estatística em modeos de mistura Poisson-Gamma para dados com sobredispersão e uma Estatística Scan simutânea para modeos com excesso de zeros e sobredispersão foi proposta por Lima et a, (2013). Geramente o ajuste por covariáve tem sido reaizado somente na média do modeo. No entanto, se uma covariáve está reacionada com a não ocorrência da doença e sua distribuição geográfica não é aeatória, pode-se detectar custers espaciais de regiões com pequenas taxas que não são interessantes e sua interpretação pode ser errônea. Esses custers podem ser expicados simpesmente pea distribuição espacia destas covariáveis. Por exempo, o não registro de casos de câncer de mama em cidades onde não existe mamógrafos. Por isso, Neste artigo, uma modeagem via Regressão de Poisson Dupo em dados com execesso e sobredispersão é proposta para construir uma nova Estatística Scan onde todos os parâmetros são ajustados por covariáveis. A estimação é reaizada via agortimo EM, a estatística de teste é ogarítmo da Razão de Verossimihança e a significância é avaiada usando o vaor-p Bootstrap- EM. Uma iustração do método é feita usando dados de casos de Haseníase no Estado do Amazonas-Brasi. autor correspondente: J., Cardoso Neto(jcardoso@ufam.edu.br) 353

2 2. Estatística Scan para o Modeo de Regressão ZIDP(µ, φ, p ) 2.1 O Modeo de Regress ao ZIDP(µ, φ, p ) Suponha que existam L ocaizações s e seja Y = (Y (s 1 ),..., Y (s L )), onde Y Y (s ) é a variáve aeatória que representa a contagem de casos de uma determinada doença em s com popuação em risco n e vaor observado y. O modeo proposto neste artigo é o de Regressão Poisson Dupo Infacionado de Zeros, denotado por ZIDP(µ, φ, p ), = 1, 2,..., L, o qua assume P (Y = y p, µ, φ ) = p + (1 p )f DP (0 µ, φ ) y = 0 (1 p )f DP (y µ, φ ) y = 1, 2,... (2.1) onde f DP (. µ, φ ) denota a função de probabiidade da distribuição Poisson Dupa aproximada por (veja Efron, 1986), f DP (y µ, φ ) = φ 1/2 Poisson(y ) exp φ 2 D (y, µ ) (2.2) em que D (y, µ ) é a função desvio do modeo Poisson(µ ). Os parâmetros p = (p 1,..., p L ), µ = (µ 1,..., µ L ) e φ = (φ 1,..., φ L ) são modeados através das funções de igação ogit(p ) = G γ, og(µ ) = B β e ogit(φ ) = H δ. Onde, (β, δ, γ) são os parâmetros da regressão, (B,H,G) são as correspondentes matrices do modeo e não, necessariamente, precisam ser distintas. Neste modeo, um zero ocorre com probabiidade p enquanto a outra parte envove uma distribuição Poisson Dupo, DP(µ, φ ), com probabiidade 1 p. 2.2 Estatística de Teste Suponha que os dados Y = (Y (s 1 ),..., Y (s L )) são modeados por um modeo de regressão ZIDP(µ i, φ i, p i ). Assuma que neste modeo o og(µ ) = B β+ogɛ se s Z, e og(µ ) = B β se s / Z. Onde Z é um conjunto de ocaizações espaciais candidato a custer. Para detecção do custer usamos o teste de hipóteses, H 0 : ɛ = 1, para toda zona Z Z contra H 1 : ɛ > 1 para aguma zona Z Z. Em que Z é o conjunto de todos os possíveis candidatos a custer. O parâmetro ɛ captura o risco reativo ajustado por covariáve para indivíduos dentro da zona Z comparado com os indivíduos fora de Z. O interesse é a detecção de custers com número de casos observados, significativamente, acima do esperado e procedemos da seguinte forma: Seja ˆθ 0 = ( ˆβ 0, ˆδ 0, ˆγ 0 ) o Estimador de Máxima Verossimihança para os parâmetros da regressão sob a hipótese nua e ˆɛ o estimador de Máxima Verossimihança de ɛ sob a hipótese aternativa 354

3 ta que sob H 0 teremos, ogit(ˆp 0 ) = Gˆγ 0, og(ˆµ 0 ) = B ˆβ 0 e ogit( ˆφ 0 ) = Hˆδ 0. Sob H 1, o vetor de coeficientes θ = (β, δ, γ) é fixado usando as estimativas sob o modeo nuo. Ou seja, sob o modeo aternativo com mudança na média teremos, ˆµ = exp B ˆβ0 + ogˆɛ = ˆɛe B β ˆ 0 s Z e ˆµ = e B β ˆ 0 s / Z. Neste caso os coeficiente das covariáveis que são usadas para ajuste da média, infação de zeros e sobredispersão, permanecem iguais mesmo para a varredura espacia de conjuntos distintos. A estatística de teste utiizada é D = max D Z. Onde, D Z = Z Z ogl Z (ˆθ 0, ˆɛ; y) ogl 0 (ˆθ 0, 1; y) com L Z (θ, ɛ; y) representando a verossimihança sob H 1 para uma particuar zona Z e L 0 (θ, 1; y) é a verossimihança sob H 0. Se ɛ = 1 teremos D Z = 0, caso contrário D Z = og eg ˆγ 0 + (1 + e H ˆδ0 ) 1/2 exp ˆɛe B ˆβ 0/(1 + e H ˆδ0 ) I(y = 0) s Z e G ˆγ 0 + (1 + e H ˆδ 0) 1/2 exp e B ˆβ 0 /(1 + e H ˆδ 0) + s Z(1 + e H ˆδ 0 ) 1 (y ogˆɛ e B ˆβ 0 (ˆɛ 1))I(y > 0). 2.3 Estimação dos parâmetros A estimação no modeo é reaizada usando o agoritmo EM (Expectation-Maximization). Para tanto, seja o vetor de variáveis atentes U = (U 1,..., U L ). Onde, U = 1 quando Y ocorre devido a um estado zero e U = 0 quando Y ocorre devido a um modeo Poisson Dupo. Então as verossimihanças aumentadas são, L a Z(θ; y, u) = s Z p u [(1 p )f DP (y µ, φ )] 1 u s / Z p u [(1 p )f DP (y µ, φ )] 1 u. L a 0(θ; y, u) = s p u [(1 p )f DP (y µ, φ )] 1 u. Marginamente Y ZIDP(µ, φ, p ). Para obter ˆθ 0 = ( ˆβ 0, ˆδ 0, ˆγ 0 ) maximizamos a função 0 a(θ, 1; y, u) = og La 0 (θ; y, u) usando o agoritmo EM: No passo E: Na k-ésima iteração substituimos u (k) por E(u y, θ (k) ), onde θ (k) = (β (k), δ (k), γ (k) ). No passo M: Na (k+1)-ésima iteração maximizamos 0 a(θ, 1; y, u(k) ) = E 0 a (θ, 1; y, u) y, θ(k) Esta maximização é reaizada via o agoritmo Newton-Rapshon Score de Fisher (NRSF), ta que θ (k+1) = θ (k) +I(θ (k) ) 1 S(θ (k) ). Onde, S(θ) é a função escore e I(θ) é a matirz de Informação de Fisher sob a hipótese nua. Na (k+1)-ésima 355

4 iteração maximizando a função a Z (ˆθ 0, ɛ; y, u (k) ) com respeito a ɛ obtemos, ˆɛ = ɛ (k+1) = s Z (1 u(k) )(1 + e H ˆδ 0 ) 1 y s Z (1 u(k) )(1 + e H ˆδ 0) 1 e B ˆβ Bootstrap-EM for p-vaue of the Spatia Scan proposed Agoritmo Bootstrap-EM para D. 1. Baseado nos dado reais y = (y 1,..., y L ) e matrizes de covariáveis (B, H, G), use o agoritmo EM e compute ( ˆβ 0, ˆδ 0, ˆγ 0 ) e ɛ. Derive o vaor observado de D e denote por ˆd Q. 2. Gere amostras bootstrap yq = (y1,q,..., y L,q ) de ZIDP(µ ( ˆβ 0 ), φ (ˆδ 0 ), p (ˆγ 0 )), = 1, 2,..., L. 3. Com base nos dados gerados em 2, use o agoritmo EM e compute os pseudos estimadores ( ˆβ 0, ˆδ 0, ˆγ 0). Derive o pseudo vaor de Dq e denote por ˆd b. 4. Repitindo os passos 2 e 3 para q = 1,..., Q 1 compute o p-vaor para D por p vaor p vaor (D) = 1 Q Q q=1 I( ˆd ˆd b ) 3. Apicação e discussões Nesta apicação utiizamos dados de novos casos de Haseníase em menores de 15 que ocorreram nos 62 municípios do Estado do Amazonas, Brasi Foram observados 190 novos casos com uma taxa de por habitantes. A média e variancia forma respectivamente and Em 30 municípios (48%) não foram registrados novos casos da doença. Na maioria dos municípios o teste para detecção da doença não é reaizado e por isso usamos a distância padronizada entre o i-ésimo município e a capita do estado Manaus (área desenvovida) como covariáve de ajuste para infação de zeros. Como a Haseníase é uma doença associada a condições de vida da popuação, usamos para ajuste na média o Índice de Vunerabiidade Socia do município(ivs). Nesta apicação, a sobredispersão é estimada sem o ajuste por covariáve. Após a apicação do método descrito na seção 2, obtivemos as estimativas β = ( , ), γ = ( , ), φ = e ɛ = O vaor-p observado foi e o custer detectado é apresentado na Figura Concusões Neste artigo foi proposta uma Nova Estatística Scan ajustada por covariáveis para detecção de custer espaciais em dados com sobredispersão e infação de zeros. Um 356

5 Figura 5.1: Custer detectado à esquerda; mapa de taxa de novos casos à direita agoritmo EM foi desenvovido para estimação dos parâmetros e a significância do custer foi avaiada via vaor-p Bootstrap. O resutado de nossa apicação sugere que a metodoogia proposta é bem efetiva na detecção do custer e pode ser facimente modificada para utiização em probemas de vigiância epidemioógica no espaço-tempo. References Cançado A., da Siva C. and da Siva M.(2013) A zero-infated Poisson-based spatia scan statistic. Submitted. Efron, B. (1986) Doube Exponentia Famiies and Their Use in Generaized Linear Regression, JASA., 81, Kudorff, M. (1997) A spatia scan statistic. Communs Statist. Theory Meth., 26, Lima, M. S. ; Duczma, L.H ; Cardoso Neto, J. ; Pinto, L. P.(2013). Spatia Scan Statistics for Modes with Overdispersion and Excess Zeros. Submitted. Meng, B.J., Zhu Z.(2007) Accounting for spatia correation in the Scan Statitics. The Annas of Appied Statistics, 2, Zhang, T., Lin, G. (2009) Spatia scan statistics in oginear modes Computationa Statistics and Data Anaysis, 53, Zhang, T., Zhang Z.; Lin G.,(2012) Spatia scan statistics with overdispersion. Statatistics Medicine, 2 (8):