EXPERIMENTOS DE POSICIONAMENTO DINÂMICO UTILIZANDO CONTROLE A ESTRUTURA VARIÁVEL E SERVOVISÃO

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1 EXPERIMENTOS DE POSICIONAMENTO DINÂMICO UTILIZANDO CONTROLE A ESTRUTURA VARIÁVEL E SERVOVISÃO Gustavo Jales Sokal, José Paulo V. S. da Cunha, Pedro Henrique Gouvêa Coelho Departamento de Eletrônica e Telecomunicações Faculdade de Engenharia Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rua São Francisco Xavier 524, sala 51E s: gsokal@uerj.br, jpaulo@ieee.org, phcoelho@uerj.br Abstract The design of a dynamic positioning system for a small boat based on variable structure control and visual-servoing is presented. Variable structure control was chosen in view of the switched operation of the motor drivers installed on the boat. The robustness of this control technique was also considered since the available dynamic model of the boat is uncertain. Computer vision techniques were used to measure the position of the boat from images taken with a webcam. This measurement system was chosen due to its good accuracy and low cost. Simulation and experimental results of discrete-time variable structure control are presented. An integral action is included in the variable structure controller in order to eliminate steady state errors. A discretetime asymptotic state estimator is applied to estimate the speed of the boat. The dynamic model and parameter identification of the boat are also presented to allow simulation and control system design. Keywords Dynamic positioning, Variable structure control, State observer, Visual servoing, Dynamic model. Resumo Neste artigo é apresentado o desenvolvimento de um sistema de posicionamento dinâmico para uma pequena embarcação baseado em controle a estrutura variável com realimentação por visão computacional. O controle a estrutura variável foi escolhido para facilitar o acionamento dos propulsores do barco e pela sua robustez a incertezas. A posição e a orientação do barco são medidas por visão computacional a partir de imagens capturadas por uma webcam, obtendo-se boa precisão e baixo custo. São apresentados resultados de simulações e experimentos com controle a estrutura variável em tempo discreto. Utiliza-se a integral do erro da posição visando eliminar o erro em regime. Para realizar o controle que demandaria o estado completo, foi utilizado um estimador de estado realizado em tempo discreto. A modelagem da dinâmica do barco e a identifição de seus parâmetros são desenvolvidas para simular e projetar o sistema de controle. Palavras-chave Posicionamento dinâmico, Controle a estrutura variável, Observador de estado, Servovisão, Modelo dinâmico. 1 Introdução Posicionamento dinâmico é o controle da posição e da orientação de uma embarcação por meio de propulsores. Sistemas de posicionamento dinâmico possibilitam operações de exploração de petróleo em regiões onde a utilização de plataformas fixas ou ancoradas seria impossível ou inviável. Neste artigo é apresentado o desenvolvimento de um sistema de posicionamento dinâmico de baixo custo para experimentos em laboratório. Durante o desenvolvimento do trabalho, optou-se por utilizar uma webcam como sensor de posição devido a sua boa precisão e ao baixo custo. Esta envia imagens capturadas a um microcomputador desktop, o qual por meio de scripts executados pelo Matlab processa as imagens e gera os sinais de controle. Esses sinais de controle são enviados ao circuito de acionamento dos propulsores para manter a posição do barco. Escolheu-se o controle a estrutura variável (variable structure control VSC) por ser de alto desempenho, imune a incertezas paramétricas e capaz de rejeitar perturbações. Outro fator que contribuiu para tal escolha foi o modo de acionamento chaveado dos propulsores instalados no protótipo. Para realizar o projeto do observador de estado aplicado no controle, foi necessário identificar alguns parâmetros da dinâmica do barco. Estes foram determinados por meio de uma série de testes onde os parâmetros foram ajustados para casar resultados de simulação com resultados experimentais. 2 Processamento de Imagem Para realizar o controle do barco, sua posição e orientação são medidas por meio de processamento de imagens capturadas por uma câmera de vídeo (webcam) posicionada sobre a área de trabalho. No trabalho (Sokal, 21) foi realizado o aprimoramento do algoritmo de processamento de imagem apresentado em (Amaral, 28) de modo a determinar com mais precisão o valor do ângulo de rumo (ψ), graças ao cálculo de momentos da imagem do barco. O algoritmo encontra-se dividido em cinco etapas. São elas: Aquisição da Imagem, Conversão para Imagem Binária, Classificação dos Objetos e, finalmente, Cálculo do Centróide e Orientação da imagem do barco. O fluxograma do algoritmo de processamento de imagem é ilustrado na Figura 1. Mais detalhes são apresentados em (Sokal, 21). ISSN: Vol. X 1161

2 CONTROLE AQUISIÇÃO DA IMAGEM CONVERSÃO PARA IMAGEM BINÁRIA CLASSIFICAÇÃO DOS OBJETOS coodenadas móvel, fixo no barco, é representado por x b O b y b ; o sistema estacionário é representado por x n O n y n ; e o ângulo de rumo é representado por ψ. Nesta figura pode-se ainda observar a disposição dos propulsores do barco, P1, P2 e P3. CÁLCULO DO CENTRÓIDE E ORIENTAÇÃO Figura 1: Fluxograma do algoritmo de processamento de imagem. 3 Modelagem da Dinâmica do Veículo O barco utilizado neste trabalho foi construído por Amaral (28) e possui um propulsor na popa e dois laterais. Os propulsores podem operar tanto no sentido direto como reverso. 3.1 Modelo da Dinâmica Segundo Fossen (22), a equação dinâmica genérica de um veículo marinho, considerando seus seis graus de liberdade (degrees of freedom DOF), pode ser representada pela Equação Cinética que considera as forças que provocam o movimento: M ν + C(ν)ν + D(ν)ν + g(η) = τ + w, (1) e pela Equação Cinemática que trata apenas os aspectos geométricos do movimento: η = J(η)ν, (2) na qual η = [ P et, Θ T T ; P e := [x, y, z T é a posição da embarcação em relação ao sistema estacionário; Θ := [φ, θ, ψ T contém os ângulos de Euler, também conhecidos como ângulos de atitude; ν = [ vo bt, T; ωbt nb v b O := [u, v, w T é a velocidade linear; e ωnb b := [p, q, rt é a velocidade angular. As velocidades são representadas no sistema de coordenadas móvel. 3.2 Modelo para Três Graus de Liberdade Neste trabalho serão desprezados os movimentos de arfagem (pitch), jogo (roll) e o movimento vertical (heave), pois para veículos que navegam sobre a água estes movimentos ocorrem com amplitudes bastante pequenas. Para adaptar o modelo (1) para os três graus de liberdade de interesse, é necessário redefinir os vetores posição e velocidade como η := [x, y, ψ T e ν := [u, v, r T. Os sistemas de coordenadas adotados são apresentados na Figura 2 (Fossen, 22, Seção 2.1). O sistema de Figura 2: Embarcação e os sistemas de coordenadas. Visando simplificar a modelagem dinâmica e adequar as equações (1) e (2) a um sistema de posicionamento dinâmico de uma pequena embarcação, foram feitas as seguintes considerações: Como a embarcação flutua na superfície, o termo gravitacional g(η) será desprezado; Uma vez que os experimentos foram realizados sem perturbações ambientais, estas (w) serão desprezadas; Os termos de aceleração centrípeta e de Coriolis C(ν)ν são desprezíveis para operações em baixa velocidade. Tem-se então um modelo bastante simplificado dado por (mais detalhes em (Sokal, 21)): M ν + D(ν)ν = τ, (3) η = R(ψ)ν, (4) sendo o vetor de controle τ = [F px, F py, M pz T e a matriz de rotação cos(ψ) sen(ψ) R(ψ) = sen(ψ) cos(ψ). (5) 1 4 Identificação dos Parâmetros do Sistema Foram desenvolvidos procedimentos para a determinação dos valores dos parâmetros hidrodinâmicos do barco e das características dos propulsores (Sokal, 21). Esses procedimentos foram inspirados em (Chen, 28), que usou filmagens de movimentos de um veículo submarino para a identificação dos seus parâmetros. Para realizar a identificação, a equação dinâmica (3) foi reescrita de ISSN: Vol. X 1162

3 forma mais conveniente: ν + C x (γ rc )V 2 rc C y (γ rc )V 2 rc C ψ (r)r 2 = M 1 τ, (6) na qual C x, C y e C ψ são os coeficientes de arraste hidrodinâmicos, V rc = u 2 + v 2 e γ rc = atan2(v,u) (Perez and Fossen, 29). 4.1 Identificação dos Coeficientes de Arraste Para identificar os coeficientes de arraste, foi gerado um polinômio para interpolar a posição do barco medida pela webcam em testes com propulsores desligados. Então, foi realizado o casamento dos resultados experimentais com simulações do modelo (4) e (6) com τ. Deste modo, os coeficientes de arraste hidrodinâmico podem ser obtidos a partir da equação C x (γ rc ) C y (γ rc ) C ψ (r) = u Vrc 2 v Vrc 2 ṙ r 2. (7) Os coeficientes de arraste dependem do ângulo γ rc conforme a Figura 3. Para o movimento de rotação, foram identificados valores distintos para o movimento no sentido horário (C + ψ =,8 rad 1 ) e anti-horário (C ψ =,55 rad 1 ) C (γ ) dx rc C (γ ) dy rc γ (graus) rc Figura 3: Gráfico dos coeficientes de arraste. 4.2 Identificação dos Parâmetros dos Propulsores e Inércias De modo análogo ao realizado para os coeficientes de arraste, foi feita a identificação dos parâmetros dos propulsores e da matriz de inércias por meio de polinômios gerados a partir da interpolação da posição do barco medida em experimentos em que alguns propulsores eram ligados. O arraste hidrodinâmico pode ser desprezado pois nestes experimentos, as velocidades eram muito baixas, de maneira que a equação (6) pode ser reescrita como sendo τ = BF p, B = ν = M 1 τ, (8) R p2x R p3x, (9) onde F p = [F p1, F p2, F p3 T. Na matriz B em (9), os elementos R p2x =,26m e R p3x =,926m são as coordenadas dos eixos dos propulsores P2 e P3 no eixo x b, respectivamente. Assumiu-se que a matriz de inércias é diagonal M = diag{1; 23;, 35}. Assim, foram identificados os coeficientes dos propulsores no sentido direto (F + pi ) e reverso (F pi ) apresentados na Tabela 1. Tabela 1: Valores dos coeficientes do propulsores. Propulsor Força (N) F p1 +,12 Fp1 -,42 F p2 + 1,4 Fp2 -,5 F p3 +,7 Fp3-1,2 5 Controle a Estrutura Variável O objetivo do VSC é garantir que o estado do sistema alcance este superfície e, após a superfície ter sido alcançada, deverá manter o estado nela. Uma característica marcante do VSC é que seu comportamento dinâmico não dependerá dos parâmetros internos do sistema nem de perturbações, uma vez que o modo deslizante tenha sido atingido, conforme (Utkin et al., 1999). A operação em modo deslizante apenas ocorrerá na região vizinha à superfície de chaveamento em que as trajetórias do estado apontarem para a superfície. Com isto, garantir a existência do modo deslizante é um fator crucial para o projeto de controladores VSC. 5.1 Projeto do Controlador VSC Para o projeto do controlador foi feita a linearização das equações dinâmicas (4) e (6) em torno de η = e ν =, onde η é o erro de posição, diferença entre a posição atual e a posição de referência. Isto é razoável, pois o barco operará apenas em baixas velocidades ν, de maneira que o arraste hidrodinâmico pode ser desprezado. Deste modo, o modelo dinâmico pode ser representado por [ η ν = y = [ I [ I [ η ν [ η ν [ + M 1 B F p,, (1) no qual o vetor de estado é x(t) := [ η T, ν T T e I é a matriz identidade. Para adequar o sistema ao procedimento apresentado em (DeCarlo et al., 1988), foi utilizada ISSN: Vol. X 1163

4 uma transformação do estado x = T 1 x com [ T 1 B2 =, B B 2 = M 1 B. (11) 2 Então, neste novo sistema de coordenadas, a dinâmica do sistema (1) será dada por [ [ I ẋ = x + F I p. (12) O projeto da superfície de deslizamento foi realizado segundo as técnicas apresentados em (DeCarlo et al., 1988). As superfícies de deslizamento são representadas como σ pi = S i x(t) =, (13) e determinam o comportamento de cada um dos propulsores utilizados. Para este trabalho as superfícies do sistemas foram projetadas segundo (DeCarlo et al., 1988), mais detalhes em (Sokal, 21). Para o sistema dinâmico (12) utilizou-se a seguinte lei de controle multivariável (i = 1, 2, 3): F pi, se σ pi >, F pi =, se σ pi =, (14) F + pi, se σ pi <. 5.2 Existência de Modo Deslizante Segundo Utkin et al. (1999), a existência de modo deslizante pode ser comprovada utilizando-se a função de Lyapunov cuja derivada é sendo, V = 1 2 σt σ, (15) V = σ T σ, (16) σ = Sẋ (17) σ T = x T S T. (18) Substituindo as equações (17) e (18) na equação (16), tem-se V = x T S T S(Ax + Bu). (19) Utilizando-se a norma Euclidiana para vetores e a norma induzida para matrizes, pode-se desenvolver a equação (19), V = x T S T SAx + x T S T SBu (2) x T S T SAx +x T S T SBu (21) S T SA x 2 + x T S T SBu. (22) Deseja-se que V <, logo x T S T SBu < S T SA x 2. (23) Para SB = I, assim como em (DeCarlo et al., 1988; Sokal, 21), a equação (23) pode, então, ser reescrita como x T S T u < S T SA x 2. (24) Substituindo a lei de controle (14) em (24) obtémse x T S T sgn(sx) < S T SA x 2, (25) na qual sgn(sx) = [sgn(σ p1 ), sgn(σ p2 ), sgn(σ p3 ) T e como consequência equivale à desigualdade Sx 1 < S T SA x 2, (26) que é satisfeita em alguma vizinhança de σ =. Assim, conclui-se que existe uma região onde é garantida a existência de modo deslizante. 5.3 Controle com Sinais Amostrados Como o sistema proposto neste trabalho faz uso de uma câmera para a medição da posição da embarcação, a informação da posição não estará disponível a qualquer instante, sendo necessária a implementação de controle com sinais amostrados. A câmera utilizada opera numa frequência de amostragem de 3 Hz. A amostragem dos sinais causou um erro de regime mais evidente no ângulo de rumo (ψ). Isto se deve ao fato de a taxa de amostragem utilizada não ser alta o suficiente para possibilitar a eliminação do erro em regime pelo controlador. Conforme apresentado em (Utkin et al., 1999, Capítulo 9), para reduzir o erro em regime em situações como esta, uma alternativa seria aumentar a taxa de amostragem do sistema. Entretanto, tal artifício não poderá ser utilizado neste trabalho pois a frequência de amostragem é imposta pela câmera utilizada. Em (Sokal, 21) foi incluído no controlador VSC a integral do erro de posição, que eliminou o erro em regime permanente. Com a inclusão da integral do erro, é necessário que seja redefinido o vetor de estado do sistema. Neste caso, o vetor de estado aumentado passa a ser definido como com x a (t) = [ ηi x(t), (27) η I = η. (28) A superfície de deslizamento para o estado aumentado é definida como sendo S I = S a = [ S I S, (29),1,3,5. (3) ISSN: Vol. X 1164

5 5.4 Observador Assintótico Uma vez que apenas a posição do barco (η) é medida, é necessário estimar a velocidade (ν) a fim de realizar o VSC. Para isto foi usado um observador em tempo discreto com dinâmica (Åström and Wittenmark, 1997) no qual ˆx(k + 1 k) = Φˆx(k k 1) + Γu(k)+ + L[y(k) Cˆx(k k 1), (31) Φ = e Ah, Γ = h e As dsb, (32) h é o período de amostragem e k Z é o tempo discreto. A matriz L de ganho do erro de observação é computada para posicionar os autovalores da equação de erro de estimação convenientemente dentro do círculo unitário no plano z. 6 Resultados Experimentais e de Simulação Inicialmente, assim como em (Amaral, 28), as velocidades do sistema foram estimadas por meio de uma aproximação em tempo discreto para a derivada da posição medida. Esse estimador de velocidade é dado por ˆν(k) = η(k) η(k 1) h, (33) sendo ˆν o vetor da velocidade estimada e η o vetor da posição medida. A Figura 4 apresenta os resultados obtidos em simulação e experimento em regime permanente. A Figura 5 apresenta os resultados obtidos em simulação e experimento em regime permanente quando se empregou o observador assintótico na realização do VSC. Nota-se que os erros de posição são menores quando se usa o observador assintótico do que os obtidos com a aproximação em tempo discreto para a derivada da posição medida, uma vez que esta amplifica mais o ruído de medição e introduz atrasos que causam chattering em sistemas VSC (Utkin et al., 1999). 7 Conclusões O sistema de posicionamento dinâmico desenvolvido apresentou boa robustez a variações de parâmetros, dinâmica não modelada (e.g., dinâmica dos propulsores) e perturbações (e.g., ondas geradas intencionalmente na piscina de testes). A precisão do posicionamento do barco foi satisfatória, conforme se pode observar nas Figuras 4 e 5. O controlador a estrutura variável se mostrou uma boa alternativa para o modelo utilizado nos experimentos, pois esta técnica de controle foi capaz de tornar o sistema imune a perturbações e incertezas paramétricas. Outro fator que contribuiu bastante para o uso do VSC foi o caráter chaveado do acionamento dos propulsores instalados no protótipo utilizado. O uso de visão computacional se mostrou uma boa alternativa para o controle de pequenos sistemas que necessitam de boa precisão de posicionamento com um custo relativamente baixo. A visão computacional foi utilizada, inclusive, na identificação dos parâmetros do modelo dinâmico do barco. O uso de estimação da velocidade por meio de uma aproximação em tempo discreto da derivada se mostrou adequado para sistemas que não necessitam de grande precisão, pois os resultados obtidos foram bastante razoáveis e esta técnica pode ser implementada de modo relativamente simples sem demandar o modelo dinâmico do barco. Caso seja necessário controlar a posição com mais precisão, uma boa alternativa é o uso de observador assintótico visto que os experimentos realizados com este estimador apresentaram uma melhoria significativa na precisão de posicionamento. No entanto, seu desenvolvimento requer o conhecimento da dinâmica do barco. Durante os experimentos, constatatou-se que o cabo umbilical que alimenta o barco e a assimetria da disposição dos propulsores prejudicaram significativamente o comportamento dinâmico do barco. Acredita-se que a adoção de um sistema wireless para envio dos sinais de controle ao barco, baterias para suprí-lo de energia e a inclusão de um modelo da dinâmica dos propulsores no projeto do controlador e do observador, possibilitarão resultados melhores que os apresentandos neste trabalho. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq, Faperj e CAPES. Referências Amaral, G. S. (28). Sistema de posicionamento dinâmico para um pequeno veículo flutuante, Projeto de Graduação em Engenharia Eletrônica UERJ, Rio de Janeiro. Disponível em PG-Posicionamento-Dinamico-28.pdf. Åström, K. J. and Wittenmark, B. (1997). Computer-controlled systems theory and design, Prentice Hall. Chen, H.-H. (28). Vision-based tracking with projective mapping for parameter identifica- ISSN: Vol. X 1165

6 ,2 Experimento Simulação X (m), ,4 Y (m),2, ψ (graus) Tempo(s) Figura 4: Resultados obtidos com o controle a estrutura variável realizado com a velocidade estimada por uma aproximação em tempo discreto para a derivada da posição medida. X (m) 1 x 1 3 Experimento 5 Simulação ,2 Y (m),1, ψ (graus) Tempo(s) Figura 5: Resultados obtidos com o controle a estrutura variável realizado com a velocidade estimada por observador assintótico. tion of remotely operated vehicles, Ocean Engineering 35: DeCarlo, R. A., Zak, S. H. and Matthews, G. P. (1988). Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial, Proceedings of the IEEE 76: Fossen, T. I. (22). Marine control systems: guidance, navigation and control of ship, rigs and underwater vehicles, Marine Cybernetics, Trondheim, Norway. Perez, T. and Fossen, T. I. (29). Kalman filtering for positioning and heading control of ships and offshore rigs, IEEE Contr. Sys. Magazine 29(6): Sokal, G. J. (21). Posicionamento dinâmico utilizando controle a estrutura variável e servovisão, Master s thesis, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Eletrônica, UERJ, Rio de Janeiro. Disponível em lee.eng.uerj.br/~jpaulo/pg/21/ MSc-Posicionamento-Dinamico-21.pdf. Utkin, V. I., Guldner, J. and Shi, J. (1999). Sliding mode control in eletromechanical systems, Taylor & Francis. ISSN: Vol. X 1166