ANÁLISE DE ERROS EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA INVESTIGAÇÃO COM ALUNOS DO 3º SEMESTRE DE CURSOS DE TECNOLOGIA

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1 ANÁLISE DE ERROS EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA INVESTIGAÇÃO COM ALUNOS DO 3º SEMESTRE DE CURSOS DE TECNOLOGIA Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos, Universidade Nove de Julho, Norma Suely Gomes Allevato, Universidade Cruzeiro do Sul, RESUMO O objetivo deste trabalho é apresentar uma descrição e análise dos dados obtidos em uma investigação que estudou, via Análise de Erros, como os alunos empregam conteúdos matemáticos na resolução de problemas da disciplina de Infraestrutura Elétrica. A metodologia de pesquisa foi de natureza qualitativa. A pesquisa de campo foi realizada com alunos de cursos de tecnologia de uma instituição particular de ensino superior. Considerou-se a concepção dada por Onuchic (1999) segundo a qual problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver. Para analisar os erros cometidos pelos alunos, nessas resoluções, adotamos a perspectiva de Bachelard (2004), em que o erro é uma etapa indispensável para a construção do conhecimento no processo de aprendizagem. Classificamos as soluções errôneas em três categorias, e a análise das respostas permitiu-nos conhecer as dificuldades matemáticas que os alunos encontram na resolução de problemas. Observamos que após a aplicação dessas tarefas e sua discussão com os alunos, sua postura mudou, passando a trabalhar mais sua habilidade analítica, e ganhando autonomia enquanto buscavam resolver os problemas. Palavras-chave: Educação Matemática, Ensino Superior, Resolução de Problemas, Análise de Erros. ABSTRACT The aim of this paper is to present a description and analysis of data obtained in an investigation that studied via analysis of errors how students employ mathematical contents to solve problems in the discipline of Electrical Infrastructure. The research methodology was qualitative. The field research was conducted with students of technology courses of a higher education private institution. We considered the conception given by Onuchic (1999) that "problem is everything that we do not know how to do, but are interested in doing. To analyze the mistakes made by students in those solutions, we adopted the perspective of Bachelard (2004), in which the error is a necessary step towards the construction of knowledge in the learning process. We sorted the wrong solutions into three categories, and the analysis of the answers allowed us to know the mathematical difficulties students have in solving problems. We observed that after the assignment of those tasks and the discussion with students, their behavior changed as they started working their analytical skills better and gained autonomy when they tried to solve the problems. Keywords: Mathematics Education, Higher Education, Problem Solving, Analysis of Errors.

2 Introdução Uma das tarefas mais executadas pelo homem é a resolução de problemas. Quando olhamos para o passado e mesmo no presente, observamos que estamos cercados de problemas. Investigações em Educação Matemática apontam a importância da Resolução de Problemas enquanto prática educativa no ensino de Matemática. Desse modo, o ensino de Matemática através de Resolução de Problemas vem crescendo, e este artigo focaliza um estudo desenvolvido em sala de aula utilizando essa metodologia, contribuindo para que o aluno deixe de trabalhar em um processo mecanizado de produção de resultados matemáticos, e construa novos conhecimentos. O estudo também considera a análise de erros nas soluções dos problemas matemáticos apresentados pelos alunos. Ela vem sendo empregada por muitos pesquisadores, com características diversas, dependendo do objeto de estudo. Não desejamos que esta análise seja confundida com procedimentos de avaliação somativa, visto que não foi atribuída nenhuma nota ou conceito. Em se analisando a resolução de uma tarefa ou problema, pode-se utilizar os erros cometidos pelos alunos como elementos de estudo para uma avaliação formativa e continua, ou melhor, compreender onde os alunos estão com dificuldades, criando, assim, subsídios para sanar suas dúvidas. Este artigo está estruturado com duas seções teóricas, em que discutimos alguns trabalhos já desenvolvidos sobre Resolução de Problemas e sobre Análise de Erros. Então apresentamos brevemente a metodologia empregada na pesquisa para, em seguida, descrever e analisar alguns dados construídos. Finalizamos o texto com algumas considerações finais e o artigo com as referências. Resolução de Problemas Ainda que a resolução de problemas seja um termo rotineiramente empregado entre professores de Matemática e pesquisadores em Educação Matemática, nem sempre está explícito como é concebido ou com que objetivo é empregado no ensino. 2

3 Escolhendo problemas para os alunos resolverem, o professor pode criar oportunidades de ensino em que os alunos podem, por meio de trocas de experiências em um determinado assunto, resolver problemas matemáticos complexos e aprender Matemática. Concordamos com Cai e Lester (2010) em que o termo resolução de problemas refere-se a tarefas matemáticas que têm o potencial de proporcionar desafios intelectuais para melhorar o entendimento e desenvolvimento matemático dos estudantes 1 (CAI; LESTER, 2010, p. 1, tradução nossa). A resolução de problemas exerce um papel importante no desenvolvimento das habilidades dos alunos. Pesquisas sobre ensino e aprendizagem através de resolução de problemas matemáticos vêm crescendo consideravelmente nos últimos anos, oferecendo sugestões valiosas para professores e elaboradores de currículo. Allevato (2007) entende que o termo "problema" é intrínseco ao cotidiano daqueles que lidam com a Matemática, mas, corriqueiramente, o sentido dado ao termo, é inconscientemente deturpado ou seu significado incompreendido. Pesquisadores como Cai e Lester (2010) entendem que Os problemas matemáticos que são verdadeiramente problemáticos e envolvem matemática significativa têm o potencial de fornecer os contextos intelectuais para o desenvolvimento matemático dos estudantes. No entanto, apenas "problemas que valem a pena" dão aos alunos a oportunidade de consolidar e ampliar o que eles sabem e estimular a aprendizagem de matemática. (CAI; LESTER, 2010, p. 1, tradução nossa) 2 Atualmente, entre as pesquisas em Educação Matemática, ainda há diferentes maneiras de conceber a Resolução de Problemas. Segundo o NCTM (2000) A resolução de problemas implica o envolvimento numa tarefa, cujo método de resolução não é conhecido antecipadamente. Para encontrar a solução, os alunos deverão explorar os seus conhecimentos e através deste processo desenvolvem, com frequencia, novos conhecimentos matemáticos. A resolução de problemas não só constitui um objectivo da aprendizagem matemática, como é também um importante meio pelo qual os alunos aprendem matemática. (NCTM, 2000, p. 57) 1 to mathematical tasks that have the potential to provide intellectual challenges for enhancing students mathematical understanding and development. (CAI; LESTER, 2010, p.1) 2 Mathematical problems that are truly problematic and involve significant mathematics have the potential to provide the intellectual contexts for students mathematical development. However, only worthwhile problems give students the chance to solidify and extend what they know and stimulate mathematics learning. (CAI; LESTER, 2010, p. 1) 3

4 Para Onuchic (1999) problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver (ONUCHIC, 1999, p. 215). A autora defende o ensino através da resolução de problemas, em que os problemas passam a ser ponto de partida e os professores devem fazer conexões entre diferentes ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. Desse modo, entende que o ponto de partida das atividades matemáticas não é a definição, mas o problema (ONUCHIC, 1999, p. 215). Pesquisas desenvolvidas por Onuchic (1999), Onuchic e Allevato (2005, 2011) indicam que resolução de problemas é um dos bons caminhos para se aprender Matemática, mas em geral se utiliza resolução de problemas apenas como aplicação do que se aprendeu e de conhecimentos anteriores. Onuchic (1999) comenta que não há melhor intervenção que se possa realizar ao processo de aprendizagem do que o esforço em constituir um professor bem formado, conhecedor do conteúdo e hábil, pois é ele que exerce influência sobre os alunos. Especificamente no caso do professor de Matemática, isso inclui ter consciência do papel fundamental que a Resolução de Problemas exerce na aprendizagem matemática. Entretanto, o modo de incorporar a Resolução de Problemas a fim de que promova uma aprendizagem significativa, ainda não é óbvio para professores de Matemática. Onuchic (1999) aponta, também, que os trabalhos realizados com Resolução de Problemas, muitas vezes, não chegam às salas de aula, ficando restritos aos ambientes acadêmicos. Consoante às concepções aqui discutidas, consideramos, portanto, que o trabalho de ensino de Matemática deve acontecer em uma atmosfera de investigação orientada em resolução de problemas (ONUCHIC, 1999). Análise de Erros No dia a dia, a mais comum reação diante de um erro é negativa. O fato de cometer um erro é frustrante e se tenta evitar essa experiência negativa, de forma que muitas pessoas preferem não tentar, a se arriscar a errar. O sentimento negativo expresso pelo erro é muitas vezes generalizado entre as pessoas, trazendo frustração. 4

5 As pessoas tendem a perder a paciência ou mesmo se desapontam quando cometem erros, especialmente se elas mesmas são vitimas desses erros. Entretanto, os erros são inevitáveis em qualquer processo de aprendizagem. Um ditado popular muito conhecido é só se aprende errando. Mas podemos ter algumas interpretações e uma delas é a de que se aprende para não errar novamente, e que devemos entender onde erramos para melhorar nosso entendimento. Podemos atribuir um fator positivo ao erro, utilizando-o para estimular o pensamento ou uma exploração original na Matemática e, assim, produzir um entendimento mais aprofundado do que se pretende ensinar. Há várias formas de entender o erro e, geralmente, os professores são inclinados a ver o erro cometido apenas como um elemento negativo. Quando buscamos analisar os erros realizados pelos alunos, estamos interessados em entender e compreender suas dificuldades de aprendizagem, apoiando-os para superar esses erros. Borasi (1987) argumenta que os erros podem ser utilizados para impulsionar a compreensão de forma mais completa acerca do conteúdo matemático, como um caminho para incentivar o pensamento crítico sobre conceitos matemáticos, como trampolins para a resolução de problemas, e para motivar a reflexão e a pesquisa sobre a natureza da Matemática. A autora apontou para a necessidade de repensar o papel dos erros no ensino da Matemática, com o propósito de fazer pleno uso do seu potencial educativo. Para Bachelard (2004), o erro é uma etapa indispensável para a construção do conhecimento no processo de aprendizagem. Assim, o conhecimento é o alinhamento de passos anteriores. Ele entende que o conhecimento novo projeta uma luz recorrente sobre o conhecimento antigo, e defende o caráter positivo do erro, pois é por meio da retificação sucessiva de erros que o pensamento busca a verdade. Torre (2007) explana que, não raro, se crê que para assegurar o sucesso do aluno há a necessidade de evitar o erro, entendendo que ele corresponde a uma inadaptação prejudicial à aprendizagem, devendo ser punido. No entanto, se aceitarmos o erro como um aliado, aumentaremos as chances de amparar os alunos na aprendizagem da Matemática. Para ele, o erro é uma variável concomitante ao processo educativo, porque não é possível avançar em um longo e desconhecido 5

6 caminho, sem se equivocar. Não há aprendizagem isenta de erros (TORRE, 2007, p. 28). Torre (2007) aborda este aspecto denominando-o de enfoque didático do erro, que consiste em sua consideração construtiva e, inclusive, criativa dentro dos processos de ensino-aprendizagem. Segundo o autor, existem três categorias de erro, sendo elas: (1) Erros de Entrada ou relativos ao desequilíbrio de informação, que se relacionam com os erros no plano das intenções ou das percepções da informação; (2) Erros de Organização, que se referem ao modo como cada sujeito organiza os dados para dar a resposta que lhe é solicitada; e (3) Erros de Execução: ocorrem no uso de processos mecânicos ou lapsos de linguagem, equívocos operacionais, distrações ou de estratégia. Essas categorias podem auxiliar tanto alunos como professores, nos processos de ensino e aprendizagem da Matemática. Além disso, Cury (2007) questiona se os erros evidenciam o que realmente um aluno não sabe; e se os acertos são mesmo evidência do que ele sabe. Também Borasi (1996) comenta que a análise a respeito de um erro tende a encaminhar o aluno a ampliar suas atividades nos diferentes graus de abstração, como: cumprimento de uma tarefa, processo de aprender uma técnica e perceber o significado a respeito da natureza da Matemática. Além disso, Borasi (1985) comenta que explicar porque está errado e corrigir, motivando os alunos com perguntas, é muito importante para o ego do aluno, que se sentirá mais motivado a buscar novos conhecimentos. Em qualquer um desses níveis, podemos trabalhar o erro para atenuá-lo, para alcançar novos conhecimentos ou para promover novas investigações. Uma análise mais detalhada desses aspectos ligados ao erro e dos autores citados nesta seção, pode ser encontrada em Bastos e Allevato (2011). Metodologia e Procedimentos Metodológicos A pesquisa apresentada no presente trabalho é de caráter qualitativo e se alinha pela necessidade de aproximação e familiarização com os sujeitos e com a situação a ser desenvolvida. Nesta pesquisa, o contato com os sujeitos foi bastante estreito e frequente, com a intenção de observá-los e de coletar material produzido por eles, 6

7 relacionado ao tema de investigação: a análise dos erros matemáticos na resolução de problemas da disciplina de Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores. Os autores Bogdan e Biklen (1994) asseguram que a pesquisa qualitativa encaminha o pesquisador a compreender as perspectivas dos sujeitos participantes. Ela nos mostra situações que ocorrem durante o processo de investigação que, com frequência, ficam invisíveis aos observadores externos. Decorre, então, a necessidade de imersão do pesquisador no ambiente pesquisado; A interpretação não é um ato autônomo, nem é determinada por nenhuma força particular, humana ou não. Os indivíduos interpretam com o auxilio das outras pessoas do passado, escritores, família, figuras da televisão e pessoas que se encontram nos seus locais de trabalho e divertimento -, mas estas não o fazem deliberadamente. Os significados são construídos através das interações. (BODGAN; BIKLEN, 1994, p. 55). Neste tipo de pesquisa, o investigador não é neutro, pois interpreta os dados coletados, segundo pressupostos teóricos que assume e segundo sua visão de mundo. Aplicação dos Instrumentos de Pesquisa Na pesquisa de campo, aplicou-se uma seqüência de quatro situações problemas, e para este trabalho utilizamos o problema 2. Nesse problema os alunos foram desafiados a elaborar 3 perguntas que pudessem ser respondidas com os dados do problema, e responder a uma delas. Os sujeitos desta pesquisa foram alunos dos cursos de Tecnolologia em Redes de Computadores e de Formação Específica em Gestão de Ambientes Internet e Redes de Computadores de uma instituição particular de ensino superior da cidade de São Paulo, matriculados na disciplina de Infraestrutra Elétrica para Redes de Computadores, ministrada pelo pesquisador que é também professor das turmas investigadas. Os encontros para sua realização aconteceram dentro da carga horária e durante as aulas regulares da disciplina. O sentimento de vários desses estudantes universitários quando se trata dessa disciplina que aborda elementos de eletricidade, é de que não veem aplicação do conteúdo ministrado em suas práticas diárias. Buscamos, então, através de Resolução de Problemas, inserir o conteúdo da disciplina em problemas aplicados, e analisamos 7

8 os erros matemáticos cometidos por esses alunos. Procedemos à aplicação de alguns problemas que foram por nós desenvolvidos, de acordo com o objetivo de cada aula. As resoluções dos problemas ainda se encontram na fase de análise. No problema que será analisado a seguir, o objetivo era de que fosse um problema gerador, ou seja, desencadeador do processo de compreensão e da formalização dos conceitos de carga elétrica, e da relação entre carga e corrente elétrica. O conceito de carga elétrica é útil na resolução de problemas na área das tecnologias da informação, ao se projetar as instalações elétricas necessárias. Após a aplicação em sala de aula, em um segundo momento, avaliamos e analisamos a aprendizagem realizada, através da análise dos erros apresentados. O problema gerador apresentado aos alunos contém instruções de como proceder, conforme a seguir: QUE QUESTÕES VOCÊ PODE RESPONDER? Problemas apresentados na forma de situações que contém dados numéricos. Os alunos deverão dar origem a uma lista de questões (mínimo 4) que podem ser respondidas, baseado nas informações do problema e fornecendo pelo menos uma resposta completa para uma das questões. Uma grande fabricante de eletroeletrônicos, que se utiliza de monitores de raios catódicos, decidiu reduzir a produção desse tipo de produto. Tal medida se deu pelo relatório apresentado pelo seu diretor de tecnologia. Dentre as diversas informações contidas no relatório estavam às seguintes: Monitor SVGA 14 Descrição Técnica Corrente elétrica num feixe de elétrons 200 A Tempo em que os elétrons demoram a atingir a tela 1segundo Numero de elétrons que golpeiam a tela elétrons DDP Volts ~ As informações tinham dois objetivos específicos: o de dar encaminhamento para que os alunos partissem de conhecimentos já adquiridos anteriormente (conceitos de carga, corrente elétrica, prefixos de base 10) e ajudá-los a relacionar estes conhecimentos com o contexto específico do problema, ou seja, preparar questões que pudessem ser respondidas com as informações contidas no problema e a partir de seus conhecimentos prévios. 8

9 A dinâmica do trabalho se deu seguindo os procedimentos apresentadados por Allevato e Onuchic (2008), e que consiste nas seguintes etapas: cada aluno recebeu uma cópia do problema a ser trabalhado; após a leitura individual foram organizados em grupos de 3 alunos e alguns poucos em duplas; os alunos discutiram o problema, resolveram o problema, entregaram a solução por escrito e expuseram suas resoluções na lousa; em seguida, sob a condução do professor, foi feita a discussão das resoluções em plenária, ou seja, com toda a turma. Desse ponto em diante, o professor realiza a formalização matemática do conteúdo, apresentando aos alunos as teorias, fazendo as devidas observações com relação ás regras, apresentando os métodos e as fórmulas, com rigor e respeito às convenções matemáticas. A Figura 1, abaixo, nos apresenta uma resolução em que a solicitação do problema foi cumprida. Figura 1: Resposta Correta do Problema 2 Alguns alunos resolveram de forma parcial e uns poucos entregaram em branco. A Figura 2 apresenta um desses trabalhos, em que o grupo elaborou apenas uma pergunta do problema e, ao responder, cometeu um erro com relação ao prefixo. Figura 2: Resposta do Problema 2 - Erro de Execução 9

10 Para a resolução do problema na forma correta, os alunos deveriam utilizar o prefixo (conjunto de letras utilizadas para expressar valores numéricos na base 10), que está logo após o número 200, e que é a letra grega micro (µ), equivalente a A resposta aceitável seria R = 220/( ), portando R = 1, No segundo cálculo, teríamos exatamente a metade, ou seja, R = 110/( ), portando R = 0, Com base em aspectos teóricos ligados á análise de erros, passamos a analisar a tarefa entregue, segundo as indicações fornecidas pela resolução apresentada pelos alunos para o problema, e por meio das observações realizadas em sala de aula, durante sua realização. Esse caso se enquadra na terceira categoria comentada por Torre (2007), ou seja, trata-se de um Erro de Execução, uma vez que o grupo cometeu um equivoco operacional, ou se distraiu. Na Figura 3, abaixo, apresentamos uma resposta que diverge do que foi solicitado pelo problema, pelo fato de o grupo ter elaborado perguntas que não poderiam ser respondidas com os dados fornecidos. Nesse caso, entendemos que este tipo de erro está relacionado ao que Torre (2007) categorizou de Erros de Entrada ou relativos ao desequilíbrio de informação, estando relacionados com os erros no plano das intenções, por haver uma distância entre o que foi perguntado e o que foi respondido, ou uma falha nas percepções das informações fornecidas pelo problema. Figura 3: Resposta do Problema 2 Erros de Entrada 10

11 Com relação aos dados analisados do problema 2, não conseguimos identificar, dentro das respostas fornecidas pelos alunos, nenhum tipo de erro que se enquadrasse na categorização descrita por Torre (2007) como Erro de Organização. Considerações Finais Dentro do que nos foi possível dentro dos limites deste trabalho, procuramos, nesta comunicação, discorrer sobre o uso da Resolução de Problemas e da Análise de Erros na investigação em Educação Matemática, utilizando resultados parciais de uma pesquisa em desenvolvimento, em que a análise das respostas dos alunos e sua categorização se encontram em desenvolvimento. A análise das respostas fornecidas pelos alunos permitiu-nos refletir sobre como esses alunos trabalharam com a metodologia de ensino através da Resolução de Problemas, e conhecer um pouco mais sobre as dificuldades que alguns desses alunos enfrentaram na realização dessa tarefa, que envolveu conhecimentos sobre carga elétrica, corrente elétrica e prefixos matemáticos de base 10. As observações realizadas nos permitem afirmar que os alunos participantes dessa pesquisa se engajaram de maneira muito ativa no trabalho de resolução do problema, tanto nos pequenos grupos quanto na plenária. Nesse momento, em que analisamos os resultados dessa investigação sobre o ensino através da Resolução de Problemas e Análise de Erros, refletimos sobre a viabilidade da utilização em sala de aula da prática realizada nesta pesquisa. Particularmente, gostariamos de contribuir com mais um caminho para o ensino de Matemática e Eletricidade no Ensino Superior. Finalizamos este trabalho almejando proporcionar, àqueles que compartilham conosco da busca por novas possibilidades de ensino, a alternativa do ensino de Matemática através da Resolução de Problemas e da Análise de Erros. Cremos que esta forma de ensino possa colaborar para uma aprendizagem mais efetiva e significativa. 11

12 Referências ALLEVATO, N. S. G. Diferentes Tipos de Problemas no Desenvolvimento de Diferentes Habilidades de Pensamento. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte: Uni-BH, p CdRom. ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org.) Educação Matemática: Pesquisa em Movimento. São Paulo: Cortez, 2005, p Ensinando Matemática na Sala de Aula através da Resolução de Problemas, Boletim Gepem, Rio de Janeiro, Ano XXXIII, n.55, p.1-19, jul./dez Disponível em Acesso em: 20 de junho de Pesquisa em Resolução de Problemas: Caminhos, Avanços e Novas Perspectivas. Bolema, São Paulo, v. 25, n. 41, p.73-98, dez BACHELARD, G. Ensaio sobre o conhecimento aproximado. Rio de Janeiro: Contraponto, BASTOS, A. S. A. M.; ALLEVATO, N. S. G. Análise de Erros: Perspectivas nos Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática. In: LOPES, C. E.; ALLEVATO, N. S. G. (Org.). Matemática e Tecnologias. São Paulo: Terracota, 2011, p BODGAN, R. C; BIKLEN, S. K. Investigação Qualitativa em Educação. Porto, Portugal, Porto Editora Ltda, BORASI, R. Using Errors as Springboards for the Learning of Mathematics: an Introduction. Focus on Learning Problems in Mathematics, v.7, n. 3-4, p. 1-14, Students Constructive Uses of Mathematical Errors: A Taxonomy. American Educational Research Association, San Francisco, CA, Reconceiving mathematics Instruction: a focus on errors. Norwood, NJ: Ablex Publishing Corporation, CAI, J; LESTER, F. Why Is Teaching With Problem Solving Important to Student Laerning. Disponível em Acesso em: 12 de janeiro de CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica,

13 NCTM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Tradução de Magda Melo. 2. ed. Lisboa: Associação Portuguesa de Matemática, ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, p TORRE, S. Aprender com os erros: o erro como estratégia de mudança. Porto Alegre: Artmed,