Pesquisa sobre o teorema da amostragem. 1. Introdução

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1 1. Introdução Pesquisa sobre o teorema da amostragem A teoria da amostragem estuda as relações existentes entre uma população e as amostras selecionadas a partir dessa população. Ela é extremamente útil para avaliação de grandezas desconhecidas da população, ou para determinar se as diferenças verificadas entre duas amostras são significativas ou se são mero acaso. A amostragem consiste em selecionar parte de uma população e observá-la com vista a estimar uma ou mais características para a totalidade da população. Sondagem de opinião publica e inspeção de mercado são exemplos de processos de amostragens. As fases que compõem a amostragem passam pela identificação dos dados que deverão ser buscados e o instrumento a se utilizar para essa tarefa, o passo seguinte consiste em definir um processo de amostragem adequado aos dados e ao instrumento que efetuará a análise. No processo de coleta de dados é necessário desenvolver um processo que assegure a confiabilidade desses dados. Torna-se necessário que se estabeleça um plano de amostragem de acordo com a população a ser analisada e com um processo adequado de administração do trabalho. O plano de amostragem deverá começar pela determinação do nível de extensão no qual o processo de amostragem deverá ser conduzido. Os parágrafos anteriores são necessários para que seja possível estabelecer uma relação entre a teoria da amostragem e o teorema da amostragem que será apresentado na íntegra na sessão Teorema da amostragem. Para o completo entendimento do teorema da amostragem é necessário um compreendimento básico sobre sinais, que serão apresentados nos próximos parágrafos. Conforme HSU (2008), sinal é uma função que representa uma variável ou quantidade física que contém informações sobre um comportamento ou natureza do fenômeno. Na Figura 1 é possível observar dois tipos de sinal, sendo o primeiro contínuo e o segundo discreto. Um sinal é contínuo se t for contínuo. Se x(t) for discreto, isso que dizer que x(t) é um sinal de tempo discreto (HSU, 2008). 2. Teorema da amostragem Figura 1- Sinal contínuo (a) e Sinal discreto (b) A essência do teorema da amostragem consiste basicamente na conversão de um sinal analógico em uma seqüência de amostras espaçadas geralmente de forma uniforme no espaço de tempo. É importante que a taxa de amostragem permita a representação do sinal original sem perdas e que seja possível a reconstrução deste sinal a partir das amostras obtidas (HAYKIN & MOHER, 2008).

2 A Figura 2 apresenta a estrutura básica do enlace TDMA (Time Division Multiple Access), tecnologia utilizada em redes de celulares digitais. Nessa figura é possível observar que a primeira etapa realizada no processo é a amostragem da voz e como etapa final esta o processo de reconstrução do sinal. Esse exemplo ilustra com clareza a definição realizada por HAYKIN e MOHER. Figura 2- Diagrama básico de um enlace TDMA. A transformação de um sinal contínuo em um sinal discreto no tempo é realizada pela teoria da interpolação, teoria originária da matemática utilizada em comunicação por Claude Shannon (RUSCHELT, 1996). Conforme Ruschelt (1996), um sinal limitado em freqüência pode ser transmitido utilizandose apenas amostragens desde que essas representem o sinal original de forma a ser possível a reconstrução do sinal original. A Figura 3 ilustra os conceitos anteriormente definidos por Ruschelt e observando-se a figura é possível dizer que 10 amostras são suficientes para representar o sinal original. Transmitir a informação sem o uso de amostragens tornaria talvez inviável os sistemas de comunicação atuais, e isso se justifica pelo grande número de informações pertencentes a um sinal em nível original.

3 Figura 3- Amostragens por pulsos Conforme Haykin e Moher (2008), em muitos casos é interessente a aplicação de filtros antes do processo de amostragem. Essa afirmação se confirma em sistema sonoros, uma vez que uma determinada parte do sinal não é audível ao ser humano, sendo assim, não faz sentido transmiti-las. 3. Determinação do período de amostragem Para facilitar a compreensão, pode-se pensar no sinal como o gráfico da variação da tensão elétrica gerada pelos captadores da guitarra em função do tempo. Para que seja possível o processamento do sinal, é necessário que seja criada uma "tabela" de valores de tensão elétrica a cada instante de tempo para que o computador possa fazer os cálculos relativos ao processamento. Como o sinal de entrada é uma função contínua (ou seja, o gráfico é uma linha contínua, não tem "buracos"), ele possui muita informação, de modo que se faz necessário criar a "tabela" de alguns valores de tensão em determinados instantes de tempo. Este processo de leitura dos valores de tensão a cada intervalo de tempo é chamado amostragem. Este intervalo de tempo é chamado de período ou intervalo de amostragem (Ta). A frequência de amostragem (Fa) é o inverso do período de amostragem, ou seja: Fa = 1/Ta, com Fa em Hz e Ta em s. De maneira simplificada, pode-se dizer que a relação acima define uma regra que determina o intervalo de freqüência ideal para que um sinal seja amostrado e recuperado sem perda da informação, ou seja, a freqüência da amostragem deve ser no mínimo o dobro da maior freqüência contida no sinal. A metade da freqüência de amostragem é chamada freqüência de Nyquist e corresponde ao limite máximo de freqüência do sinal que pode ser reproduzido. Como o sinal analógico é contínuo no tempo e em nível, contém uma infinidade de valores. E como o meio de comunicação tem banda limitada, somos obrigados a transmitir apenas uma certa quantidade de amostras deste sinal, como enunciado anteriormente no Teorema de Nyquist. É óbvio que quando maior a freqüência de amostragem, mais fácil será reproduzir o sinal, mas haverá desperdício de banda ocupada sem nenhuma melhoria na qualidade. A figura 4 ilustra os princípios da amostragem:

4 Figura 4- Princípios da Amostragem O circuito que permite amostrar o sinal é uma simples chave que se fecha por um brevíssimo instante, na cadência da freqüência de amostragem. Por exemplo, se a freqüência de amostragem for de 8 khz, a chave se fecha 8000 vezes por segundo, ou seja, a cada 125 micro segundos. Como a chave se fecha por um tempo extremamente curto, tem-se na saída um sinal em forma de pulsos estreitos, com amplitude igual ao valor instantâneo do sinal, chamados de pulsos PAM (pulsos modulados em amplitude). A figura 4a mostra um sinal senoidal sendo amostrado com taxas próximas ao limite. Na primeira parte da figura vê-se a amostragem com freqüência maior que duas vezes a do sinal: ha amostras suficientes para que o sinal possa ser reproduzido sem erro de aliasing. Na figura 4b vê-se que a taxa de amostragem é igual a duas vezes a freqüência do sinal: não é possível a sua reprodução, pois o sinal PAM vale zero (obs.: se houvesse defasagem dos pontos de amostragem, haveria sinal PAM, porém com amplitude errada, a não ser que por coincidência os pontos caíssem nos picos da senóide, de onde surge a necessidade do "maior que o dobro" no Teorema de Nyquist.

5 Na figura 4c vê-se que a freqüência de amostragem é menor que o dobro da freqüência do sinal: a quantidade de amostras é insuficiente e o sinal reproduzido em vermelho estará errado. Figura 5- Frequencias de Sinal Para freqüências mais elevadas, a taxa de amostragem deve ser muito alta, daí comerciais de alta freqüência LIA são construídos com um sinal misto analógico e eletrônica digital (Stanford Research, 1997). Este erro é causado pelo fenômeno de aliasing, que nada mais é do que um serrilhamento na imagem, ou seja, o efeito em forma de serra que se cria ao desenhar uma reta em diagonal, uma vez que a divisão mínima num monitor é discreta (pixels) surge o aparecimento dos "dentes" da serra ao longo da reta desenhada, conforme figura 6. Figura 6- Fenômeno Aliasing Se as amostras são tomadas em instantes de tempo aleatórios, a freqüência de amostragem pode ser reduzida abaixo da freqüência de Nyquist sem aliasing, efeito que certamente ocorrerá com a amostragem uniforme (Bilinskis e Mikelsons, 1992; Mednieks, 1999).

6 Neste sentido, estruturas de filtragem adaptativa em sub-bandas vêm ganhando destaque pela possibilidade de se fazer a filtragem e a adaptação em uma taxa de amostragem mais baixa do que a do sinal de entrada (PETRAGLIA E BATALHEIRO, 2003). Exemplo de filtragem sub-banda são os sample-and-hold (S/H largura de banda do dispositivo) e os jitter (medida de variação do atraso entre os pacotes sucessivos de dados) que determina a freqüência máxima de funcionamento. Dispositivos S/H não são caros e fixam um limite de freqüência muito alto. Eles possuem limites de freqüência máxima de até 15GHz (Rockwell Scientific, 2005) 4. Considerações finais Para ter-se um bom sinal amostrado, deve-se utilizar uma freqüência de amostragem maior que o dobro da freqüência do sinal. Esta conclusão é chamada de Teorema de Amostragem. O teorema da amostragem representa uma estratégia elegante e otimizada para a descrição de um sinal analógico em amostragens capazes de reconstruir o sinal original. A redução do volume de informações geradas pelo teorema de amostragem permite que os meios de comunicação consigam propagar a informação. Isso se deve pela substituição de um sinal contínuo por inúmeros sinais discretos (LATHI, 2004). Referências RUSCHELT, ORLANDO T.. Princípios da comunicação digital. Porto Alegre, ed. EDIPUCRS, HAYKIN, SIMON & MOHER, Michael. Sistemas Modernos de Comunicação Wireless. Porto Alegre, Ed. Bookman Companhia Editora Ltda, PERES, Pedro L. D.; BONATTI, Ivanil S. & BORELLI, Walter C.. The linear interpolation method: a sampling theorem approach. Sba Controle & Automação [online]. 2003, vol.14, n.4, pp PETRAGLIA, Mariane R. and BATALHEIRO, Paulo B.. Projeto de banco de filtros para estruturas adaptativas em subbandas. Sba Controle & Automação [online]. 2003, vol.14, n.2, pp ISSN Stanford Research Systems, SR844 RF Lock-in Amplifier User's Manual (1997). Bilinskis, I. and A. Mikelsons, Randomized Signal Processing, Prentice Hall International, USA (1992). Mednieks, I., "Methods for Spectral Analysis of Nonuniformly Sampled Signals", Proc Int. Workshop on Sampling Theory and Appl., SAMPTA'99, Loen, Norway, (1999). Rockwell Scientific, "RTH GHz BW 1 GS/s Dual Track-and-Hold preliminary datasheet" (2005). HSU, Hwei P.. Sinais e Sistemas. Porto Alegre, Ed. Bookman Companhia Editora Ltda, LATHI, B.P.. Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre, Ed. Bookman Companhia Editora Ltda, 2004.

7 PESQUISA SOBRE O TEOREMA DA AMOSTRAGEM AUTORES Ederson Luiz Posselt (UNISC-PPGSPI) edersonlp@yahoo.com.br Eloy Maury Metz (UNISC-PPGSPI) eloy@softersul.com.br Ismael Cristofer Baierle (UNISC-PPGSPI) ismaelb@via.com.br