ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA: CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE TRAJETÓRIA DE UMA CATAPULTA

Transcrição

1 ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA: CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE TRAJETÓRIA DE UMA CATAPULTA Camila Fogaça de Oliveira Faculdade de Tecnologia Senai Londrina camila.oliveira@pr.senai.br Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina lourdes@uel.br Resumo: Este estudo pretende descrever uma aplicação de uma atividade de Modelagem Matemática em um curso superior de Tecnologia em Fabricação Mecânica da Faculdade de Tecnologia Senai Londrina. Este estudo foi conduzido na disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no segundo semestre do ano de Pautado no arcabouço teórico sobre Modelagem Matemática, este trabalho aponta uma proposta de atividade envolvendo a construção e análise de trajetória de uma catapulta. Além disso, recorrendo a Filosofia de Wittgenstein visa apontar que as regras matemáticas são normativas e que seus usos se distinguem em função dos jogos de linguagem aos quais pertencem. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Filosofia de Wittgenstein. Introdução Em muitas situações, o modelo didático vigente para a atividade de sala de aula, considera que o conhecimento é um todo harmonioso, onde se encadeia em ordem, sem contradições. Sob este aspecto, entende que o conhecimento é pronto e acabado e que vislumbra um horizonte claro de chegada tal horizonte é muitas vezes o cumprimento do programa da disciplina (BASSANEZI, 2012, p.6), não oportunizando ao estudante uma participação no processo de reconstrução de conhecimento.

2 Em contraposição a este quadro, pode-se perceber uma atividade como uma construção humana com significados próprios, onde se descobrem hesitações, contradições, dúvidas no modo em que foi elaborada. Descobre-se ainda qualquer coisa mais importante e interessante: - no primeiro aspecto, a Ciência parece bastar-se a si própria, a formação dos conceitos e das teorias parece obedecer só a necessidades interiores; no segundo, pelo contrário, vê-se toda a influência que o ambiente da vida social exerce sobre a criação da Ciência. (CARAÇA, 1951, p. XIII) Neste trabalho adotaremos a atividade matemática sobeste segundo aspecto, considerando que tal atividade possui problemas próprios. Nesse sentido, apresentamos a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica que pode contribuir para a aprendizagem de conceitos matemáticos para o curso de Tecnologia em Fabricação Mecânica da Faculdade de Tecnologia Senai Londrina e permite o estudo de problemas não essencialmente matemáticos, como a construção de uma catapulta. Inicialmente apresentamos uma caracterização sobre Modelagem Matemática e construção do conhecimento matemático segundo a perspectiva wittgensteiniana. Em seguida, apresentamos uma proposta de atividade de Modelagem Matemática que envolve a construção e análise de trajetória de uma catapulta desenvolvida na disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear do curso de Tecnologia em Fabricação Mecânica da Faculdade de Tecnologia Senai Londrina. Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática Na literatura encontramos muitas caracterizações para o termo Modelagem Matemática. Para compreendermos uma definição desse termo convém explicitarmos o significado do termo modelo matemático. Um modelo matemático constitui uma ferramenta para compreender e determinar o comportamento de uma situação-problema, bem como validar hipóteses e elaborar estratégias para a intervenção nesta situação. Um modelo matemático, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura matemática, permite a realização de previsões sobre uma situação-problema em estudo. Sua formulação não tem um fim em si mesmo, mas visa resolver algum problema. (OLIVEIRA, 2011, p.29)

3 O processo que envolve a obtenção de um modelo matemático é denominado Modelagem Matemática e, constitui segundo Almeida, Silva e Vertuan (2012), uma alternativa pedagógica para o ensino de matemática em sala de aula. descrita Segundo Almeida (2010), uma atividade de Modelagem Matemática pode ser em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a final. Nesse sentido, realidade (origem da situação inicial) e Matemática (área em que os conceitos e os procedimentos estão fundamentados) são domínios diferentes que passam a se integrar, e, em diferentes momentos, conhecimentos matemáticos e não matemáticos são acionados e/ou produzidos e integrados. A esta situação inicial problemática a literatura costuma se referir como situação-problema; à situação final desejada é associada, de modo geral, uma representação matemática, um modelo matemático (ALMEIDA, 2010, p.399). Não existe uma prescrição rigorosa das etapas que podem constituir uma atividade de Modelagem Matemática, mas é possível identificar elementos que caracterizam a Modelagem Matemática (Figura 1): o ponto de partida é a situaçãoproblema, onde não se tem pré-definido o conteúdo matemático que será utilizado e uma solução para a situação-problema; ocorre assim a investigação de um problema por meio da matemática e análise e interpretação da solução. (ALMEIDA, TORTOLA, MERLI, 2012) Figura 1: Elementos que descrevem uma atividade de Modelagem Matemática Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012, p.17). A partir de uma situação-problema, define-se o problema a ser estudado. Os dados são selecionados, por meio de simplificações e formulação de hipóteses, de modo a manter as características do problema. Muitas vezes, o problema não parece diretamente associado a uma linguagem matemática, e faz-se necessário substituir a

4 linguagem do problema para uma linguagem matemática adequada. Por meio de conteúdos matemáticos, procura-se uma solução para o problema, de acordo com a hipótese definida. A partir da interpretação desta solução para o problema, verifica-se se o modelo é ou não válido para o problema. Caso não seja válido, inicia-se o processo novamente; caso seja válido, o mesmo pode ser utilizado para fazer previsões, analisar e explicar a situação-problema proposta inicialmente. (OLIVEIRA, 2011) O processo de aprendizagem de Modelagem Matemática pode dar a falsa impressão de que aprendê-lo seria como aprender o conteúdo de uma disciplina bem estruturada, fundamentada em regras de natureza convencional. No entanto, esse processo não se restringe ao aprendizado de técnicas padronizadas ou procedimentos sequenciais tal como um protocolo cirúrgico (BASSANEZI, 2012, p.6), onde todos constroem um mesmo conhecimento. A Modelagem Matemática trata-se de um procedimento criativo e interpretativo que deve incorporar as características essenciais do objeto ou fenômeno que pretende representar (ALMEIDA e FERRUZZI, 2009). Da mesma forma que só se pode aprender a jogar futebol, jogando, só se aprende modelagem, modelando! - O técnico pode aprimorar o comportamento de um jogador e ensaiar jogadas mais efetivas mas o resultado final depende exclusivamente da criatividade e habilidade deste jogador; ainda assim, em cada partida sua atuação e rendimento podem ser bastante diferenciados, dependendo do comportamento da equipe adversária. O mesmo se dá em todas as atividades que exigem alguma dose de criatividade - a pintura é um exemplo típico: o indivíduo pode aprender todas as técnicas de uma pintura e saber misturar todas as cores, pode inclusive reproduzir alguma obra de outro pintor mas não será um bom artista se não aliar uma boa dose de criatividade às suas habilidades técnicas. (BASSANEZI, 2012, p.6) Na busca de dar novos sentidos aos entendimentos tradicionais dentro do campo da Educação Matemática, vista cada vez mais como uma prática humana e menos como uma busca da racional e segura da verdade, buscamos na próxima seção discutir uma concepção pragmática de ensino e aprendizagem inspirada nas ideias de Wittgenstein. Filosofia de Ludwig Josef Johann Wittgenstein Ludwig Josef Johann Wittgenstein é um dos filósofos cujo pensamento pode ser dividido em duas fases: a do primeiro Wittgenstein, cuja obra central é o Tractatus

5 Logico-Philosophicus, e a do segundo Wittgenstein, cuja obra principal é as Investigações Filosóficas. Os temas do Tractatus estão agrupados em proposições em nível crescente de complexidade e compõem toda a sua estrutura (WITTGENSTEIN, 1999). Boa parte da obra pode ser resumida na tentativa de Wittgenstein de apresentar formulações lógicas, como símbolos formais que representam as proposições. (SOMBRA, 2012, p. 21) Após a construção do Tractatus, Wittgenstein aos poucos foi desenvolvendo uma mudança em seu ponto de vista, o que pode ser visto, explicitamente, em sua publicação de 1929, Some Remarks on logical form. Talvez alguém pense não faz muito tempo, eu pensava assim que uma asserção que exprime o grau de uma qualidade possa ser analisada num produto lógico de asserções de quantidade isoladas, mais uma asserção suplementar integrante. (WITTGENTEIN, 1929, p.4) Wittgenstein, desta forma, considerou que suas primeiras reflexões não eram capazes de elucidar todos os problemas da linguagem. Pois bem, se tentamos chegar a uma análise real, encontramos formas lógicas que guardam muito pouca semelhança com as normas da linguagem comum. Deparamo-nos com as formas de espaço e tempo [juntamente] com todo o múltiplo de objetos espaciais e temporais, como cores, sons etc. etc., com suas gradações, transições contínuas e combinações em várias proporções, todas as quais não conseguimos apreender com nossos meios de expressão comuns. (WITTGENTEIN, 1929, p.3) Segundo Cavassane (2009, p.73), a segunda fase do pensamento wittgensteiniano caracteriza-se principalmente por uma forte crítica à tradição filosófica, crítica essa que abarca inclusive a filosofia de sua primeira fase. A linguagem diz o segundo Wittgenstein funciona em seus usos, não cabendo, portanto, indagar sobre os significados das palavras, mas sobre suas funções práticas. Estas são múltiplas e variadas, constituindo múltiplas linguagens que são verdadeiramente formas de vida. Em outros termos, poder-se-ia dizer que o correntemente chamado linguagem é, na verdade, um conjunto de jogos de linguagem, entre os quais poderiam ser citados seus empregos para indagar, consolar, indignar-se, ou descrever. Wittgenstein compara os jogos de linguagem a ferramentas utilizadas pelo operário, que usa o martelo para martelar, o serrote para serrar, e assim por diante. Da mesma forma, não há, para Wittgenstein, uma única função comum das expressões da linguagem, nem mesmo algo que possa ser considerado como o jogo de linguagem. O que se pode dizer que existe são certas semelhanças, ou, nas palavras do próprio

6 Wittgenstein, certo ar de família, certos parentescos que se combinam, se entrecruzam, se permutam. (WITTGENSTEIN, 1999, p.14) Essa transição da obra Tractatus Logico-Philosophicus para as Investigações Filosóficas nos mostra que o conhecimento se altera de acordo com os padrões de certeza de uma determinada sociedade, em um determinado contexto e que a linguagem não pode ser unificada segundo uma única estrutura lógica e formal. Nosso estudo está marcado pelo pensamento do segundo Wittgenstein. De acordo com Wittgenstein (1999), os significados se constituem e se transformam em seus usos em diferentes contextos e, desse modo, é durante o uso da linguagem que a matemática adquire significado em um determinado jogo de linguagem. Segundo Gottschalk (2004, p.318), a palavra jogo vem ressaltar as diversas atividades com as quais a linguagem se vincula. Considere, por exemplo, os processos que chamamos de jogos. Refiro-me a jogos de tabuleiro, de cartas, de bola, torneios esportivos etc. O que é comum a todos eles? Não diga: Algo deve ser comum a eles, senão não se chamariam jogos, - mas veja se algo é comum a eles todos. Pois, se você os contempla, não verá na verdade algo que fosse comum a todos, mas verá semelhanças, parentescos, e até toda uma série deles. Como disse: não pense, mas veja! Considere, por exemplo, os jogos de tabuleiro, com seus múltiplos parentescos. Agora passe para os jogos de cartas: aqui você encontra muitas correspondências com aqueles da primeira classe, mas muitos traços comuns desaparecem e outros surgem. Se passarmos agora aos jogos de bola, muita coisa comum se conserva, mas muitas se perdem. - São todos recreativos? Compare o xadrez com o jogo da amarelinha. Ou há em todos um ganhar e um perder, ou uma concorrência entre os jogadores? Pense nas paciências. Nos jogos de bola há um ganhar e um perder; mas se uma criança atira a bola na parede e a apanha outra vez, este traço desapareceu. Veja que papéis desempenham a habilidade e a sorte. E como é diferente a habilidade no xadrez e no tênis. Pense agora nos brinquedos de roda: o elemento de divertimento está presente, mas quantos dos outros traços característicos desapareceram! E assim podemos percorrer muitos, muitos outros grupos de jogos e ver semelhanças surgirem e desaparecerem. E tal é o resultado desta consideração: vemos uma rede complicada de semelhanças, que se envolvem e se cruzam mutuamente, Semelhanças de conjunto e de pormenor. (WITTGENSTEIN, 1999, p.52) Wittgenstein caracteriza essas semelhanças com a expressão semelhança de família e segundo ele, os jogos formam uma família, pois se envolvem e se cruzam diferentes semelhanças entre os membros de uma família.

7 O que regula os diferentes usos de uma palavra são as regras, as quais nem sempre são definidas a priori. A regra pode ser um auxílio no ensino do jogo. É comunicada àquele que aprende e sua aplicação é exercitada. Ou é uma ferramenta do próprio jogo. Ou: uma regra não encontra emprego nem no ensino nem no próprio jogo, nem está indicada num catálogo de regras. Aprende-se o jogo observando como os outros o jogam. Mas dizemos que se joga segunda esta ou aquela regra, porque um observador pode ler essas regras nas práxis do jogo, como uma lei natural que as jogadas seguem. (WITTGENSTEIN, 1999, p. 48, 54) Segundo Wittgenstein, os jogos de linguagem se referem ao conjunto da linguagem e das atividades com as quais está interligada (WITTGENSTEIN, 1999, p. 30, 7). Segundo essa concepção, a linguagem está entrelaçada a atividades e está subordinada ao jogo de linguagem em que estão inseridas. Segundo Gottschalk (2004, p.315) é só na aplicação das palavras que se mostra o uso que é feito do conceito e, por conseguinte, seu sentido. Assim, aprender o significado de uma palavra pode consistir na aquisição de uma regra, ou um conjunto de regras, que governa seu uso dentro de um ou mais jogos de linguagem. Uma das consequências dessa ideia para a educação é que não há sentido em se ensinar um significado essencial de uma palavra independente de seus diversos usos. Uma palavra só adquire significado quando se opera com ela, ou seja, seguindo uma regra em um determinado contexto linguístico. (GOTTSCHALK, 2004, p.321) Os axiomas, postulados e definições matemáticas são certezas pertencentes a uma determinada comunidade e podem ser vistas como regras, que não podem ser negadas (GOTTSCHALK, 2004). Wittgenstein (1999) salienta que o emprego de uma palavra nem sempre é limitado por regras. Segundo o autor, não há regras que dão margem a nenhuma dúvida e que fechem todos os espaços vazios. Uma regra se apresenta como um indicador de direção. Não deixaria nenhuma dúvida sobre o caminho que eu tenho de seguir? Mostra em que direção devo seguir quando passo por ele; se pela rua, pelo atalho ou pelos campos? Mas como saber em que sentido devo segui-lo: se na direção da mão ou (por exemplo) na oposta? E se em lugar de um indicador de direção houvesse uma cadeia ininterrupta de indicadores, ou traços de giz no chão, haveria para eles apenas uma interpretação? Posso, pois, dizer que o indicador de direção não deixa subsistir nenhuma dúvida. Ou muito mais: algumas vezes deixa dúvidas, outra não. (WITTGENSTEIN, 1999, p.59)

8 Esse complexo conjunto de regras pode ser entendido como a gramática definida por Wittgenstein (1999). Wittgenstein salienta que a gramática não é responsável por nenhuma realidade. São as regras gramaticais que determinam o significado (que o constituem) e, portanto, elas próprias não são responsáveis por qualquer significado e, nessa medida, são arbitrárias (WITTGENSTEIN, 2010, p. 139). A noção de gramática para Wittgenstein não é única e nem atribui à linguagem uma estrutura fixa. A palavra, sem estas regras, não possui significado, contudo, se modificarmos as regras, ela terá um outro significado (WITTGENSTEIN, 2010). Deste modo, os critérios estabelecidos pela comunidade dos matemáticos guiarão a atividade do aluno. A matemática também é uma de nossas Gramáticas. Suas proposições têm função normativa, são certezas que não são passíveis de ser revisadas pela experiência. Embora estejam enraizadas em determinadas práticas e formas de vida, em um background em que são constituídos suas definições, axiomas e postulados, essas proposições não descrevem entidades abstratas, ou a realidade empírica e tampouco são produto de uma negociação interpessoal. Fazem parte de nossas certezas, constituindo também uma imagem do mundo. (GOTTSCHALK, 2004, p.323) Com o intuito de mostrar na próxima seção que os usos de regras se distinguem em função dos jogos de linguagem aos quais pertencem, pretendemos descrever uma aplicação de uma atividade de Modelagem Matemática aplicada em um curso superior de Tecnologia em Fabricação Mecânica da Faculdade de Tecnologia Senai Londrina. Atividade de Modelagem Matemática: Construção e análise de trajetória de uma catapulta A atividade analisada nesta seção foi desenvolvida no âmbito da disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear alocada no primeiro período do Curso Superior de Tecnologia em Fabricação Mecânica da Faculdade de Tecnologia Senai Londrina. Esta atividade Construção e análise de trajetória de uma catapulta foi desenvolvida por estudantes e corresponde ao segundo momento da Modelagem Matemática, de modo que a professora 1 sugeriu a situação-problema em estudo e os 1 A professora da disciplina é a primeira autora deste artigo.

9 alunos foram os responsáveis pela formulação das hipóteses, o estabelecimento do modelo matemático e sua validação. Com a intenção de identificar elementos que caracterizam esta atividade Modelagem Matemática, mostramos recortes da atividade a partir de sua descrição detalhada (Figura 2). Figura 2: Descrição da atividade de Modelagem Matemática Fonte: Relatório dos Alunos. Nesta situação-problema, a professora da disciplina propôs aos alunos a construção de uma catapulta com a finalidade de lançar uma projétil de borracha a três metros de distância e atingir uma caixa de aproximadamente 10 cm x 10 cm. Posteriormente foi proposta aos alunos a gravação de um vídeo que seria utilizado em um software, possibilitando levantar dados sobre a trajetória do lançamento da projétil, a altura máxima alcançada e o tempo de duração do lançamento. Após a definição do problema a ser estudado os alunos empenharam-se em solucioná-lo. A Figura 3 apresenta trechos extraídos das atividades dos estudantes ilustrando a metodologia adotada por três grupos para a construção da catapulta.

10 Figura 3: Catapultas construídas pelos grupos e materiais utilizados para a construção Catapulta construída pelo Grupo 1 Catapulta construída pelo Grupo 2 Fonte: Relatório dos Alunos. Catapulta construída pelo Grupo 3 As práticas matemáticas dos estudantes para a construção da catapulta possuem significados próprios e sugerem que outras práticas podem emergir de acordo com a forma de vida do estudante. Os discentes do Grupo 1 e 3, utilizaram-se ferramentas que ainda não haviam sido desenvolvidas no decorrer do curso, pois a disciplina de CAD CAE faz parte do segundo período do curso. De acordo com as regras da gramática dos estudantes destes dois grupos, foi possível a construção da catapulta projetada em software (Figura 4) e desenvolvida em laboratório de metalomecânica.

11 Figura 4: Projeto de construção da estrutura e catapulta pelo Grupo 1 Fonte: Relatório dos Alunos. Após a construção dos protótipos, os estudantes em data prevista pela professora realizaram lançamentos para atingir o alvo pré-definido. Os lançamentos foram gravados em vídeo. O software de videoanálise, Tracker: video analysis and modeling tools, que é gratuito e possibilita a videoanálise e construção de modelos de fenômenos físicos, permitiu a obtenção de dados sobre a trajetória do projétil. Algumas características do programa foram mencionadas, tais como: após carregar um vídeo, que pode ser produzido de forma simples, com qualquer câmera digital, por exemplo, o programa oferece opções de selecionar um conjunto de quadros para ser analisado. Neste caso, o programa apresenta um frame por vez e em cada um deles destaca aspectos como, por exemplo, a posição de um corpo em relação a dado referencial. A partir daí exibe um conjunto de dados numéricos referentes às variáveis de interesse para a obtenção do modelo. (BORSSOI, 2013, p.83) Os dados obtidos pelo software Tracker (Grupo 3) estão representados na Figura 5. Durante o percurso do projétil no ar o programa registrou, em intervalos de tempo, sua posição que é representada em vermelho. Figura 5: Dados obtidos com o software Tracker pelo Grupo 3 Fonte: Relatório dos Alunos.

12 Simultaneamente o Tracker ilustrou o gráfico, representando a variação da altura do projétil em relação ao tempo e uma tabela com os valores de tempo em segundos e altura em centímetros. Para a obtenção dos dados foi necessário definir um sistema referencial. Para responder ao problema proposto, os alunos determinaram uma função quadrática para representar os dados, ou seja,, em que t representa o tempo e y(t) a altura atingida pelo projétil. Os parâmetros a, b e c foram determinados pela resolução de um sistema de equações lineares de ordem 3, conforme indica a Figura 6. A aplicação desta atividade está inserida na disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear e esta aplicação permitiu o estudo de um tópico específico, sistemas lineares. Deste modo, a regra foi uma ferramenta do próprio jogo, determinando o significado para a atividade. Figura 6: Formulação do modelo matemático pelo Grupo 1 Fonte: Relatório dos Alunos.

13 Os parâmetros a, b e c da função quadrática foram determinados pelos alunos dos Grupos 1 e 2 por meio de resolução de sistemas lineares por escalonamento (Figura 7) e pelo Grupo 3 por meio da Regra de Cramer. Na disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear, os discentes aprenderam como resolver sistemas lineares de ordem 3 pelo método do escalonamento, ou seja, não operaram com a Regra de Cramer. Contudo, como um dos integrantes do Grupo 3 não conseguiu operar com o método de escalonamento, o significado da resolução de sistemas lineares foi adquirido quando aprendeu a Regra de Cramer. Isso demonstra que os usos de regras pelos alunos se distinguem em função dos jogos de linguagem aos quais pertencem e, portanto, outras práticas podem emergir de acordo com a forma de vida do estudante. Figura 7: Formulação do modelo matemático pelo Grupo 1 Fonte: Relatório dos Alunos. A validação do modelo implicou em comparar os resultados fornecidos pelo modelo com os reais. Tal validação permitiu determinar a altura máxima atingida pelo projétil conforme está ilustrada na Figura 8.

14 Figura 8: Determinação da altura máxima atingida pelo projétil Fonte: Relatório dos Alunos. Deste modo, o processo de resolução desta atividade de Modelagem Matemática sugeriu que o uso de uma regra depende da forma de vida do estudante. É nesse sentido que a Modelagem Matemática trata-se de um procedimento criativo e interpretativo e que diferentes regras podem emergir em uma mesma atividade de matemática. Considerações Finais As práticas desta atividade mostraram que uma mesma situação problema pode abarcar diferentes regras matemáticas de acordo com a vivência de cada aluno, seus usos se distinguem em função dos jogos de linguagem específicos aos quais pertencem (GOTTSCHALK, 2004, p.325). Se há a intencionalidade de estabelecer um espaço comunicativo em sala de aula e considerando que o aspecto central de toda a aprendizagem é a produção de significados, o professor deve ir onde o aluno está enquanto ser cognitivo e na tentativa de compreender um aluno se deve passar pelo esforço de olhar como o aluno vê. Não sei como você é; preciso saber. Não sei também onde você está (sei apenas que está em algum lugar); preciso saber onde você está para que eu possa ir até lá falar com você e para que possamos nos

15 entender, e negociar um projeto no qual eu gostaria que estivesse presente a perspectiva de você ir a lugares novos. (LINS, 1999, p.85) Deste modo, o papel do professor neste tipo de atividade seria o de ensinar significados a partir de uma situação-problema. Partimos assim do principio de que não haveria ganchos no céu, um modelo a ser seguido, assumindo que, assim como o acontecimento, a linguagem não depende de nenhum suposto princípio transcendente a guiá-la; ela não depende de nenhum impulsionador trans-histórico, de nenhum motor metatemporal e metaespacial; ela não precisa de nenhum atrator teleológico que ficasse à espera, no futuro, para ser atingido ou realizado. (VEIGA- NETO; LOPES, 2007, p.7) Esta visão não absoluta manifesta-se na Filosofia de Wittgenstein quanto ao uso da linguagem. Ao adotar essa visão significa dizer que não há um fundo firme e último onde ancorarmos, fundamentarmos nosso pensamento e nossa linguagem (VEIGA- NETO; LOPES, 2007, p.4), como tentaram os fundacionistas. Referências ALMEIDA, L. M. W. Um olhar semiótico sobre modelos e modelagem: metáforas como foco de análise. Zetetiké, Campinas, v.18, Número Temático 2010, p , ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma Aproximação Socioepistemológica para a Modelagem Matemática. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p , ALMEIDA, L. M. W. SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, ALMEIDA, L. M. W. ; TORTOLA, E. ; MERLI, R. F. Modelagem Matemática Com o que estamos lidando: Modelos diferentes ou Linguagens diferentes. Acta Scientiae (ULBRA), v. 14, p , BASSANEZI, R. C. Temas & Modelos. São Paulo: Editora da Unicamp, BORSSOI, A. H. Modelagem Matemática, Aprendizagem Significativa e Tecnologias: articulações em diferentes Contextos Educacionais p. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) UEL, Londrina, CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia Matemática, 1951.

16 CAVASSANE, R. P. A natureza da crítica segundo Wittgenstein à tradição filosófica. In: Anais do IV Encontro de Pesquisa na Graduação em Filosofia da UNESP. Marília: UNESP, n.1, v.2, GOTTSCHALK, C. M. C. A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein: algumas implicações educacionais. Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, n. 2, v. 14, p , OLIVEIRA, C. F. Modelagem Matemática do Crescimento Populacional : Um olhar à luz da Socioepistemologia p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática), UEL, Londrina, SOMBRA, L. L. Nas fronteiras de Wittgenstein: diálogos com o pragmatismo e a hermenêutica filosófica. Brasília: Editora Universidade de Brasília, WITTGENSTEIN, L. Some Remarks on Logical Form. Proceedings of the Aristotelian Society, Supplementary Volumes, v.9, Knowledge, Experience and Realism, p , Traduzido por Eduardo Coutinho Lourenço de Lima. WITTGENSTEIN, L. Investigações Filosóficas. Tradução: José Carlos Bruni. São Paulo: Editora Nova Cultural, WITTGENSTEIN, L. Gramática Filosófica. Tradução: Luís Carlos Borges. São Paulo: Edições Loyola, 2010.