Universidade Federal de Pernambuco Centro de Tecnologia e Geociências Departamento de Engenharia Civil Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil

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1 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Tecnologia e Geociências Departamento de Engenharia Civil Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Wesley Michel de Barros MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DE ALTA ORDEM APLICADAS A PROBLEMAS DE ELASTICIDADE 2D E 3D Dissertação de mestrado Recife 216

2 Wesley Michel de Barros MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DE ALTA ORDEM APLICADAS A PROBLEMAS DE ELASTICIDADE 2D E 3D Dissertação de mestrado apresentada ao Mestrado em Engenharia Civil da UFPE como parte dos requisitos para a obtenção do grau de MESTRE em Engenharia Civil. Área de Concentração: Engenharia Estrutural Orientador: Paulo Marcelo Vieira Ribeiro Doutor em Estruturas e Construção Civil - UFPE Recife 216

3 Catalogação na fonte Bibliotecária Valdicéa Alves, CRB-4 / 126 B277m Barros, Wesley Michel de. Matrizes explícitas em elementos finitos de alta ordem aplicadas a problemas de elasticidade 2d e 3d. Wesley Michel de Barros folhas, Il., Tab.; e Simb. Orientador: Prof. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 216. Inclui Referências, Anexos e Apêndices. 1. Engenharia Civil. 2. Elementos finitos. 3. Matrizes explicitas. 4. Elasticidade. 5. Alta ordem. 6. Estatística. I. Ribeiro, Paulo Marcelo Vieira. (Orientador). II. Título. Título. UFPE 624 CDD (22. ed.) BCTG/217-21

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL A comissão examinadora da Defesa de Dissertação de Mestrado MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DE ALTA ORDEM APLICADAS A PROBLEMAS DE ELASTICIDADE 2D E 3D defendida por Wesley Michel de Barros Considera o candidato APROVADO Recife, 2 de dezembro de 216 Banca Examinadora: Prof. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro UFPE (orientador) Prof. Dr. Raúl Darío Durand Farfán UnB (examinador externo) Prof. Dr. Ézio da Rocha Araújo UFPE (examinador externo)

5 Agradecimentos Ao professor Paulo Marcelo pelos sábios ensinamentos transmitidos, por sua orientação segura, e também pela sua paciência, compreensão e dedicação. A todos os professores da UFPE e professores que fizeram parte de minha vida acadêmica pelos ensinamentos transmitidos. À minha família e, principalmente, à minha mãe que me deu apoio, amor e incentivo em todos os momentos decisivos de minha vida. À minha querida esposa Leopoldina, agradeço pelo carinho e compreensão, por todos os minutos em que estive ausente me dedicando ao trabalho e aos estudos. Aos amigos, que não deixaram faltar companhia nos momentos em que faltou ânimo para estudar. Aos meus colegas de mestrado que juntos compartilhamos valiosos conhecimentos. A todos que colaboraram com a elaboração desse trabalho.

6 Resumo MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DE ALTA ORDEM APLICADAS A PROBLEMAS DE ELASTICIDADE 2D E 3D Neste trabalho é apresentada a formulação explícita para elementos triangulares e tetraédricos de ordem superior aplicados à solução de problemas envolvendo elasticidade 2D e 3D com o Método dos Elementos Finitos. A precisão dos resultados de análises utilizando o MEF está diretamente ligada a malha e exatidão do elementos. As técnicas de refino mais usuais são as versões adaptativas h, p, hp e r, em que a versão h mantém constante a ordem das funções de forma e eleva o número de elementos de forma a minimizar o erro. Por sua vez, a versão p mantém constante o número de elementos e eleva a ordem do polinômio das funções de interpolação para uma melhor aproximação da solução. A versão hp é uma combinação das duas versões anteriores e a versão r é obtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. Os elementos triangular e tetraédrico foram adotados para o presente estudo, pois possuem a vantagem de adequar-se às mais diversas formas geométricas. Para formulação dos elementos de ordem superior, a ordem dos polinômios de Lagrange é incrementada para construção dos elementos triangulares T6(6 nós), T1(1 nós), T15(15nós) e T21(21 nós) e elementos tetraédricos TE1(1 nós), TE2(2 nós) e TE35(35 nós). A grande vantagem dos elementos de ordem superior é a maior precisão dos resultados a medida que a ordem do polinômio aumenta. Portanto, são necessários menos elementos que a versão h-adaptativa para solução do problema, reduzindo, assim, a necessidade de discretização adicional do domínio. As aplicações utilizando elementos finitos de ordem superior apresentam elevado custo computacional, visto que as matrizes dos elementos são obtidas por meio de um grande número de pontos de integração elevando assim o tempo de processamento. De modo a solucionar esse problema foram desenvolvidas matrizes de rigidez explícitas, eliminando as integrações numéricas e maximizando a eficiência do processamento computacional. Aplicações práticas em um código computacional para análise estática e modal de estruturas foram desenvolvidas com auxílio do software MATLAB, onde o usuário informa uma malha inicial com elementos triangulares de três nós (T3) ou tetraédricos de quatro nós (TE4) e define a ordem do elemento a ser aplicado. Por sua vez, o programa se encarrega de gerar os novos nós e conectividades de acordo com o grau do polinômio escolhido. Em seguida, o usuário define as propriedades físicas, condições de contorno e cargas aplicadas, para posterior cálculo dos deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Exemplos de validação são apresentados e confirmam a eficiência em desempenho computacional das rotinas propostas.

7 Nos resultados foi verificado que, para boa parte dos elementos, a estratégia utilizando matrizes explícitas mostrou-se mais eficiente que a integração numérica, com uma considerável redução no tempo de processamento. Palavras-chaves: Elementos Finitos. Matrizes Explícitas. Elasticidade. Alta Ordem. Estática. Dinâmica.

8 Abstract EXPLICIT MATRICES FOR HIGH ORDER FINITE ELEMENTS APPLIED TO 2D AND 3D ELASTICITY This work presents the development of explicit finite element matrices for higher order triangular and tetrahedral elements applied to solution of 2D and 3D elasticity problems. The accuracy of analysis results using the Finite Element Method (FEM) depends on mesh refinement and element quality. The most usual refinement techniques are the adaptive versions h, p, hp and r, in which the h version keeps the order of interpolation functions constant and raises the number of elements to minimize the error. Alternatively, the p version maintains the number of elements constant and raises the order of the polynomial in the interpolation functions for a better approximation of the solution. The hp version is a combination of the two previous approaches and the r version is obtained by modifying node position while maintaining the mesh topology. Triangular and tetrahedral elements were adopted for the present study, since they have the advantage of adapting to the most diverse geometric forms. Lagrange polynomial order is incremented to construct triangular elements T6 (6 nodes), T1 (1 nodes), T15 (15 nodes) and T21 (21 nodes), and tetrahedral elements TE1 (1 nodes), TE2 (2 nodes) and TE35 (35 nodes). Higher order elements provide greater accuracy as the order of the polynomial increases. Therefore, fewer elements are required to solve the problem when compared to the h version, thus reducing the need for additional mesh refinement. Applications using higher order finite elements often require great computational cost, since element matrices are obtained with a large set of numerical integration points, thus increasing the processing time. To solve this problem explicit stiffness matrices have been developed, avoiding numerical integrations and maximizing computational efficiency. Practical applications in a computational code for static and modal analysis of structures were developed using MATLAB software, with the user defining an initial mesh with triangular elements of three nodes (T3) or tetrahedral element of four nodes (TE4), and further establishing the polynomial order to be applied. The computer code is responsible for generating additional nodes and connectivities according to the chosen degree of the interpolation function. Next, the user defines the physical properties, boundary conditions and applied loads, for later calculation of the displacements, stresses, frequencies and vibration modes. Test cases are presented for validation of the proposed routines. Major conclusions reveal that for a broad set of elements the strategy using explicit finite element matrices was more efficient than the classical numerical integration procedure, with a considerable reduction in processing time.

9 Keywords: Finite Elements. Explicit Matrices. Elasticity. High Order. Static. Dynamics.

10 Sumário Sumário Lista de ilustrações Lista de tabelas INTRODUÇÃO Objetivos Metodologia Revisão da Literatura Elasticidade bidimensional Elasticidade tridimensional Limitações do Trabalho Estrutura do Trabalho FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE Introdução Formulação do Método dos Elementos Finitos FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ Elemento Bidimensional Triangular Formulação em coordenadas de área Formulação da matriz de rigidez Elemento Tridimensional Tetraédrico Formulação em coordenadas de volume Formulação da matriz de rigidez FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE Elemento Tridimensional Tetraédrico Elemento Bidimensional Triangular FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO Vetor de Força de Corpo Matriz de Massa Consistente ASPECTOS COMPUTACIONAIS

11 7.1 Código para Formulação das Matrizes explícitas Matriz de rigidez Vetor força de superfície, força de corpo e matriz de massa Código para Refinamento-p de Malhas Código para Análise Estática Código para Análise Modal APLICAÇÕES Tempo de Processamento - Matriz Explícita X Integral Numérica Aplicação 1 - Viga em Balanço Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica Análise de convergência Aplicação 2 - Viga Biengastada com Furo Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica Análise de convergência Aplicação 3 - Chapa Tracionada Aplicação 4 - Pórtico Espacial Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica Análise de convergência Aplicação 5 - Conjunto de Aduelas (Ponte) Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica Análise de convergência CONSIDERAÇÕES FINAIS Sugestões para Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS APÊNDICES 167 APÊNDICE A ELEMENTO TE APÊNDICE B ANÁLISE MODAL APÊNDICE C INTEGRAL NUMÉRICA (QUADRATURA DE GAUSS)

12 ANEXOS 178 ANEXO A CÓDIGO PARA CALCULO DOS DESLOCA- MENTOS A.1 Elemento Triangular T6 - Matriz Explícita A.2 Elemento Triangular T6 - Integração Numérica ANEXO B CÓDIGO PARA FORMULAÇÃO DAS MATRI- ZES EXPLÍCITAS EM MATLAB B.1 Elemento Triangular T B.1.1 Código - Matriz de rigidez (T21) B.1.2 Código - Matriz de massa consistente (T21) B.1.3 Código - Força de corpo (T21) B.1.4 Código - Força de superfície (T21) B.2 Elemento Tetraédrico TE B.2.1 Código - Matriz de rigidez (TE35) B.2.2 Código - Matriz de massa consistente (TE35) B.2.3 Código - Força de corpo (TE35) B.2.4 Código - Força de superfície (TE35)

13 Lista de ilustrações Figura 1.1 Refinamento Adaptativo Figura 1.2 Elementos desenvolvidos Figura 1.3 Refinamento p de Malha Figura 2.1 Equilíbrio de um elemento infinitesimal de um contínuo Figura 2.2 Equilíbrio de um elemento Figura 2.3 Deformações e deslocamentos de um corpo qualquer Figura 2.4 Corpo deformado Figura 2.5 Estado plano de tensões Figura 2.6 Estado plano de deformações Figura 2.7 Deformações e deslocamentos Figura 4.1 Distância relativas das coordenadas de áreas Figura 4.2 Variação das funções de forma linear Figura 4.3 Elemento Triangular Figura 4.4 Triângulo dividido em áreas Figura 4.5 Elementos T6, T1, T15 e T Figura 4.6 Triângulo de Pascal Figura 4.7 Variação das funções de forma quadrática Figura 4.8 Distância relativas das Coordenadas de volume Figura 4.9 Elemento Tetraédrico Figura 4.1 Tetraedro dividido em volumes Figura 4.11 Elementos TE4, TE1, TE2 e TE Figura 4.12 Pirâmide de Pascal Figura 5.1 Forças de superfície atuando sobre o lado 124 do elemento tetraédrico. 71 Figura 5.2 Forças de superfície atuando sobre um elemento triangular Figura 7.1 Fluxograma - Formulação da matriz de rigidez do elemento Figura 7.2 Fluxograma - Código para formulação do vetor de força de superfície, vetor de força de corpo e matriz de massa consistente Figura 7.3 Refinamento p de Malha Figura 7.4 Fluxograma - Refinamento-p de malhas triangulares e tetraédricas Figura 7.5 Deformada - Viga em Balanço Figura 7.6 Tensões - Viga em Balanço (N/m2) Figura 7.7 Fluxograma - Código para análise estática Figura 7.8 Modos de Vibração - Viga biengastada espacial (Rad/s) Figura 7.9 Fluxograma - Código para análise modal Figura 8.1 T6 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.. 97 Figura 8.2 T1 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. 98

14 Figura 8.3 T15 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. 99 Figura 8.4 T21 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. 99 Figura 8.5 TE1 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.1 Figura 8.6 TE2 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.11 Figura 8.7 TE35 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.11 Figura 8.8 Viga em Balanço (Cotas em centímetros) Figura 8.9 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global. 17 Figura 8.1 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Figura 8.11 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global Figura 8.12 Graus de Liberdade X Erro (deslocamento) Figura 8.13 Graus de Liberdade X Erro (σ x ) Figura 8.14 Graus de Liberdade X Erro (tensão cisalhamento) Figura 8.15 Viga Biengastada (Cotas em centímetros) Figura 8.16 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global. 114 Figura 8.17 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Figura 8.18 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global Figura 8.19 Malhas viga biengastada Figura 8.2 Malha da viga biengastada com furo - ANSYS Figura 8.21 Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS Figura 8.22 Graus de Liberdade X Diferença (σ x ) Figura 8.23 Tempo de processamento X Diferença (σ x ) Figura 8.24 Convergência das frequências naturais - ANSYS Figura 8.25 Modos de Vibração - Viga biengastada (Rad/s) Figura 8.26 Graus de Liberdade X Diferença (Modo 1) Figura 8.27 Chapa Tracionada (cotas em centímetros) Figura 8.28 Chapa simétrica tracionada (cotas em centímetros) Figura 8.29 Ábaco - Concentração de Tensões Figura 8.3 Malhas chapa Figura 8.31 Graus de Liberdade X Erro (σ x ) Figura 8.32 Tensão na chapa com furo circular (N/m2) Figura 8.33 Tensão na chapa com furo quadrado (N/m2) Figura 8.34 Tensões (σ x ) - Perfil A (N/m2) Figura 8.35 Tensões (σ x ) - Perfil B (N/m2) Figura 8.36 Tensões (σ x ) - Perfil C (N/m2) Figura 8.37 Fenômeno de Runge

15 Figura 8.38 Pórtico Espacial (Cotas em centímetros) Figura 8.39 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global. 136 Figura 8.4 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Figura 8.41 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global Figura 8.42 Malha do pórtico - ANSYS Figura 8.43 Convergência dos resultados nos pontos A e B - ANSYS Figura 8.44 Malhas do pórtico Figura 8.45 Graus de Liberdade X Diferença (deslocamento) Figura 8.46 Tempo de processamento X Diferença (deslocamento) Figura 8.47 Graus de Liberdade X Diferença (σ y ) Figura 8.48 Tempo de processamento X Diferença (σ y ) Figura 8.49 Deformada pórtico Figura 8.5 Tensões pórtico (N/m2) Figura 8.51 Convergência das frequências naturais - ANSYS Figura 8.52 Graus de Liberdade X Diferença (Modos de vibração) Figura 8.53 Tempo de processamento X Diferença (Modos de vibração) Figura 8.54 Modos de Vibração - Pórtico Figura 8.55 Conjunto de Aduelas (Cotas em centímetros) Figura 8.56 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global. 151 Figura 8.57 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Figura 8.58 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global Figura 8.59 Malhas aduela Figura 8.6 Malha aduela - ANSYS Figura 8.61 Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS Figura 8.62 Graus de Liberdade X Diferença (σ x ) Figura 8.63 Tempo de processamento X Diferença (σ x ) Figura 8.64 Deformada conjunto de aduelas Figura 8.65 Tensões no conjunto de aduela (N/m2)

16 Lista de tabelas Tabela 4.1 Coordenadas de Área - Elemento Triangular Tabela 4.2 Funções de Forma Bidimensionais Tabela 4.3 Coordenadas de Volume - Tetraedro Tabela 4.4 Funções de Forma Tridimensionais Tabela 7.1 Tempo de Processamento para Formulação das Matrizes Explícitas.. 81 Tabela 8.1 Resumo das Aplicações Tabela 8.2 Tempo (segundos) para montagem da matriz de rigidez de um elemento T Tabela 8.3 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T Tabela 8.4 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T Tabela 8.5 Tempo(segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T Tabela 8.6 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento TE Tabela 8.7 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento TE Tabela 8.8 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento TE Tabela 8.9 Matriz explícita X Integral Numérica (T3, T6) Tabela 8.1 Matriz explícita X Integral Numérica (T1, T15, T21) Tabela 8.11 Análise de convergência - Viga em balanço Tabela 8.12 Matriz explícita X Integral Numérica (T3,T6,T1) Tabela 8.13 Matriz explícita X Integral Numérica (T15,T21) Tabela 8.14 Análise de convergência - Viga biengastada Tabela 8.15 Análise modal de convergência - Viga biengastada Tabela 8.16 Análise de convergência - Chapa Tabela 8.17 Perfil de tensões - A, B e C Tabela 8.18 Matriz explícita X Integral numérica Tabela 8.19 Pórtico - Deslocamento vertical e tensões Tabela 8.2 Análise modal de convergência - Pórtico Tabela 8.21 Matriz explícita X Integral numérica Tabela 8.22 Aduela - Deslocamento vertical, tensão X, e tempo de processamento. 155 Tabela 9.1 Razão Média 2D (int. numérica / matriz explícita) Tabela 9.2 Razão Média 3D (int. numérica / matriz explícita)

17 Tabela C.1 Pontos de Integração e Pesos - Triângulo Tabela C.2 Pontos de Integração e Pesos - Tetraedro

18 Lista de símbolos σ x τ xy u v w E ε ν γ G i j k Tensão normal Tensão de cisalhamento Função deslocamento em x Função deslocamento em y Função deslocamento em z Modulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young Deformação Coeficiente de Poisson Distorção angular Módulo cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal base vetorial em relação a x base vetorial em relação a y base vetorial em relação a k f 1 base vetorial em relação a ξ 1 f 2 base vetorial em relação a ξ 2 f 3 base vetorial em relação a ξ 4 r p q W p R b f b H ξ vetor de posição vetor de posição vetor de posição Função peso Resíduo Função aproximadora Função de forma Coordenadas de área

19 A V t ρ D d K r f m T 3 T 6 T 1 T 15 T 21 T E4 T E1 T E2 T E35 Área Volume Espessura Densidade Matriz constitutiva do material Vetor deslocamentos Matriz de rigidez Vetor de força de superfície Vetor de força de corpo Matriz de massa consistente Elemento triangular com 3 nós Elemento triangular com 6 nós Elemento triangular com 1 nós Elemento triangular com 15 nós Elemento triangular com 21 nós Elemento Tetraédrico com 4 nós Elemento Tetraédrico com 1 nós Elemento Tetraédrico com 2 nós Elemento Tetraédrico com 35 nós

20 2 1 INTRODUÇÃO A busca por resultados com maior grau de exatidão e a constante evolução da matemática computacional, com ênfase na computação simbólica, permitiram o desenvolvimento de elementos finitos de ordem superior a um relativo baixo custo computacional para sua elaboração e aplicação. A elevação do grau de precisão e desempenho computacional dos elementos finitos são temas de grande interesse por diversos pesquisadores ao longo dos anos, com o objetivo de possibilitar a solução de problemas complexos com maior exatidão, em especial os sistemas tridimensionais que requerem um maior número de variáveis. O método dos elementos finitos consiste na discretização do sistema estrutural em pequenos subdomínios chamados elementos finitos, que são conectados entre si por nós e cada elemento mantém as mesmas propriedades da estrutura completa. Uma grande vantagem do MEF é sua linguagem ser facilmente aplicada à sistemas computacionais. Conforme Fish e Belytschko (29), o MEF foi desenvolvido nos anos 195 pela industria aeroespacial. Sua formulação foi tratada pioneiramente por Argyris e Kelsey em 1955 (publicada em 196). Em 1956, M.J. Turner, R.W. Clough, H.C.Martin e L.J. Topp publicaram um dos primeiros artigos onde foram apresentadas algumas das principais ideias do MEF como a formulação e montagem da matriz do elemento. Com a evolução e redução dos custos computacionais ao longo das décadas a aplicação do MEF a sistemas computacionais ganhou enorme popularidade, e diversos programas computacionais foram desenvolvidos, a exemplo do ANSYS e ABAQUS. Assim o MEF possibilitou uma redução significativa no tempo do ciclo de um projeto, levando a uma explosão da popularidade do MEF com milhões de engenheiros e cientistas em todo o mundo aplicando-o nos mais diversos campos. A precisão dos resultados de análises estruturais utilizando o método dos elementos finitos está diretamente ligada à malha e exatidão do elementos. As técnicas mais utilizadas para refinar os resultados são p, h, hp e r. A versão p-adaptativa consiste no aumento do grau do polinômio de modo a elevar a precisão do elemento mantendo a malha inicial mais simples, evitando a necessidade de discretização adicional do domínio. A versão h, por sua vez, aumenta o número de elementos mantendo o grau da função de interpolação constante. A versão hp é composta pela junção das duas versões anteriores e versão r é obtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. A Figura 1.1 ilustra os referidos tipos de refinamento.

21 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 21 Refinamento - P Refinamento - HP Refinamento - H Malha Inicial Refinamento - R Figura 1.1 Refinamento Adaptativo. O foco deste trabalho é o desenvolvimento de elementos finitos de ordem superior aplicados à teoria da elasticidade, a qual tem por objetivo a determinação do campo de deslocamento e tensões atuantes em um sistema sob a ação de cargas externas. Porém, a medida que se eleva o grau das funções de interpolação surgem grandes custos computacionais decorrentes tanto das integrações quanto do aumento da ordem das matrizes do sistema. Segundo Lee e Loo (1997), quanto maior o número de graus de liberdade, maior será o custo computacional, devido à formação das matrizes globais e a solução do sistema linear. Diante disso, surgiram vários estudos visando contornar esse problema utilizando a integração numérica de Gauss e matrizes simbólicas explícitas em aplicações bidimensionais e tridimensionais. Os reduzidos recursos computacionais limitaram o desenvolvimento de elementos finitos de ordem superior, mas o avanço da tecnologia vem facilitando cada vez mais a aplicação desses elementos. Outro fator que dificultou a aplicação dos elementos finitos de ordem superior foi a falta de programas computacionais para geração de malhas com elementos de maior ordem. Segundo Novotny e Fancello (1996), a versão p-adaptativa é adequada a problemas em que a solução não possui pontos de singularidade. Nesse caso o erro decresce exponencialmente com o aumento da ordem polinomial dos elementos, sendo essa uma versão eficiente. Porém, em regiões que apresentam singularidades, os resultados podem oscilar. Nesse caso, a região com singularidade deve ser adequadamente discretizada (refino h) antes de aplicar a versão p-adaptativa. A versão mais eficiente é a hp, pois permite a junção das vantagens das versões p e h, por consequência obtém resultados mais eficientes. Nesta dissertação, elementos finitos de alta ordem serão desenvolvidos e aplicados

22 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 22 a problemas de análise estática e modal tendo como objetivo determinar os deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Para análise bidimensional optou-se pelo elemento triangular e para análise tridimensional será utilizado o elemento tetraédrico. Em ambos os casos os elementos foram escolhidos por sua grande versatilidade de aplicação às mais diversas formas geométricas. Essa pesquisa faz parte das iniciativas do grupo de Matemática Aplicada e Métodos Numéricos em Engenharia da UFPE (MAMNE), que tem como objetivo a construção e divulgação do conhecimento no MEF. 1.1 Objetivos Objetivo Global: Estudar o desempenho de elementos finitos de ordem superior e suas aplicações à problemas de elasticidade bidimensional e tridimensional de modo a reduzir o custo computacional e elevar a precisão dos resultados em análises estáticas e dinâmicas. Objetivos Específicos: Desenvolver um código para refinamento-p de malhas triangulares e tetraédricas partindo de malhas iniciais, com elementos, respectivamente, de três e quatro nós; Obter matrizes explícitas simbólicas para elementos de ordem superior planos e espaciais por meio de rotinas específicas; Avaliar o custo de processamento dos elementos de ordem superior utilizando matrizes explícitas comparado ao método da integração numérica (Gauss); Desenvolver um código para análises estática e modal; Validar os códigos propostos com aplicações em problemas de elasticidade bidimensional e tridimensional. 1.2 Metodologia Com o objetivo de elevar a precisão dos resultados para elementos finitos planos e espaciais foi realizada uma revisão bibliográfica acerca do tema. Em aplicações gerais duas técnicas são as mais praticadas, sendo elas a versão h-adaptativa, onde eleva-se o número de elementos mantendo a ordem do polinômio, e a versão p-adaptativa, onde a malha é mantida e eleva-se o grau do polinômio. A versão h-adaptativa é a técnica mais utilizada, por ser mais simples sua aplicação. Por sua vez, a versão p-adaptativa é pouco

23 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 23 utilizada, em parte pela pouca oferta de programas para refinamento-p de malhas e em parte pela complexidade da formulação de elementos de ordem superior. T3 T6 T1 T15 T º Ordem 2º Ordem 3º Ordem 4º Ordem 5º Ordem TE 4 TE 1 TE 2 TE Figura 1.2 Elementos desenvolvidos. Os elementos de alta ordem demandam elevado custo computacional. De modo a avaliar o método de maior eficiência foram formulados códigos utilizando matrizes simbólicas explícitas e a integração numérica de Gauss. Onde foram avaliados o desempenho para montagem da matriz de rigidez do elemento, montagem da matriz global e solução do sistema linear de deslocamento. Foram formulados códigos computacionais para análise estática e modal, com auxílio do MatLab, aplicados a elementos de ordem superior planos e espaciais conforme ilustração da Figura 1.2. Também foi formulado um código para gerar malhas de ordem superior partindo de uma malha inicial que pode ser obtida manualmente ou com auxílio de programas comerciais a exemplo do software GID. Para elementos triangulares, o usuário fornece a malha com elementos de três nós e o código cria os nós adicionais para malhas de 6, 1, 15 ou 21 nós, a Figura 1.3 ilustra esse processo. No caso dos elementos tetraédricos o usuário fornece a malha inicial com elementos de 4 nós e o código, a critério do usuário, fornece malhas para elementos com 1, 2 ou 35 nós. Ao final do processamento, é fornecido ao usuário dois aquivos.txt, sendo um com as coordenadas do elemento e o outro com as conectividades, além de apresentar imagem da malha com a numeração dos nós e elementos.

24 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 24 Refinamento - T1 Refinamento - T15 Refinamento - T6 Malha Inicial - T3 Refinamento - T21 Figura 1.3 Refinamento p de Malha. Em seguida, foram realizadas aplicações, sendo seus resultados foram validados com auxílio de softwares comerciais. 1.3 Revisão da Literatura Elasticidade bidimensional A busca por soluções com maior precisão é tema de grande interesse por diversos pesquisadores. A evolução da matemática computacional e simbólica possibilitou a construção de elementos finitos de ordem superior de forma eficiente, porém diversas dúvidas surgiram quanto às suas aplicações. Diante disso, foram realizadas diversas pesquisas com objetivo de formular elementos finitos de ordem superior e avaliar sua eficiência computacional, sendo a síntese desses trabalhos apresentados a seguir. Segundo Moser e Swoboda (1977) muitos programas utilizavam o elemento T3 devido a facilidade de programação com sua formulação explícita, porém o elemento T3 possui baixa taxa de convergência. A solução adotada foi a utilização do elemento T6 de forma explícita evitando a integração, reduzindo assim o tempo de processamento. Segundo Subramaniant e Jeyachandra (1981) o método para obtenção de elementos de ordem superior explícito é difícil e pouco atraente. Sendo um modo de contornar esse problema a aplicação da expressão para integração de elementos triangulares, por coordenadas de área. Outros pesquisadores como Rathod (1988), Sengupta e Dasgupta (199) utilizaram a mesma solução e foi verificado que a forma explícita requer um menor custo computacional se comparado à integração analítica ou numérica. Sengupta

25 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 25 e Dasgupta (199) enfatizaram a vantagem da utilização das coordenadas de área na formulação das matrizes explícitas. Segundo Babuska e Szabo (1982) a técnica de redução de erros mais eficiente é aquela para qual a curva erro versos custo de processamento é mais íngreme. Foi verificado na pesquisa que a versão p possui maior taxa de convergência que a versão h. Vale salientar que Barna Szabó, Ivo Babuška e Kent Myers desenvolveram o software StressCheck, um dos primeiros programas comerciais a utilizar a versão p do método dos elementos finitos. Babu e Pinder (1984) avaliaram a eficiência da integração simbólica para elementos quadrilaterais e verificaram que este procedimento é mais eficiente que a integração de Gauss. As fórmulas resultantes são precisas, computacionalmente eficientes e facilmente codificadas. Kikuchi (1989) realizou uma análise da precisão e tempo de processamento para o elemento quadrilateral isoparamétrico de 4 nós utilizando matriz explícita e integração numérica. Seus estudos mostraram que para campos de tensões uniformes os resultados obtidos com a integração numérica são iguais à integração simbólica para tempos de processamento semelhantes. Porém, para campos de tensões não uniformes tornam-se necessários mais pontos de integração para convergência, com isso eleva-se o tempo de processamento. Como consequência, a integração simbólica torna-se mais vantajosa, computacionalmente. Dasgupta e Sengupta (199) formularam elementos triangulares de placa explícitos. Para tal utilizaram coordenadas de área, que possibilitaram a obtenção das expressões explícitas para os coeficientes da matriz de rigidez e carga, evitando assim processos numéricos demorados. As expressões são compactas e foram utilizadas confortavelmente em computadores. Para Lawrence et al. (1991) o elemento triangular, por possuir uma base polinomial completa, apresenta certa vantagem em relação ao quadrilateral, que utiliza polinômios incompletos, facilitando a formulação p-adaptativa do elemento. Em seu estudo Lawrence (1991) mostrou que o refinamento-p converge com uma quantidade menor de graus de liberdade que o refinamento-h, portanto o refinamento-p apresenta uma taxa maior de convergência. Yang (1994) apresentou uma formulação simbólica onde a integração para formação da matriz de rigidez, força de corpo e cargas externas são transformadas, a partir da teoria de Eisenberg e Malvern, em funções algébricas de modo a reduzir o custo computacional com a integração. Griffiths (1994) apresentou a forma explícita para o elemento quadrilateral de 4 nós e avaliou custo computacional deste método comparado-o à integração numérica. Foram realizadas várias repetições para formação da matriz do elemento, os resultados mostraram

26 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 26 que a forma explícita das matrizes possibilita uma maior eficiência computacional para formação da matriz do elemento. A pesquisa realizada por Saether (1996) mostrou que a utilização de matrizes explícitas pode ser aplicada à análises não-lineares e de forma similar ao caso linear, produzindo uma grande redução no tempo de processamento, principalmente na montagem da matriz de rigidez global. A pesquisa de Videla et al. (1996) endossa a conclusão dos trabalhos anteriores onde a integração explícita mostrou-se mais vantajosa do que a integração numérica. Lee e Hobbs (1998) apresentaram um elemento quadrilateral híbrido que possui boa precisão e reduzido custo computacional, sendo esse elemento uma opção a formulação de elementos de ordem superior e elementos de lados curvos que requerem um maior esforço em sua formulação. Zhou e Vecchio (26), propuseram uma forma explícita do elemento quadrilateral de quatro nós a partir dos estudos de Griffths (1994) para modelar o comportamento não-linear de estruturas de concreto armado. Foi verificado que o elemento retangular não é adequado em muitas aplicações, por exemplo, em topologias de malha não uniforme ou onde efeitos de geométricos não lineares resultam em regeneração de malha. Lozada et al. (26) mostraram em seus estudos que para elementos quadrilaterais de oito nós a utilização de matrizes simbólicas reduz o tempo de processamento em aproximadamente um terço em relação à integração numérica. Lozada et al. (29) apresentaram novo estudo para o mesmo elemento onde foi obtido cerca de cinquenta por cento de ganho computacional utilizando a matriz simbólica, considerando a simetria e transformações de coordenadas. Videla et al. (27) realizaram um estudo comparativo entre matriz explícita e integral numérica para o elemento quadrilateral com oito nós. Como resultado foi obtido uma redução de cinquenta por cento no custo computacional utilizando a matriz de rigidez explícita. Verificaram que mesmo para elementos distorcidos a integração analítica garante resultados precisos. Foi observado que os programas para operações analíticas nem sempre simplificam totalmente as fórmulas, sendo necessário uma simplificação manual adicional. Griffiths et al. (29) realizaram um estudo comparativo entre integral numérica e matriz explícita para elementos triangulares de 3, 6, 1 e 15 nós com o objetivo de determinar o método de maior eficiência computacional. A eficiência foi medida com a avaliação do tempo para formação da matriz do elemento em dez milhões de repetições com código em linguagem FORTRAN. Os resultados mostraram que o método utilizando matriz explícitas apresenta ampla vantagem em relação a integração numérica. Os mesmos autores verificaram que a matriz de rigidez além da simetria apresenta vários termos iguais ou nulos, de posse dessa informação foi possível reduzir as substituições simbólicas na

27 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 27 matriz e, consequentemente, elevou-se a eficiência do método. Anyaegbunam e Ojiako (211) formularam a matriz explícita para o elemento triangular com 15 nós, evitando dessa forma a integração numérica, consequentemente, reduzindo o custo computacional. Os autores concluíram que apesar da vantagem o elemento com 15 nós em relação aos elementos de ordem inferior, este é subutilizado em análises de elementos finitos Elasticidade tridimensional No caso dos elementos finitos tridimensionais a utilização de elementos de ordem superior apresenta grande ganho de precisão assim como no caso bidimensional. Porém, o custo computacional a medida que eleva-se a ordem do polinômio é maior que no caso anterior, pois uma função de interpolação tridimensional apresenta mais termos que uma função de mesma ordem bidimensional. Isso ocorre pois o elementos tridimensionais possuem um grau de liberdade a mais, além de ser necessário número maior de nós para discretizar um elemento espacial que um elemento plano. Rathod (1987.a) apresentou formulação explícita para elemento de seis lados (hexaedro) de ordem linear, quadrática e cubica, onde esses elementos possibilitam resolver muitos sistemas estruturais com geometria complexa e com elevada precisão dos resultados. Segundo Rathod (1987.b) a utilização de elementos de ordem superior vem crescendo, motivado pela procura de soluções mais precisas em problemas mecânicos. Porém a integração numérica requer bastante tempo, o que torna a matriz explícita mais vantajosa pois requer um menor custo computacional. Lawrence e Nambiar (1989) mostraram em sua pesquisa que a aplicação de matrizes simbólicas (explícitas) apesar de demandar maior tempo em sua elaboração, produz uma redução do tempo de processamento significativa se comparado à integração numérica. A integração numérica apresenta resultados ruins em algumas situações como expressões irracionais, sendo necessário em muitos casos o acréscimo de pontos de integração, por consequência, elevação do custo computacional. Yagawa et al. (199) apresentaram um esquema para otimizar a integração numérica com o auxílio da computação simbólica de modo a utilizar o menor número de pontos de integração necessários à convergência da solução. Segundo Shiakolas, et al. (1992) o elemento tetraédrico não é muito utilizado devido a dificuldade de visualizar e criar manualmente uma malha, além do elemento tetraédrico linear apresentar fraco desempenho. Porém, para elementos de ordem superior o elemento tetraédrico torna-se mais vantajoso e em malhas arbitrárias o elemento tetraédrico torna-se fundamental.

28 Capítulo 1. INTRODUÇÃO 28 Os estudos de Shiakolas et al. (1994) utilizando tetraedros e Seather (1995) utilizando hexaedros mostraram que a matriz explícita requer tempo de processamento muito inferior se comparado à integração Gaussiana. No passado foi demonstrado que a utilização de matrizes explícitas para tetraedros reduz significativamente o tempo de processamento se comparado a integrações numéricas para elementos de segunda e terceira ordens. Com o avanço da tecnologia computacional e simbólica dos softwares tem facilitado o desenvolvimento de elementos de ordem superior. Com isso McCaslin et al. (212) usaram o elemento tetraédrico de quarta ordem com 35 nós. E seus resultados mostraram que o ganho no custo computacional com a utilização de matrizes explícitas se comparados à integração numérica justificam o investimento extra na geração das expressões simbólicas. Conforme Cerrolaza et al. (212), para o caso dos elementos finitos tridimensionais a quantidade de coeficientes para integração é muito elevada e complexa, tornando a otimização e redução do tempo de CPU ao integrar as matrizes de rigidez a maior preocupação dos pesquisadores. Em seu estudo os autores reduziram ao máximo o número de integrações do elemento hexaédrico. Usaram a simetria da matriz do elemento e reduziram os termos na parte simétrica da matriz. Os resultados mostraram que a matriz de rigidez simbólica simplificada apresentou maior eficiência que a integração de Gauss. 1.4 Limitações do Trabalho As principais limitações deste trabalho são: Os elementos triangulares e tetraédricos foram formulados para lados retos. Entretanto, comparação com resultados e desempenho para formulações com lados curvos seriam interessantes; As formulações são para materiais homogêneos e isotrópicos aplicados à elasticidade linear, portanto não foram consideradas as não linearidades; Não foi desenvolvido um método de refinamento localizado; Um metódo de estimativa de erro não foi abordado; O código depende de uma malha prévia (inicial) de um pré-processador externo.

29 Capítulo 1. INTRODUÇÃO Estrutura do Trabalho No segundo capítulo serão apresentados os fundamentos da teoria da elasticidade necessários ao desenvolvimento do tema proposto por esse trabalho. Será desenvolvida a equação governante para corpos sob ação de forças externas, a montagem da matriz constitutiva para elasticidade 2D e 3D, e as principais relações cinemáticas. O terceiro capítulo descreve a formulação geral dos elementos finitos tridimensionais (com posterior simplificação para o casos bidimensional) aplicando o método dos resíduos ponderados de Galerkin. Será apresentada a expressão geral para as matrizes de rigidez, forças de superfície e forças de corpo. No quarto capítulo será abordada a formulação da matriz de rigidez e obtenção das funções de forma para elementos de ordem superior. Os elementos apresentados serão o elemento triangular aplicando coordenadas de áreas e elementos tetraédricos aplicando coordenadas de volume. O quinto capítulo descreve a obtenção do vetor de força de superfície para elementos triangulares e tetraédricos de alta ordem. No sexto capítulo surge a formulação do vetor de força de corpo e a formulação geral da expressão para obtenção da matriz de massa consistente, necessária à análise modal. No sétimo capítulo serão abordados os principais aspectos computacionais dos códigos desenvolvidos durante esse trabalho, sendo eles: Código para criação da matriz de rigidez e massa explícita e vetores de força de superfície e força de corpo; Código para refinamento-p de malhas, partindo de elementos triangulares com três nós ou elementos tetraédricos com quatro nós; Código para análise estática e modal. No oitavo capítulo será apresentada a análise do custo computacional entre elementos utilizando matrizes explícitas versos integração numérica. Também serão apresentados e discutidos problemas práticos envolvendo aplicações bidimensionais e tridimensionais. Por fim, o nono capítulo apresentará as considerações finais do trabalho, bem como sugestões para trabalhos futuros.

30 3 2 FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE A Figura 2.1 apresenta um esquema simplificado para o estado de tensões em um ponto qualquer de um sólido: Z σz Ʊ d Ʊ σx+ ᵨ σx x ᵨ dx Y σy Ƭyz Ƭyz fz fx fy σz+ ᵨ Ƭxz Ƭxz Ƭxy Ƭxy σz dz z ᵨ σx X Figura 2.1 Equilíbrio de um elemento infinitesimal de um contínuo. Onde, σ x, σ y e σ z são as tensões normais em cada plano; τ xy,τ xz e τ yz são as tensões de cisalhamento; e f x, f y e f z são as forças de corpo. Segundo Logan (26) as forças de corpo podem surgir devido ao peso do corpo (forças gravitacionais), velocidade angular (força centrífuga), forças inerciais na dinâmica ou forças magnéticas. Na Figura 2.2 são apresentadas as tensões atuantes em cada um dos três planos, de modo a facilitar a análise do equilibro do sólido.

31 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 31 σy σz Y σx Ƭxy fy Ƭxy+ fx ᵨ ᵨ Ƭxy y dy Ƭxy+ ᵨ Ƭxy dx x ᵨ σx+ ᵨ σx dx x ᵨ Z σy Ƭyz fz Ƭyz+ fy ᵨ Ƭyz dz z ᵨ Ƭyz+ ᵨ Ƭyz y dy ᵨ σy+ ᵨ σy dy y ᵨ X σy+ ᵨ σy y dy ᵨ (a) Plano x-y Y σz+ ᵨ σz dz z ᵨ (b) Plano y-z σz Z σx Ƭxz fz Ƭxz+ fx ᵨ Ƭxz dz z ᵨ Ƭxz+ ᵨ Ƭxz x dx ᵨ σx+ ᵨ σx dx x ᵨ X σz+ ᵨ σz dz z ᵨ (c) Plano x-z Figura 2.2 Equilíbrio de um elemento. Para o equilíbrio na direção x: ΣF x = (2.1) (σ x + σ x x dx)dydz σ xdydz + (τ xy + τ xy y dy)dxdz τ xydxdz+ + (τ xz + τ xz z dz)dxdy τ xzdxdy + f x dxdydz = (2.2) Simplificando os termos temos: σ x x + τ xy y + τ xz z + f x = (2.3) Por analogia temos para ΣF y = : σ y y + τ yz z + τ xy x + f y = (2.4) Para ΣF z =, temos: σ z z + τ xz x + τ yz y + f z = (2.5)

32 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 32 Portanto as equações governantes do problema são dados pelas expressões (2.3), (2.4) e (2.5). Estando um corpo sob ação de esforços externos, a exemplo da Figura 2.1, este sofre mudanças em sua forma e dimensões, passando de uma configuração indeformada para uma deformada (Figura 2.3). Um ponto A qualquer possui as coordenadas x, y e z em sua posição inicial, após a ação dos esforços externos o ponto A passa para posição A* de coordenadas x + u, y + v e z + w ficando o campo de deslocamentos determinado pelas funções: u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) (2.6) w = w(x, y, z) y Configuração deformada Configuração indeformada A* A x z Figura 2.3 Deformações e deslocamentos de um corpo qualquer. As principais propriedades, equações e relações constitutivas da elasticidade são itens de fundamental importância aos estudos das deformações e tensões nos materiais que compõem os sólidos, diante disso vários autores, a exemplo de Villaça e Garcia (2), detalham suas formulações. A primeira etapa é determinar a matriz constitutiva do material. Partiremos da lei de Hooke: σ = Eε (2.7) Onde, σ é a tensão longitudinal, E é o modulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young, e ε é a deformação.

33 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 33 Ƭxy y dx σx y Ƭxy Ƭxy z x δx Ƭxy x (a) deformações devido à tensão no eixo x z (b) distorção angular Figura 2.4 Corpo deformado. Considerando a Figura 2.4.a, com deformações apenas no eixo X, podemos observar que a peça sofreu um alongamento na direção da tensão, sendo também perceptível que o material sofreu um encurtamento lateral nas direções dos eixos Y e Z. Esse encurtamento lateral é representado pelo coeficiente de Poisson, ν, sendo que este é determinado através de ensaios de laboratório. As seguintes expressões mostram esse encurtamento lateral: ε y = ν σ x E ε z = ν σ x E (2.8a) (2.8b) O alongamento longitudinal é dado por: ε x = σ x E (2.9) De forma análoga podemos determinar as deformações longitudinais e encurtamentos para os demais eixos, e em seguida acumular a deformação em cada eixo, obtendo as expressões a seguir: ε x = σ x E ν σ y E ν σ z E ε y = ν σ x E + σ y E ν σ z E ε z = ν σ x E ν σ y E + σ z E (2.1a) (2.1b) (2.1c) A seguir, temos de forma matricial o alongamento considerando as três dimensões: ε x 1 ν ν σ ε y = 1 x E ν 1 ν σ y (2.11) ε z ν ν 1 σ z

34 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 34 Além das deformações longitudinais e encurtamentos laterais o material também pode sofrer uma distorção angular em decorrência das tensões de cisalhamento, conforme mostrado na Figura 2.4.b. A expressão que apresenta essa distorção é a seguinte: γ xy = τ xy G, γ yz = τ yz G, γ zx = τ zx G (2.12) Onde, γ é a distorção angular, τ é a tensão de cisalhamento e G é o módulo cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal. Sendo G dado por: G = E 2(1 + ν) (2.13) Combinando a expressão(2.1) com a expressão(2.12), obtemos em forma matricial para deformações: ε x 1 ν ν σ x ε y ν 1 ν σ y ε z = 1 ν ν 1 σ z (2.14) E γ xy 2(1 + ν) τ xy γ yz 2(1 + ν) τ yz γ zx 2(1 + ν) τ zx Resolvendo para tensões, obtemos: σ x σ y σ z = τ xy τ yz τ zx E (1 + ν)(1 2ν) 1 ν ν ν ν 1 ν ν ν ν 1 ν 1 2ν 2 1 2ν 2 1 2ν 2 ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx (2.15) De forma compacta a equação 2.15 é dada por: {σ} = [D]{ε} (2.16)

35 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 35 Onde, [D] é a matriz constitutiva do material. Na elasticidade bidimensional pode-se trabalhar com estado plano de tensões ou estado plano de deformações. O estado plano de tensões é aplicado à estruturas com espessura muito inferior a largura e comprimento, e tensões nulas no eixo da espessura. Por sua vez, o estado plano de deformações é aplicado a problemas onde o comprimento normal ao plano da seção é muito superior a seção transversal, apresentando deformações apenas nos eixos da seção, sendo a deformação na direção do comprimento considerada nula. Para o estado plano de tensões existem tensões em apenas duas direções, conforme ilustrado pela Figura 2.5. Y Z X Figura 2.5 Estado plano de tensões. Logan (26) define que para o estado plano de tensões a tensão normal e de cisalhamento perpendiculares ao plano do elemento são nulas, portanto: σ z = τ yz = τ zx = (2.17) σ x, σ yz, τ xy (2.18) Substituindo as expressões acima na expressão(2.14) (matriz constitutiva) obtemos para deformações: ε x 1 ν σ ε y = 1 x E ν 1 σ y (2.19) γ xy 2(1 + ν) τ xy

36 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 36 Resolvendo para tensões, obtemos: σ x 1 ν ε σ y = E x 1 ν 2 ν 1 ε y τ xy 1 ν γ 2 xy (2.2) Para o estado plano de deformações existem deformações em apenas duas direções e tensões ao longo de seu comprimento, conforme ilustrado pela Figura 2.6. Y Z X Figura 2.6 Estado plano de deformações. Logan (26) define que para estado plano de deformações as deformações perpendiculares ao eixo x-y são nulas, sendo essa premissa válida para corpos longos na direção do eixo z, portanto: ε z = γ yz = γ zx = (2.21) ε x, ε y, γ xy (2.22) Substituindo as expressões acima na expressão(2.15) (matriz constitutiva) obtemos para tensões: σ x 1 ν ν ε x E σ y = (1 + ν)(1 2ν) ν 1 ν ε y (2.23) 1 2ν τ xy γ 2 xy Resolvendo para deformações, obtemos: ε x 1 ν ν σ ε y = 1 + ν x E ν 1 ν σ y (2.24) γ xy 2 τ xy

37 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 37 Relações Cinemáticas Conforme Villaça e Garcia (2) admite-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração, para relação entre as componentes de deformação e de deslocamento. Por essa hipótese as deformações e rotações sofridas pelos segmentos elementares são consideradas muito pequenas em presença da unidade. Como consequência, as relações deformação-deslocamento podem basear-se em projeções sobre os planos coordenados, dos segmentos elementares na configuração deformada que originalmente tinham a direção dos eixos. y u+ ᵨ u y dy ᵨ u y dy C* v y dy v x dx ᵨ ᵨ v+ C A* ɸ B* v x dx y v x A dy dx u B u+ ᵨ u x dx ᵨ v+ x z Figura 2.7 Deformações e deslocamentos. Fonte: Villaça e Garcia, 2. Supondo que um corpo sofra deformações e deslocamentos conforme a Figura 2.7, obtemos as seguintes expressões, conforme apresentado por Villaça e Garcia (2): dx + u + u x dx = u + A* B * cos φ dy + v + v y dy = v + A* C * cos ψ φ + ψ = π 2 C* A * B * sin φ = sin ψ = v dx x A * B * u dy y A * C * (2.25a) (2.25b) (2.25c) (2.25d) (2.25e)

38 Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 38 Tendo em vista a hipótese dos pequenos deslocamentos e rotações são validas as seguintes aproximações: A * B * = dx(1 + ε x ) (2.26a) A * C * = dy(1 + ε y ) (2.26b) π 2 C* A * B * = γ xy (2.26c) sin φ = φ, cos φ = 1, sin ψ = ψ, cos ψ = 1 (2.26d) Substituindo as expressões(2.26) nas expressões(2.25), obtemos: dx + u x dx = dx(1 + ε x) dy + v y dy = dy(1 + ε y) φ + ψ = γ xy v x φ = dx dx(1 + ε x ) u y ψ = dy dy(1 + ε y ) (2.27a) (2.27b) (2.27c) (2.27d) (2.27e) Da expressão(2.27a) e (2.27b), obtemos: ε x = u x, ε y = v y (2.28) Das expressões(2.27c), (2.27d) e (2.27e), e sendo ε x e ε y muito pequenos em presença da unidade, temos: γ xy = u y + v x (2.29) Após projeção nos outros dois planos coordenados, obtemos as demais expressões para deslocamento e rotação. Temos assim as relações deformação-deslocamento para os três planos: γ xy = u y + v x, ε x = u x, γ xz = u z + w x, ε y = v y, ε z = w z γ yz = v z + w y (2.3)

39 39 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 3.1 Introdução O conceito principal do Método dos Elementos Finitos é encontrar a solução de um problema complexo substituindo-o por um mais simples. Para solução de um problema qualquer divide-se a região complexa em varias sub-regiões, onde sua solução individual é obtida de forma simples sem a necessidade de grandes simplificações do problema completo. A importância do MEF torna-se evidente nas aplicações complexas, em domínios irregulares e em especial nos problemas em três dimensões, ondes os cálculos analíticos são muito complicados e podem necessitar grandes simplificações. Nesse capitulo será abordada a formulação do MEF aplicado a problemas de Elasticidade Bidimensional e Tridimensional. 3.2 Formulação do Método dos Elementos Finitos Segundo Kwon e Bang (1996) a solução do problema de elasticidade pode ser resolvido através do Método dos Elementos Finitos, aplicaremos a forma fraca do método por resíduos ponderados de Galerkin. Este método é aplicado a partir da integração por partes da expressão (3.1): A W p R b da com, (3.1) W p = f b b (3.2) onde, R b é o resíduo; f b função aproximadora; e W p é a função peso (derivada parcial da função aproximadora, em cada eixo, para cada grau de liberdade). Sendo as expressões (2.3), (2.4) e (2.5) as equações governantes do problema e

40 Capítulo 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 4 aplicando o método de Galerkin, temos: W 1 ( σx x + τxy + τxz ) y z W 2 ( σy + τyz + τxy ) dv + y z x V W 3 ( σz z + τxz x + τyz ) y V W 1 f x W 2 f y dv = (3.3) W 3 f z Aplicando integração por partes no primeiro termo, obtemos: W 1 x σ x W 1 σ x W 2 y σ y dxdydz + W 2 τ xy dydz+ W 3 z σ z W 3 τ xz W 1 y τ xy W 1 τ xy W 2 z τ dxdydz + yz W 2 σ y dxdz+ W 3 x τ xz W 3 τ yz W 1 z τ xz W 1 τ xz W 2 x τ xy dxdydz + W 2 τ yz dxdy = W 3 y τ yz W 3 σ z (3.4) Simplificando os termos e adicionando o segundo termo da equação (3.3), ficamos com: W 1 x σ x + W 1 y τ xy + W 1 z τ xz W W 2 V y σ y + W 2 z τ yz + W 1 q x W 1 f x 2 x τ xy dv + W A 2 q y da + W V 2 f y dv = (3.5) W 3 z σ z + W 3 x τ xz + W 3 y τ yz W 3 q z W 3 f z A partir do primeiro termo da equação (3.5) é obtido a matriz de rigidez, o segundo termo as forças nodais equivalentes e o terceiro termo as forças de corpo. Para determinação da matriz de rigidez tomamos o primeiro termo da expressão

41 Capítulo 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 41 (3.5), apresentado de outra forma: V W 1 x W 2 y W 3 z W 1 y W 2 x W 2 z W 3 y W 1 z W 3 x σ x σ y σ z dv (3.6) τ xy τ yz τ xz Mas sabemos de (2.15) e (2.16) que: {σ} = [D]{ε} (3.7) Substituindo em (3.6): V W 1 x W 2 y W 3 z W 1 y W 2 x W 2 z W 3 y W 1 z W 3 x ε x ε y ε z [D] da (3.8) γ xy γ yz γ xz De (2.3) sabe-se que: ε x u x ε y ε z = γ xy v y w z u + v y x (3.9) γ yz γ xz v + w z y u + w z x

42 Capítulo 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 42 Aplicando (3.9) em (3.8) resulta em: V W 1 x Sendo: W 2 y W 3 z W 1 y W 2 x W 2 z W 3 y W 1 z W 3 x u x v y w z [D] dv (3.1) u + v y x v + w z y u + w z x u(x, y, z) = H 1 (x, y, z)u 1 + H 2 (x, y, z)u H i (x, y, z)u i (3.11) v(x, y, z) = H 1 (x, y, z)v 1 + H 2 (x, y, z)v H i (x, y, z)v i (3.12) w(x, y, z) = H 1 (x, y, z)w 1 + H 2 (x, y, z)w H i (x, y, z)w i (3.13) W 1(i) = u(x, y, z) u i, W 2(i) = v(x, y, z) v i, W 3(i) = w(x, y, z) w i (3.14) Onde, i varia de 1 ao número de nós do elemento; H i são as funções de forma em cada nó do domínio; W 1(i) é a função peso aplicada a cada nó "i"do domínio no eixo x; e de forma análoga W 2(i) e W 3(i) são os pesos aplicados respectivamente às funções de forma nos eixos y e z. Substituindo (3.11), (3.12) e (3.13) em (3.9) e W 1 = W 2 = W 3, temos de forma

43 Capítulo 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 43 genérica: u 1 v 1 u x v y w z = u + v y x v + w z y u + w z x H 1 x H 2 x H 1 y H 2 y H i x H 1 z H 2 z H 1 y H 1 z H 1 H 2 x y H 1 H 1 z x H 1 H 2 y z H 2 x H i y H 2 y H 2 z H 2 x H i y H i z H i x H i z H i z H i y H i x w 1 u 2 v 2 w 2... (3.15) u i v i w i A expressão(3.15) pode ser representada por: {ε} = [B] {d} (3.16) E aplicando (3.14) e (3.15) em (3.1) ficamos com a expressão compacta a seguir: [K]{d} = [B] T [D][B]dV {d} (3.17) V

44 Capítulo 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 44 onde, [B] T = H 1 x H 1 y H 2 x H 1 z H 2 y. H i x. H 2 z. H i y H i z H 1 y H 1 x H 2 y H 2 x. H i y H i x H 1 z H 1 y H 2 z H 2 y. H i z H i y H 1 z H 1 x H 2 z H 2 x. H i z H i x (3.18) Dessa forma, temos a expressão para matriz de rigidez para elementos tridimensionais: [K] = V [B] T [D][B]dV (3.19) Para o caso bidimensional a espessura da estrutura é constante, desse modo podemos reduzir as expressões tridimensionais (3.18) e (3.19) para expressões bidimensionais, são elas respectivamente: [B] = H 1 x H 2 x H 1 y H 2 y H 1 y H 1 x H 2 y H 2 x H i x H i y H i y H i x (3.2) [K] = t [B] T [D][B]dA (3.21) A Onde, t é a espessura (constante) do elemento na direção normal ao plano. A integração analítica das expressões (3.19) e (3.21) para elementos de ordem superior demanda elevado custo computacional, sendo as estratégias usuais para contornar esse problema a obtenção da matriz de rigidez de forma explícitas ou através da integração numérica de Gauss. Com essas técnicas a integração analítica para cada elemento do sistema é evitada e por consequência o custo computacional é reduzido.

45 45 4 FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 4.1 Elemento Bidimensional Triangular O tempo de processamento para códigos utilizando elementos finitos de ordem superior é bastante elevado devido às constantes de integrações para montagem das matrizes globais. Os estudos desenvolvidos por Anyaegbunam e Ojiako (211), Moser e Swoboda (1977), Subramaniant e Jeyachandra (1981) e Videla, et al. (1996), mostram que o problema pode ser contornado a partir da formulação matrizes explícitas para os elementos de ordem superior, evitando assim a integração numérica durante o processamento dos dados Formulação em coordenadas de área Cada nó possui dois graus de liberdade, sendo eles os deslocamentos no eixo X e Eixo Y. Assan (23), transforma as coordenadas cartesianas em coordenadas de área para em seguida deduzir as funções de forma por coordenadas de área. Nesse sistema as coordenadas são relacionadas aos lados do elemento triangular e variam de a 1. São definidas três coordenadas ξ 1, ξ 2 e ξ 3 para a distância relativa entre cada lado do triângulo e seu nó oposto, conforme ilustrado pela Figura 4.1: ξ1= 2 ξ1=1/2 ξ1=1 1 2 ξ2=1 ξ2=3/4 ξ2=1/2 ξ2=1/4 ξ2= ξ3= ξ3=1/4 ξ3=1/2 3 ξ1=1/4 ξ1=3/4 3 3 ξ3=3/4 ξ3=1 Figura 4.1 Distância relativas das coordenadas de áreas. ξ 3 : A Figura 4.2 apresenta a variação das funções de forma de primeiro grau ξ 1, ξ 2 e

46 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ Figura 4.2 Variação das funções de forma linear. Fonte: Assan, 23. Conforme apresentado por Assan(23), a relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas de área, pode ser obtida a partir da análise da Figura 4.3, onde tomamos um ponto p de coordenada x e y. y y 2(,1) h2 y l23ξ2f2 P y y3 l23ξ2 3(,) l31ξ1 h1ξ1 P h2ξ2 1(1,) y3 p f2 f1 q r l31ξ1f1 h1 x3 x x j i x3 x x (a) Coordenadas de área (b) Representação Vetorial Figura 4.3 Elemento Triangular. Fonte: Assan, 23 Sendo, i e j bases vetoriais em relação a x e y, f 1 e f 2 bases vetoriais em relação a ξ 1 e ξ 2, r, p, e q vetores de posição. Da Figura 4.3(b), temos: r = p + q = x i + y j (4.1) p = x 3 i + y 3 j (4.2)

47 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 47 q = l 13 ξ 1 f1 + l 23 ξ 2 f2 (4.3) Substituindo (4.2) e (4.3) em (4.1), temos: r = x 3 i + y 3 j + l 13 ξ 1 f1 + l 23 ξ 2 f2 (4.4) Projetando os vetores l 13 f1 e l 23 f2 sobre os eixos cartesianos: l 13 f1 = (x 1 x 3 ) i + (y 1 y 3 ) j (4.5) l 23 f2 = (x 2 x 3 ) i + (y 2 y 3 ) j (4.6) Substituindo (4.5), (4.6) e (4.1) em (4.4): x i + y j = x 3 i + y 3 j + ξ 1 (x 1 x 3 ) i + ξ 2 (x 2 x 3 ) i + ξ 1 (y 1 y 3 ) j + ξ 2 (y 2 y 3 ) j (4.7) Simplificando (4.7), ficamos em termos de x e y: x = x 3 + ξ 1 (x 1 x 3 ) + ξ 2 (x 2 x 3 ) = ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + (1 ξ 1 ξ 2 )x 3 (4.8) y = y 3 + ξ 1 (y 1 y 3 ) + ξ 2 (y 2 y 3 ) = ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + (1 ξ 1 ξ 2 )y 3 (4.9) Na abordagem com coordenadas de área um ponto no interior do elemento triangular divide o domínio em três áreas (A 1, A 2 e A 3 ) conforme Figura 4.4, onde a altura de cada triângulo interno é uma proporção da altura total. y ξ1= l23 2(,1,) 3(,,1) A1 P A3 l12 ξ3= A2 l31 ξ2= 1(1,,) x Figura 4.4 Triângulo dividido em áreas. Fonte: Assan, 23.

48 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 48 Da Figura 4.4 podemos extrair as seguintes conclusões: A = A 1 + A 2 + A 3 (4.1) A 1 = l 23(h 1 ξ 1 ) 2 A 2 = l 31(h 2 ξ 2 ) 2 A 3 = l 12(h 3 ξ 3 ) 2 = ξ 1 A (4.11a) = ξ 2 A (4.11b) = ξ 3 A (4.11c) Substituindo (4.11) em (4.1) e dividindo por A (área do triângulo), resulta: 1 = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 (4.12) Partindo da expressão (4.12) podemos reescrever as expressões (4.8) e (4.9) da seguinte forma: x = ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + ξ 3 x 3 (4.13) y = ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + ξ 3 y 3 (4.14) Da expressão (4.11) podemos obter o valor de ξ 1, ξ 2 e ξ 3 : ξ 1 = A 1 A, ξ 2 = A 2 A, ξ 3 = A 3 A Sendo A, A 1, A 2 e A 3 dados por: 1 x A = 1 1 y 1 1 x y 2 det 1 x 2 y 2, A 1 = 1 2 det 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 x 3 y 3 1 x A 2 = 1 1 y 1 1 x 2 det 1 x y, A 3 = 1 1 y 1 2 det 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 x y Aplicando 4.16 em 4.15 temos: ξ 1 = 1 2A [x(y 2 y 3 ) + y(x 3 x 2 ) + (x 2 y 3 x 3 y 2 )] ξ 2 = 1 2A [x(y 3 y 1 ) + y(x 1 x 3 ) + (x 1 y 3 x 3 y 1 )] ξ 3 = 1 2A [x(y 1 y 2 ) + y(x 2 x 1 ) + (x 1 y 2 x 2 y 1 )] (4.15) (4.16a) (4.16b) (4.17a) (4.17b) (4.17c)

49 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 49 Em seguida podemos determinar as coordenadas (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) para cada nó do elemento T6, T1, T15 e T21: Figura 4.5 Elementos T6, T1, T15 e T21. Tabela 4.1 Coordenadas de Área - Elemento Triangular Nó T6 T1 T15 T21 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 1 ξ 2 ξ /2 1/2 2/3 1/3 3/4 1/4 4/5 1/5 5 1/2 1/2 1/3 2/3 1/2 1/2 3/5 2/5 6 1/2 1/2 2/3 1/3 1/4 3/4 2/5 3/5 7 1/3 2/3 3/4 1/4 1/5 4/5 8 1/3 2/3 1/2 1/2 4/5 1/5 9 2/3 1/3 1/4 3/4 3/5 2/5 1 1/3 1/3 1/3 1/4 3/4 2/5 3/5 11 1/2 1/2 1/5 4/5 12 3/4 1/4 1/5 4/5 13 1/2 1/4 1/4 2/5 3/5 14 1/4 1/2 1/4 3/5 2/5 15 1/4 1/4 1/2 4/5 1/5 16 3/5 1/5 1/5 17 2/5 2/5 1/5 18 1/5 3/5 1/5 19 1/5 2/5 2/5 2 1/5 1/5 3/5 21 2/5 1/5 2/5

50 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 5 Azevedo (23) mostra que o polinômio completo que representa as funções de interpolação pode ser obtido através do Triângulo de Pascal conforme a Figura ξ 1 ξ 2 T3 ξ1 2 ξ 1 ξ 2 ξ2 2 T6 ξ1 3 ξ1ξ 2 2 ξ 1 ξ2 2 ξ2 3 T1 ξ1 4 ξ1ξ 3 2 ξ1ξ ξ 1 ξ2 3 ξ2 4 T15 ξ1 5 ξ1ξ 4 2 ξ1ξ ξ1ξ ξ 1 ξ2 4 ξ2 5 T21 Figura 4.6 Triângulo de Pascal Substituindo as coordenadas de cada nó em seu respectivo polinômio completo, forma-se um sistema de equações com o qual será possível determinar as constantes das funções de interpolação. Tomemos como exemplo o elemento T6, sendo sua função de forma: u(ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) = c 1 + c 2 ξ 1 + c 3 ξ 2 + c 4 ξ1 2 + c 5 ξ 1 ξ 2 + c 6 ξ2 2 (4.18) Onde c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 e c 6 são constantes. Substituindo as coordenadas de área na expressão (4.18) obtemos o sistema: u 1 (1,, ) = c 1 + c 2 + c 4 u 2 (, 1, ) = c 1 + c 3 + c 6 u 3 (,, 1) = c 1 u 4 ( 1 2, 1 2, ) = c 1 + c c c c c 6 4 u 5 (, 1 2, 1 2 ) = c 1 + c c 6 4 u 6 ( 1 2,, 1 2 ) = c 1 + c c 4 4 Em forma matricial: c 1 u c 2 u 2 1 c 3 u 3 = c 4 u c 5 u c u 6 (4.19) (4.2)

51 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 51 Resolvendo o sistema da expressão (4.2), obtemos os valores das constantes: c 1 u 3 c 2 4u 6 3u 3 u 1 c 3 = 4u 5 3u 3 u 2 (4.21) c 4 2u 1 + 2u 3 4u 6 c 5 4u 3 + 4u 4 4u 5 4u 6 c 6 2u 2 + 2u 3 4u 5 De posse do valor das constates, basta substituir na expressão (4.18): u =(2u 1 + 2u 3 4u 6 )ξ (4u 3 + 4u 4 4u 5 4u 6 )ξ 1 ξ 2 + (4u 6 3u 3 u 1 )ξ 1 + (2u 2 + 2u 3 4u 5 )ξ (4u 5 3u 3 u 2 )ξ 2 + u 3 (4.22) (4.12): Organizando a expressão (4.22) em termos dos nós e considerando a expressão u = (2ξ 2 1 ξ 1 )u 1 + (2ξ 2 2 ξ 2 )u 2 + (2ξ 2 3 ξ 3 )u 3 + (4ξ 1 ξ 2 )u 4 + (4ξ 2 ξ 3 )u 5 + (4ξ 1 ξ 3 )u 6 (4.23) De forma geral a expressão (4.23) pode ser representada por: 6 u = H i u i i=1 (4.24) Da expressão (4.23) obtemos as funções de forma para cada nó do elemento T6: H 1 = ξ 1 (2ξ 1 1), H 4 = 4ξ 1 ξ 2 H 2 = ξ 2 (2ξ 2 1), H 5 = 4ξ 2 ξ 3 (4.25) H 3 = ξ 3 (2ξ 3 1), H 6 = 4ξ 1 ξ 3 As funções de forma apresentadas na expressão (4.25) são quadráticas e a Figura 4.7 ilustra seu comportamento: Figura 4.7 Variação das funções de forma quadrática. Fonte: Assan, 23.

52 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 52 De forma análoga podemos determinar as funções de forma para os demais elementos: Tabela 4.2 Funções de Forma Bidimensionais Elemento T 1 Elemento T 15 Elemento T 21 H 1 = 1 2 ξ 1(3ξ 1 1)(3ξ 1 2) H 1 = 1 3 ξ 1(2ξ 1 1)(4ξ 1 1)(4ξ 1 3) H 1 = 1 24 ξ 1(5ξ 1 1)(5ξ 1 2)(5ξ 1 3)(5ξ 1 4) H 2 = 1 2 ξ 2(3ξ 2 1)(3ξ 2 2) H 2 = 1 3 ξ 2(2ξ 2 1)(4ξ 2 1)(4ξ 2 3) H 2 = 1 24 ξ 2(5ξ 2 1)(5ξ 2 2)(5ξ 2 3)(5ξ 2 4) H 3 = 1 2 ξ 3(3ξ 3 1)(3ξ 3 2) H 3 = 1 3 ξ 3(2ξ 3 1)(4ξ 3 1)(4ξ 3 3) H 3 = 1 24 ξ 3(5ξ 3 1)(5ξ 3 2)(5ξ 3 3)(5ξ 3 4) H 4 = 9 2 ξ 1ξ 2 (3ξ 1 1) H 4 = 16 3 ξ 1ξ 2 (ξ 1 1)(4ξ 1 1) H 4 = ξ 1ξ 2 (5ξ 1 1)(5ξ 1 2)(5ξ 1 3) H 5 = 9 2 ξ 1ξ 2 (3ξ 2 1) H 5 = 4ξ 1 ξ 2 (ξ 1 1)(4ξ 2 1) H 5 = ξ 1ξ 2 (5ξ 1 1)(5ξ 1 2)(5ξ 2 1) H 6 = 9 2 ξ 2ξ 3 (3ξ 2 1) H 6 = 16 3 ξ 1ξ 2 (ξ 2 1)(4ξ 2 1) H 6 = ξ 1ξ 2 (5ξ 2 1)(5ξ 2 2)(5ξ 1 1) H 7 = 9 2 ξ 2ξ 3 (3ξ 3 1) H 7 = 16 3 ξ 2ξ 3 (ξ 2 1)(4ξ 2 1) H 7 = ξ 1ξ 2 (5ξ 2 1)(5ξ 2 2)(5ξ 2 3) H 8 = 9 2 ξ 1ξ 3 (3ξ 3 1) H 8 = 4ξ 2 ξ 3 (ξ 2 1)(4ξ 3 1) H 8 = ξ 2ξ 3 (5ξ 2 1)(5ξ 2 2)(5ξ 2 3) H 9 = 9 2 ξ 1ξ 3 (3ξ 1 1) H 9 = 16 3 ξ 2ξ 3 (ξ 3 1)(4ξ 3 1) H 9 = ξ 2ξ 3 (5ξ 2 1)(5ξ 2 2)(5ξ 3 1) H 1 = 27ξ 1 ξ 2 ξ 3 H 1 = 16 3 ξ 3ξ 1 (ξ 3 1)(4ξ 3 1) H 1 = ξ 2ξ 3 (5ξ 3 1)(5ξ 3 2)(5ξ 2 1) H 11 = 4ξ 3 ξ 1 (ξ 3 1)(4ξ 1 1) H 11 = ξ 2ξ 3 (5ξ 3 1)(5ξ 3 2)(5ξ 3 3) H 12 = 16 3 ξ 3ξ 1 (ξ 1 1)(4ξ 1 1) H 12 = ξ 3ξ 1 (5ξ 3 1)(5ξ 3 2)(5ξ 3 3) H 13 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 3 (4ξ 1 1) H 13 = ξ 3ξ 1 (5ξ 3 1)(5ξ 3 2)(5ξ 1 1) H 14 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 3 (4ξ 2 1) H 14 = ξ 3ξ 1 (5ξ 1 1)(5ξ 1 2)(5ξ 3 1) H 15 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 3 (4ξ 3 1) H 15 = ξ 3ξ 1 (5ξ 1 1)(5ξ 1 2)(5ξ 1 3) H 16 = ξ 1ξ 2 ξ 3 (5ξ 1 1)(5ξ 1 2) H 17 = ξ 1ξ 2 ξ 3 (5ξ 1 1)(5ξ 2 1) H 18 = ξ 1ξ 2 ξ 3 (5ξ 2 1)(5ξ 2 2) H 19 = ξ 1ξ 2 ξ 3 (5ξ 2 1)(5ξ 3 1) H 2 = ξ 1ξ 2 ξ 3 (5ξ 3 1)(5ξ 3 2) H 21 = ξ 1ξ 2 ξ 3 (5ξ 3 1)(5ξ 1 1)

53 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ Formulação da matriz de rigidez De posse das funções de forma podemos determinar a matriz B apresentada na expressão (3.2). Em termos de coordenadas de área resulta: [B] = H 1 x H 2 x H 1 y H 2 y H 1 y H 1 x H 2 y H 2 x H i x Com i variando de 1 a n, onde n é o número de nós do elemento. Sendo: H i y H i y H i x (4.26) ε x = u 3 x = u ξ j ξ j x j=1 (4.27) ε y = v 3 y = v ξ j ξ j y j=1 (4.28) γ xy = u y + v 3 x = u ξ j ξ j y + v ξ j ξ j x j=1 (4.29) Onde: ξ k y = x l x m 2A = a k 2A (4.3) ξ k x = y l y m 2A = b k 2A (4.31) Onde k,l,m=1,2,3. As derivadas são parciais dadas por: H i 3 x = b j H i 2A ξ j j=1 (4.32) H i 3 y = a j H i 2A ξ j j=1 (4.33)

54 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 54 Tomemos o elemento T6 como exemplo para obtermos a matriz B, basta substituir as funções de forma (4.25) na expressão (4.26), resultando de forma transposta: [B] T = 1 2A b 1 (4ξ 1 1) a 1 (4ξ 1 1) a 1 (4ξ 1 1) b 1 (4ξ 1 1) b 2 (4ξ 2 1) a 2 (4ξ 2 1) a 2 (4ξ 2 1) b 2 (4ξ 2 1) b 3 (4ξ 3 1) a 3 (4ξ 3 1) a 3 (4ξ 3 1) b 3 (4ξ 3 1) 4ξ 1 b 2 + 4ξ 2 b 1 4ξ 1 a 2 + 4ξ 2 a 1 4ξ 1 a 2 + 4ξ 2 a 1 4ξ 1 b 2 + 4ξ 2 b 1 4ξ 2 b 3 + 4ξ 3 b 2 4ξ 2 a 3 + 4ξ 3 a 2 4ξ 2 a 3 + 4ξ 3 a 2 4ξ 2 b 3 + 4ξ 3 b 2 4ξ 1 b 3 + 4ξ 3 b 1 4ξ 1 a 3 + 4ξ 3 a 1 4ξ 1 a 3 + 4ξ 3 a 1 4ξ 1 b 3 + 4ξ 3 b 1 (4.34) De forma análoga pode se determinar a matriz B para os demais elementos. Para obtermos a matriz de rigidez utilizamos a expressão (3.21) que pode ser apresentada da seguinte forma: [K] = t [B] T [D][B]dxdy (4.35) Sendo t a espessura do elemento plano. Onde [D] é a matriz de elasticidade bidimensional obtida a partir da teoria da elasticidade, podendo estar sob estado plano de deformação, expressão (2.23), ou sob estado plano de tensões, expressão (2.2). A matriz [D] pode ser representada da seguinte forma: D1 D2 [D] = D2 D1 D3 (4.36) Onde,

55 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 55 Para estado plano de deformações: E(1 v) D1 = (1 2v)(1 + v) Ev D2 = (1 2v)(1 + v) E D3 = 2(1 + v) (4.37) Para estado plano de tensões: E D1 = (1 v 2 ) D2 = Ev (1 v 2 ) E D3 = 2(1 + v) (4.38) Segundo Assan (23) a integral da expressão (4.35) requer muito tempo de processamento, um método para superar esse problema seria aplicar a expressão para integral de elementos triangulares em função das coordenadas de área: β ξ1ξ l 2 m ξ3 n l!m!n! da = β 2A (4.39) (l + m + n + 2)! Onde β são constantes. Com a aplicação da expressão (4.39) obtemos a matriz de rigidez para elementos triangulares, assim como é evitada a aplicação de processos de integração analítica ou numérica. Tomemos o primeiro termo da matriz de rigidez como forma de exemplificar a aplicação da expressão (4.39): Ke(1, 1) = t(d3a2 1 + D1b 2 1) 4A 2 (16ξ 2 1 8ξ 1 + 1)dA (4.4) Aplicando a expressão (4.39) ao integrando da expressão (4.4) temos: (16ξ1 2 8ξ 1 + 1)dA = 2A(16 2! 4! 81! 3! +! ) = A (4.41) 2! Portanto resulta para o primeiro termo da matriz de rigidez: Ke(1, 1) = t(d3a2 1 + D1b 2 1) 4A (4.42)

56 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ Elemento Tridimensional Tetraédrico O tempo de processamento para códigos utilizando elementos finitos tridimensionais de ordem superior é mais elevado que o caso bidimensional, consequentemente a integrações para montagem das matrizes globais possuem maior custo computacional. Por exemplo o elemento bidimensional cúbico possui matriz na ordem de 2x2, por sua vez o elemento cúbico tridimensional possui matriz na ordem de 6x6. O problema pode ser contornado a partir da formulação matrizes explícitas, assim como no caso bidimensional, evitando a integração numérica durante o processamento dos dados. Segundo Tahan, et al. (1995) A utilização de matrizes explícitas é um método eficiente pois sua solução é "fechada", evitando possíveis distorções de resultados ao utilizar a integração numérica Formulação em coordenadas de volume Cada nó possui três graus de liberdade, sendo eles os deslocamentos no eixo X, Eixo Y e Eixo Z. Rao(24) apresenta a formulação para transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas de volume para em seguida deduzir as funções de forma. No sistema de coordenadas de volume são relacionadas a distancia entre um plano do elemento tetraédrico e o nó oposto, com variação de a 1. São definidas quatro coordenadas ξ 1, ξ 2, ξ 3 e ξ 4 para a referida distancia relativa entre cada lado do tetraedro e seu nó oposto, conforme ilustrado pela Figura 4.8: 4 ξ4=1 ξ4=1/2 4 ξ4=1 2 ξ4= ξ4=1/ ξ4= (a) Perspectiva Tetraedro (b) Vista Tetraedro Figura 4.8 Distância relativas das Coordenadas de volume. A relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas de volume, pode ser obtida a partir da análise da Figura 4.9, onde tomamos um ponto P de coordenada x, y e z.

57 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 57 y 4(,,,1) l43ξ4 l23ξ2 h1ξ1 h2ξ2 P h4ξ4 2(,1,,) x z 3(,,1,) l13ξ1 1(1,,,) (a) Coordenadas de volume y y l43ξ4f3 l23ξ2f2 q P y3 p 3 f2 f3 f1 l13ξ1f1 r k j i x3 x x x z3 z z (b) Representação Vetorial Figura 4.9 Elemento Tetraédrico. Sendo, i, j e k bases vetoriais em relação a x y e z, f 1, f 2 e f 3 bases vetoriais em relação a ξ 1, ξ 2 e ξ 4, r, p, e q vetores de posição. Da Figura 4.9, temos: r = p + q = x i + y j + z k (4.43) p = x 3 i + y 3 j + z 3 k (4.44)

58 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 58 q = l 13 ξ 1 f1 + l 23 ξ 2 f2 + l 43 ξ 4 f3 (4.45) Substituindo (4.44) e (4.45) em (4.43), temos: r = x 3 i + y 3 j + z 3 k + l13 ξ 1 f1 + l 23 ξ 2 f2 + l 43 ξ 4 f3 (4.46) Projetando os vetores l 13 f1, l 23 f2 e l 43 f3 sobre os eixos cartesianos: l 13 f1 = (x 1 x 3 ) i + (y 1 y 3 ) j + (z 1 z 3 ) k (4.47) l 23 f2 = (x 2 x 3 ) i + (y 2 y 3 ) j + (z 2 z 3 ) k (4.48) l 43 f3 = (x 4 x 3 ) i + (y 4 y 3 ) j + (z 4 z 3 ) k (4.49) Substituindo (4.47), (4.48), (4.49) e (4.43) em (4.46): x i + y j + y k =x 3 i + ξ 1 (x 1 x 3 ) i + ξ 2 (x 2 x 3 ) i + ξ 4 (x 4 x 3 ) i+ y 3 j + ξ 1 (y 1 y 3 ) j + ξ 2 (y 2 y 3 ) j + ξ 4 (y 4 y 3 ) j+ (4.5) z 3 k + ξ1 (z 1 z 3 ) k + ξ 2 (z 2 z 3 ) k + ξ 4 (z 4 z 3 ) k Simplificando (4.5), ficamos em termos de x e y: x =x 3 + ξ 1 (x 1 x 3 ) + ξ 2 (x 2 x 3 ) + ξ 4 (x 4 x 3 ) x =ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + (1 ξ 1 ξ 2 ξ 4 )x 3 + ξ 4 x 4 (4.51) y =y 3 + ξ 1 (y 1 y 3 ) + ξ 2 (y 2 y 3 ) + ξ 4 (y 4 y 3 ) y =ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + (1 ξ 1 ξ 2 ξ 4 )y 3 + ξ 4 y 4 (4.52) z =z 3 + ξ 1 (z 1 z 3 ) + ξ 2 (z 2 z 3 ) + ξ 4 (z 4 z 3 ) z =ξ 1 z 1 + ξ 2 z 2 + (1 ξ 1 ξ 2 ξ 4 )z 3 + ξ 4 z 4 (4.53) Nas coordenadas de volume tomamos um ponto no interior do elemento tetraédrico e dividindo-o assim em quatro volumes (V 1, V 2, V 3 e V 4 ) conforme Figura 4.1, onde a altura de cada Tetraedro interno é uma proporção da altura total.

59 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 59 y 4(,,,1) V1 P V2 V3 V4 2(,1,,) x 3(,,1,) z 1(1,,,) Figura 4.1 Tetraedro dividido em volumes. Da Figura 4.1 podemos extrair as seguintes conclusões: A = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 (4.54) V 1 = 1 6 A 234(h 1 ξ 1 ) = ξ 1 V V 2 = 1 6 A 134(h 2 ξ 2 ) = ξ 2 V V 3 = 1 6 A 124(h 3 ξ 3 ) = ξ 3 V V 4 = 1 6 A 123(h 4 ξ 4 ) = ξ 4 V (4.55a) (4.55b) (4.55c) (4.55d) Substituindo (4.55) em (4.54) e dividindo por V (Volume do tetraedro), resulta: 1 = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 + ξ 4 (4.56) Partindo da expressão (4.56) podemos reescrever as expressões (4.51), (4.52) e (4.53) da seguinte forma: x = ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + ξ 3 x 3 + ξ 4 x 4 (4.57) y = ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + ξ 3 y 3 + ξ 4 y 4 (4.58) z = ξ 1 z 1 + ξ 2 z 2 + ξ 3 z 3 + ξ 4 z 4 (4.59)

60 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 6 Rao (24), demonstra o método para determinar os valores de ξ 1, ξ 2, ξ 3 e ξ 4. Para tal tomamos as expressões (4.56), (4.57), (4.58) e (4.59) em forma matricial: ξ 1 x x = 1 x 2 x 3 x 4 ξ 2 (4.6) y y 1 y 2 y 3 y 4 ξ 3 z z 1 z 2 z 3 z 4 ξ 4 A relação inversa da expressão (4.6) é dada por: ξ 1 a 1 b 1 c 1 d 1 1 ξ 2 = 1 a 2 b 2 c 2 d 2 x 6V ξ 3 a 3 b 3 c 3 d 3 y a 4 b 4 c 4 d 4 z ξ 4 (4.61)

61 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 61 Onde, 1 x 1 y 1 z 1 V = 1 6 det 1 x 2 y 2 z 2 = Volume do tetraedro (4.62a) 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 x 2 y 2 z 2 a 1 = det x 3 y 3 z 3 (4.62b) x 4 y 4 z 4 1 y 2 z 2 b 1 = det 1 y 3 z 3 (4.62c) 1 y 4 z 4 x 2 1 z 2 c 1 = det x 3 1 z 3 (4.62d) x 4 1 z 4 x 2 y 2 1 d 1 = det x 3 y 3 1 (4.62e) x 4 y 4 1 Conforme Rao (24) as demais constantes são obtidos através de uma permutação cíclica de subscritos 1, 2, 3 e 4. Em seguida podemos determinar as coordenadas (ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4 ) para cada nó do elemento TE4, TE1, TE2 e TE35: Figura 4.11 Elementos TE4, TE1, TE2 e TE35.

62 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 62 Tabela 4.3 Coordenadas de Volume - Tetraedro Nó TE4 TE1 TE2 TE35 ξ 1 ξ 2 vξ 3 ξ 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ /2 1/2 2/3 1/3 3/4 1/4 6 1/2 1/2 1/3 2/3 1/2 1/2 7 1/2 1/2 2/3 1/3 1/4 3/4 8 1/2 1/2 1/3 2/3 3/4 1/4 9 1/2 1/2 1/3 2/3 1/2 1/2 1 1/2 1/2 2/3 1/3 1/4 3/4 11 2/3 1/3 1/4 3/4 12 1/3 2/3 1/2 1/2 13 2/3 1/3 3/4 1/4 14 1/3 2/3 3/4 1/4 15 2/3 1/3 1/2 1/2 16 1/3 2/3 1/4 3/4 17 1/3 1/3 1/3 3/4 1/4 18 1/3 1/3 1/3 1/2 1/2 19 1/3 1/3 1/3 1/4 3/4 2 1/3 1/3 1/3 3/4 1/4 21 1/2 1/2 22 1/4 3/4 23 1/2 1/4 1/4 24 1/4 1/2 1/4 25 1/4 1/4 1/2 26 1/2 1/4 1/4 27 1/4 1/2 1/4 28 1/4 1/4 1/2 29 1/4 1/2 1/4 3 1/2 1/4 1/4 31 1/4 1/4 1/2 32 1/2 1/4 1/4 33 1/4 1/2 1/4 34 1/4 1/4 1/2 35 1/4 1/4 1/4 1/4

63 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 63 Segundo Azevedo (23) o polinômio completo que representa as funções de interpolação pode ser obtido através da Pirâmide de Pascal conforme a Figura TE4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 TE1 ξ1 2 ξ2 2 ξ3 2 ξ 1 ξ 2 ξ 2 ξ 3 ξ 1 ξ 3 TE2 ξ1 3 ξ2 3 ξ3 3 ξ 1 ξ2 2 ξ 2 ξ1 2 ξ 2 ξ3 2 ξ 3 ξ2 2 ξ 1 ξ3 2 ξ 3 ξ1 2 ξ 1 ξ 2 ξ 3 TE35 ξ1 4 ξ2 4 ξ3 4 ξ 1 ξ2 3 ξ 2 ξ1 3 ξ 2 ξ3 3 ξ 3 ξ2 3 ξ 1 ξ3 3 ξ 3 ξ1 3 ξ1ξ ξ2ξ ξ1ξ ξ 1 ξ 2 ξ3 2 ξ 1 ξ 3 ξ2 2 ξ 2 ξ 3 ξ1 2 Figura 4.12 Pirâmide de Pascal Em seguida, substituímos as coordenadas de cada nó em seu respectivo polinômio completo, formando um sistema de equações com o qual será possível determinar as constantes das funções de interpolação. Tomemos como exemplo o elemento T1, sendo sua função de forma: u(ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4 ) = c 1 +c 2 ξ 1 +c 3 ξ 2 +c 4 ξ 3 +c 5 ξ1 2 +c 6 ξ2 2 +c 7 ξ3 2 +c 8 ξ 1 ξ 2 +c 9 ξ 2 ξ 3 +c 1 ξ 1 ξ 3 (4.63) Onde c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6, c 7, c 8, c 9 e c 1 são constantes. Substituindo as coordenadas de área na expressão (4.63) obtemos o sistema: u 1 (1,,, ) = c 1 + c 2 + c 5 u 2 (, 1,, ) = c 1 + c 3 + c 6 u 3 (,, 1, ) = c 1 + c 4 + c 7 u 4 (,,, 1) = c 1 u 5 ( 1 2, 1 2,, ) = c 1 + c c c c c 8 4 u 6 (, 1 2, 1 2, ) = c 1 + c c c c c 9 4 u 7 ( 1 2,, 1 2, ) = c 1 + c c c c c 1 4 u 8 ( 1 2,,, 1 2 ) = c 1 + c c 5 4 u 9 (, 1 2,, 1 2 ) = c 1 + c c 6 4 u 1 (,, 1 2, 1 2 ) = c 1 + c c 7 4 (4.64)

64 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 64 Em forma matricial: c 1 u c 2 u c 3 u 3 1 c 4 u 4 1 1/2 1/2 1/4 1/4 1/4 c 5 u 5 = 1 1/2 1/2 1/4 1/4 1/4 c 6 u 6 1 1/2 1/2 1/4 1/4 1/4 c 7 u 7 1 1/2 1/4 c 8 u 8 1 1/2 1/4 c 9 u 9 1 1/2 1/4 c 1 u 1 (4.65) Resolvendo o sistema da expressão (4.65), obtemos os valores das constantes: c 1 u 4 c 2 4u 8 3u 4 u 1 c 3 4u 9 3u 4 u 2 c 4 4u 1 3u 4 u 3 c 5 = 2u 1 + 2u 4 4u 8 (4.66) c 6 2u 2 + 2u 4 4u 9 c 7 2u 3 + 2u 4 4u 1 c 8 4u 4 + 4u 5 4u 8 4u 9 c 9 c 1 4u 4 + 4u 6 4u 9 4u 1 4u 4 + 4u 7 4u 8 4u 1 De posse do valor das constates, basta substituir na expressão (4.63): u =u 4 + (4u 8 3u 4 u 1 )ξ 1 + (4u 9 3u 4 u 2 )ξ 2 + (4u 1 3u 4 u 3 )ξ 3 + (2u 1 + 2u 4 4u 8 )ξ1 2 + (2u 2 + 2u 4 4u 9 )ξ2 2 + (2u 3 + 2u 4 4u 1 )ξ3+ 2 (4u 4 + 4u 5 4u 8 4u 9 )ξ 1 ξ 2 + (4u 4 + 4u 6 4u 9 4u 1 )ξ 2 ξ 3 + (4u 4 + 4u 7 4u 8 4u 1 )ξ 1 ξ 3 (4.67)

65 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 65 (4.56): Organizando a expressão (4.67) em termos dos nós e considerando a expressão u =(2ξ 2 1 ξ 1 )u 1 + (2ξ 2 2 ξ 2 )u 2 + (2ξ 2 3 ξ 3 )u 3 + (2ξ 2 4 ξ 4 )u 4 + (4ξ 1 ξ 2 )u 5 + (4ξ 2 ξ 3 )u 6 + (4ξ 1 ξ 3 )u 7 + (4ξ 1 ξ 4 )u 8 + (4ξ 2 ξ 4 )u 9 + (4ξ 3 ξ 4 )u 1 (4.68) De forma geral a expressão (4.68) pode ser representada por: u = 1 i=1 u i H i (4.69) Da expressão (4.68) obtemos as funções de forma para cada nó do elemento TE1: H 1 = ξ 1 (2ξ 1 1) H 2 = ξ 2 (2ξ 2 1) H 3 = ξ 3 (2ξ 3 1) H 4 = ξ 4 (2ξ 4 1) H 5 = 4ξ 1 ξ 2 H 6 = 4ξ 2 ξ 3 (4.7) H 7 = 4ξ 1 ξ 3 H 8 = 4ξ 1 ξ 4 H 9 = 4ξ 2 ξ 4 H 1 = 4ξ 3 ξ 4 De forma análoga podemos determinar as funções de forma para os demais elementos:

66 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 66 Tabela 4.4 Funções de Forma Tridimensionais Elemento TE4 Elemento TE2 Elemento TE35 H 1 = ξ 1 H 1 = 1 2 (ξ 1(3ξ 1 1)(3ξ 1 2)) H 1 = 1 3 (ξ 1(2ξ 1 1)(4ξ 1 1)(4ξ 1 3)) H 2 = ξ 2 H 2 = 1 2 (ξ 2(3ξ 2 1)(3ξ 2 2)) H 2 = 1 3 (ξ 2(2ξ 2 1)(4ξ 2 1)(4ξ 2 3)) H 3 = ξ 3 H 3 = 1 2 (ξ 3(3ξ 3 1)(3ξ 3 2)) H 3 = 1 3 (ξ 3(2ξ 3 1)(4ξ 3 1)(4ξ 3 3)) H 4 = ξ 4 H 4 = 1 2 (ξ 4(3ξ 4 1)(3ξ 4 2)) H 4 = 1 3 (ξ 4(2ξ 4 1)(4ξ 4 1)(4ξ 4 3)) H 5 = 9 2 (ξ 1ξ 2 (3ξ 1 1)) H 5 = 1 3 (16ξ 1ξ 2 (2ξ 1 1)(4ξ 1 1)) H 6 = 9 2 (ξ 1ξ 2 (3ξ 2 1)) H 6 = 4ξ 1 ξ 2 (4ξ 1 1)(4ξ 2 1) H 7 = 9 2 (ξ 2ξ 3 (3ξ 2 1)) H 7 = 1 3 (16ξ 1ξ 2 (2ξ 2 1)(4ξ 2 1)) H 8 = 9 2 (ξ 2ξ 3 (3ξ 3 1)) H 8 = 1 3 (16ξ 2ξ 3 (2ξ 2 1)(4ξ 2 1)) H 9 = 9 2 (ξ 1ξ 3 (3ξ 3 1)) H 9 = 4ξ 2 ξ 3 (4ξ 2 1)(4ξ 3 1) H 1 = 9 2 (ξ 1ξ 3 (3ξ 1 1)) H 1 = 1 3 (16ξ 2ξ 3 (2ξ 3 1)(4ξ 3 1)) H 11 = 9 2 (ξ 1ξ 4 (3ξ 1 1)) H 11 = 1 3 (16ξ 1ξ 3 (2ξ 3 1)(4ξ 3 1)) H 12 = 9 2 (ξ 1ξ 4 (3ξ 4 1)) H 12 = 4ξ 1 ξ 3 (4ξ 1 1)(4ξ 3 1) H 13 = 9 2 (ξ 2ξ 4 (3ξ 2 1)) H 13 = 1 3 (16ξ 1ξ 3 (2ξ 1 1)(4ξ 1 1)) H 14 = 9 2 (ξ 2ξ 4 (3ξ 4 1)) H 14 = 1 3 (16ξ 1ξ 4 (2ξ 1 1)(4ξ 1 1)) H 15 = 9 2 (ξ 3ξ 4 (3ξ 3 1)) H 15 = 4ξ 1 ξ 4 (4ξ 1 1)(4ξ 4 1) H 16 = 9 2 (ξ 3ξ 4 (3ξ 4 1)) H 16 = 1 3 (16ξ 1ξ 4 (2ξ 4 1)(4ξ 4 1)) H 17 = 27ξ 1 ξ 2 ξ 4 H 17 = 1 3 (16ξ 2ξ 4 (2ξ 2 1)(4ξ 2 1)) H 18 = 27ξ 2 ξ 3 ξ 4 H 18 = 4ξ 2 ξ 4 (4ξ 2 1)(4ξ 4 1) H 19 = 27ξ 1 ξ 3 ξ 4 H 19 = 1 3 (16ξ 2ξ 4 (2ξ 4 1)(4ξ 4 1)) H 2 = 27ξ 1 ξ 2 ξ 3 H 2 = 1 3 (16ξ 3ξ 4 (2ξ 3 1)(4ξ 3 1)) H 21 = 4ξ 3 ξ 4 (4ξ 3 1)(4ξ 4 1) H 22 = 1 3 (16ξ 3ξ 4 (2ξ 4 1)(4ξ 4 1)) H 23 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 4 (4ξ 1 1) H 24 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 4 (4ξ 2 1) H 25 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 4 (4ξ 4 1) H 26 = 32ξ 2 ξ 3 ξ 4 (4ξ 2 1) H 27 = 32ξ 2 ξ 3 ξ 4 (4ξ 3 1) H 28 = 32ξ 2 ξ 3 ξ 4 (4ξ 4 1) H 29 = 32ξ 1 ξ 3 ξ 4 (4ξ 3 1) H 3 = 32ξ 1 ξ 3 ξ 4 (4ξ 1 1) H 31 = 32ξ 1 ξ 3 ξ 4 (4ξ 4 1) H 32 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 3 (4ξ 1 1) H 33 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 3 (4ξ 2 1) H 34 = 32ξ 1 ξ 2 ξ 3 (4ξ 3 1) H 35 = 256ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4

67 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ Formulação da matriz de rigidez De posse das funções de forma podemos determinar a matriz B apresentada na expressão (3.18). Em termos de coordenadas de volume resulta: [B] = H 1 x H 2 x H 1 y H 2 y H i x H 1 z H 2 z H 1 y H 1 z H 1 H 2 x y H 1 H 1 z x H 1 H 2 y z H 2 x H i y H 2 y H 2 z H 2 x H i y H i z H i x H i z H i z Com i variando de 1 a n, onde n é o número de nós do elemento. Sendo: H i y H i x (4.71) ε x = u 4 x = u ξ j ξ j x j=1 (4.72) ε y = v 4 y = v ξ j ξ j y j=1 (4.73) ε z = w 4 z = w ξ j ξ j z j=1 (4.74) γ xy = u y + v 4 x = u ξ j ξ j y + v ξ j ξ j x j=1 (4.75) γ yz = v z + w 4 y = v ξ j ξ j z + w ξ j ξ j y j=1 (4.76) γ xz = u z + w 4 x = u ξ j ξ j z + w ξ j ξ j x j=1 (4.77)

68 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 68 Onde: ξ k x = b k 6V (4.78) ξ k y = c k 6V (4.79) ξ k z = d k 6V (4.8) Onde k varia de 1 a 4. As derivadas são parciais dadas por: H i 4 x = b j 6V j=1 H i ξ j (4.81) H i 4 y = c j 6V j=1 H i ξ j (4.82) H i 4 z = d j 6V j=1 H i ξ j (4.83) Tomemos o elemento TE1 como exemplo. Para obtermos a matriz B, basta substituir as funções de forma (4.7) na expressão (4.71), resultando de forma transposta:

69 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 69 [B] T = 1 6V b 1 (4ξ 1 1) c 1 (4ξ 1 1) d 1 (4ξ 1 1) c 1 (4ξ 1 1) b 1 (4ξ 1 1) d 1 (4ξ 1 1) d 1 (4ξ 1 1) c 1 (4ξ 1 1) b 1 (4ξ 1 1) b 2 (4ξ 2 1) c 2 (4ξ 2 1) d 2 (4ξ 2 1) c 2 (4ξ 2 1) b 2 (4ξ 2 1) d 2 (4ξ 2 1) d 2 (4ξ 2 1) c 2 (4ξ 2 1) b 2 (4ξ 2 1) b 3 (4ξ 3 1) c 3 (4ξ 3 1) d 3 (4ξ 3 1) c 3 (4ξ 3 1) b 3 (4ξ 3 1) d 3 (4ξ 3 1) d 3 (4ξ 3 1) c 3 (4ξ 3 1) b 3 (4ξ 3 1) b 3 (4ξ 4 1) c 4 (4ξ 4 1) d 4 (4ξ 4 1) c 4 (4ξ 4 1) b 3 (4ξ 4 1) d 4 (4ξ 4 1) d 4 (4ξ 4 1) c 4 (4ξ 4 1) b 3 (4ξ 4 1) 4ξ 1 b 2 + 4ξ 2 b 1 4ξ 1 c 2 + 4ξ 2 c 1 4ξ 1 d 2 + 4ξ 2 d 1 4ξ 1 c 2 + 4ξ 2 c 1 4ξ 1 b 2 + 4ξ 2 b 1 4ξ 1 d 2 + 4ξ 2 d 1 4ξ 1 d 2 + 4ξ 2 d 1 4ξ 1 c 2 + 4ξ 2 c 1 4ξ 1 b 2 + 4ξ 2 b 1 4ξ 2 b 3 + 4ξ 3 b 2 4ξ 2 c 3 + 4ξ 3 c 2 4ξ 2 d 3 + 4ξ 3 d 2 4ξ 2 c 3 + 4ξ 3 c 2 4ξ 2 b 3 + 4ξ 3 b 2 4ξ 2 d 3 + 4ξ 3 d 2 4ξ 2 d 3 + 4ξ 3 d 2 4ξ 2 c 3 + 4ξ 3 c 2 4ξ 2 b 3 + 4ξ 3 b 2 4ξ 1 b 3 + 4ξ 3 b 1 4ξ 1 c 3 + 4ξ 3 c 1 4ξ 1 d 3 + 4ξ 3 d 1 4ξ 1 c 3 + 4ξ 3 c 1 4ξ 1 b 3 + 4ξ 3 b 1 4ξ 1 d 3 + 4ξ 3 d 1 4ξ 1 d 3 + 4ξ 3 d 1 4ξ 1 c 3 + 4ξ 3 c 1 4ξ 1 b 3 + 4ξ 3 b 1 4ξ 1 b 3 + 4ξ 4 b 1 4ξ 1 c 4 + 4ξ 4 c 1 4ξ 1 d 4 + 4ξ 4 d 1 4ξ 1 c 4 + 4ξ 4 c 1 4ξ 1 b 3 + 4ξ 4 b 1 4ξ 1 d 4 + 4ξ 4 d 1 4ξ 1 d 4 + 4ξ 4 d 1 4ξ 1 c 4 + 4ξ 4 c 1 4ξ 1 b 3 + 4ξ 4 b 1 4ξ 2 b 3 + 4ξ 4 b 2 4ξ 2 c 4 + 4ξ 4 c 2 4ξ 2 d 4 + 4ξ 4 d 2 4ξ 2 c 4 + 4ξ 4 c 2 4ξ 2 b 3 + 4ξ 4 b 2 4ξ 2 d 4 + 4ξ 4 d 2 4ξ 2 d 4 + 4ξ 4 d 2 4ξ 2 c 4 + 4ξ 4 c 2 4ξ 2 b 3 + 4ξ 4 b 2 4ξ 3 b 3 + 4ξ 4 b 3 4ξ 3 c 4 + 4ξ 4 c 3 4ξ 3 d 4 + 4ξ 4 d 3 4ξ 3 c 4 + 4ξ 4 c 3 4ξ 3 b 3 + 4ξ 4 b 3 4ξ 3 d 4 + 4ξ 4 d 3 4ξ 3 d 4 + 4ξ 4 d 3 4ξ 3 c 4 + 4ξ 4 c 3 4ξ 3 b 3 + 4ξ 4 b 3 (4.84)

70 Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 7 De forma análoga pode se determinar a matriz B para os demais elementos. Para o obtermos a matriz de rigidez utilizamos a expressão (3.19): [K] = [B] T [D][B]dV (4.85) Onde [D] é a matriz de constitutiva tridimensional obtida a partir da teoria da elasticidade. A integral da expressão (4.85) requer muito tempo de processamento, Segundo Rao (24) um método para superar esse problema surge com a expressão a seguir: β ξ1ξ k 2ξ l 3 m ξ4 n k!l!m!n! dv = β 6V (4.86) (k + l + m + n + 3)! Onde β são constantes. Com a aplicação da expressão (4.86) obtemos de forma simplificada a matriz de rigidez para elementos tetraédricos, assim como é evitada a aplicação de processos de integração analítica ou numérica.tomemos o primeiro termo da matriz de rigidez como forma de exemplificar a aplicação da expressão (4.86): Ke(1, 1) = E[2b2 1(1 v) + (c d 2 1)(1 2v)] 72V 2 (1 + v)(1 2v) (16ξ 2 1 8ξ 1 + 1)dV (4.87) Aplicando a expressão (4.86) ao integrando da expressão (4.87) temos: (16ξ 2 1 8ξ 1 + 1)dV = 6V (16 2! 5! 81! 4! +! 3! ) = 3V 5 (4.88) Portanto resulta para o primeiro termo da matriz de rigidez: Ke(1, 1) = E[2b2 1(1 v) + (c d 2 1)(1 2v)] 12V (1 + v)(1 2v) (4.89)

71 71 5 FORMULAÇÃO DO VETOR DE FOR- ÇAS DE SUPERFÍCIE 5.1 Elemento Tridimensional Tetraédrico As forças de superfície são formada pelas componentes q x, q y e q z sobre cada lado do elemento, conforme exemplificado pela Figura 5.1: y y y z qx x z qy x z qz x Figura 5.1 Forças de superfície atuando sobre o lado 124 do elemento tetraédrico. Para formulação do vetor de forças de superfície ou vetor de cargas nodais equivalentes tomemos o segundo termo da expressão (3.5): w 1 q x w r 2 q y dr w 3 q z (5.1) Aplicando a expressão (3.14) em (5.1), resulta: A H i H i H i q xi q yi q zi da (5.2) Onde i varia de 1 ao número de nós do elemento. Segundo Rao(24) as componentes q x, q y e q z variam de acordo com os deslocamentos, portanto a função que a representa é a mesma dos deslocamentos, resultando em:

72 Capítulo 5. FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE 72 q x1 q y1 q z1 q x q y q z H 1 H 2 H i = H 1 H 2 H i H 1 H 2 H i q x2 q y2 q z2.. (5.3) q xi q yi q zi Onde i varia de 1 ao número de nós do elemento. Aplicando (5.3) em (5.2) resulta de forma compacta em: A H T HqdA (5.4) Para a face 124, temos: r 124 = H T HqdA 124 (5.5) A 124 Vale lembrar que a face 124, a coordenada ξ 3 é nula. De forma análoga obtemos para as demais faces: r 234 = H T HqdA 234 (5.6) A 234 r 143 = H T HqdA 143 A 143 (5.7) r 123 = H T HqdA 123 A 123 (5.8) Como forma de exemplificar o ANEXO (A), apresenta a formulação dos vetores de força de superfície para o elemento TE1.

73 Capítulo 5. FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE Elemento Bidimensional Triangular No caso bidimensional as forças de superfície são formada pelas componentesq x e q y sobre cada lado do elemento, conforme exemplificado pela Figura 5.2: y y y 2 qy3 qy2 2 qy2 qy1 qx2 qx2 2 qx3 3 qx1 1 3 qx3 3 qy3 qy1 x 1 qx1 x 1 x Figura 5.2 Forças de superfície atuando sobre um elemento triangular. Como para elementos bidimensionais a espessura é constante a expressão (5.4) pode ser reduzida para: H T Hqdr (5.9) r Para o lado 31, o comprimento infinitesimal dr vale: dr = l 31 dξ 1 (5.1) Aplicando (5.1) em (5.9), resulta: r 31 = 1 l 31 H T Hqdξ 1 (5.11) Vale lembrar que no lado 31, a coordenada ξ 2 é nula. De forma análoga obtemos para os demais lados: r 12 = 1 l 12 H T Hqdξ 2 (5.12) r 23 = 1 l 23 H T Hqdξ 3 (5.13)

74 Capítulo 5. FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE 74 Como forma de exemplificar, tomemos o elemento T6. Aplicando as funções de forma da expressão (4.25), temos respectivamente a matriz φ T e o vetor q T : [H] T = ξ 1 (2ξ 1 1) ξ 1 (2ξ 1 1) ξ 2 (2ξ 2 1) ξ 2 (2ξ 2 1) ξ 3 (2ξ 3 1) ξ 3 (2ξ 3 1) 4ξ 1 ξ 2 4ξ 1 ξ 2 4ξ 2 ξ 3 4ξ 2 ξ 3 4ξ 1 ξ 3 4ξ 1 ξ 3, {q} = q x1 q y1 q x2 q y2 q x3 q y3 q x4 q y4 q x5 q y5 q x6 q y6 (5.14) Aplicando a expressão (5.14) em (5.11), (5.12) e (5.13) obtemos os vetores de carga equivalente para cada lado do elemento, são eles: 2q x1 1 2 q x3 + q x6 2q y1 1 2 q y3 + q y6 2q x2 1 2 q x3 + q x5 2q y2 1 2 q y3 + q y5 r 31 = l q x1 + 2q x3 + q x6 1 2 q y1 + 2q y3 + q y6, r 23 = l q x2 + 2q x3 + q x5 1 2 q y2 + 2q y3 + q y5 (5.15) q x2 + q x3 + 8q x5 q y2 + q y3 + 8q y5 q x1 + q x3 + 8q x6 q y1 + q y3 + 8q y6

75 Capítulo 5. FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE 75 2q x1 1 2 q x2 + q x4 2q y1 1 2 q y2 + q y4 1 2 q x1 + 2q x2 + q x4 1 2 q y1 + 2q y2 + q y4 r 12 = l q x1 + q x2 + 8q x4 (5.16) q y1 + q y2 + 8q y4 De forma análoga é possível determinar os vetores de carga equivalente para os elementos de ordem superior.

76 76 6 FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO 6.1 Vetor de Força de Corpo Segundo Logan (26) as forças de corpo podem surgir por causa do peso real do corpo (forças gravitacionais), velocidade angular (força centrífuga), forças inerciais na dinâmica ou forças magnéticas. Para formulação do vetor de força de corpo tomemos o terceiro termo da expressão (3.5): V w 1 f x w 2 f y dv w 3 f z (6.1) Aplicando a expressão (3.14) em (6.1), resulta: f = V H 1 H 1 H 1 H 2 H 2 H 2... H i H i H i f x f y f z Onde i varia de 1 ao número de nós do elemento. dv (6.2) De forma compacta a expressão (6.2) pode ser representada por: f = H T f e dv V (6.3) Para integração da expressão (6.3), assim com da integração da matriz de rigidez, podemos utilizar a expressão (4.86) para integrais de elementos tetraédricos: β ξ1ξ k 2ξ l 3 m ξ4 n k!l!m!n! dv = β 6V (6.4) (k + l + m + n + 3)!

77 Capítulo 6. FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO 77 Para o caso bidimensional a espessura do elemento é constante podem assim a expressão (6.3) ser reduzida para: f = t H T f e da A (6.5) Para integração da expressão (6.5), assim com da integração da matriz de rigidez, podemos utilizar a expressão (4.39) para integrais de elementos triangulares: β ξ1ξ l 2 m ξ3 n l!m!n! da = β 2A (6.6) (l + m + n + 2)! Tomemos o elemento T6 para determinação do vetor de Força de Corpo, como forma de exemplificar a determinação do referido vetor. Aplicando as funções de forma da expressão (4.25), temos a matriz φ T : [H] T = ξ 1 (2ξ 1 1) ξ 1 (2ξ 1 1) ξ 2 (2ξ 2 1) ξ 2 (2ξ 2 1) ξ 3 (2ξ 3 1) ξ 3 (2ξ 3 1) 4ξ 1 ξ 2 4ξ 1 ξ 2 4ξ 2 ξ 3 4ξ 2 ξ 3 4ξ 1 ξ 3 4ξ 1 ξ 3 (6.7) Aplicando (6.7) em (6.5) e integrado com auxilio da expressão (6.6), obtemos o vetor de força de corpo: {f} T = At 3 { f x f y f x f y f x f y } (6.8) De forma análoga é possível determinar o vetor de forças de corpo para elementos de ordem superior. o ANEXO (A) apresenta o vetor de força de corpo para o elemento TE1.

78 Capítulo 6. FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO Matriz de Massa Consistente Segundo Logan(26), existem varias métodos para determinar a matriz de massa consistente, sendo a aplicação do principio de D Alembert o mais simples, onde a força de corpo efetiva é dada pela expressão: {f e } = ρ{ u} (6.9) onde, ρ é a densidade do elemento e u é a aceleração, o sinal negativo é divido a força de corpo produzir força no direção oposto a aceleração. Tomando a expressão (6.5) de forma geral: {f} = V [H] T {f e }dv (6.1) Substituindo f da expressão (6.1) por f e (expressão (6.9)), resulta: {f} = ρ[h] T { u}dv (6.11) V A expressão (4.24) pode ser reescrita desta forma: {u} = [H]{d} (6.12) Onde d são os deslocamentos nodais. A derivada segunda da expressão (6.12) resulta: {ü} = [H]{ d} (6.13) Onde, d é a aceleração nodal. Substituindo (6.13) em (6.11), temos: {f} = ρ[h] T [H]dV { d} = [m]{ d} (6.14) V Portanto a matriz de massa consistente é dada por: [m] = V ρ[h] T [H]dV (6.15) Para elementos planos a matriz de massa consistente é a seguinte: [m] = t ρ[h] T [H]dA (6.16) A Onde t é a espessura do elemento.

79 Capítulo 6. FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO 79 A integral da expressão (6.16) pode ser obtida com o auxilio da expressão para integrais de elementos triangulares (4.39): β ξ1ξ l 2 m ξ3 n l!m!n! da = β 2A (6.17) (l + m + n + 2)! Por sua vez integral da expressão (6.15) pode ser obtida com o auxilio da expressão para integrais de elementos tetraédricos (4.86): β ξ1ξ k 2ξ l 3 m ξ4 n k!l!m!n! dv = β 6V (6.18) (k + l + m + n + 3)! De modo a exemplificar será determinado a matriz de massa consistente para o elemento T6. Aplicando a matriz [φ] T (expressão 6.7) na expressão (6.16) resulta a matriz simétrica de massa consistente para elemento T6: [m] = ρat (6.19) De forma análoga a matriz de massa consistente pode ser obtida para elementos de ordem superior.

80 8 7 ASPECTOS COMPUTACIONAIS Neste capítulo serão apresentadas as principais rotinas desenvolvidas neste trabalho. Inicialmente, será apresentado o código para formulação explícita da matriz de rigidez e massa e vetores de força de corpo e superfície. Em seguida, será descrito o código para refinamento-p de malha e por fim os códigos para análise estática e modal. A linguagem do Matlab foi utilizada para elaboração dos códigos. 7.1 Código para Formulação das Matrizes explícitas Segundo Nagabhushana, et al. (1992) a forma simbólica (explícita) das matrizes de rigidez, força equivalente, matriz de massa, entre outras, demanda muito tempo com suas formulações, principalmente para elementos de ordem superior, tempo esse que poderia ser gasto com outros estudos. A solução para esse problema seria a utilização de softwares simples e específicos para as mais diversas aplicações da engenharia. Segundo Yew, et al. (1995) muitos pesquisadores preferem utilizar a integração numérica, pois sua aplicação é simples e devido a integração analítica, necessária a formulação da matriz explícita, ser de difícil aplicação. A solução fechada da matriz explícita possui a vantagem em relação a integração numérica que pode apresentar distorções dos resultados em algumas aplicações. Diante dessa necessidade, será apresentado um código para formulação das matrizes explícitas de rigidez, forças de superfície, forças de corpo e matriz de massa consistente. Nesse código o usuário define a ordem do polinômio do elemento e o código gera a matriz simbólica desejada para elementos triangulares (2D) ou tetraédricos (3D), previamente cadastrados. Além disso, o usuário tem a liberdade de modificar a função de interpolação e condições de contorno para determinação das matrizes explícitas não cadastradas no código. Os códigos para formulação das matrizes e vetores explícitos estão disponibilizados no anexo (B). A Tabela 7.1 apresenta o tempo de processamento para formulação da parte simétrica da matriz simbólica para cada elemento.

81 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 81 Tabela 7.1 Tempo de Processamento para Formulação das Matrizes Explícitas Matriz Vetor Tipo Elemento Ordem N o Índices da Matriz Tempo de Processamento (min) Massa Rigidez Consistente Ordem N o Índices do Vetor Tempo de Processamento (min) Força Força de Superficie de Corpo T6 12x12 144,68,19 12x1 12,4,3 2D T1 2x2 4 5,68,57 2x1 2,9,1 T15 3x3 9 3,14 2,87 3x1 3,25,16 T21 42x ,65 7,82 42x1 42,58,32 TE4 12x12 144,53,1 12x1 12,22,3 3D TE1 3x3 9 1,86,78 3x1 3 1,44,12 TE2 6x ,59 5,9 6x1 6 8,7,27 TE35 15x ,68 22,19 15x ,81, Matriz de rigidez Algumas estratégias foram adotadas para reduzir o tempo de processamento e compactar a matriz de rigidez resultante. Como a matriz de rigidez é simétrica, o código realiza a integração simbólica apenas para o triângulo superior da matriz, rebatendo as expressões obtidas para o triângulo inferior. De forma a compactar as expressões resultantes o código realiza a simplificação das expressões obtidas após a integração. A matriz de rigidez para elementos bidimensionais possui vários termos iguais além de sua parte simétrica. Griffiths et al. (29) indica que a quantidade de substituições de valores pode ser reduzida, por consequência, reduzindo o custo computacional para montagem da matriz do elemento. O processamento para formulação da matriz explícita tem inicio com a escolha do tipo de elemento a ter sua matriz de rigidez formulada, onde estão pré-configurados os elementos bidimensionais T6, T1, T15 e T21 e os elementos tridimensionais TE4, TE1, TE2 e TE35, assim como seus respectivos polinômios característicos. O código permite ao usuário modificar a ordem da função de aproximação do elemento, assim como a posição dos nós. Em seguida é iniciada a formulação das funções de forma, onde o código substitui o valor das coordenadas de cada nó formando um sistema de equações (semelhante a expressão 4.2). A solução do sistema é dada pelas constantes do polinômio característico. De posse do polinômio completo, as funções de forma são determinadas para cada nó do elemento. Em cada nó a função de forma vale 1, e nos demais nós vale zero, conforme mostrado na Figura 4.7. Diante disso, o código substitui as coordenadas de cada nó em todas as funções de forma de modo a avaliar se as funções estão corretas. O resultado esperado

82 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 82 é que para cada nó apenas a função correspondente ao ponto apresente valor unitário e nos demais valor nulo. O resultado é apresentado em forma matricial onde cada linha representa um nó, e cada coluna uma função de forma. Por exemplo, para o elemento T15 a matriz com resultado será 15(nós)x15(funções de forma), onde o elemento de índice (3,4) representa as coordenadas do nó 4 substituídos na função de forma do nó 3. As funções de interpolação estarão corretas se a matriz de substituições apresentar a diagonal principal com todos os valores unitários e os demais termos nulos. A próxima etapa é a formulação da matriz B. De posse das funções interpoladoras o código aplica a expressão (3.2) para elementos bidimensionais ou a expressão (3.18) para elementos tridimensionais. Após o processamento a matriz B é fornecida ao usuário. Por fim, inicia-se a formulação da matriz explícita do elemento. Primeiramente, é realizado o produto do integrando da expressão (3.19) para formulação da matriz de rigidez. Em seguida, é realizado um laço onde é aplicada para cada termo deste produto a expressão (4.39) para elementos bidimensionais ou a expressão (4.86) para elementos tridimensionais. Após o término do laço a matriz de rigidez explícita é fornecida ao usuário. A seguir é apresentado um fluxograma do código para formulação da matriz de rigidez explícita.

83 Processamento de Dados Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 83 FLUXOGRAMA FORMULAÇÃO MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO Inicio PRODUTO [B][D][BT] PLANO DEFINIR ELEMENTO PLANO OU ESPACIAL ESPACIAL DEFINIR TIPO ELEMENTO T6, T1, T15 OU T21 DEFINIR TIPO ELEMENTO TE4, TE1, TE2 OU TE35 INICIO LOOP DETERMINA O EXPOENTE DAS VARIAVEIS DE COORDENADA DE ÁREA OU COORDENADAS DE VOLUME MODIFICAR POLINÔMIO CARACTERÍSTICO E/OU POSIÇÃO NÓS SIM DEFINIR POLINÔMIO CARACTERÍSTICO E/OU POSIÇÃO DOS NÓS APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE ELEMENTOS TRIANGULARES OU TETRAÉDRICOS NÃO FORMULAÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA DADOS DE SAÍDA FUNÇÕES DE FORMA DADOS DE SAÍDA MATRIZ DE RIGIDEZ NÃO AVALIAÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA DADOS DE SAÍDA MATRIZ DE AVALIAÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA FIM CONFIRMAR FUNÇÕES DE FORMA SIM DADOS DE SAÍDA MATRIZ B FORMULAÇÃO DAS MATRIZ B Figura 7.1 Fluxograma - Formulação da matriz de rigidez do elemento.

84 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS Vetor força de superfície, força de corpo e matriz de massa O código para formulação do vetor de força de superfície, vetor de força de corpo e matriz de massa consistente tem inicio com a escolha do tipo de elemento a ser formulado que pode ser o elemento triangular (T6, T1, T15, T21) ou tetraédrico (TE4, TE1, TE2, TE35). Após a escolha do tipo de elemento as funções de forma devem ser fornecidas pelo usuário. Estas podem ser obtidas a partir dos resultados do código para formulação da matriz de rigidez. Vetor Força de Superfície Para o caso dos elementos triangulares a força de superfície é linear distribuída ao longo de cada aresta do elemento. De posse das funções interpoladoras o código monta a matriz H e realiza a integração para cada uma das três arestas do elemento de acordo com as expressões (5.11), (5.12) e (5.13). No caso dos elementos tetraédricos a força é distribuída ao longo de cada face do tetraedro, portanto é uma força distribuída por área. Após fornecidas as funções interpoladoras o código monta a matriz H e realiza o produto da expressão (5.4) para em seguida executar a integração para cada uma das quatro faces do elemento. Como a superfície do tetraedro é triangular a expressão (4.39) pode ser aplicada para facilitar a integração. Após a conclusão do processamento os vetores de força de superfície são fornecidos ao usuário. Vetor Força de Corpo De posse das funções de forma o código monta a matriz H e realiza o produto do integrando da expressão (6.3). Em seguida, é iniciado o laço para integração do elemento. Para o caso do elemento triangular a massa do corpo é distribuída ao longo da área, logo a expressão (6.6) pode ser aplicada para facilitar a integração. No caso do elemento tetraédrico a massa é distribuída ao longo de todo volume do elemento, diante disso o código aplica a expressão (6.4) para integração do elemento. Ao final do processamento é fornecido o vetor de força de corpo. Matriz de Massa Consistente Após a montagem da matriz H o código realiza o produto do integrando da expressão (6.15), em seguida é iniciado o laço para integração do elemento. Para elementos triangulares é aplicada a expressão (6.17) para elementos tetraédricos a expressão (6.18). Durante o laço, para cada elemento da matriz o código determina os expoente das variáveis para coordenadas de área no caso de elementos triangulares e variáveis para coordenadas de volume no casos de elementos tetraédricos. Após o término do processamento do laço de integração a matriz de massa constante é fornecida como dado de saída. A seguir, é apresentado um fluxograma da sequência de funcionamento do código para formulação do vetor de força de superfície, vetor força de corpo e matriz de massa consistente.

85 Processamento de Dados Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 85 FLUXOGRAMA FORMULAÇÃO MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE / FORÇA DE CORPO / FORÇA DE SUPERFÍCIE Inicio PLANO DEFINIR ELEMENTO PLANO OU ESPACIAL ESPACIAL DEFINIR TIPO ELEMENTO T6, T1, T15 OU T21 DEFINIR TIPO ELEMENTO TE4, TE1, TE2 OU TE35 ENTRADA DE DADOS: FUNÇÕES DE FORMA MATRIZ DE MASSA MONTAGEM DA MATRIZ [Ф] E PRODUTO ρ [ФT][Ф] VETOR FORÇA DE CORPO MONTAGEM DA MATRIZ [Ф] E PRODUTO [ФT]{FE} VETOR FORÇA DE SUPERFÍCIE MONTAGEM DA MATRIZ [Ф] E PRODUTO [ФT][Ф][q] ELEMENTO TRIANGULAR: APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE ELEMENTOS TRIANGULARES ELEMENTO TETRAÉDRICO: APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE ELEMENTOS TETRAÉDRICO ELEMENTO TRIANGULAR: APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE ELEMENTOS TRIANGULARES ELEMENTO TETRAÉDRICO: APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE ELEMENTOS TETRAÉDRICO ELEMENTO TRIANGULAR: INTEGRAÇÃO PARA CADA ARESTA DO TRIÂNGULO ELEMENTO TETRAÉDRICO: APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE ELEMENTOS TRIANGULARES DADOS DE SAÍDA MATRIZ DE MASSA CONSISENTE DADOS DE SAÍDA VETORES DE FORÇA DE CORPO DADOS DE SAÍDA VETORES DE FORÇA DE SUPERFÍCIE FIM FIM FIM Figura 7.2 Fluxograma - Código para formulação do vetor de força de superfície, vetor de força de corpo e matriz de massa consistente.

86 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS Código para Refinamento-p de Malhas O código para refinamento-p de malhas, permite a criação de malhas para elementos triangulares e tetraédricos de ordem superior. Para elementos triangulares o usuário fornece a malha com elementos de três nós e o código cria os nós adicionais para malhas de 6, 1, 15 ou 21 nós, a Figura 7.3 ilustra esse processo. No caso dos elementos tetraédricos o usuário fornece a malha inicial com elementos de 4 nós e o código, a critério do usuário, fornece malhas para elementos com 1, 2 ou 35 nós. Ao final do processamento é fornecido ao usuário dois aquivos.txt, sendo um com as coordenadas do elemento e o outro com as conectividades, além de apresentar imagem da malha com a numeração dos nós e elementos. Refinamento - T1 Refinamento - T15 Malha Inicial - T3 Refinamento - T6 Refinamento - T21 Figura 7.3 Refinamento p de Malha. A grande vantagem é a facilidade de manipulação do código, pois basta o usuário fornecer a malha inicial e escolher o grau de refinamento da malha. Além disso, o programa permite que o usuário modifique o posicionamento e quantidade de nós do elemento. O código tem início com o usuário definindo qual tipo de elemento (triangular ou tetraédrico) e a ordem deste elemento (número de nós). Em seguida, o usuário deve fornecer a malha inicial com elementos triangulares de 3 nós ou tetraédricos de 4 nós.

87 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 87 Na sequência, o código inicia o laço para formação da nova malha. Inicialmente, são criadas as coordenadas dos nós adicionais para cada elemento com auxílio da expressão (7.1) para elementos triangulares e a expressão (7.2) para elementos tetraédricos. Em seguida é avaliado se essas coordenadas estão vinculadas a algum nó, em caso positivo a numeração é mantida, em caso negativo uma numeração é atribuída a esse nó. Por fim, esse nó é vinculado ao elemento. x = ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + ξ 3 x 3 y = ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + ξ 3 y 3 (7.1) x = ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + ξ 3 x 3 + ξ 4 x 4 y = ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + ξ 3 y 3 + ξ 4 y 4 (7.2) z = ξ 1 z 1 + ξ 2 z 2 + ξ 3 z 3 + ξ 4 z 4 Ao final do processamento da malha, o código cria a imagem com a numeração dos nós e elementos, além de criar dois arquivos de saída no formato.txt, onde o primeiro contém as coordenadas da malha e o segundo arquivo as conectividades do elemento. A seguir, é apresentado um fluxograma do código para criar malhas para elementos de ordem superior.

88 Processamento de Dados Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 88 FLUXOGRAMA REFINAMENTO-P DE MALHAS TRIANGULARES E TETRAÉDRICAS Inicio PLANO DEFINIR ELEMENTO PLANO OU ESPACIAL ESPACIAL DEFINIR TIPO ELEMENTO T6, T1, T15 OU T21 DEFINIR TIPO ELEMENTO TE1, TE2 OU TE35 ENTRADA DE DADOS: COORDENADAS E CONECTIVIDADES PARA ELEMENTOS TRIANGULARES (3 NÓS) OU TETRAÉDRICOS (4 NÓS) INICIO LOOP CRIAÇÃO DAS COORDENADAS DOS NÓS ADICIONAIS POSITIVO AVALIAÇÃO SE AS COORDENADAS DO NÓ ADICIONAL ESTÁ VINCULADA A ALGUM NÓ NEGATIVO MANTÉM NUMERAÇÃO NOVA NUMERAÇÃO É ATRIBUIDA NÓ ADICIONAL É VINCULADO AO ELEMENTO DADOS DE SAÍDA IMAGEM DA MALHA COM NUMERAÇÃO DOS NÓS E ELEMENTOS PROCESSAMENTO DE IMAGENS DA MALHA COM NUMERAÇÃO DOS NÓS E ELEMENTOS. CRIAÇÃO DE ARQUIVOS.TXT, COM COORDENADAS E CONECTIVIDADES DADOS DE SAÍDA ARQUIVOS.TXT, COM COORDENADAS E CONECTIVIDADES FIM Figura 7.4 Fluxograma - Refinamento-p de malhas triangulares e tetraédricas.

89 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS Código para Análise Estática O código para análise estática em conjunto com o código para refinamento-p de malhas (Item 7.2) permitem ao usuário, partindo de uma malha inicial simples, obter o campo de deslocamentos e tensões para um sistema estrutural, onde a precisão dos resultados é majorada a medida que eleva-se a ordem do elemento, sem a necessidade de nova discretização. Durante o desenvolvimento do código para análise estática percebeu-se que a montagem da matriz do elemento, montagem da matriz de rigidez e solução do sistema linear para determinação dos deslocamentos consomem muito tempo de processamento. Além disso a memória é totalmente consumida para sistemas com grandes quantidades de graus de liberdade, diante disso algumas estratégias foram adotadas para melhorar o desempenho do código. Conforme citado no tópico (7.1.1), o tempo para montagem da matriz do elemento foi reduzido a partir da separação dos termos iguais da matriz de rigidez, de modo a realizar a substituição dos valores apenas uma vez para os termos iguais em uma mesma matriz. O tempo para montagem da matriz de rigidez global foi reduzido através da vetorização da matriz do elemento e da matriz global. A primeira etapa dessa estratégia é vetorizar previamente a matriz do elemento, com isso a matriz do elemento é diretamente substituída em um vetor global de rigidez, evitando assim a locação termo a termo na matriz global. A estratégia que possibilitou a redução do consumo de memória e redução do tempo de processamento para solução do sistema linear foi a utilização de matrizes esparsas. Essa função permite que apenas os valores diferentes de zero fiquem armazenados, com isso o consumo de memória foi amplamente reduzido. Portanto, após a formação do "vetor global de rigidez"o código transforma esse em uma matriz esparsa, para em seguida resolver o sistema linear. O código para análise estática tem início com o módulo para refinamento-p de malhas (Item 7.2), onde o usuário define o tipo de elemento podendo ser plano (elemento triangular: T6, T1, T15 ou T21) ou espacial (elemento tetraédrico: TE1, TE2 ou TE35) e fornece como entrada de dados a malha inicial conforme mostrado no item 7.2, após o processamento da malha, inicia-se de fato o código para análise estática. Inicialmente o usuário define as restrições, carregamentos da estrutura e propriedades físicas da estrutura, como densidade do material, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson. Para o caso dos elementos planos também deve ser definido se a estrutura está sob estado plano de tensões ou estado plano de deformações, além da espessura do elemento.

90 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 9 Concluída essa etapa, é iniciado o processamento dos dados com a montagem da matriz de rigidez global, vetor de força de corpo global e vetor de força de superfície global. Em seguida, são eliminadas as linhas e colunas com restrições das matrizes e vetores globais para então serem determinados os deslocamentos e tensões da estrutura. Como parte dos resultados, é fornecido ao usuário a imagem da estrutura deformada e a imagem das tensões atuantes na estrutura, conforme exemplo a seguir: Figura 7.5 Deformada - Viga em Balanço.

91 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 91 Figura 7.6 Tensões - Viga em Balanço (N/m2). A seguir é apresentado um fluxograma do código para análise estática.

92 Processamento de Dados Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 92 FLUXOGRAMA Código para Análise Estática Inicio PLANO DEFINIR ELEMENTO PLANO OU ESPACIAL ESPACIAL DEFINIR TIPO ELEMENTO T6, T1, T15 OU T21 DEFINIR TIPO ELEMENTO TE1, TE2 OU TE35 ENTRADA DE DADOS: COORDENADAS E CONECTIVIDADES PARA ELEMENTOS TRIANGULARES (3 NÓS) OU TETRAÉDRICOS (4 NÓS) PROCESSAMENTO DE DADOS - CÓDIGO REFINAMENTO-P DE MALHAS ENTRADA DE DADOS: RESTRIÇÕES, ESFORÇOS EXTERNOS E PROPRIEDADES FÍSICAS PROCESSAMENTO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL PROCESSAMENTO VETOR FORÇAR DE CORPO GLOBAL PROCESSAMENTO VETOR FORÇAR DE SUPERFÍCIE GLOBAL ELEMIMINAÇÃO DAS LINHAS E COLUNAS COM RESTRIÇÕES DAS MATRIZES GLOBAIS DADOS DE SAÍDA IMAGEM DAS DEFORMAÇÕES E TENSÕES DA ESTRTURA PROCESSAMENTO DE IMAGENS DA ESTRUTURA DEFORMADA PROCESSAMENTO DE IMAGENS DAS TENSÕES ATUANTES NA ESTRUTURA VALORES, POR NÓ, DOS DESLOCAMENTOS E TENSÕES DA ESTRUTURA. FIM Figura 7.7 Fluxograma - Código para análise estática.

93 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS Código para Análise Modal O código para análise modal trabalha em conjunto com o código para refinamento-p de malhas (Item 7.2) permitindo ao usuário obter os modos de vibração para um sistema estrutural, onde a precisão dos resultados é majorada a medida que eleva-se a ordem do elemento. Semelhante ao código para análise estática, o código para análise modal tem início com o módulo para refinamento-p de malhas (Item 7.2), onde o usuário define o tipo de elemento podendo ser plano (elemento triangular: T6, T1, T15 ou T21) ou espacial (elemento tetraédrico: TE1, TE2 ou TE35) e fornece como entrada de dados a malha inicial conforme mostrado no item 7.2, após o processamento da malha, inicia-se de fato o código para análise modal. Inicialmente, o usuário define as restrições e propriedades físicas da estrutura, como densidade do material, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson. Em seguida, são definidos quais modos de vibração terão a imagem processada. Concluída essa etapa, é iniciado o processamento dos dados com a montagem da matriz de rigidez e matriz de massa. Em seguida, são eliminadas as linhas e colunas com restrições, e resolvido o problema de autovalores e autovetores com a equação 7.3 (detalhes no anexo B) obtendo, deste modo, as frequências e modos de vibração. [K] ω 2 [m] = (7.3) A solução de todos autovalores e autovetores demandam elevado custo computacional, em especial nas análises tridimensionais. Diante disso, o código foi modificado para resolver apenas a quantidade de modos de vibração definidos pelo usuário. Ao final do processamento, imagem dos modos de vibração são criadas e fornecidas conforme exemplo a seguir:

94 Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 94 (a) Modo 1 (b) Modo 2 (c) Modo 3 Figura 7.8 Modos de Vibração - Viga biengastada espacial (Rad/s).

95 Processamento de Dados Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 95 A seguir é apresentado um fluxograma do código para análise modal. FLUXOGRAMA Código para Análise Modal Inicio PLANO DEFINIR ELEMENTO PLANO OU ESPACIAL ESPACIAL DEFINIR TIPO ELEMENTO T6, T1, T15 OU T21 DEFINIR TIPO ELEMENTO TE1, TE2 OU TE35 ENTRADA DE DADOS: COORDENADAS E CONECTIVIDADES PARA ELEMENTOS TRIANGULARES (3 NÓS) OU TETRAÉDRICOS (4 NÓS) PROCESSAMENTO DE DADOS - CÓDIGO REFINAMENTO-P DE MALHAS ENTRADA DE DADOS: RESTRIÇÕES, PROPRIEDADES FÍSICAS E MODOS DE VIBRAÇÃO (PLOT IMAGEM) PROCESSAMENTO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL PROCESSAMENTO MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE GLOBAL ELEMIMINAÇÃO DAS LINHAS E COLUNAS COM RESTRIÇÕES DAS MATRIZES GLOBAIS CÁLCULO AUTOVALORES E AUTOVETORES: FREQUÊNCIAS E MODOS DE VIBRAÇÃO DADOS DE SAÍDA IMAGEM DOS MODOS DE VIBRAÇÃO PROCESSAMENTO DAS IMAGENS DOS MODOS DE VIBRAÇÃO FREQUÊNCIAS DA ESTRUTURA. FIM Figura 7.9 Fluxograma - Código para análise modal.

96 96 8 APLICAÇÕES Neste capítulo, com o objetivo de validar o código desenvolvido, serão realizadas três aplicações em elasticidade bidimensional e duas tridimensionais. A Tabela 8.1 apresenta o resumo das aplicações: Tabela 8.1 Resumo das Aplicações Resumo das Análises Bidimensionais Aplicação Análise Elementos Viga em Balanço Viga Biengastada com furo Chapa Tracionada Estática Estática e Modal Estática T3, T6, T1, T15 e T21 Resumo das Análises Tridimensionais Aplicação Análise Elementos Pórtico Espacial Conjunto de Aduelas (ponte) Estática e Modal Estática TE4, TE1, TE2 e TE Tempo de Processamento - Matriz Explícita X Integral Numérica Os métodos aplicados à solução de problemas envolvendo elementos finitos de ordem superior são matrizes explícitas e integração de Gauss. Este tópico será destinado à avaliação da eficiência em termos de tempo de processamento para elementos bidimensionais de ordem superior utilizando matrizes explícitas e integração numérica. A primeira avaliação será quanto ao tempo de montagem da matriz de rigidez de um elemento. Será utilizado o método aplicado por Griffiths (1994) e Griffiths et al. (29). Nesse método são realizadas repetições para montagem de um elemento. Como resultado temos a razão entre o tempo de processamento para um mesmo tipo de elemento utilizado matriz explícita e integral numérica. A avaliação do tempo de processamento foi realizada em duas linguagens de programação: MATLAB e PYTHON, de modo a avaliar a influência da linguagem nos resultados. O resultados serão apresentados nas tabelas e gráficos a seguir, onde é possível verificar que para todos os elementos, com exceção do elemento TE 1, que a montagem da matriz de rigidez explícita requer menor tempo de processamento que a integração

97 Capítulo 8. APLICAÇÕES 97 numérica. É visível que a linguagem influencia no desempenho, nesse caso específico o MATLAB requer um menor custo de processamento que o PYTHON. Os pontos de integração e pesos para cada tipo de elemento pode ser consultado no anexo C. Montagem Matriz de Rigidez do Elemento T6 Tabela 8.2 Tempo (segundos) para montagem da matriz de rigidez de um elemento T6 Repetições MATLAB Int. Matriz Numérica explícita Razão PYTHON Int. Matriz Numérica explícita Razão 1.,17,1 12,62,17,5 3,6 1. 1,68,12 14,8 1,74,57 3, ,43 1,19 14,7 18,75 5,88 3, ,92 12,6 15,7 195,12 61,66 3, ,13 124,73 15, 2.413,5 775,13 3,11 Figura 8.1 T6 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.

98 Capítulo 8. APLICAÇÕES 98 Montagem Matriz de Rigidez do Elemento T1 Tabela 8.3 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T1 Repetições MATLAB Int. Matriz Numérica explícita Razão PYTHON Int. Matriz Numérica explícita Razão 1.,21,5 3,87 1,13,13 8, ,61,37 4,3 12,5 1,43 8, ,94 3,63 4,38 128,32 16,32 7, ,1 37,52 4, ,79 21,2 8, ,82 374,96 4, , ,86 8,84 Figura 8.2 T1 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. Montagem Matriz de Rigidez do Elemento T15 Tabela 8.4 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T15 Repetições MATLAB Int. Matriz Numérica explícita Razão PYTHON Int. Matriz Numérica explícita Razão 1.,55,2 2,78 3,45,42 8, ,32 1,41 3,6 37,67 5,5 6, ,94 13,99 2,93 433,51 56,4 7, ,28 139,99 3, ,98 58,43 8, , ,14 2, , ,4 7,46

99 Capítulo 8. APLICAÇÕES 99 Figura 8.3 T15 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. Montagem Matriz de Rigidez do Elemento T21 Para o elemento T21 apenas o tempo de processamento utilizando matriz explícita foi computado, pois não foram identificados os pesos e pontos de integração adequados ao elemento. Tabela 8.5 Tempo(segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T21 Repetições MATRIZ EXPLÍCITA MATLAB PYTHON 1.,63 1, ,38 12, ,75 129, , , , ,42 Figura 8.4 T21 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.

100 Capítulo 8. APLICAÇÕES 1 Montagem Matriz de Rigidez do Elemento TE1 Tabela 8.6 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento TE1 Repetições MATLAB Int. Matriz Numérica explícita Razão PYTHON Int. Matriz Numérica explícita Razão 1.,74,76,96,85 1,24, ,7 7,91,97 8,22 12,99, ,16 74,56,99 81,45 15,1, ,64 757,58,99 824, ,86,49 Figura 8.5 TE1 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. Montagem Matriz de Rigidez do Elemento TE2 Tabela 8.7 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento TE2 Repetições MATLAB Int. Matriz Numérica explícita Razão PYTHON Int. Matriz Numérica explícita Razão 1. 6,4 3,44 1,75 1,83 8,78 1, ,68 3,99 1,99 133,13 91,45 1, ,62 33,12 2,2 1.92,84 914,89 1, ,4 3.81,73 1, , ,34 1,21

101 Capítulo 8. APLICAÇÕES 11 Figura 8.6 TE2 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. Montagem Matriz de Rigidez do Elemento TE35 Tabela 8.8 Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento TE35 Repetições MATLAB Int. Matriz Numérica explícita Razão PYTHON Int. Matriz Numérica explícita Razão 1. 21,56 1,77 2, 39,9 4,19, ,74 91,5 2,29 369,13 419,55, ,58 945,3 2, , ,5, , ,87 2, , ,14,85 Figura 8.7 TE35 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. A análise dos gráficos número de repetições X Tempo de processamento para montagem da matriz do elemento revela que a técnica utilizando a matriz de rigidez explícita

102 Capítulo 8. APLICAÇÕES 12 possui grande vantagem em relação a integração numérica. O tempo de processamento do elemento T6 é aproximadamente quatorze vezes menor com a matriz de rigidez explícita se comparado à integração numérica. O elementos T1 e T15 são, respectivamente, em torno de quatro e três vezes mais eficientes que a integração numérica. Para o caso tridimensional a vantagem da matriz explícita em relação a integração numérica é um pouco menor que o caso bidimensional. O elemento TE1 mostrou-se mais eficiente aplicando a integração numérica, pois possui apenas quatro pontos de integração. Os elementos TE2 e TE35 apresentaram considerável eficiência utilizando matriz explícita. Outro fator importante é que a linguagem influencia tanto no tempo absoluto de processamento quanto na relação entre integração numérica e matriz explícita.

103 Capítulo 8. APLICAÇÕES Aplicação 1 - Viga em Balanço A montagem da matriz de rigidez de um elemento é bem mais eficiente aplicando a estratégia explícita. Neste tópico será verificado se essa eficiência é refletida na montagem da matriz de rigidez global do sistema e solução dos deslocamentos. A avaliação do tempo de processamento será função do número de nós dos elementos para malhas com valores entre 2. e 2. graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matriz de rigidez global e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos. Em seguida, será verificada a convergência da flecha no ponto A, a tensão normal σ x em B e a tensão de cisalhamento τ xy em C para cada elemento em função do erro, conforme expressão (8.1). e = V V r, V r (8.1) onde, e é o erro relativo ou diferença, V valor analisado e V r valor de referência. Será considerado inicialmente um exemplo simples para essa análise. O problema consiste em uma viga em balanço com seção transversal de cinquenta centímetros de largura por dois metros de altura, com comprimento de dez metros. Essa viga está sob a ação de uma carga distribuída q=5kn/m. A referida estrutura possui módulo de elasticidade de 2GPa e coeficiente de Poisson de,3. A Figura 8.8 ilustra a estrutura em análise. y B x c c q C A Figura 8.8 Viga em Balanço (Cotas em centímetros). A solução exata para flecha, levando em consideração o efeito do cisalhamento, é dada pela expressão 8.2, obtida de acordo com o procedimento proposto por Tirmoshenko e Gere (1982): F max = P L3 3EI + c 1P L GA (8.2)

104 Capítulo 8. APLICAÇÕES 14 com, e onde, c 1 = G = v 1(1 + v) E 2(1 + v) (8.3) (8.4) P é a carga resultante vertical, L é o comprimento da viga, E é o modulo de elasticidade, I é o momento de inércia da seção da viga, A é a área da seção da viga, v o coeficiente de Poisson. Aplicado a expressão 8.2 ao problema em análise temos a flecha máxima no ponto A igual à 5, 153x1 5 m. A solução exata para tensão normal σ x em B é dada pela expressão 8.5: P x σ x = I y (8.5) onde, P é a carga resultante vertical, x e y são as coordenadas do ponto em análise, I é o momento de inércia da seção da viga. Aplicado a expressão 8.5 ao problema em análise temos a tensão de tração no ponto B igual à 15kN/m2. A solução exata para tensão de cisalhamento τ xy em C é dada pela expressão 8.6: τ xy = P 2I (c2 y 2 ) (8.6) onde, P é a carga resultante vertical, y é a coordenada do ponto em análise, c é a metade da altura da viga, I é o momento de inércia da seção da viga. Aplicado a expressão 8.6 ao problema em análise temos a tensão de cisalhamento no ponto C igual à 15kN/m2.

105 Capítulo 8. APLICAÇÕES Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica As Tabelas 8.9 e 8.1 apresentam os valores do tempo de processamento para montagem da matriz global e solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global) utilizando estratégia com matrizes explícitas e integração numérica. Tabela 8.9 Matriz explícita X Integral Numérica (T3, T6) Tipo Elemento Num. Elementos Graus de Liberdade Tempo Processamento cumulativo (segundos) Matriz Global Solução Deslocamentos Matriz explícita Int. Numérica Razão Matriz explícita Int. Numérica Razão ,16,,18, ,76, 1,97, ,53, 3,92, ,3, 5,73, T ,66, 7,5, ,69, 1,7, ,14, 11,81, ,84, 13,86, ,41, 15,14, ,45, 17,86, ,42, 2,37, ,7,49 7,17,8,51 6, ,53 1,46 2,78,68 1,98 2, ,27 2,79 2,2 1,61 3,2 1, ,62 4,36 2,69 2,19 5,2 2,29 T ,2 5,47 2,48 2,99 6,44 2, ,75 7,16 2,6 3,85 8,5 2, ,38 8,5 2,51 4,68 1,5 2, ,94 9,94 2,52 5,61 11,79 2, ,5 11,38 2,53 6,63 13,54 2, ,91 12,94 2,63 7,47 16,3 2, ,41 14,45 2,67 7,88 17,34 2,2

106 Capítulo 8. APLICAÇÕES 16 Tabela 8.1 Matriz explícita X Integral Numérica (T1, T15, T21) Tipo Elemento Num. Elementos Graus de Liberdade Tempo Processamento cumulativo (segundos) Matriz Global Solução Deslocamentos Matriz explícita Int. Numérica Razão Matriz explícita Int. Numérica Razão ,6,13 2,1,8,15 1, ,42,84 2,,6 1,6 1, ,77 1,35 1,75 1,16 1,77 1, ,15 2,6 1,79 1,89 2,74 1,45 T ,58 2,97 1,88 2,56 3,89 1, , 3,57 1,79 3,15 4,76 1, ,31 4,21 1,82 3,67 5,68 1, ,75 4,87 1,77 4,48 6,57 1, ,7 6,14 2, 5,26 8,4 1, ,51 6,52 1,86 6,23 9,19 1, ,21 7,27 1,73 6,91 9,84 1, ,13,26 1,9,15,28 1, ,59 1,29 2,2,81 1,53 1, ,23 2,47 2,1 1,76 3,2 1, ,66 2,92 1,76 2,4 3,72 1,55 T ,28 3,67 1,61 3,22 4,7 1, ,58 4,67 1,81 4, 6,6 1, ,14 5,4 1,72 4,7 6,93 1, ,74 6,82 1,82 5,66 8,72 1, ,45 7,7 1,73 6,76 9,93 1, ,84 8,35 1,72 7,23 1,83 1, ,51 9,48 1,72 8,53 12,44 1, ,29,,31, ,97, 1,23, ,86, 2,38, ,75, 3,61, T ,2, 4,38, ,17, 5,78, ,97, 6,72, ,54, 7,67, ,56, 9,25, ,9, 9,62, ,81, 1,85,

107 Capítulo 8. APLICAÇÕES 17 (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.9 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.1 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Os gráficos das Figuras 8.9 e 8.1 apresentam o tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos em sua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizes explícitas. A análise das figuras revela que o tempo de processamento é menor para a estratégia utilizando matrizes explícitas. O elemento que possui maior eficiência que sua versão numérica é o elemento T6 e o elemento de maior velocidade de processamento é o T1.

108 Capítulo 8. APLICAÇÕES 18 (a) Elemento T3 com graus de liberdade (b) Elemento T6 com graus de liberdade (c) Elemento T1 com graus de liberdade (d) Elemento T15 com graus de liberdade (e) Elemento T21 com graus de liberdade Figura 8.11 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global A figura 8.11 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo da matriz de rigidez global para cada elemento. E pode-se verificar que o elemento T3 concentra os termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez, os elementos de ordem superior, por sua vez, apresentam uma maior dispersão dos termos não nulos, apesar disso os elementos de ordem superior possuem melhor desempenho em termos de tempo de processamento que o elemento T3 como é possível verificar nos gráficos 8.9a e 8.1a.

109 Capítulo 8. APLICAÇÕES Análise de convergência A Tabela 8.11 apresenta os valores da flecha no ponto A, tensão σ x no ponto B e tensão τ xy no ponto C, e o tempo de processamento para montagem da matriz global, solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global) e cálculo das tensões (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global e solução do sistema de deslocamentos) utilizando a estratégia com matrizes explícitas. Tabela 8.11 Análise de convergência - Viga em balanço Elemento Graus Deslocamento (m) Tensões (N/m2) Tempo de Processamento Liber- cumulativo (segundos) Tipo Núm. Flecha Erro(%) σ x Erro(%) τ xy Erro(%) Matriz global dade Solução deslocamentos Cálculo tensões 2 8-2,494E-6 9,52E ,32 9,84E+1-1., 3,33E+1,17,255, ,997E-6 8,25E ,41 9,64E ,33 1,13E+1,116,262, ,253E-5 7,57E ,63 9,34E ,7 3,91E+1,127,285, ,417E-5 7,25E ,29 9,19E ,45 3,67E+1,126,275,6541 T ,578E-5 5,E ,54 6,65E ,98 3,75E+1,15,34, ,7E-5 4,76E ,51 6,48E ,92 3,66E+1,148,31, ,54E-5 3,13E ,95 4,54E ,8 3,7E+1,185,352, ,672E-5 2,87E ,75 4,34E ,4 2,98E+1,221,388, ,956E-5 2,32E ,79 3,91E ,2 2,78E+1,264,449, ,59E-5 1,25E ,49 2,27E ,68 1,29E+1,369,576, ,671E-5 9,35E ,28 1,8E ,65 6,85E+,463,695, ,982E-5 2,27E ,93 2,89E ,96 8,38E+1,147,373, ,969E-5 3,58E ,8 4,82E ,19 4,7E+1,147,37, ,42E-5 2,15E ,8 6,13E ,51 2,63E+1,163,397,6597 T ,65E-5 1,71E ,32 5,28E ,81 2,58E+1,163,381, ,11E-5 8,38E ,71 2,18E ,81 1,58E+1,194,427, ,113E-5 7,75E ,69 2,3E ,58 1,15E+1,196,416, ,123E-5 5,75E ,12 9,73E ,71 7,38E-1,235,46, ,125E-5 5,37E ,16 8,25E ,82 2,88E-1,258,494, ,8E-5 2,81E ,33 5,11E ,79 1,1E+1,276,624, ,14E-5 9,43E ,5 1,9E ,44 9,37E-1,32,644,6891 T ,118E-5 6,72E ,35 2,2E ,26 2,18E-2,33,637, ,124E-5 5,67E ,52 1,68E ,83 1,16E-3,31,64, ,128E-5 4,82E ,81 1,24E-4-15.,3 2,7E-4,346,692, ,129E-5 4,66E ,99 3,47E-6-15., 2,68E-5,353,685, ,132E-5 4,14E-1 15., 5,45E-7-15., 2,67E-7,46,758, ,73E-5 1,55E ,6 1,59E ,36 1,74E+1,889,1243,7431 T ,123E-5 5,91E ,96 5,53E ,38 7,44E-1,934,1294, ,128E-5 4,79E ,81 1,46E ,65 1,1E-2,932,1284, ,13E-5 4,43E-1 15.,2 1,26E ,97 1,77E-4,97,1311, ,132E-5 4,7E-1 15.,1 4,97E-6-15., 7,82E-6,111,1372, ,11E-5 1,1E ,85 1,59E ,61 4,84E+,2255,268,8991 T ,129E-5 4,63E ,54 1,22E ,18 3,72E-1,2265,2714, ,132E-5 4,12E-1 15.,13 8,86E ,89 7,53E-4,2323,2769, ,133E-5 3,95E-1 15.,2 1,17E-5-15., 1,12E-5,2341,2783 1,166 Solução Exata -5,153E-5 15., -15.,

110 Capítulo 8. APLICAÇÕES 11 Gráficos de convergência dos deslocamento Detalhe 1 (a) Convergência deslocamento (b) Detalhe 1 Figura 8.12 Graus de Liberdade X Erro (deslocamento) Gráficos de convergência das tensões normais σ x Detalhe 1 (a) Convergência tensão σ x (b) Detalhe 1 Figura 8.13 Graus de Liberdade X Erro (σ x )

111 Capítulo 8. APLICAÇÕES 111 Gráficos de convergência das tensões de cisalhamento Figura 8.14 Graus de Liberdade X Erro (tensão cisalhamento) Os gráficos 8.12 ao 8.14, contêm as curvas de convergência do deslocamento e tensões normais e de cisalhamento da estrutura, sendo a convergência em função dos graus de liberdade. A análise dos gráficos revela que o incremento da ordem dos elementos permite uma convergência com um menor número de graus de liberdade. Os elementos T1, T15 e T21 convergiram mais rápido com erros próximos a % com aproximadamente 2 graus de liberdade

112 Capítulo 8. APLICAÇÕES Aplicação 2 - Viga Biengastada com Furo A estrutura em análise consiste em uma viga biengastada com seção transversal de cinquenta centímetros de largura por dois metros de altura, com comprimento de dez metros e um furo com diâmetro de um metro no meio do vão. Essa viga está sob a ação de uma carga distribuída q=1kn/m e possui peso próprio de 25KN/m3. A referida estrutura possui módulo de elasticidade de 2GPa e coeficiente de Poisson de,3. A Figura 8.15 ilustra a estrutura em análise. y q A 1 5 x Figura 8.15 Viga Biengastada (Cotas em centímetros) Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica Neste tópico será verificada a eficiência na montagem da matriz de rigidez global do sistema e solução dos deslocamentos. A avaliação do tempo de processamento será função do número de graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matriz de rigidez global e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos. A Tabela 8.12 contém os valores do tempo de processamento para montagem da matriz global e solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global) utilizando estratégia com matrizes explícitas e integração numérica.

113 Capítulo 8. APLICAÇÕES 113 Tabela 8.12 Matriz explícita X Integral Numérica (T3,T6,T1) Tipo Elemento Número Graus de Liberdade Tempo de Processamento cumulativo (segundos) Matriz Global Solução deslocamentos Matriz Int. Razão Matriz Int. Razão Explícita Numérica Explícita Numérica 12 24,1,,3, 19 36,1,,3, ,2,,4, ,3,,5, T ,6,,9, ,8,,12, ,14,,22, ,22,,31, ,54,,75, ,65, 2,52, ,44, 3,89, 12 72,2,2 1,43,4,5 1, ,2,3 1,59,4,5 1, ,2,4 1,74,5,7 1,43 T ,4,7 1,85,6,9 1, ,8,17 2,12,12,21 1, ,11,24 2,2,16,3 1, ,16,35 2,24,23,42 1, ,28,64 2,27,39,76 1, ,66 1,5 2,28,95 1,81 1, ,3,6 1,91,7,1 1, ,3,6 2,1,7,1 1,5 86 9,4,8 1,93,8,12 1,54 T ,6,11 1,87,11,16 1, ,13,23 1,86,2,32 1, ,17,3 1,74,28,4 1, ,25,54 2,18,4,72 1, ,45,77 1,71,72 1,4 1,45

114 Capítulo 8. APLICAÇÕES 114 Tabela 8.13 Matriz explícita X Integral Numérica (T15,T21) Tipo Elemento Número Graus de Liberdade Tempo de Processamento cumulativo (segundos) Matriz Global Solução deslocamentos Matriz Int. Razão Matriz Int. Razão Explícita Numérica Explícita Numérica 12 24,1,17 1,75,13,21 1, ,1,21 2,8,14,25 1,8 54 1,11,21 1,93,15,26 1,7 T ,12,22 1,74,17,26 1, ,16,33 2,5,22,4 1, ,32,55 1,73,45,68 1, ,42,69 1,64,6,69 1, ,59,96 1,62,85 1,21 1, ,23,,28, 19 56,27,,32, T ,28,,33, ,3,,36, ,37,,47, ,67,,88, ,89, 1,2, (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.16 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global

115 Capítulo 8. APLICAÇÕES 115 (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.17 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Os gráficos das Figuras 8.16 e 8.17 apresentam o tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos em sua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizes explícitas. A análise da figura revela que o a estratégia utilizando matrizes explícitas é mais eficiente que a integração numérica. O elemento que possui maior eficiência que sua versão numérica é o elemento T6 e o elemento de maior velocidade de processamento é o T1. A figura 8.18 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo da matriz de rigidez global para cada elemento. Assim como na aplicação 1 o elemento T3 concentra os termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez. Os elementos de ordem superior, por sua vez, apresentam uma maior dispersão dos termos não nulos, apesar disso os elementos de ordem superior possuem melhor desempenho em termos de tempo de processamento que o elemento T3 como é possível verificar nos gráficos 8.16a e 8.17a.

116 Capítulo 8. APLICAÇÕES 116 (a) Elemento T3 com graus de liberdade (b) Elemento T6 com graus de liberdade (c) Elemento T1 com graus de liberdade (d) Elemento T15 com 18.8 graus de liberdade (e) Elemento T21 com 18.8 graus de liberdade Figura 8.18 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global

117 Capítulo 8. APLICAÇÕES Análise de convergência Os resultados dos deslocamentos e tensões para a aplicação foram validados com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com elementos plane183 (elemento triangular com 6 nós) com os resultados convergindo de acordo com a figura A Tabela 8.14 apresenta os resultados para flecha e tensões no meio do vão da face inferior da viga (ponto A). A Figura 8.19 demonstra algumas das malhas utilizadas na aplicação e a Figura 8.2 exibi a malha do ANSYS. A Figura 8.22 contém o gráfico de convergência das tensões em função dos graus de liberdade e a Figura 8.23 a convergência em função do tempo. Malha triangular elementos Malha triangular elementos Figura 8.19 Malhas viga biengastada. Figura 8.2 Malha da viga biengastada com furo - ANSYS.

118 Capítulo 8. APLICAÇÕES 118 (a) Convergência do deslocamento (b) Convergência da tensão σ x Figura 8.21 Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS

119 Capítulo 8. APLICAÇÕES 119 Tabela 8.14 Análise de convergência - Viga biengastada Elemento Graus Deslocamento (m) Tempo Processamento cumulativo (s) Tensão (kn/m2) Tipo Número de Liberdade Eixo diferença(%) Matriz Cálculo Cálculo Tensão diferença(%) Y Global deslocamentos tensões X ,2E-6 6,29E+1,2,21,87 337,9 1,35E ,78E-6 4,83E+1,2,4,67 138,74 6,45E ,5E-5 2,5E+1,3,5,69 316,5 1,9E ,68E-5 1,12E+1,4,9,73 367,24 5,96E+ T ,81E-5 4,26E+,9,12,84 379,58 2,8E ,83E-5 3,31E+,13,17,91 368,6 5,61E ,85E-5 2,15E+,18,23 1,1 375,22 3,92E ,87E-5 1,22E+,31,39 1,3 378,7 3,3E ,88E-5 5,47E-1,68,9 2,17 381,6 2,29E ,89E-5 2,19E-1 2,8 2,96 5,81 388,56 5,2E ,89E-5 1,52E-1 3,7 4,67 8,93 388,57 5,E ,32E-5 3,2E+1,3,5,7-14,38 1,4E ,78E-5 5,98E+,3,5,71 438,15 1,22E ,88E-5 6,73E-1,4,6,72 45,96 3,95E+ T ,88E-5 3,7E-1,5,8,76 397,72 1,84E ,89E-5 1,3E-1,11,15,93 395,22 1,2E ,89E-5 9,63E-2,15,2 1,9 393,61 7,92E ,89E-5 6,38E-2,22,29 1,27 392,11 4,7E ,89E-5 3,85E-2,37,49 1,89 391,87 3,44E ,89E-5 9,31E-3,86 1,15 4,31 391,49 2,48E ,72E-5 9,21E+,4,9,74-55,39 1,14E ,93E-5 1,9E+,5,8,75 429,81 1,1E ,89E-5 1,8E-1,6,1,79 392,83 5,92E-1 T ,89E-5 5,94E-2,8,13,88 391,5 2,52E ,89E-5 1,89E-2,17,25 1,23 389,33 3,4E ,89E-5 1,14E-2,23,33 1,53 391,38 2,21E ,89E-5 1,3E-2,33,48 2,9 391,25 1,88E ,89E-5 1,8E-2,59,86 3,92 39,31-5,45E ,9E-5 7,43E-1,14,18,86-74,67 1,19E ,94E-5 2,76E+,16,2,88 429,61 1,E ,9E-5 7,61E-1,19,24,98 47,58 4,37E+ T ,9E-5 3,52E-1,18,23,95 391,4 1,34E ,89E-5 1,58E-1,23,29 1,2 391,88 3,49E ,89E-5 6,24E-2,41,54 1,9 39,81 7,42E ,89E-5 4,65E-2,52,7 2,51 39,8 7,11E ,89E-5 3,51E-2,74 1,3 3,91 39,52-7,18E ,81E-5 3,99E+,37,41 1,18 752,75 9,28E ,95E-5 3,4E+,38,43 1,23 437,57 1,2E+1 T ,91E-5 8,79E-1,42,47 1,59 414,17 6,6E ,9E-5 4,22E-1,45,52 1,97 392,22 4,34E ,89E-5 1,97E-1,55,65 2,85 392,51 5,9E ,89E-5 7,99E-2,92 1,16 6,78 391,2 1,29E ,89E-5 6,1E-2 1,14 1,47 9,72 39,74 5,51E-2 ANSYS ,89E-5 39,52

120 Capítulo 8. APLICAÇÕES 12 Figura 8.22 Graus de Liberdade X Diferença (σ x ) Figura 8.23 Tempo de processamento X Diferença (σ x ) A análise dos gráficos das Figuras 8.22 e 8.23 aponta que os elementos de ordem superior convergem mais rápido, sendo a velocidade de convergência dos elementos T6, T1 e T15 muito próximas. O elemento T21 apresentou uma pequena diferença, porém apenas com aproximadamente um segundo e meio o elemento T21 chegou a um erro de apenas,5%.

121 Capítulo 8. APLICAÇÕES 121 Análise Modal Após a análise estática foi realizada a análise modal onde foram obtidos os três primeiros modos de vibração dessa aplicação, conforme Tabela 8.15, sendo estes validados a partir dos resultados obtidos com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com elementos plane183 (elemento triangular com 6 nós) com os resultados convergindo de acordo com a figura A Figura 8.25 apresenta a imagem dos três primeiros modos para estrutura com 86 elementos - T21. (a) Modo 1 (b) Modo 2 (c) Modo 3 Figura 8.24 Convergência das frequências naturais - ANSYS

122 Capítulo 8. APLICAÇÕES 122 Tabela 8.15 Análise modal de convergência - Viga biengastada Elemento Graus de Modo 1 Modo 2 Modo 3 Tempo processamento Liberdade cumulativo (s) Tipo Número Frequência Diferença Frequência Diferença Frequência Diferença Matriz Cálculo (Rad/s) (%) (Rad/s) (%) (Rad/s) (%) Global Modos ,13 6,68E ,92 6,28E ,35 4,62E+1,2, ,94 4,6E ,98 4,73E ,48 3,75E+1,2, ,92 3,73E ,28 4,23E ,13 2,87E+1,2, ,12 1,83E ,1 2,3E ,9 1,36E+1,2, ,34 1,3E ,97 1,82E ,55 1,2E+1,3,11 T ,86 6,73E ,3 1,9E ,63 5,98E+,4, ,51 2,4E+ 2.62,5 4,67E ,83 2,6E+,8, ,33 1,87E+ 2.39,99 3,53E ,77 1,93E+,9, ,62 1,18E+ 2.17,86 2,41E ,51 1,24E+,13, ,61 6,66E ,54 1,43E ,81 7,1E-1,28, ,13 3,1E ,13 7,47E ,85 3,33E-1,86 1, ,32 1,25E ,99 2,83E ,24 1,27E-1 1,46 1, ,96 8,78E ,42 2,3E ,76 8,72E-2 2,5 3, ,26 2,91E ,79 3,17E ,22 2,94E+1,2, ,34 2,48E ,77 1,38E ,57 6,35E+,3,11 T ,86 1,51E+ 2.29,37 1,21E ,69 4,65E+,3, ,4 2,36E ,97 2,67E ,62 6,78E-1,4, ,13 1,6E ,53 1,12E+ 3.77,6 2,45E-1,5, ,58 4,92E ,8 3,9E ,29 7,44E-2,1, ,45 3,62E ,45 2,56E-1 3.7,28 4,72E-2,13, ,73 4,98E ,3 1,26E ,82 1,43E+1,4,13 T ,86 1,76E+ 2.19,72 7,7E ,23 2,52E-1,4, ,71 2,45E ,76 1,39E ,12 9,23E-2,7, ,2 9,22E ,13 6,46E ,31 3,3E-2,8, ,81 3,E ,7 2,37E ,4 1,34E-2,22, ,36 4,2E ,3 8,15E , 3,99E+,17,22 T ,62 2,2E+ 2.88,87 6,1E ,56 1,24E+,14, ,55 5,68E-1 2.8,67 1,94E ,25 3,32E-1,17, ,86 3,31E ,41 1,22E ,4 1,93E-1,19, ,72 1,41E ,72 5,74E ,5 8,2E-2,25, ,87 3,56E ,82 7,99E ,18 3,7E+,37,46 T ,35 2,33E+ 2.83,11 5,72E ,16 1,5E+,39, ,4 6,2E-1 2.6,55 1,83E ,1 3,9E-1,55, ,53 3,65E ,26 1,16E+ 3.69,23 2,24E-1,47, ,54 1,6E ,2 5,48E ,9 9,83E-2,66,86 ANSYS ,1 1.97, ,53

123 Capítulo 8. APLICAÇÕES 123 (a) Modo 1 (b) Modo 2 (c) Modo 3 Figura 8.25 Modos de Vibração - Viga biengastada (Rad/s).

124 Capítulo 8. APLICAÇÕES 124 Figura 8.26 Graus de Liberdade X Diferença (Modo 1) A análise do gráfico 8.26 demonstra que as frequências naturais convergem rapidamente para os elementos de ordem superior a um baixo custo computacional. Para essa aplicação o elemento com melhor desempenho foi o T6 que apresentou erro próximo a % com o menor número de graus de liberdade.

125 .1 Capítulo 8. APLICAÇÕES Aplicação 3 - Chapa Tracionada A terceira aplicação consiste em uma chapa tracionada com um furo no centro. A chapa possui dimensões de três metros e meio de largura por um metro de altura, espessura de um milímetro, e furo com vinte centímetros de diâmetro. A chapa está sob a ação de uma carga distribuída q=1kn/m, possui módulo de elasticidade de 2GPa e coeficiente de Poisson de. A Figura 8.27 ilustra a estrutura em análise. y A B q x 35 Figura 8.27 Chapa Tracionada (cotas em centímetros). Para o caso da placa tracionada, surge o efeito da concentração de tensões próximo ao furo (ponto A), onde surgem tensões muito acima da tensão média da chapa. No ponto B a tensão é nula. Como a chapa é simétrica podemos simplificar o problema conforme ilustrado na Figura y 1 4 q x Figura 8.28 Chapa simétrica tracionada (cotas em centímetros). Diante da importância da determinação da tensão máxima para o dimensionamento adequado da estrutura surgiram estudos para determinar seu valor. Pilkey (1997) apresenta a forma analítica para solução do problema através do ábaco da Figura 8.29.

126 Capítulo 8. APLICAÇÕES 126 Figura 8.29 Ábaco - Concentração de Tensões. Fonte: Pilkey, Para determinação da tensão máxima é necessário obter o coeficiente 𝐾𝑡𝑛 fornecido pela Figura (8.29). O dado de entrada para o ábaco é a razão entre o diâmetro do furo e a menor dimensão da chapa. Em seguida, basta aplicar a expressão (8.7) que está em função da tensão crítica localizada na região furada, ou seja na área "líquida"da chapa. 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝑛 𝜎𝑐 (8.7)

127 Capítulo 8. APLICAÇÕES 127 Onde, σ max é a tensão máxima e σ c é a tensão na seção crítica. Aplicando a expressão (8.7) ao problema em análise temos: d H =, 2m 1, m =, 2 (8.8) 1kN σ max = K tn σ c = 2, 52, 8mX, 1m = KN/m2 Outra forma de obter a tensão máxima é aplicando a expressão (8.9) com a curva K tg, pertencente ao mesmo ábaco, porém para esse caso é aplicada a tensão média da chapa, ou seja a tensão na área "bruta"da chapa. σ max = K tg σ med (8.9) Onde, σ max é a tensão máxima e σ med é a tensão média da seção. Aplicando a expressão (8.9) ao problema em análise temos: d H =, 2m 1, m =, 2 (8.1) 1kN σ max = K tg σ c = 3, 15 1, mx, 1m = KN/m2 Portanto, o valor teórico para tensão máxima é de KN/m2 de acordo com as expressões (8.8) e (8.1). A Tabela 8.16 apresenta os resultados para as tensões nos pontos A e B da chapa, e a Figura 8.31 apresenta o gráfico de convergência das tensões em função dos graus de liberdade. A Figura 8.3 apresenta algumas das malhas utilizadas na aplicação. Não foi realizado um refinamento p localizado no ponto de concentração de tensões, pois durante a pesquisa não foi possível o desenvolvimento de uma técnica adequada para o refino localizado.

128 Capítulo 8. APLICAÇÕES 128 Malha triangular elementos Malha triangular elementos Malha triangular elementos Figura 8.3 Malhas chapa.

129 Capítulo 8. APLICAÇÕES 129 Tabela 8.16 Análise de convergência - Chapa Elemento Graus de Tensões (N/m2) Tipo Número Liberdade Tensão em A Erro (%) Tensão em B ,93 4,51E , ,64 2,7E ,47 T ,18 1,44E , ,48 7,33E , ,75 3,61E , ,37 1,72E , ,1 7,55E , ,75 1,69E , ,2 5,69E ,9 T ,35 1,66E , ,84 3,85E , ,49 1,54E , ,99 8,47E , ,47 5,41E , ,65 8,49E ,6 T ,48 6,2E , ,85 3,52E , ,96 1,93E , ,99 1,5E , ,16 2,5E , ,68 2,E ,97 T ,96 1,21E , ,12 6,64E , ,92 3,51E , ,47 1,85E , ,1 4,29E ,54 T ,58 3,E , ,51 1,72E , ,65 9,18E , ,59 4,77E ,61 Solução exata ,

130 Capítulo 8. APLICAÇÕES 13 Figura 8.31 Graus de Liberdade X Erro (σ x ) A análise do gráfico 8.31 revela que a convergência em pontos de concentração de tensões torna-se mais lenta a medida que eleva-se o grau do polinômio. A Tabela 8.17 apresenta o perfil de tensões para a chapa com furo circular (figura 8.32) e para chapa com iguais dimensões, porém com furo quadrado de 1 cm de lado (figura 8.33). Perfil A Figura 8.32 Tensão na chapa com furo circular (N/m2)

131 Capítulo 8. APLICAÇÕES 131 Perfil B Perfil C Figura 8.33 Tensão na chapa com furo quadrado (N/m2) Tabela 8.17 Perfil de tensões - A, B e C Perfil Elemento Graus de Tensão (N/m2) em cada coordenada Y Tipo Núm. Liberdade 1 cm 15 cm 2 cm 25 cm 3 cm 35 cm 4 cm 45 cm 5 cm T ,92E+7 1,58E+7 1,26E+7 1,15E+7 1,11E+7 1,8E+7 1,5E+7 1,1E+7 9,52E+6 T ,14E+7 1,57E+7 1,26E+7 1,16E+7 1,11E+7 1,7E+7 1,4E+7 1,E+7 9,43E+6 A T ,26E+7 1,58E+7 1,26E+7 1,16E+7 1,11E+7 1,7E+7 1,4E+7 1,E+7 9,43E+6 T ,36E+7 1,58E+7 1,26E+7 1,16E+7 1,11E+7 1,7E+7 1,4E+7 1,E+7 9,43E+6 T ,44E+7 1,58E+7 1,26E+7 1,16E+7 1,11E+7 1,7E+7 1,4E+7 1,E+7 9,43E+6 T ,8E+7 1,6E+7 1,36E+7 1,23E+7 1,16E+7 1,12E+7 1,8E+7 1,4E+7 9,8E+6 T ,79E+7 1,6E+7 1,37E+7 1,24E+7 1,17E+7 1,12E+7 1,8E+7 1,4E+7 9,74E+6 B T ,78E+7 1,6E+7 1,38E+7 1,24E+7 1,17E+7 1,12E+7 1,8E+7 1,4E+7 9,74E+6 T ,78E+7 1,6E+7 1,38E+7 1,24E+7 1,17E+7 1,12E+7 1,8E+7 1,4E+7 9,75E+6 T ,78E+7 1,6E+7 1,38E+7 1,24E+7 1,17E+7 1,12E+7 1,8E+7 1,4E+7 9,75E+6 T ,96E+7 1,42E+7 1,29E+7 1,22E+7 1,16E+7 1,13E+7 1,9E+7 1,6E+7 1,2E+7 T ,8E+7 1,42E+7 1,29E+7 1,22E+7 1,16E+7 1,13E+7 1,9E+7 1,6E+7 1,2E+7 C T ,59E+7 1,42E+7 1,29E+7 1,22E+7 1,16E+7 1,13E+7 1,9E+7 1,6E+7 1,2E+7 T ,34E+7 1,42E+7 1,29E+7 1,22E+7 1,16E+7 1,13E+7 1,9E+7 1,6E+7 1,2E+7 T ,5E+7 1,42E+7 1,29E+7 1,22E+7 1,16E+7 1,13E+7 1,9E+7 1,6E+7 1,2E+7

132 Capítulo 8. APLICAÇÕES 132 Figura 8.34 Tensões (σ x ) - Perfil A (N/m2) Figura 8.35 Tensões (σ x ) - Perfil B (N/m2)

133 Capítulo 8. APLICAÇÕES 133 Figura 8.36 Tensões (σ x ) - Perfil C (N/m2) A análise dos perfis de tensões 8.34, 8.35 e 8.36 permitem concluir que apenas nos pontos de concentração de tensões a convergência é lenta para elementos de ordem superior. Esse comportamento pode ser explicado pelo Fenômeno de Runge. Conforme Roth (25), em regiões de contorno à medida que o grau p aumenta, ocorrem grandes oscilações nessa região, ou seja, por esse fenômeno, polinômios de ordem superior não representam adequadamente uma função arbitrária em regiões singulares. A figura 8.37 ilustra o Fenômeno de Runge, onde a função p de ordem superior não consegue representar a função f (arbitrária) em uma determinada região. Figura 8.37 Fenômeno de Runge

134 Capítulo 8. APLICAÇÕES Aplicação 4 - Pórtico Espacial A estrutura em análise consiste em um pórtico espacial simétrico com vigas de seção transversal de um metro de largura por dois metros de altura e pilares com seção quadrada de um metro.o pórtico está sob a ação de uma carga distribuída q=1kn/m2 e possui peso próprio de 25KN/m3. A estrutura possui módulo de elasticidade de 2GPa e coeficiente de Poisson de,3. A Figura 8.38 ilustra a estrutura em análise. 7 A 1 1 C B 95 z 5 x y Figura 8.38 Pórtico Espacial (Cotas em centímetros) Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica A montagem da matriz de rigidez de um elemento é bem mais eficiente aplicando a estratégia explícita aos elementos TE2 e TE35. Neste tópico será verificado se essa eficiência é refletida na montagem da matriz global do sistema e solução dos deslocamentos. A avaliação do tempo de processamento será em função do número de nós do elementos para malhas com graus de liberdade variando entre aproximadamente 5 e 84. graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matriz de rigidez global e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos. A Tabela 8.18 contém os valores do tempo de processamento para montagem da matriz global e solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global) utilizando estratégia com matrizes explícitas e integração numérica.

135 Capítulo 8. APLICAÇÕES 135 Tabela 8.18 Matriz explícita X Integral numérica Tipo Elemento Número Graus de Liberdade Tempo Processamento cumulativo (segundos) Matriz Global Solução Deslocamentos Matriz Int. Razão Matriz Int. Razão explícita Numérica explícita Numérica ,8, ,16, ,39, ,42,52 TE ,81, ,28 8, ,26 35, ,27 85, ,74 188, ,57 437, ,3,18,6,37,26, ,55,36,65,68,49,72 TE ,61 1,14,71 1,97 1,49, ,89 3,1,8 4,9 4,24, ,59 6,7,8 9,76 8,22, ,71 1,6,91 15,77 15,43, ,33 18,78,84 31,47 28,9, ,88 2,87 1,52 2,8 3,26 1, ,63 5, 1,38 4,3 5,41 1,34 TE ,2 8,97 1,49 6,76 9,76 1, ,21 12,35 1,5 9,57 13,52 1, ,91 19,7 1,53 14,74 21,43 1, ,3 29,2 1,59 21,71 31,94 1, ,24 42,72 1,63 3,89 48,34 1, , 8,34 1,19 7,45 8,77 1,18 TE ,21 18,66 1,41 14,32 2, 1, ,69 31,47 1,33 26,8 34,12 1, ,62 42,72 1,4 33,6 46,35 1, ,54 71,36 1,68 47,58 78,43 1,65

136 Capítulo 8. APLICAÇÕES 136 (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.39 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.4 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Os gráficos das Figuras 8.39 e 8.4 apresentam o tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos em sua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizes explícitas. A análise dos gráficos indica que os elementos TE2 e TE35 requerem um menor custo computacional em sua forma explícita, diferentemente do elemento TE1 em que a integração numérica é um pouco mais eficiente. O elemento que possui maior

137 Capítulo 8. APLICAÇÕES 137 eficiência em relação a integração numérica e velocidade de processamento é o elemento TE1. (a) Elemento TE4 com graus de liberdade (b) Elemento TE1 com graus de liberdade (c) Elemento TE2 com graus de liberdade (d) Elemento TE35 com graus de liberdade Figura 8.41 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global A figura 8.41 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo da matriz de rigidez global para cada elemento. E pode-se verificar que o elemento TE4 concentra os termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez, os elementos de ordem superior, por sua vez, apresentam uma maior dispersão dos termos não nulos, apesar disso os elementos de ordem superior possuem melhor desempenho em termos de tempo de processamento que o elemento TE4 como é possível verificar nos gráficos 8.39a e 8.4a.

138 Capítulo 8. APLICAÇÕES Análise de convergência A Tabela 8.19 apresenta o deslocamento vertical na ponto A (eixo Z) e as tensões de compressão nos pontos B e C (respectivamente os eixos X e Y) conforme a Figura Os resultados foram validados com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com elementos solid187 (tetraedro com 1 nós) com os resultados convergindo de acordo com a figura A Figura 8.44 apresenta algumas das malhas utilizadas para resolução da estrutura e a Figura 8.42 exibi a malha do ANSYS. Figura 8.42 Malha do pórtico - ANSYS. (a) Convergência do deslocamento (b) Convergência da tensão σ y Figura 8.43 Convergência dos resultados nos pontos A e B - ANSYS

139 Capítulo 8. APLICAÇÕES 139 Figura 8.44 Malhas do pórtico.

140 Capítulo 8. APLICAÇÕES 14 Tabela 8.19 Pórtico - Deslocamento vertical e tensões Elemento Graus de Deslocamento (m) Tensão (N/m2) Tipo Número Liberdade Eixo Z Diferença (%) Tensão X Diferença (%) Tensão Y Diferença (%) ,32E-4 6,93E+1-2,5E+5 8,33E+1-2,44E+5 8,37E ,18E-4 4,94E+1-6,44E+5 5,7E+1-6,8E+5 5,46E ,18E-4 4,93E+1-7,1E+5 5,32E+1-6,27E+5 5,82E ,64E-4 3,87E+1-7,5E+5 5,E+1-7,51E+5 4,99E+1 TE ,84E-4 3,4E+1-8,39E+5 4,4E+1-7,94E+5 4,7E ,82E-4 1,12E+1-1,24E+6 1,72E+1-1,2E+6 1,96E ,97E-4 7,52E+ -1,24E+6 1,73E+1-1,29E+6 1,38E ,3E-4 6,21E+ -1,35E+6 1,1E+1-1,35E+6 9,99E ,7E-4 5,3E+ -1,35E+6 9,93E+ -1,31E+6 1,26E ,12E-4 4,23E+ -1,34E+6 1,3E+1-1,39E+6 6,96E ,87E-4 9,84E+ -1,59E+6 6,33E+ -1,6E+6 6,73E ,7E-4 5,16E+ -1,44E+6 3,68E+ -1,44E+6 4,7E+ TE ,18E-4 2,8E+ -1,48E+6 1,5E+ -1,48E+6 9,89E ,22E-4 1,72E+ -1,48E+6 1,5E+ -1,49E+6 5,84E ,24E-4 1,35E+ -1,49E+6 2,4E-1-1,5E+6 1,74E ,24E-4 1,21E+ -1,49E+6 5,55E-1-1,49E+6 6,89E ,26E-4 9,27E-1-1,5E+6 1,29E-1-1,49E+6 2,7E ,15E-4 3,43E+ -1,58E+6 5,39E+ -1,44E+6 4,7E ,22E-4 1,84E+ -1,49E+6 7,3E-1-1,48E+6 9,91E-1 TE ,23E-4 1,61E+ -1,49E+6 6,82E-1-1,49E+6 7,27E ,25E-4 1,8E+ -1,49E+6 2,68E-1-1,49E+6 2,54E ,26E-4 9,33E-1-1,5E+6 1,31E-1-1,5E+6 1,61E ,26E-4 8,21E-1-1,49E+6 2,29E-1-1,5E+6 1,57E ,27E-4 6,59E-1-1,5E+6 5,E-2-1,5E+6 2,36E ,22E-4 1,73E+ -1,48E+6 9,17E-1-1,48E+6 8,87E ,26E-4 9,66E-1-1,5E+6 1,15E-1-1,49E+6 2,52E-1 TE ,26E-4 8,14E-1-1,5E+6 9,91E-2-1,5E+6 1,68E ,27E-4 5,27E-1-1,5E+6 1,26E-1-1,5E+6 9,68E ,28E-4 4,55E-1-1,5E+6 1,51E-1-1,5E+6 1,56E ,28E-4 4,72E-1-1,5E+6 1,51E-1-1,5E+6 1,1E-1 ANSYS ,3E-4-1,5E+6-1,5E+6

141 Capítulo 8. APLICAÇÕES 141 Gráficos de convergência dos deslocamento Detalhe 1 (a) Convergência deslocamento (b) Detalhe 1 Figura 8.45 Graus de Liberdade X Diferença (deslocamento) Detalhe 1 (a) Convergência deslocamento (b) Detalhe 1 Figura 8.46 Tempo de processamento X Diferença (deslocamento)

142 Capítulo 8. APLICAÇÕES 142 Gráficos de convergência das tensões σ y Detalhe 1 (a) Convergência tensão σ y (b) Detalhe 1 Figura 8.47 Graus de Liberdade X Diferença (σ y ) Detalhe 1 (a) Convergência tensão σ y (b) Detalhe 1 Figura 8.48 Tempo de processamento X Diferença (σ y )

143 Capítulo 8. APLICAÇÕES 143 O gráfico 8.45, apresenta o gráfico das curvas de convergência do deslocamento vertical da estrutura do ponto A em função dos graus de liberdade e o gráfico 8.46 apresenta a convergência da solução em função do tempo de processamento. Onde é possível verificar que os elementos TE2 e TE35 convergem com maior velocidade para um mesmo número de graus de liberdade em relação aos demais elementos, com o elemento TE35 levando ligeira vantagem. Os gráficos 8.47 e 8.48 apresentam a convergência da tensão σ y no ponto C. A análise em conjunto desses gráficos permitem concluir que para elemento de maior ordem a solução converge mais rápido. semelhante ao cálculo dos deslocamentos os elementos que apresentaram maior eficiência para essa aplicação foram o TE2 e TE35. As figuras a seguir apresentam a deformada e as tensões atuantes na estrutura: Figura 8.49 Deformada pórtico.

144 Capítulo 8. APLICAÇÕES 144 Figura 8.5 Tensões pórtico (N/m2).

145 Capítulo 8. APLICAÇÕES 145 Análise Modal Em seguida, foi realizada a análise modal onde foram obtidos os três primeiros modos de vibração para o pórtico, conforme Tabela 8.2, sendo estes validados a partir dos resultados obtidos com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com elementos solid187 (tetraedro com 1 nós) com os resultados convergindo de acordo com a figura O tempo para o cálculo dos modos de vibração inclui o tempo para montagem da matriz de rigidez global. (a) Modo 1 (b) Modo 2 (c) Modo 3 Figura 8.51 Convergência das frequências naturais - ANSYS

146 Capítulo 8. APLICAÇÕES 146 Tabela 8.2 Análise modal de convergência - Pórtico Elemento Graus de Modo 1 Modo 2 Modo 3 Tempo processamento Liberdade cumulativo (segundos) Tipo Número Frequência Diferença Frequência Diferença Frequência Diferença Matriz Cálculo (Rad/s) (%) (Rad/s) (%) (Rad/s) (%) Global Modos ,34 9,85E+1 218,97 9,63E+1 333,24 1,5E+2,28, ,1 7,4E+1 194,31 7,42E+1 262,91 9,75E+1,6, ,1 7,13E+1 192,56 7,26E+1 263,77 9,82E+1 1,22 1, ,27 5,45E+1 172,1 5,43E+1 226,41 7,1E+1 1,48 1,62 TE ,23 4,81E+1 165,38 4,83E+1 217,46 6,34E+1 2,21 2, ,33 1,6E+1 123,66 1,9E+1 15,12 1,28E+1 2,91 21, ,52 6,26E+ 118,45 6,2E+ 142,8 7,29E+ 51,58 53, ,37 5,23E+ 117,43 5,28E+ 14,97 5,91E+ 75,21 78, ,14 4,13E+ 116,24 4,22E+ 139,38 4,72E+ 99,92 15, ,7 3,18E+ 115,4 3,14E+ 137,76 3,5E+ 113,4 122, ,94 5,74E+ 118,6 5,84E+ 139,78 5,2E+,48, ,78 3,81E+ 115,95 3,95E+ 137,27 3,13E+,69,9 TE ,44 1,71E+ 113,43 1,7E+ 135, 1,43E+ 1,74 2, ,42 7,93E-1 112,39 7,62E-1 133,82 5,42E-1 4,24 5, ,6 4,7E-1 112,1 4,25E-1 133,5 2,95E-1 9,8 12, ,92 3,44E-1 111,91 3,29E-1 133,4 2,21E-1 1,77 15, ,71 1,55E-1 111,74 1,78E-1 133,24 1,2E-1 17,27 27, ,11 1,41E+ 113,18 1,47E+ 134,89 1,34E+ 2,21 2, ,42 8,E-1 112,33 7,6E-1 133,76 4,96E-1 3,98 4,61 TE ,34 7,21E-1 112,2 5,91E-1 133,56 3,46E-1 6,56 7, ,82 2,55E-1 111,84 2,66E-1 133,35 1,82E-1 8,89 1, ,64 9,93E-2 111,65 9,91E-2 133,18 5,5E-2 14,98 18, ,67 1,25E-1 111,66 1,8E-1 133,16 4,44E-2 19,54 25, ,55 1,68E-2 111,54 4,66E-3 133,11 7,9E-3 32,9 41, ,97 3,92E-1 112,4 4,46E-1 133,42 2,38E-1 8,77 9,5 TE ,73 1,75E-1 111,67 1,18E-1 133,18 5,57E-2 15,47 17, ,7 1,52E-1 111,61 6,73E-2 133,15 3,73E-2 25,58 29, ,44 8,74E-2 111,44 8,54E-2 133,6 3,1E-2 4,21 46, ,38 1,33E-1 111,39 1,34E-1 133,3 5,64E-2 46,23 56,15 ANSYS ,53 111,54 133,1 A análise das Figuras 8.52 e 8.53 revela que, semelhante ao caso estático, os elementos TE2 e TE35 possuem maior eficiência que os demais elementos para montagem das matrizes de massa e rigidez globais e solução dos modos de vibração, sendo que o elemento TE35 possui pequena vantagem em relação ao TE2, pois convergem com um menor número de grau de liberdade.

147 Capítulo 8. APLICAÇÕES 147 Detalhe 1 (a) Convergência Modo 1 (b) Detalhe 1 Figura 8.52 Graus de Liberdade X Diferença (Modos de vibração) Detalhe 1 (a) Convergência Modo 1 (b) Detalhe 1 Figura 8.53 Tempo de processamento X Diferença (Modos de vibração) estrutura. A Figura 8.54 apresenta a imagem dos três primeiros modos de vibração da

148 Capítulo 8. APLICAÇÕES 148 Figura 8.54 Modos de Vibração - Pórtico

149 Capítulo 8. APLICAÇÕES Aplicação 5 - Conjunto de Aduelas (Ponte) A aplicação consiste em um tabuleiro de ponte medindo vinte e seis metros de largura por cinquenta metros de comprimento. A altura da Aduela é de sete metros e sessenta centímetros e sua base inferior mede quatorze metros e noventa centímetros de largura. A espessura das peças é de sessenta centímetros. A estrutura esta engastada em suas faces longitudinais e o o tabuleiro está sob a ação de uma carga distribuída q=1kn/m2. A estrutura possui módulo de elasticidade de 2GPa, coeficiente de Poisson de,3 e peso próprio de 25KN/m3. A Figura 8.55 ilustra a estrutura em análise A y 76 z x 149 Figura 8.55 Conjunto de Aduelas (Cotas em centímetros) Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica Neste tópico será verificado a eficiência na montagem da matriz global do sistema e solução dos deslocamentos. A avaliação do tempo de processamento será em função do número de graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matriz de rigidez global e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos. A Tabela 8.21 contém os valores do tempo de processamento para montagem da matriz global e solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global) utilizando estratégia com matrizes explícitas e integração numérica.

150 Capítulo 8. APLICAÇÕES 15 Tabela 8.21 Matriz explícita X Integral numérica Tipo Elemento Número Graus de Liberdade Tempo de Processamento cumulativo (segundos) Matriz Global Solução Deslocamentos Matriz Int. Razão Matriz Int. Razão Explícita Numérica Explícita Numérica ,27, 2,53, ,57, 57,43, TE ,66, 365,2, ,21, 684,99, ,87, 948,76, ,86, 1.57,73, ,78 3,,79 5,49 4,51, ,51 6,41,67 13,49 1,53,78 TE ,99 11,83,79 23,45 2,43, ,43 17,97,8 36,47 31,39, ,3 36,24,82 72,35 64,9, ,41 44,2,86 92,79 84,54, ,59 1,45 1,58 7,49 11,43 1, ,4 15,64 1,56 11,86 17,59 1,48 TE ,79 23,14 1,56 18,81 26,83 1, ,28 4, 1,65 32,9 48,54 1, ,54 5,52 1,71 4,57 63,55 1, ,51 64,19 1,58 56,86 81,52 1, ,32 1,31 1,64 99,64 167,1 1, ,47 34,91 1,43 27,5 38,42 1, ,73 56,68 1,59 42,55 63,83 1,5 TE ,66 85,14 1,62 66,28 98,59 1, ,9 122,48 1,72 92,36 143,91 1, ,3 153,23 1,76 131,78 23,8 1, ,71 181,31 1,61 314,72 398,22 1,27

151 Capítulo 8. APLICAÇÕES 151 (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.56 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global (a) Graus de liberdade x Tempo de processamento (b) Razão - int. numérica x Mat. explícita Figura 8.57 Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos Os gráficos das Figuras 8.56 e 8.57 apresentam o tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos em sua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizes explícitas. Semelhante a aplicação 4, a análise das figuras indicam que os elementos TE2 e TE35 requerem um menor custo computacional em sua forma explícita, diferentemente do elemento TE1 em que a integração numérica é um pouco mais eficiente e o elemento que

152 Capítulo 8. APLICAÇÕES 152 possui maior eficiência em relação a integração numérica e velocidade de processamento é o elemento TE2. (a) Elemento TE4 com graus de liberdade (b) Elemento TE1 com graus de liberdade (c) Elemento TE2 com graus de liberdade (d) Elemento TE35 com graus de liberdade Figura 8.58 Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidez global A figura 8.58 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo da matriz de rigidez global para cada elemento. Para essa aplicação o elemento TE4 possui o menor desempenho, com todos os termos não nulos concentrados ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez global. O elemento TE1 também apresentou a concentração dos termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez e seu desempenho em termos de tempo de processamento foi semelhante ao desempenho apresentado pelo mesmo elemento na aplicação 4.

153 Capítulo 8. APLICAÇÕES Análise de convergência A Tabela 8.22 apresenta o deslocamento vertical (eixo Y) a tensão de compressão (eixos X) no meio do vão da face superior do tabuleiro (ponto A). A Tabela também contém o tempo de processamento para montagem da matriz global, solução do deslocamento e cálculo das tensões de forma cumulativa. O tempo para o cálculo das tensões inclui o tempo para montagem da matriz global e solução do sistema de equações. Os resultados foram validados com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com elementos solid187 (tetraedro com 1 nós) com os resultados convergindo de acordo com a figura A Figura 8.59 apresenta algumas das malhas utilizadas na aplicação e a Figura 8.6 exibe a malha do ANSYS. Figura 8.59 Malhas aduela.

154 Capítulo 8. APLICAÇÕES 154 Figura 8.6 Malha aduela - ANSYS. (a) Convergência do deslocamento (b) Convergência da tensão σ x Figura 8.61 Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS

155 Capítulo 8. APLICAÇÕES 155 Tabela 8.22 Aduela - Deslocamento vertical, tensão X, e tempo de processamento Tipo Elemento Número Graus de Liberdade Deslocamento (m) Eixo Diferença Y (%) Tensão (N/m2) Eixo Diferença X (%) Tempo processamento cumulativo (segundos) Matriz Solução Cálculo Global Deslocamentos Tensões ,66E-3 6,E+1-5,48E+6 8,6E+1 14,27 2,53 28, ,73E-3 5,97E+1-4,82E+6 8,77E+1 36,57 57,43 75,32 TE ,3E-2 4,61E+1-1,5E+7 6,17E+1 22,66 365,2 41, ,19E-2 3,78E+1-1,55E+7 6,3E+1 369,21 684,99 766, ,23E-2 3,57E+1-1,82E+7 5,35E+1 54,87 948,76 1.6, ,3E-2 3,23E+1-1,87E+7 5,22E+1 789, , , ,77E-2 7,81E+ -3,58E+7 8,54E+ 3,78 5,49 8, ,86E-2 2,85E+ -3,8E+7 2,94E+ 9,51 13,49 2,92 TE ,89E-2 1,59E+ -3,84E+7 1,91E+ 14,99 23,45 37, ,9E-2 1,1E+ -3,85E+7 1,64E+ 22,43 36,47 65, ,9E-2 9,34E-1-3,86E+7 1,47E+ 44,3 72,35 152, ,91E-2 4,65E-1-3,87E+7 1,15E+ 51,41 92,79 21, ,2E-2 3,77E+1-1,89E+7 5,17E+1 6,59 7,49 22, ,83E-2 4,42E+ -3,67E+7 6,25E+ 1,4 11,86 35,48 TE ,87E-2 2,7E+ -3,82E+7 2,43E+ 14,79 18,81 54, ,9E-2 1,19E+ -3,85E+7 1,63E+ 24,28 32,9 94, ,91E-2 4,3E-1-3,87E+7 1,4E+ 29,54 4,57 12, ,91E-2 1,79E-1-3,88E+7 9,75E-1 4,51 56,86 183, ,92E-2-3,13E-1-3,89E+7 6,46E-1 61,32 99,64 359, ,67E-2 1,3E+1-3,23E+7 1,76E+1 24,47 27,5 96,17 TE ,9E-2 1,1E+ -3,85E+7 1,57E+ 35,73 42,55 152, ,91E-2 3,92E-1-3,87E+7 1,11E+ 52,66 66,28 24, ,93E-2 4,69E-1-3,89E+7 5,23E-1 71,9 92,36 348, ,92E-2 2,6E-1-3,89E+7 6,42E-1 87,3 131,78 496,26 ANSYS ,92E-2-3,91E+7

156 Capítulo 8. APLICAÇÕES 156 Figura 8.62 Graus de Liberdade X Diferença (σ x ) Figura 8.63 Tempo de processamento X Diferença (σ x )

157 Capítulo 8. APLICAÇÕES 157 A Figura 8.62, apresenta o gráfico das curvas de convergência da tensão de compressão σ x, no ponto A, em função dos graus de liberdade. Onde é possível concluir que os elementos TE1, TE2 e TE35 convergem com velocidades muito próximas. Apenas o primeiro ponto da cuva do elemento TE35 foi destoante dos demais, devido a sua malha inicial com poucos elementos não permitir uma adequada distribuição dos nós no elemento. A convergência da solução em função do tempo de processamento é apresentada pelo gráfico da Figura 8.63, onde é possível verificar que o elemento TE1, TE2 e TE35 converge com velocidades próximas. Semelhante ao caso anterior apenas o primeiro ponto da curva do elemento TE35 difere dos demais. As figuras 8.64 e 8.65 apresentam a deformada e as tensões atuantes na estrutura: Figura 8.64 Deformada conjunto de aduelas.

158 Capítulo 8. APLICAÇÕES 158 Figura 8.65 Tensões no conjunto de aduela (N/m2).