UMA ABORDAGEM VIA ALGORITMOS MEMÉTICOS PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE HORÁRIO ESCOLAR

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional UMA ABORDAGEM VIA ALGORITMOS MEMÉTICOS PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE HORÁRIO ESCOLAR Dissertação de Mestrado, submetida ao Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluna: Alessandra Martins Coelho Orientador: Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza (CEFET/MG) Belo Horizonte, agosto de 2006.

2 C672a COELHO, Alessandra Martins 2006 Uma abordagem via algoritmos meméticos para a solução do problema de horário escolar. Belo Horizonte: CEFET-MG, p. Dissertação (Mestrado) Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais CEFET/MG. 1. Problema de horário escolar. 2. Metaheurística. 3. Algoritmos meméticos. 4. Pesquisa Operacional. I. Título. CDD:

3 iii Aos meus pais, Rosa Maria e Fábio.

4 Agradecimentos Agradeço a todas as pessoas que direta e indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. A Deus por ter me dado a saúde e a fé necessários para a conclusão de mais uma jornada. Aos meus pais, Fábio e Rosa Maria, que tanto me apoiaram nesse processo e em todos os momentos de minha vida. Agradeço por todo o amor e carinho. Ao meu irmão, Fabrício, desde sempre meu grande amigo. Ao meu noivo, Raimundo, pela amizade, carinho, paciência e compreensão de sempre, fundamentais para o meu envolvimento nesse trabalho. Ao prof. Sérgio Ricardo de Souza por ter acreditado em meu trabalho, pelo incentivo, envolvimento, conselhos e críticas, os quais permitiram meu crescimento pessoal e profissional. Ao meu colega de trabalho, Francisco de Assis Moreira, pelas informações prestadas quanto à programação dos quadros de horários dos professores do CEFET Rio Pomba. À minha família em Belo Horizonte: Michelle e Maxwel, que compartilharam comigo as ansiedades do dia-a-dia; pelos momentos de descontração em que o Max me tirava realmente do "sério"; e, principalmente, por todo apoio recebido. Aos amigos que conquistei no mestrado e, principalmente, ao Marcelo, Marcos, Paulo, Moisés, Ricardo, Marlon e Érica. A todos vocês, meus sinceros agradecimentos. iv

5 Não entesourais para vós tesouros na terra, onde a traça e a ferrugem consomem e onde os ladrões minam e roubam. Mas entesourai para vós tesouros nos céus, onde nem a traça nem a ferrugem consomem e onde os ladrões não minam nem roubam. Porque onde estiver o teu tesouro, ali estará também o teu coração. Mateus 6:19-21 v

6 Resumo Este trabalho faz um estudo sobre a utilização de metaheurísticas na resolução do Problema de Horário Escolar, também conhecido como Problema Classe-Professor. Esse problema consiste, basicamente, em alocar um conjunto de classes e um conjunto de professores, em um número prefixado de períodos de tempo (tipicamente uma semana), tal que os requisitos necessários sejam atendidos. Cada classe é um conjunto de estudantes que possuem um currículo comum e estudam em uma mesma sala de aula. O modelo do problema proposto, a definição de uma estrutura hierárquica para a função objetivo e a estrutura de vizinhança adotada são apresentados. São informados os resultados da utilização dos algoritmos implementados ao caso específico da geração de horário escolar de dois turnos simultaneamente. Os resultados obtidos pelos algoritmos Simulated Annealing e Iterated Local Search são comparados, verificando a capacidade de encontrar soluções viáveis em menor tempo de execução. Um algoritmo híbrido, baseado em Algoritmos Meméticos, Iterated Local Search e Reconexão por Caminhos, é apresentado como proposta para resolver o problema abordado. Os algoritmos foram testados com dados reais do Centro Federal de Educação Tecnológica de Rio Pomba. Os resultados computacionais mostram que o algoritmo híbrido obtém soluções, com sucesso, em todos os problemas-teste. Palavras-Chave: Problema de Horário Escolar; Algoritmos Meméticos; Metaheurística. vi

7 Abstract The focus of this work is the study of metaheuristics for solving school timetabling problem, also known as class-teacher timetabling problem. This problem basically consists of allocating a set of classes and a set of teachers, in a prefixed period of time (typically a week), such that the necessary requirements are satisfied. Each class is a set of students having a common curriculum and studying together. The model of the proposed problem, the definition of a hierarchical structure for the objective function and the neighborhood search operators which we apply to matrices representing timetables are presented. It is reported about the outcomes of the utilization of the implemented algorithms to the specific case of the generation of a timetable in two period at a school. The obtained results by Simulated Annealing and Iterated Local Search metaheurists are compared, verifying the capacity to find viable solutions in smaller execution time. An hybrid approach, based on the Memetic Algorithms, Iterated Local Search and Path-Relinking, is also presented as proposal for solving the problem. The algorithms were tested with real data providing by Centro Federal de Educação Tecnológica de Rio Pomba. Computational results show that the hybrid algorithm obtains best solutions, with success, for all instances. Keywords: School Timetabling Problem; Memetic Algorithms; Metaheuristic. vii

8 Sumário 1 Preliminares Justificativa Organização do Trabalho Problema de Horário Educacional Introdução Problema de Horário: Definições Tipos de Problemas de Horário Educacional Problema de Horário Escolar Problema de Horário de Cursos Problema de Horário de Exames Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico Problema de Horário Escolar Problema de Horário de Cursos Problema de Horário de Exames Características de um Problema de Horário Técnicas Utilizadas para Resolução de Problemas de Horário Aplicação de Metaheurísticas em Problemas de Horário de Cursos Aplicação de Heurísticas em Problemas de Horário de Exames Aplicação de Metaheurísticas em Problemas de Horários Escolares Métodos Heurísticos Aplicados a Problemas de Otimização Introdução Problema de Otimização Combinatória Conceito de Vizinhança Revisão de Heurísticas Heurísticas Construtivas Heurísticas de Melhoria Método de Descida Aleatório Não-Ascendente Metaheurísticas Simulated Annealing Iterated Local Search Algoritmos Meméticos Reconexão por Caminhos viii

9 4 Formulação Matemática do Problema de Horário Escolar Proposto Introdução Instituição de Ensino Considerada para Análise Formulação do Problema Requisitos Essenciais e Não-Essenciais Função Objetivo Heurísticas Aplicadas ao Problema de Horário Escolar Introdução Representação de uma solução Estrutura de Movimentos de Vizinhança Geração da Solução Inicial Função de Avaliação Simulated Annealing Iterated Local Search Algoritmo Memético-Reconexão por Caminhos Geração da População Inicial Operador local Operador de Recombinação Operador de Mutação Estrutura de Seleção Diversificação Resultados Computacionais Introdução Problemas-Teste Parâmetros dos Testes Computacionais Resultados Computacionais: Algoritmos SA e ILS Resultados Computacionais: Algoritmo Híbrido Memético-Reconexão por Caminhos Conclusões Gerais e Trabalhos Futuros Conclusões Gerais Trabalhos Futuros A Quadro de Horários Efetivos do CEFET-Rio Pomba para Ensino Médio B Simulated Annealing: satisfação de dois requisitos 70 C AMRC1: Testes Iniciais 72 D Algoritmos AMRC - Informática e Meio-Ambiente E Algoritmos AMRC - Ensino Médio F Algoritmos AMRC: Ensino Médio G Algoritmos AMRC: Agropecuária, Informática e Ensino Médio ix

10 Referências 98 x

11 Lista de Tabelas 4.1 Número de classes oferecidas pelo CEFET-RP, nos anos de 2005 e 2006 (cursos Médio e Técnico) Disciplinas do curso Ensino Médio Quadro de Horário Ensino Médio Manhã Quadro de Horário Ensino Médio Tarde Representação dos Quadros de Horários Manhã e Tarde Características dos problemas testados Parâmetros do algoritmo de Simulação da Temperatura Parâmetros do algoritmo Simulated Annealing Parâmetros do Algoritmo Memético Pesos para função de avaliação Capacidade dos algoritmos SA e ILS de encontrar soluções viáveis (%) Tempo médio gasto para encontrar a primeira solução viável (s) Média das soluções finais Solução Inicial - AMRC Solução Final - AMRC Solução Final - ILS Média das Populações Iniciais - Problema-Teste Média das Populações Iniciais - Problema-Teste Média das Populações Iniciais - Problema-Teste Média das Populações Iniciais - Problema-Teste Soluções Finais - Problema-teste Soluções Finais - Problema-teste Soluções Finais - Problema-teste Melhores Soluções - Problema-teste Melhores Soluções - Problema-teste Melhores Soluções - Problema-teste Média do Tempo Final de Execução ILS e AMRC (s) Comparação das melhores soluções ILS e AMRC Comparação entre a Média das Soluções Finais e Solução CEFET-RP Comparação entre a Média das Melhores Soluções e Solução CEFET-RP 66 A.1 Quadro de Horários Ensino Médio - Manhã A.2 Quadro de Horários Ensino Médio - Tarde B.1 Quadro de Horário - Problema-teste 1 - Solução Final Manhã B.2 Quadro de Horário - Problema-teste 2 - Solução Final Tarde xi

12 B.3 Quadro de Horário - Problema-teste 3 - Solução Final Manhã B.4 Quadro de Horário - Problema-teste 4 - Solução Final Tarde C.1 Quadro de Horário Ensino Médio Manhã C.2 Quadro de Horário Ensino Médio Tarde D.1 Quadro de Horário Informática (Tarde): Algoritmo AMRC D.2 Quadro de Horário Informática e Meio-Ambiente (Noite): Algoritmo AMRC D.3 Quadro de Horário Informática (Tarde): Algoritmo AMRC D.4 Quadro de Horário Informática e Meio-Ambiente (Noite): Algoritmo AMRC D.5 Quadro de Horário Informática (Tarde): Algoritmo AMRC D.6 Quadro de Horário Informática e Meio-Ambiente (Noite): Algoritmo AMRC D.7 Quadro de Horário Informática (Tarde): Algoritmo AMRC D.8 Quadro de Horário Informática e Meio-Ambiente (Noite): Algoritmo AMRC E.1 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Manhã): Algoritmo AMRC1 77 E.2 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Tarde): Algoritmo AMRC1. 77 E.3 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Manhã): Algoritmo AMRC2 78 E.4 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Tarde): Algoritmo AMRC2. 78 E.5 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Manhã): Algoritmo AMRC3 79 E.6 Quadro de Horário Ensino Médio 2005: (Tarde): Algoritmo AMRC3. 79 E.7 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Manhã): Algoritmo AMRC4 80 E.8 Quadro de Horário Ensino Médio 2005 (Tarde): Algoritmo AMRC4. 80 F.1 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC1 81 F.2 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC1. 82 F.3 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC2 83 F.4 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC2. 83 F.5 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC3 84 F.6 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC3. 84 F.7 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC4 85 F.8 Quadro de Horário Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC4. 85 G.1 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC G.2 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC G.3 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC G.4 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC G.5 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC xii

13 G.6 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC G.7 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Manhã): Algoritmo AMRC G.8 Quadro de Horário área Agropecuária, Informática e Ensino Médio 2006 (Tarde): Algoritmo AMRC xiii

14 Lista de Figuras 3.1 Representação de ótimos locais e globais em um Problema de Otimização Combinatória Representação de ótimos locais em um Problema de Otimização Combinatória Pseudocódigo do método de descida Pseudocódigo do Método de Descida Aleatório Representação de ótimos locais em um problema de minimização com realização de movimentos laterias na tentativa de escapar de ótimos locais Pseudocódigo do Método de Descida Aleatório Não-Ascendente Estruturas de busca de algoritmos Pseudocódigo do Simulated Annealing Realização de uma perturbação em uma solução ótima local, na busca por melhores soluções Pseudocódigo Iterated Local Search Operadores de recombinação e mutação agindo como estratégias de diversificação junto a Algoritmos Meméticos Pseudocódigo do Algoritmo Memético Pseudocódigo iniciar população Pseudocódigo Reinicia População Pseudocódigo Geração Mecanismo de Reconexão por Caminhos Procedimento Temperatura Inicial Algoritmo Simulated Annealing Pseudocódigo Iterated Local Search (ILS) Pseudocódigo Operador de Recombinação Pseudocódigo Operador de Mutação Pseudocódigo AlgoritmoHibrido aplicado ao Problema de Horário Escolar xiv

15 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Justificativa Problema de Horário é a denominação genérica para uma classe de problemas combinatórios, com grande relevância na área de Pesquisa Operacional. Esses problemas têm sido objeto de pesquisa por parte da comunidade científica, tanto devido ao aumento da complexidade dos problemas dessa classe, quanto na busca de melhores caminhos para solucioná-los. Um horário pode ser definido como uma tabela de eventos, organizada de acordo com o tempo em que esses eventos acontecem. Os eventos normalmente são encontros entre pessoas em um local determinado. Por consegüinte, um horário especifica quais pessoas se encontram em que local e a que horas. A programação desses eventos tem que satisfazer a várias exigências e deveria satisfazer, tanto quanto possível, aos desejos de todas as pessoas simultaneamente envolvidas, de tal modo que não exista nenhum evento programado ao mesmo tempo. São diversos os contextos em que um problema de horário pode ser construído, como, por exemplo, em questões de escala de empregados (Burke et al., 2001) e (Meisels e Schaerf, 2003); eventos esportivos (Schönberger et al., 2004); horários educacionais (Abramson et al., 1999; Azimi, 2005; Burke et al., 1997); e em problemas de transporte (Schoenauer e Semet, 2005). Em se tratando do Problema de Horário Escolar, que é uma variante do Problema de Horário Educacional, é consenso entre os profissionais que elaboram os quadros de horários que esta não é uma tarefa fácil. Normalmente, são requeridos vários dias de dedicação. No entanto, apesar de todo o esforço e da conseqüente obtenção de um quadro de horários que, de fato, é utilizado pela instituição de ensino envolvida, o resultado final pode não ser tão satisfatório: nem sempre é possível atender às solicitações dos professores para a programação de suas aulas, acarretando na insatisfação de alguns. Por outro lado, existem programas para realizar tal tarefa, mas geralmente eles tratam somente das restrições gerais do problema, não conseguindo atender a certas restrições que são específicas de determinadas instituições, para que um horário seja efetivamente utilizado. Além disso, horários podem ser modificados a todo momento, por motivo de afastamento de algum professor. A busca por quadros de horários de melhor qualidade, ou seja, o atendimento a um maior número de professores quanto às suas solicitações para a programação de seus horários, bem como um menor tempo consumido para a realização dos mesmos, 1

16 1.2 Organização do Trabalho 2 são os vetores que motivam a realização deste trabalho. Objetivo Geral Este trabalho tem como objetivo geral o estudo e a aplicação de metaheurísticas para solucionar o Problema de Horário Escolar. Objetivos Específicos geração de quadros de horários de dois turnos simultaneamente; desenvolver algoritmos heurísticos, bem como suas combinações e testá-los utilizando dados reais de uma instituição de ensino com as características do problema proposto; analisar os resultados obtidos pelos diferentes métodos, verificando a eficiência de cada um deles com relação à qualidade da solução final produzida, bem como o tempo gasto na sua obtenção. Proposta de Desenvolvimento Procurando atender os objetivos apresentados, será realizada uma revisão sobre o Problema de Horário, focando o estudo em Problemas de Horários Escolares. Além disso, um estudo sobre metaheurísticas é realizado, com o objetivo de melhor aplicá-las ao problema em questão. Propõe-se a criação de um algoritmo híbrido, reunindo conceitos de algoritmos populacionais e a técnica de Reconexão por Caminhos. Para validar o algoritmo proposto, será considerada, para análise, a programação dos horários dos professores dos cursos Técnicos e de Ensino Médio do Centro Federal de Educação Tecnológica de Rio Pomba, Minas Gerais, com dados referentes aos anos de 2005 e Justifica-se o estudo de caso para o problema abordado pelo fato do Problema de Horário Escolar ser de difícil generalização e por desconhecer a existência de um conjunto consagrado de problemas-teste que possa avaliar os algoritmos desenvolvidos. Esforços nesse sentido, em se tratando do Problema de Horário de Cursos e Problema de Horário de Exames, vêm sendo realizados pelo grupo EURO WATT (Working Group on Automated Timetabling - de forma a ter um banco de problemasteste que inclua, pelo menos, as restrições mais comuns às diversas instituições. Os resultados fornecidos pelo algoritmo híbrido proposto, para cada problemateste, serão comparados com os quadros de horários utilizados pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Rio Pomba nos anos citados. 1.2 Organização do Trabalho O presente trabalho está organizado em 7 capítulos, que refletem genericamente as fases do trabalho desenvolvido para o tema que dá título a esta dissertação.

17 1.2 Organização do Trabalho 3 No capítulo 2 é feita uma revisão da literatura que versa a respeito do Problema de Horário Escolar. A seção 2.1 apresenta uma visão geral do problema. A seção 2.2 faz uma revisão sobre o Problema de Horário. A subseção 2.3 apresenta o problema. A subseção 2.4 apresenta formulações matemáticas para o Problema de Horário Educacional básico. Algumas características do Problema de Horário são apresentadas na seção 2.5, enquanto algumas técnicas utilizadas para a sua resolução são mostradas na seção 2.6. O capítulo 3 apresenta uma revisão parcial de heurísticas e metaheurísticas, aplicadas a problemas de otimização combinatória, que são referenciadas na literatura e que serão utilizadas no decorrer deste trabalho. A seção 3.1 faz uma introdução ao assunto. A definição de heurística é apresentada na seção 3.4 e as subseções 3.4.1, apresentam, respectivamente, definição e exemplos de heurística construtiva e heurística de melhora. A definição de metaheurística é apresentada na seção 3.5. Nas subseções 3.5.1, 3.5.2, e são apresentadas, respectivamente, as metaheurísticas Simulated Annealing, Iterated Local Search, Algoritmos Meméticos e Reconexão por Caminhos. Apresenta-se, no capítulo 4, o Problema de Horário Educacional abordado, descrevendo-se, na seção 4.2, a instituição de ensino considerada para análise. Uma formulação matemática para o problema em questão é apresentada na seção 4.3. O capítulo 5 apresenta as heurísticas e metaheurísticas mencionadas no capítulo 3, aplicadas ao Problema de Horário Escolar. A representação de uma solução é apresentada na seção 5.2. A seção 5.3 mostra as estruturas de vizinhanças adotadas. A seção 5.4 apresenta a forma utilizada para gerar soluções iniciais. As seções 5.6, 5.7 e 5.8, descrevem, respectivamente, como as metaheurísticas Simulated Annealing, Iterated Local Search e a metaheurística híbrida proposta, Algoritmo Memético- Reconexão por Caminhos, foram aplicadas ao problema. Os resultados computacionais são apresentados no capítulo 6 e o capítulo 7 conclui este trabalho e aponta trabalhos futuros.

18 Capítulo 2 Problema de Horário Educacional 2.1 Introdução Conforme descrito em Qu (2002), um Problema de Horário Educacional Geral consiste em fixar vários eventos (exames, cursos, reuniões, aulas etc.) em um número limitado de períodos de tempo e local, enquanto se minimiza as violações de um conjunto de restrições. Para Burke e Newall (1999), a essência do problema de horário consiste na alocação de um número de eventos a um número finito de espaços de tempo (ou períodos), em que as necessidades de restrições são satisfeitas. A solução do problema consiste, então, em gerar um quadro de horários, que minimize os conflitos, maximize preferências, compacte horários de professores e estudantes e utilize equipamentos e salas disponíveis de forma eficiente. De acordo com Souza (2000), a essas exigências somam-se as expectativas, imposições e desejos da administração escolar, alunos e professores, em relação a um determinado horário de aula a ser adotado na prática. Esse problema pode admitir uma grande variedade de formulações, em função do tipo de instituição de ensino (escola ou universidade) e do sistema educacional no qual ela está inserida. No entanto, pode-se observar que, em qualquer caso, para a ocorrência de uma determinada aula, é necessário que todas as entidades envolvidas (professores, alunos e salas) estejam disponíveis no intervalo de tempo definido para o acontecimento da mesma. Devido à dificuldade de se obter uma solução manual, à característica combinatória e a difícil generalização (em virtude da quantidade de variantes que o problema pode assumir), diversos algoritmos heurísticos vêm sendo propostos, com o objetivo de tentar resolver diferentes aspectos do problema. 2.2 Problema de Horário: Definições A atenção da comunidade científica foi despertada mais fortemente para o Problema de Horário Educacional a partir dos trabalhos de Gotlieb (1962), Csima e Gotlieb (1964) e Csima (1965). Gotlieb (1962), referenciado em Cooper e Kingston (1996), considerou um problema que envolvia o arranjo do número exigido de encontros entre cada classe e cada professor, de tal modo que nenhum professor pudesse lecionar para mais de uma classe no mesmo horário e que nenhuma classe pudesse ter 4

19 2.3 Problema de Horário: Definições 5 aula com mais de um professor ao mesmo tempo. Desde então, inúmeras publicações sobre o assunto foram escritas. Um evento atual de grande relevância na área é a Conferência Internacional de Automação dos Problemas de Horário (Practice and Theory on Automated Timetabling - PATAT), que teve seu início em São várias as formulações matemáticas que podem ser encontradas na literatura, como pode ser verificado em Laurie (1969), de Werra (1985), Schaerf (1999) e Souza (2000). No entanto, os problemas de horário dependem fortemente do tipo de institução de ensino (escola ou universidade) e do sistema educacional no qual a instituição está inserida e, por isso, podem ser muito diferentes. Assim, não existe nenhuma formulação que possa ser aplicada a todos os casos. Uma classificação para o Problema de Horário Educacional, que o divide em três categorias principais, é apresentada em Schaerf (1999). Para Souza (2000), apesar dessa classificação não ser tão abrangente, ainda assim ela é a mais comumente utilizada na literatura. Na seção 2.3, esse assunto é abordado com mais detalhes. Já na seção 2.4 apresenta-se algumas formulações para modelos básicos do problema. O Problema de Horário Educacional em sua formulação mais básica, no qual professores e classes estão sempre disponíveis, pode ser resolvido em tempo polinomial. Smith (1975) mostrou que a formulação proposta por Gotlieb (1962) ignora muitas das dificuldades encontradas em problemas reais de horário, como: para a realização de certas atividades, as classes podem se unir ou se dividir. Por exemplo, a realização de aulas de educação física; algumas aulas podem requerer períodos de tempo em dobro, sem interrupções de intervalos (lacunas); certos recursos (salas de aula especiais) podem ser extremamente limitados; certas aulas podem exigir sua alocação em horários fixos (pré-alocação). Entende-se por alocação um encontro entre uma classe específica e um professor específico a um período de tempo específico. Pré-alocação são entradas sucessivas de elementos no quadro de horário antes do problema ser executado pelo computador. A NP-completude do Problema de Horários foi mostrada por Even et al. (1976), a partir da redução de uma versão simplificada do Problema de Horário Escolar, no qual aparecem restrições de indisponibilidade dos professores, ao Problema 3- Satisfabilidade 1. Cooper e Kingston (1996) apresentaram várias situações reais em que tornase clara a NP-completude do problema, como, por exemplo, quando os estudantes podem escolher as suas disciplinas; a geração de horários de exames em uma universidade, devido ao tamanho variado das aulas; quando existe a necessidade de se programar as aulas em horários consecutivos; ou quando as aulas precisam ser espalhadas durante toda a semana letiva. Para mais detalhes sobre o assunto, veja (Even et al., 1976; de Werra, 1985; Cooper e Kingston, 1996). 1 O problema de satisfabilidade consiste em, dada uma expressão booleana na forma normal conjuntiva, verificar se ela é posível de ser satisfeita. Uma expressão booleana é dita posssível de ser satisfeita se existe uma atribuição de valores, verdadeiro ou falso, às variáveis, tal que o valor da expressão seja verdadeiro. O problema 3-satisfabilidade consiste em uma instância do problema de satisfabilidade na qual toda cláusula c de C possui exatamente 3 literais (Gu et al., 1996).

20 2.3 Tipos de Problemas de Horário Educacional Tipos de Problemas de Horário Educacional Os tipos de requisitos que envolvem o Problema de Horário Educacional podem ser alterados de instituição para instituição, dando origem a uma série de variantes do mesmo. Esses requisitos podem envolver a disponibilidade dos recursos, preferências pessoais, características desejáveis no layout do quadro de horários (como, por exemplo, a exigência de um certo número de aulas duplas, a inexistência de quebras de aula no horário dos professores) e muitas outras, que vão depender das características próprias da instituição de ensino, da administração escolar e do sistema educacional no qual ela está inserida. Essas variações fazem com que existam, na literatura, diversos enunciados diferentes para Problemas de Horário Educacional, com características bem diferentes. As subseções a seguir descrevem as três categorias em que um Problema de Horário Educacional pode-se enquadrar, segundo a classificação apresentada por Schaerf (1999) Problema de Horário Escolar O Problema de Horário Escolar, também conhecido como Problema Classe- Professor, diz respeito aos problemas de elaboração de quadro de horários de instituições de ensino que têm uma programação semanal que se repete em todas as semanas do período (semestral ou anual). Suas aulas são ministradas em um mesmo turno (manhã, tarde ou noite) e, para cada classe, há um conjunto de professores e uma carga-horária semanal para cada disciplina. O problema básico consiste em, dado um conjunto de classes, um conjunto de professores, um conjunto de períodos e o número de aulas que cada professor deve ministrar a cada classe, evitar que os professores estejam alocados em mais de uma classe no mesmo horário; evitar que as classes tenham aula com mais de um professor ao mesmo tempo; e fazer com que a carga-horária semanal de cada disciplina seja cumprida. Pode-se considerar, nesse problema, uma classe como uma entidade única, cujas aulas são ministradas sempre em uma mesma sala. Nesse caso, são os professores que se deslocam até a classe (exceto quando a disciplina exige uma sala especial, como, por exemplo, um laboratório de informática ou um laboratório de biologia). Foram propostas, na literatura, diversas variantes do problema básico para lidar com problemas da vida real, de modo a tratar-se questões como aulas simultâneas, professores lecionando mais de um assunto, salas especiais, dentre outras. Horários reais normalmente incluem aulas que são dadas simultaneamente a mais de uma classe. Em algumas escolas secundárias, as aulas de educação-física, por exemplo, envolvem geralmente mais de uma classe. Se uma aula simultânea for marcada em um determinado período de tempo, não podem ser programadas, para todas as classes envolvidas, qualquer outra aula naquele momento. Em algumas instituições de ensino os professores podem lecionar mais de uma disciplina, e uma mesma disciplina pode ser lecionada por vários professores. Nesse caso, um cuidado especial deve ser tomado para que todas as aulas de um determinado assunto, para uma classe específica, sejam ministradas pelo mesmo professor.

21 2.4 Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico 7 Em se tratando da utilização de salas especiais, devido ao seu número ser normalmente limitado, faz-se necessário o acréscimo de uma restrição que determine que não mais que um certo número de aulas, que requeiram esse tipo de sala, sejam programadas no mesmo período Problema de Horário de Cursos É também referenciado como Problema de Alocação de Cursos ou Problema de Horários Universitário. Esse problema está relacionado com a alocação de aulas de uma instituição de ensino, na qual existe um conjunto de disciplinas (Cálculo I, Cálculo II, Física I, etc.), que pode fazer parte do rol de disciplinas de vários currículos (Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica, Ciência da Computação etc.). Ao contrário do que acontece com o problema de Horário Escolar, no qual cada classe tem um conjunto de estudantes homogêneo e que podem ser tratados como uma entidade única, o Problema de Horário de Cursos pode ter estudantes de currículos diferentes fazendo a mesma disciplina. Se duas disciplinas possuem estudantes em comum e seus horários conflitam, então elas não poderão ser programadas para o mesmo período. Os horários das disciplinas não estão presos a um determinado turno, ou seja, uma mesma disciplina pode ter turmas com aulas pela manhã, tarde ou noite. Esse problema consiste, então, em elaborar um quadro semanal com o horário de todas as aulas de um conjunto de disciplinas de cursos universitários, minimizando a sobreposição de encontros de disciplinas que possuem estudantes em comum. A disponibilidade de um conjunto de salas, bem como os seus tamanhos, tem um papel muito importante nesse problema, fato que pode ser desconsiderado no Problema de Horário Escolar, pois, na maioria dos casos, pode-se assumir que cada classe tem a sua própria sala Problema de Horário de Exames O Problema de Horários de Exames requer a programação de um determinado número de exames (um para cada disciplina), dentro de um determinado período de tempo, em um conjunto de salas. Esse problema é semelhante ao Problema de Horário de Cursos e difere deste pelo tipo de restrições impostas. Somente um exame pode ser programado para cada disciplina e a condição de conflito é geralmente rígida. Há tipos diferentes de requisitos, como, por exemplo, permitir somente um exame por dia para cada estudante ou evitar que os exames para cada estudante sejam consecutivos. Pode ocorrer a programação de mais de um exame por sala, mas não mais de um encontro. 2.4 Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico As subseções a seguir apresentam formulações matemáticas, em sua versões mais básicas, das variações do Problema de Horário Educacional apresentadas na seção

22 2.4 Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico 8 anterior Problema de Horário Escolar O Problema polinomial simplificado consiste em atribuir cada encontro a algum período k = 1, 2,...,p, de tal modo que nenhum professor ou nenhuma classe estejam envolvidos em mais de um encontro por vez. Assim, sejam: c i : classes de estudantes que seguem exatamente o mesmo currículo, para i = 1,...,m; t j : professores, para j = 1,...,n; k: períodos de tempo, para k = 1,...,p; R m n = {r ij }: matriz de exigências, na qual r ij representa o número de encontros envolvendo a classe i e o professor j, no qual cada encontro possui a mesma duração (um período de tempo). O modelo matemático proposto por de Werra (1985), descrevendo essa formulação do problema, é dado por: (PHE1) Encontrar x ijk (i = 1,...,m;j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.1a) p s. a: x ijk = r ij (i = 1,...,m;j = 1,...,n) (2.1b) k=1 n x ijk 1 (i = 1,...,m;k = 1,...,p) (2.1c) j=1 m x ijk 1 (j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.1d) i=1 x ijk = 0 ou 1 (i = 1,...,m;j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.1e) Nessa formulação, a variável x ijk = 1 se a classe i e o professor j se encontram no período de tempo k; e x ijk = 0, caso contrário. As restrições (2.1b) asseguram que cada professor dará o número certo de aulas para cada classe. As restrições (2.1c) garantem que cada professor é envolvido em, no máximo, uma aula para cada período. Já as restrições (2.1d) determinam que cada classe será envolvida em, no máximo, uma aula para cada período. Even et al. (1976) provaram que existe sempre uma solução para este problema se professores e classes estiverem sempre disponíveis. Mais precisamente, existe uma solução se e somente se m r ij p (j = 1,...,n) i=1 n r ij p (i = 1,...,m) j=1 (2.2a) (2.2b)

23 2.4 Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico 9 Essa formulação, no entanto, ignora muitas dificuldades encontradas em problemas de horário reais. A formulação apresentada em (PHE2) que, segundo Schaerf (1999), foi proposta por Junginger (1986), introduz, ao problema, a indisponibilidade de professores e classes. Inicialmente, tais complexidades eram freqüentemente evitadas, fixando-se, manualmente, alguns horários considerados críticos, antes de submeter o problema ao computador. (PHE2) Encontrar x ijk (i = 1,...,m;j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.3a) p s. a: x ijk = r ij (i = 1,...,m;j = 1,...,n) (2.3b) k=1 n x ijk t ik (i = 1,...,m;k = 1,...,p) (2.3c) j=1 m x ijk c jk (j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.3d) i=1 x ijk = 0 ou 1 Nessa formulação, tem-se que: (i = 1,...,m;j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.3e) c i : classes de estudantes que seguem exatamente o mesmo currículo, para i = 1,...,m; t j : professores, para j = 1,...,n; k: período de tempo, para k = 1,...,p; R m n = {r ij }: matriz de exigências, na qual r ij representa o número de encontros diferentes dos encontros prefixados, envolvendo a classe c i e o professor t j e cada encontro possui a mesma duração (um período de tempo); T m n = {t ij }: matriz de disponibilidade de tempo, de tal modo que t ij = 0 se a classe i for prealocada ou estiver indisponível no período k; e t ij = 1, caso contrário; C n p = {c jk }: matriz de disponibilidade dos professores, de modo que c jk = 0 se o professor j for prealocado ou estiver indisponível no período k; e c jk = 1, caso contrário. Assim, a variável de decisão x ijk = 1, se a classe i e o professor j se encontram no período k para um encontro diferente de um encontro prealocado; e x ijk = 0, caso contrário. O Problema (PHE2) é um problema de busca, cuja solução é qualquer horário viável.

24 2.4 Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico 10 Já de Werra (1985) usou uma formulação que permite (mas não requer) que todo encontro prealocado seja tratado simultaneamente. Para tal, deve-se adicionar um conjunto de restrições dada por x ijk p ijk (i = 1,...,m;j = 1,...,n;k = 1,...,p) (2.4a) na qual p ijk = 0, se não há prealocação, e p ijk = 1, se uma aula do professor j para a classe i for prealocada no período de tempo k. Even et al. (1976) provaram que o problema (PHE2) é NP-completo, através de uma redução ao problema 3-Satisfabilidade. Eles também provaram que o problema é polinomial para o caso especial em que classes estão sempre disponíveis e professores estão disponíveis por exatamente dois períodos. Em aplicações reais, um possível horário pode ser melhor que outro, e a meta é determinar um horário ótimo. Esta consideração força a formulação do problema de programação de horários como um problema de otimização, tendo uma função objetivo a minimizar (ou maximizar). Junginger (1986) propõe acrescentar ao problema (PHE2) a seguinte função objetivo: min m n p d ijk x ijk i=1 j=1 k=1 (2.5a) na qual um valor de penalização, dado por d ijk, associado a um período de tempo k, indica que, naquele horário, um encontro entre o professor j e a classe i é menos desejável que em outros horários disponíveis Problema de Horário de Cursos O Problema de Horário de Cursos consiste em elaborar um quadro semanal com o horário de todas as aulas de um conjunto de disciplinas de cursos universitários e que minimize a sobreposição de encontros de disciplinas que têm estudantes em comum. Assim, sejam: D 1,...,D q : conjunto de q disciplinas; S 1,...,S r : conjunto de currículos, ou seja, grupos de disciplinas que têm estudantes em comum. Isto significa que disciplinas em S l devem ser todas programadas em horários diferentes; p: número de períodos; l k : número máximo de encontros que podem ser programadas no período k (isto é, o número de salas disponíveis no período k); O modelo matemático proposto em de Werra (1985) descrevendo essa formulação do problema é dado por:

25 2.4 Formulações para o Problema de Horário Educacional Básico 11 (PHE3) Encontrar y ik (i = 1,...,q;k = 1,...,p) (2.6a) p s. a: y ik = D i (i = 1,...,q) (2.6b) k=1 q y ik l k (k = 1,...,p) (2.6c) i=1 i S l y ik 1 (l = 1,...,r;k = 1,...,p) (2.6d) y ik = 0 ou 1 (i = 1,...,q;k = 1,...,p) (2.6e) Nessa formulação, a variável y ik = 1 se a aula da disciplina D i é marcada para o período k; e y ik = 0, caso contrário. As restrições (2.6b) impõem que o número de aulas semanais estipulado para cada disciplina seja programado. As restrições (2.6c) obrigam que não haja mais de uma disciplina programada para o mesmo horário, em uma mesma sala. As restrições (2.6d) previnem conflitos de disciplinas marcadas para o mesmo período. Através do Problema de Coloração de Grafos, pode-se mostrar que o problema (PHE3) é NP-completo (Schaerf, 1999). Uma formulação equivalente ao problema (PHE3), mostrada em Schaerf (1999), baseia-se em uma matriz de conflitos em vez de currículos. A matriz C q q é uma matriz binária em que c ij = 1 se as disciplinas D i e D j possuem estudantes em comum, e c ij = 0, caso contrário. de Werra (1985) acrescenta ao Problema (PHE3) a seguinte função objetivo: max q p d ik y ik i=1 k=1 (2.7a) na qual o fator d ik indica o grau de necessidade de se alocar a disciplina D i no período k Problema de Horário de Exames O Problema de Horário de Exames requer a programação de um dado número de exames (um para cada disciplina), em um determinado período de tempo. Assim, sejam: D 1,...,D q : conjunto de q disciplinas; S 1,...,S r : conjunto de exames; p: número de períodos; l k : o número máximo de exames que podem ser marcados no período k. A partir da definição das variáveis associadas ao problema, deve-se observar que o valor l k não é, necessariamente, igual ao número de salas, já que mais de um

26 2.5 Características de um Problema de Horário 12 exame pode ser marcado para uma mesma sala. Assim, a formulação matemática desse problema é descrita, conforme mostrado em Schaerf (1999), do seguinte modo: (PHE4) Encontrar y ik (i = 1,...,q;k = 1,...,p) (2.8a) p s. a: y ik = 1 (i = 1,...,q) (2.8b) k=1 q y ik l k (k = 1,...,p) (2.8c) i=1 i S l y ik 1 (l = 1,...,r;k = 1,...,p) (2.8d) y ik = 0 ou 1 (i = 1,...,q;k = 1,...,p) (2.8e) Nessa formulação, a variável y ik = 1 se o exame da disciplina K i é marcado para o período k; e y ik = 0, caso contrário. Tal como o problema (PHE3), o problema (PH4) também pode se visto como um problema NP-completo, através da redução do problema para o problema de coloração de grafos (Schaerf, 1999). O tipo mais comum de restrição não essencial considerada na literatura, em Problemas de Horário de Exames, diz que um estudante não deve fazer dois exames em períodos de tempo sucessivos. Neste foco, pode-se acrescentar a seguinte função objetivo ao problema (PHE4) descrito anteriormente (Schaerf, 1999): p 1 k=1 r l=1 i,j S l y ik y jk+1 (2.9a) A função (2.9a) retorna 1 quando os exames pertencentes ao mesmo grupo S l forem programados em períodos adjacentes e 0, caso contrário. 2.5 Características de um Problema de Horário Burke e Silva (2004) apresentaram várias características que fazem com que Problemas de Horário sejam particularmente difíceis de resolver, como, por exemplo, o tamanho do espaço de busca, a quantidade de restrições, a representação da solução e o critério de avaliação das soluções. A natureza combinatorial de problemas de horário implica que o tamanho do espaço de busca aumenta dramaticamente com o tamanho do problema, tornando praticamente impossível explorar explicitamente todas as soluções, com exceção de problemas-teste muito pequenos. É freqüentemente difícil encontrar uma representação com estruturas de dados associadas que capturam todos os detalhes do problema. Na maioria das vezes, o problema é simplificado, caso contrário são exigidas modelagens muito elaboradas para representá-lo. Devido à natureza combinatória, à medida que o problema cresce, a avaliação das soluções tendem a consumir um tempo maior de processamento. Uma maneira

27 2.5 Características de um Problema de Horário 13 de tentar melhorar a eficiência do algoritmo e reduzir esse tempo consiste em utilizar a avaliação aproximada ou avaliação delta (Burke e Newall, 1999). Utilizando avaliação aproximada, em vez de uma avaliação completa e precisa de cada solução recentemente gerada, apenas a diferença entre a solução corrente e a solução vizinha é computada. Como mencionado anteriormente, em geral, problemas de horário educacionais possuem um número considerável de requisitos. Esses requisitos limitam os possíveis modos nos quais um horário pode ser construído. Alguns requisitos devem ser satisfeitos para que as soluções possam ser viáveis (requisitos essenciais), enquanto outros requisitos são desejáveis (requisitos não-essenciais). Carrasco e Pato (2004) descreveram os seguintes requisitos para o Problema de Horário Escolar: (1) os currículos das classes (conjunto de estudantes que têm um currículo em comum) devem ser respeitados, ou seja, todas as aulas nomeadas a cada classe são completamente marcadas; (2) deve-se assegurar que cada professor ou classe seja nomeado a não mais que uma aula e a uma sala no mesmo período de tempo; (3) as aulas podem ter diferentes durações, dadas por um múltiplo do período de tempo; (4) por razões pedagógicas, cada aula é programada para ser dada em não mais que uma vez por dia; (5) as salas têm que ser satisfatórias às aulas nomeadas. Cada aula pode requerer um tipo particular de sala, em termos de número de assentos disponíveis ou recursos especiais. Por exemplo, aulas de computação requerem uma sala que contenha computadores e programas específicos; (6) os turnos para cada classe devem ser respeitados. É o caso da programação de aulas para uma classe de trabalhadores, que normalmente é executada durante o período noturno; (7) cada classe e cada professor deverão ter um período de descanso do almoço. Essa restrição impõe um período livre de, pelo menos, um período de tempo a ser usado para a atividade de almoço; (8) deve-se respeitar a indisponibilidade das classes e professores. Na realidade, classes e, muito mais freqüentemente, os professores, têm períodos de indisponibilidade, que surgem de atividades extra-classe ou compromissos a- cadêmicos; (9) a ocorrência de períodos ociosos entre as aulas programadas deve ser baixa para classes e professores. Essa condição é desejável para se produzir horários mais compactos (evitar lacunas); (10) as preferências do professor por horários e salas devem ser satisfeitas. Em quase toda escola, professores expressam as suas preferências, que deveriam ser conhecidas sempre que possível;

28 2.6 Técnicas Utilizadas para Resolução de Problemas de Horário 14 (11) o número de professores e a troca de classes entre diferentes prédios de aula devem ser minimizados. Para instituições com vários prédios de aula geograficamente distantes, um tempo de troca mínimo deveria ser respeitado, para permitir aos professores e às classes a movimentação entre os diferentes prédios. Segundo Carrasco e Pato (2004), os requisitos (1) e (2) são comuns a todos os problemas de horários escolares. Uma melhor qualidade da solução é assegurada pela satisfação dos requisitos de (1) a (8). Os requisitos não essenciais (9), (10) e (11) representam os aspectos opcionais, ou seja, os desejos que professores e classes gostariam de ter satisfeitos em seus horários, e que devem ser violados o mínimo possível. 2.6 Técnicas Utilizadas para Resolução de Problemas de Horário A literatura mostra que foram vários os métodos investigados para a resolução de Problemas de Horários Educacionais. No início das pesquisas, os métodos de teoria de grafos representavam o estado da arte (de Werra, 1985). Outras técnicas que também foram amplamente empregadas no início das pesquisas incluem otimização linear inteira. No entanto, essa técnica se mostrou impraticável para problemas envolvendo maior número de variáveis e restrições, que representavam, de fato, problemas da vida real. Mais recentemente, algoritmos metaheurísticos tiveram bastante êxito em uma gama extensiva de problemas de horário. Dentre estes, cita-se Simulated Annealing, Busca Tabu, Algoritmos Genéticos, Colônia de Formigas, Algoritmos Meméticos, dentre outras. As metaheurísticas iniciam-se com uma ou mais soluções e procuram melhorálas, empregando-se estratégias de busca que tentam escapar de ótimos locais, com o objetivo de encontrar ótimos locais de melhor qualidade. Todos esses algoritmos de busca podem produzir soluções de alta qualidade, mas, normalmente, isso acarreta um custo computacional considerável Aplicação de Metaheurísticas em Problemas de Horário de Cursos Alvarez-Valdes et al. (2002) desenvolveram um sistema baseado em Busca Tabu, denominado HORARIS, para construção de um horário com as características do sistema universitário espanhol, levando-se em conta as características particulares da Universidade de Valencia. O sistema foi testado e os resultados obtidos foram considerados satisfatórios. Uma formulação matemática, descrevendo o Problema de Horário Universitário como um modelo de programação linear inteira binária, foi apresentada em Daskalaki e Birbas (2004). O modelo provê restrições para um grande número de regras operacionais e exigências encontradas na maioria das instituições acadêmicas. Tratado como um problema de otimização, o objetivo foi minimizar uma função de custo