ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA; O QUE FICOU? RESUMO

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1 ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA; O QUE FICOU? CARLOS ALBERTO DE MIRANDA PINHEIRO (UEPA) Carlosmiranda@superig.Com.br IVALDO SANTA ROZA DOS SANTOS (UEPA) Carlosmiranda@superig.Com.br PEDRO FRANCO DE SÁ (UEPA/UNAMA) RESUMO psa@digi.com.br O presente trabalho é parte integrante de uma pesquisa desenvolvida por professores do programa de Pós-Graduação, Lato Sensu, do Centro de educação da Universidade do Estado do Pará. O objetivo geral da pesquisa é construir uma proposta de ensino sobre o assunto Análise Combinatória. A pesquisa foi dividida primeiramente em duas etapas: a primeira realizada em escolas públicas e a segunda em escolas privadas de Belém. O coordenador da pesquisa, Professor Pedro Franco Sá, separou os professores pesquisadores, em grupos, para a realização do processo investigatório nas escolas escolhidas.o objetivo geral nas duas primeiras etapas era investigar em alunos concluintes do Ensino Médio O que ficou do assunto Análise Combinatória? Este trabalho apresenta os resultados obtidos pelo grupo responsável das escolas particulares de Belém do Pará. Foram escolhidas três grandes escolas, 482 alunos investigados, aplicado um questionário fechado contendo principalmente uma relação de dificuldades que comumente identificamos nas aulas do assunto em questão e por um grupo de dez situações-problema elaboradas pelo grupo, com o objetivo de comparar as informações do questionário com o que realmente ficou nos alunos que tiveram contato com a Análise Combinatório na segunda série do Ensino Médio. PALAVRAS-CHAVE (Análise Combinatória, Educação Matemática e resolução de problemas) OBJETIVO E PROBLEMÁTICA Nosso trabalho tem por objetivo saber o que ficou do assunto Análise Combinatória em alunos concluintes do ensino médio e professores que atuam no mesmo. Freqüentemente, colegas da área de Matemática reclamam de suas próprias dificuldades em ministrar aulas sobre o assunto Análise Combinatória e também nossa experiência nos leva a identificar tal angústia inserida no ensino do assunto em questão.

2 2 Entre essas dificuldades, coube destaque àquelas relativas à interpretação e distinção entre arranjo e combinação, o que faz com que os alunos não consigam desenvolver o problema ou desenvolvam-no de forma equivocada. De acordo com o programa escolar apresentado pela secretaria de educação do Estado do Pará, Universidade Federal do Pará e Universidade do Estado do Pará, o assunto Análise Combinatória deverá ser ministrado na segunda série do Ensino Médio. Porém, o que observamos é que mesmo as escolas tendo cumprido todo o programa da referida série, os alunos da terceira série quando são interrogados sobre o assunto em questão apresentam vagas lembranças ou em alguns casos nenhuma lembrança do assunto. Angustiados com a situação descrita acima, fazemos as seguintes perguntas: Por que os alunos estão cada vez mais afastados de um assunto tão próximo da sua realidade? Será mesmo que tais dificuldades existem ou será um problema isolado das escolas que trabalhamos? Schliemann (21, p.85) descreve em seu trabalho que Piaget pesquisou a compreensão das operações combinatórias como combinações, permutações ou arranjos que são desenvolvidas através de estágios e posteriormente capaz de encontrar, através de método sistemático, todas as permutações existentes entre os elementos de um conjunto, independentemente de instrução escolar sobre a análise combinatória. Uma análise feita pelo que a autora descreve, está inserido na perspectiva racionalista de que se adotarmos a matemática como uma ciência puramente dedutiva, a instrução escolar sobre os aspectos totalmente simbólicos desse assunto, deveria ser suficiente para promover a compreensão e utilização do modelo. No entanto acreditamos que nossa primeira pergunta terá sua resposta fundamentada na falha dessa perspectiva quando se trata da aprendizagem dos conhecimentos escolares. Dentro das escolas o que presenciamos e até mesmo participamos é de um ensino ministrado de forma descontextualizada da real necessidade do aluno. Essa dissociação metodológica com tal realidade, não é ao que parece especifica da Matemática tampouco do ensino em nosso Estado. Postulemos

3 3 que as dificuldades existam e de forma bastante acentuada nas do Estado do Pará. Segundo Baraldi (1999, p.38): Um dos grandes desafios educacionais, colocados hoje, é a reestruturação da escola, a fim de proporcionar a todos os alunos a oportunidade de aprenderem significativamente a Matemática, a fim de mudar os quadros devastadores, dando lugar ao desenvolvimento da inteligência dos aprendizes e conseqüente formação de homens que saibam discernir, escolher e decidir. Para Baraldi, a aprendizagem significativa é o conceito mais importante da teoria de David Ausubel, cuja idéia central é a de que o mais importante é aquilo que o aprendiz já sabe, ou seja, a aprendizagem significativa ocorre quando o individuo estabelece significados entre as novas idéias e as suas já existentes. Uma outra concepção que está associada à questão da aprendizagem significativa é delineada por educadores da Matemática que acreditam na utilização da resolução de problemas como uma estratégia de aguçar o raciocínio lógico e argumentativo, para despertar no discente o hábito de fazer uso do seu potencial criativo, buscando estratégias pessoais de pesquisa (PAIS, 22, p.35). Na busca por pesquisas já realizadas no campo em que estamos inseridos, encontramos o trabalho de Esteves (21), que procurou estudar a aquisição e o desenvolvimento dos conceitos combinatórios em adolescentes ou que cursavam a oitava série do Ensino Fundamental. Aplicou-se uma seqüência de ensino composta de situações-problema que se aproximavam da realidade dos alunos. Com outro grupo de alunos (do Ensino Médio), chamado grupo de referência, seguiu-se uma abordagem tradicional de ensino e a utilização do livro didático. Os resultados obtidos nesta pesquisa centraram-se nas dificuldades encontradas pelos alunos. As mais freqüentes foram: Falta de um procedimento recursivo que os levasse à formulação de todas as possibilidades. Soluções numéricas errôneas, sem nenhuma explicação das referidas respostas. O não uso da árvore de possibilidades ou sua construção inadequada, a qual levava a uma resposta errônea. Nos problemas de permutação e arranjo, a interpretação da palavra distribuir como dividir;

4 4 Confusão sobre a relevância da ordem em problemas de agrupamentos de p elementos. Esse trabalho nos levou a refletir que as dificuldades de aprendizagem da Análise Combinatória, realmente existem e não são problemas isolados das escolas que exercemos nossa prática pedagógica, além de nos dar um rumo de como deveríamos construir nossa segunda etapa da pesquisa que foi a aplicação de dez situações-problema do assunto em questão baseadas nas que são comumente apresentadas pelos livros didáticos. METODOLOGIA O percurso metodológico adotado é a pesquisa quantitativa construída através do interesse maior em investigar nos alunos da terceira série do Ensino Médio se os mesmos apresentavam algum conhecimento do assunto Análise Combinatória, haja vista que, hipoteticamente, o assunto deveria ter sido estudado na série anterior. A pesquisa foi realizada em duas etapas; Para os alunos, em duas etapas e realizada em sala de aula com duração de 9 minutos para cada turma; A primeira etapa foi à realização de um questionário fechado contendo 16 questões, objetivando principalmente saber se o aluno havia estudado o assunto Análise Combinatória e também as dificuldades, sobre o conteúdo, que os mesmo porventura vieram a ter; A segunda parte da pesquisa foi à realização de situaçõesproblema, sobre o assunto em questão, com o objetivo de analisar através dos resultados, as habilidades que o aluno, realmente, apresentava sobre o assunto; Após a aplicação das duas etapas foi feito o levantamento dos dados, e analisados os resultados obtidos. Observou-se que não poderia ser pesquisado todo o universo quantitativo desses alunos em Belém logo, optou-se por trabalhar através da amostragem desse conjunto. A pesquisa foi aplicada em três escolas de Ensino Médio da rede particular de ensino da região metropolitana de Belém. Escolas que são consideradas, pela sociedade, como referência pela excelência de qualidade no sistema educacional de ensino do Estado do Pará, inclusive com aspecto de

5 5 relevância em aprovações nos vestibulares, suas salas de aula apresentam em média 5 alunos. Foram pesquisados 482 alunos da terceira série do ensino médio, que estudam em dois períodos, manhã e tarde. Foi feita, inicialmente, a apresentação dos resultados obtidos pelo questionário e depois os obtidos nos problemas. As escolas que contribuíram para a pesquisa serão identificadas com pseudônimos de: Escola A, Escola B e Escola C. UMA CONSULTA A DISCENTES Iremos fazer a análise dos resultados obtidos após a aplicação do questionário fechado. A primeira análise diz respeito à faixa etária dos alunos, que revelou: A faixa etária dos alunos está entre 16 a 2 anos de idade. A maioria não desempenha função remunerada e também não foi reprovada em séries anteriores. Você gosta de Matemática? Objetivando buscar uma resposta para essa inquietação, que comumente se observa em alguns alunos, mesmo com dificuldades, a tentativa de buscar uma forma de aprendizagem. GRÁFICO 1: GOSTA DE MATEMÁTICA Alunos(%) Colégio A Colégio B Colégio C SIM NÃO Colégios Os dados obtidos indicam que: 1) A percentagem de alunos que gostam de Matemática nos colégios A e C é a mesma. 2) No colégio B, a percentagem de alunos que gostam de Matemática ficou bem próxima dos que não gostam. 3) Num aspecto geral, a percentagem de alunos que gostam de Matemática superou a de alunos que não gostam.

6 6 Você estudou Análise Combinatória na segunda série do Ensino Médio? Objetivando especificamente identificar o sujeito da pesquisa que é ter estudado o assunto em questão. GRÁFICO 2: ESTUDOU ANÁLISE COMBINATÓRIA NO ENSINO MÉDIO Alunos(%) Colégio A Colégio B Colégio C Colégios SIM NÃO Os dados indicam que: 1) Quase todos os alunos estudaram Análise Combinatória na segunda série do Ensino Médio. 2) A média percentual de alunos que não estudaram Análise Combinatória é 5%. O alto percentual de alunos que estudaram o assunto em questão, confirma um discurso pertinente em escolas particulares, que se refere à questão das escolas privadas sempre acabarem o programa escolar que foi definido anualmente. Porém, o mesmo talvez não aconteça em escolas da rede pública de ensino do Estado do Pará. Quanto aos alunos que não estudaram o assunto em questão, podemos justificar que os mesmos são oriundos de escolas públicas e em sua maioria alunos retornando de intercâmbio com outros Países. Você sentiu dificuldades para entender Análise Combinatória? Objetivando identificar os alunos que apresentam teoricamente as dificuldades que iremos relacionar na próxima questão.

7 7 GRÁFICO3: SENTIU DIFICULDADES PARA ENTENDER ANÁLISE COMBINATÓRIA Alunos(%) Colégio A Colégio B Colégio C SIM NÃO Colégios Os dados obtidos indicam que: 1) O colégio C revelou ter maiores dificuldades. 2) A maioria dos alunos aponta que tiveram dificuldades. 3) A percentagem de alunos do Colégio A que sentiram dificuldades ou não, foi bem próxima. Abaixo estão relacionados alguns assuntos que são estudados em análise combinatória. Assinale a(s) que você não conseguiu aprender. A) Construir a árvore de possibilidades; B) Diferenciar os problemas de arranjo dos problemas de combinação; C) Diferenciar os problemas que envolvem apenas o produto das combinações, dos problemas que envolvem a soma das combinações; D) Memorizar a fórmula de: arranjo, combinação e permutação; E) Identificar um problema de permutação; F) Resolver questões de análise combinatória que sejam puras aplicações de fórmulas; G) Meu maior problema está na compreensão do texto dos problemas ou das questões; H) Cálculo de fatorial; I) Diferenciar o uso de arranjo em agrupamentos e o uso do Princípio fundamental da contagem em eventos; J)Resolução de equações com fatorial.

8 8 GRÁFICO 4: RELAÇÃO DAS DIFICULDADES Dificuldades indicadas Alunos(%) A B C D E F G H I J Relação das dificuldades A B C D E F G H I J Os dados indicam que: 1) As dificuldades que apresentam maiores percentuais são: B e G. 2) As dificuldades C e I apresentam os mesmos percentuais. 3) A dificuldade H foi a que apresentou o menor percentual. 4) As dificuldades F e J apresentam os mesmos percentuais. Na análise, verificou-se que as dificuldades B e C apresentam o maior percentual de indicação da parte dos alunos. Para a pesquisa, é de grande importância apresentar à sociedade acadêmica as referidas dificuldades para que outros vejam a pesquisa como uma forma de minimizar ou até mesmo eliminá-las, pois o que está sendo indicado pelos alunos é só um indício de uma comprovação de algo que a maioria dos professores de Matemática vivenciam. Esteves (21) também identificou em seu trabalho as referidas dificuldades e acredita que a solução para superá-las está na busca de uma aprendizagem fundamentada na atividade do aluno que procura construir seu próprio conhecimento. As atividades diversificadas, que venham a ser propostas para favorecer um comportamento de busca, hipóteses e estimulem o raciocínio lógico, ajudam no processo de aprendizagem do aluno, ou melhor, trabalhar com esses alunos uma aprendizagem significativa. Como foi a maioria das aulas de Análise Combinatória? Sugerimos que os alunos indicassem uma das três situações, abaixo relacionadas, com o objetivo de investigar a forma com que as aulas sobre o assunto em questão foram ministradas.

9 9 1) Partindo da definição, seguido de exemplos, propriedades e exercícios; 2) Partindo de uma situação-problema para em seguida formalizar; 3) Modelando situações reais para aplicação dos conteúdos sobre análise combinatória. GRÁFICO 5: A MAIORIA DAS AULAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA Alunos(%) Colégio A Colégio B Colégio C Os dados obtidos indicam que: 1) Os alunos indicaram que a maioria das aulas partiu da definição, seguidas de exemplos, propriedades exercícios. 2) O colégio C foi o que apresentou maiores percentuais, indicando o item número 1. 3) A forma tradicional de ensinar matemática, ainda é muito forte mesmo nas escolas de grande porte como as que estão colaborando com a pesquisa. Iremos apresentar as dez situações-problema que foram propostas aos alunos e a análise dos resultados obtidos nas três escolas. Acreditamos que esta etapa é de grande importância para a pesquisa, pois cruzaremos as informações fornecidas pelos alunos, quanto à questão das dificuldades, e o que realmente os mesmos apresentam ao resolverem os problemas. No comando de trabalho das questões foi solicitado aos alunos que resolvessem os problemas e em caso de não saber, escrever NÃO SEI. SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE FORAM PROPOSTAS AOS ALUNOS 1. Numa lanchonete há 5 tipos de salgado, 4 tipos de suco e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por 1 salgado, 1 suco e 1 sorvete? 2. Com os algarismos 1,2,3,4 e 5, quantos números de três algarismos distintos e maiores que 3 podemos formar? 3. Com os algarismos,1,2,3,4 e 5, quantos números de três algarismos distintos e múltiplos de 5 podemos formar?

10 4. Num campeonato paraense de futebol estão participando 8 clubes. Determine o número de resultados possíveis que se pode obter o campeão e o vice-campeão. 5. O Estado do Pará possui 8 clubes disponíveis para representá-lo em um campeonato nacional de futebol, porém, cada Estado só poderá participar com 4 clubes e a escolha deverá ser realizada através de sorteio na sede da confederação paraense de futebol. Determine o número de maneiras diferentes de se obter o resultado do sorteio. 6. Para participar da grande festa do Círio de Nossa Senhora de Nazaré, algumas famílias que moram nas ilhas próximas de Belém se deslocam em pequenas embarcações com destino ao Porto da Feira do Açaí. Supondo que uma embarcação comporte somente 9 pessoas e que uma família tenha pessoas, das quais duas só podem ser condutores do barco. De quantos modos podemos formar uma tripulação com 1 condutor e 8 passageiros, sendo 4 sentados em cada lado? 7. Uma pessoa ao abrir uma conta em uma banco deve registrar uma senha de 6 dígitos para seu cartão magnético. Para facilitar a memorização ela resolveu usar os dígitos da data de seu aniversário, 2/2/82. Por exemplo, 2822 ou 2282 e assim por diante. Sabendo que seu próprio aniversário não é aceito, quantas opções ela tem para entrar com essa senha? 8. O departamento de ciências naturais da UEPA tem disponível para cargos de pesquisadores 5 professores de biologia e 4 professores de física. Uma universidade cubana solicitou 4 professores pesquisadores desse departamento. Qual a probabilidade de que esses quatro pesquisadores selecionados sejam 2 de biologia e 2 de física? 9. Ao final de um expediente, na biblioteca da UEPA, a bibliotecária precisou ordenar em uma prateleira diversos livros: dois de Matemática, três de Química e quatro de Biologia. Sabendo que os livros não são de mesmos volumes, determine o número de maneiras diferentes que a bibliotecária poderá ordená-los, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos.. Uma pessoa escolheu 9 dezenas para jogar na sena, sendo que em cada jogo são marcadas 6 dezenas. Ela fez todos os jogos possíveis e das 9 dezenas jogadas, 4 foram sorteadas. Quantos talões foram premiados com a quadra?

11 11 RESULTADO REFERENTE AO PERCENTUAL DE ALUNOS QUE ACERTARAM AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. GRÁFICO 6: ALUNOS QUE ACERTARAM AS SITUAÇÕES-PROBLEMA ALUNOS(%) TOTAL QUESTÕES ESCOLA A ESCOLA B ESCOLA C RESULTADO REFERENTE AO PERCENTUAL DE ALUNOS QUE ERRARAM AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. GRÁFICO 7: ALUNOS QUE ERRARAM AS SITUAÇÕES-PROBLEMA ALUNOS(%) TOTAL QUESTÕES ESCOLA A ESCOLA B ESCOLA C RESULTADO REFERENTE AO PERCENTUAL DE ALUNOS QUE NÃO FIZERAM AS SITUAÇÕES-PROBLEMA.

12 12 GRÁFICO 8: ALUNOS QUE NÃO FIZERAM AS SITUAÇÕES-PROBLEMAS ALUNOS(%) TOTAL QUESTÕES ESCLOA A ESCLOA B ESCOLA C Ao serem analisados os três gráficos, observou-se que os alunos do colégio A obtiveram melhor desempenho em relação aos alunos dos outros dois colégios, pois as questões 6, 7, 8, 9 e foram as que apresentaram baixo desempenho. Nota-se nos gráficos 11 e 12, respectivamente, que os alunos do colégio C apresentaram o menor número de questões erradas, em decorrência de que os mesmos não as fizeram. Na análise geral, constatou-se que 7% os alunos do colégio C indicaram que sentiram dificuldades para entender o assunto análise combinatória. 8% dos alunos desse mesmo colégio afirmaram que as aulas sobre o assunto ainda seguem o estilo tradicional de ensino. Talvez sejam esses e outros parâmetros que influenciam ou influenciaram para que os alunos do colégio C apresentassem o pior desempenho na resolução das situações-problema. Um claro indicativo de que deveríamos ter encontrado nos alunos: As habilidades de descrever e analisar um grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com base numa amostra de população, aplicada as idéias de probabilidade e combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano são aplicações da Matemática em questões do mundo real que tiveram um crescimento muito grande e se tornaram bastante complexas. Técnicas e raciocínios estatístico e probabilístico são, sem dúvida, instrumentos tanto das Ciências da Natureza quanto das Ciências Humanas. Isto mostra como será importante uma cuidadosa abordagem dos conteúdos de contagem, estatística e probabilidade no Ensino Médio, ampliando a interface entre o aprendizado da Matemática e das demais ciências e áreas (BRASIL, 1999, p. 257). Mesmo que tais sugestões e necessidades do mundo atual tenham sido lançadas em 1999, estamos ainda caminhando em passos muito lentos para atingir as propostas dos parâmetros curriculares nacional, pois é evidente que para atingi-las devemos tornar o ensino de análise combinatória mais próximo da realidade dos discentes, abandonando dessa forma o método tradicional de

13 13 ensinar. A questão número, por exemplo, está inserida diretamente na vida do cidadão comum, pois se trata do jogo da Mega-sena, mesmo assim, ninguém acertou a questão. A justificativa talvez seja a não compreensão do texto ou que os mesmos desconheçam que é través do raciocínio combinatório a resolução do problema. O ensino da Matemática deveria ser, sem dúvida, a área mais diretamente beneficiada pelo conhecimento da matemática da vida cotidiana.na sala de aula, a professora que ensina matemática não deverá distinguir a matemática formal da matemática enquanto atividade humana.seus alunos estarão sempre realizando atividades que envolvem concepções lógico-matemáticas em uma situação particular a sala de aula. (SCHLIEMANN, 21, p.21). Uma análise positiva que fazemos é quanto à questão número 1 em que os alunos apresentaram algum conhecimento sobre o assunto já que muitos conseguiram resolvê-la. Isso nos leva a acreditar que existe uma semente plantada para buscar a solução dos problemas de aprendizagem da Análise Combinatória. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho, apresentamos o resultado da pesquisa feita com alunos de três grandes escolas da região metropolitana de Belém. Podemos observar que os alunos da escola C foram os que apresentaram o pior desempenho nas situações-problema, confirmando com as informações levantadas no questionário fechado. Os alunos do referido colégio mostraram-se angustiados pelo modelo de ensino que foi desenvolvido e as dificuldades de aprendizagem que ficaram. O próximo passo para a pesquisa geral desenvolvida pelo grupo da UEPA é construir uma proposta de ensino de Análise Combinatória, propor aos professores das escolas investigadas a utilização da mesma em turmas da segunda série do Ensino Médio e quando os mesmos alunos estiverem na série seguinte, voltaremos a fazer a investigação apresentada por este trabalho. REFERÊNCIAS BARALDI, Ivete Maria. Matemática na escola: que ciência é esta? - Bauru: EDUSC, BRASIL, Ministério da Educação, Secretária de Educação Médias e Tecnologia.Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio, parte III, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, Brasília, 1999.

14 14 ESTEVES, I. Investigando os fatores que influenciam no raciocínio combinatório em adolescentes de 14 anos - 8 a série do ensino fundamental.são Paulo, 2, 194 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)-Centro das Ciências Exatas e Tecnologias, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática; uma análise da influência Francesa. 2ª.ed. Belo Horizonte : Autêntica, 22. SCHLIEMANN, Analúcia Dias. Na vida dez, na escola zero / Analúcia Dias Schliemann, David William Carraher, Terezinha Nunes Carraher. 12 a. ed. São Paulo, Cortez, 21.