Curso de Especialização em Gestão Empresarial (MBA Executivo Turma 15) Disciplina: Pesquisa Operacional Prof. Dr. Álvaro José Periotto 3. Otimização ão: modelagem e técnicas de resolução Passando da daetapa de de Modelagem para os ostestes Como já foi visto, o processo de busca de soluções para um problema de otimização envolve a construção e a experimentação de um modelo. Obviamente para que o modelo represente o sistema real ele precisa ser validado, ou seja ter sua aceitação quando submetido a testes. Um teste elementar é submeter o modelo construído a uma análise de contexto. Entendido o enunciado e definidos os elementos constitutivos - variáveis, objetivo e restrições - faça uma revisão crítica, verificando, por exemplo: se as todas as informações enunciadas estão contempladas no modelo; se ficou claro o horizonte de planejamento; se há coerência entre as unidades de medida; se não há conflito entre restrições. Portanto, ainda há muita subjetividade! A própria experimentação do modelo também representa um teste,com o intuito de melhor ajustá-lo ao enunciado e à otimização pretendida. 1
Método Empírico: Métodos de de Resolução de de um um PPL Na falta de condições de se aplicar uma técnica ou método exato (ver sequência), no método empírico organizamos as equações de forma que ao atribuir sucessivamente valores às variáveis, passamos a ter referências sobre o consumo dos recursos (em relação aos limites das restrições) e sobre o correspondente valor objetivo. O processo de cálculo pode ser agilizado com ajuda de uma planilha eletrônica. Método Gráfico: Quando o PPL envolve apenas 2 variáveis, usamos o plano cartesiano para representar a direção de otimização (vetor objetivo) e a região de soluções viáveis (intersecção das regiões definidas pelas restrições). Método Simplex: È o método clássico para resolução de PPLs, desenvolvido em 1947, por George Dantzig. Trata-se de um método matemático, atualmente implantado em software aplicativo, como é o caso do LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer). Criação de de Modelo orientado pela P.L. Trajetória da criação de um modelo de P.L. através de um problema-exemplo: Considere que frente a um pequeno empreendimento seja necessário estabelecer o planejamento da produção de um mesmo produto comercializado através de duas embalagens diferenciadas: a embalagem standard retorna um lucro unitário de R$3,70 e emprega 300g de um ingrediente Alfa e 180g de um ingrediente Beta (ambos limitados em sua disponibilidade); a embalagem luxo retorna um lucro unitário de R$5,00 mas emprega 350g do ingrediente Alfa e 300g do ingrediente Beta. Para esse planejamento deseja-se considerar apenas as limitações de estoque dos ingredientes Alfa (50kg) e Beta (30Kg), embora outros ingredientes e outras limitações possam ser consideradas em outras circunstâncias. 2
Modelagem GRÁFICA: Criação de de Modelo orientado pela P.L. 350 g Lucro unitário = R$5,00 300 g Luxo Estoque = 50 Kg ALFA 180 g 300 g Lucro unitário = R$3,70 Estoque = 30 Kg BETA Standard Criação de de Modelo orientado pela P.L. Modelagem Matemática: Maximizar LUCRO = 3,70 3,70 ST ST + 5,00 5,00 LX LX sujeito a 300 300 ST ST + 350 350 LX LX 50000 180 180 ST ST + 300 300 LX LX 30000 ST ST,,,, LX LX 0 0 Elementos da formulação: Variáveis de decisão: ST (qtdade. de embalagens standard a ser produzida no horizonte de planejamento) e LX (qtdade. de embalagens luxo a ser produzida no horizonte de planejamento) Objetivo: lucratividade máxima Restrições: limitações de estoque dos ingredientes ALFA e BETA Horizonte de Planejamento: até o esgotamento do estoque (de ALFA ou de BETA) 3
Método Empírico O Método Empírico consiste em repetir exaustivamente 1. Atribuir valores às variáveis e calcular os valores do objetivo e do consumo de cada recurso escasso. Para Para ST=10 e LX=10 LUCRO = 3,70 3,70 ST ST + 5,00 5,00 LX LX = 37,00 + 50,00 = 87,00 Consumo do do ingrediente ALFA ALFA = 300 300 ST ST + 350 350 LX LX = 3000 3000 + 3500 3500 = 6500 6500 Consumo do do ingrediente BETA BETA = 180 180 ST ST + 300 300 LX LX = 1800 1800 + 3000 3000 = 4800 4800 2. Avaliar a viabilidade da alternativa considerada Para Para ST=10 ST=10 e LX=10 LX=10 Consumo do do ingrediente ALFA ALFA = 6500 6500 50000 Alternativa Viável Viável Consumo do do ingrediente ALFA ALFA = 4800 4800 30000 Alternativa Viável Viável 3. Se a alternativa é solução viável (não viola nenhuma restição) avalie o valor objetivo com relação a outros considerados. Para Para ST=0 ST=0 e LX=0 LX=0 LUCRO = 0,00 0,00 Para Para ST=10 ST=10 e LX=10 LX=10 LUCRO = 87,00 87,00 Alternativa Ótima Ótima (entre (entre as as analisadas) Elementos do do Excel para implementar o Método Empírico Na situação ilustrada, usamos as colunas para trabalhar os elementos da formulação, implantamos as fórmulas da linha 5 e as arrastamos para as demais linhas para experimentar diversas combinações de ST e LX: 4
Considerações sobre o Método Empírico com Excel É importante lembrar que o uso do aplicativo elimina imprecisões de cálculo, acelera as análises e, pela possibilidade de repetição exaustiva, permite um aprendizado sobre o comportamento do modelo. Entretanto, nem tudo é automático. Na situação ilustrada, usamos um destaque para a melhor alternativa entre as analisadas. Nessa implementação, isso é uma condição da percepção humana, assim, como o é também a decisão de prosseguir ou interromper a análise de alternativas, considerando uma solução satisfatoriamente ótima. Método Gráfico O Método Gráfico, aplicável somente quando o PPL tem apenas 2 variáveis, é trabalhdo no lano cartesiano, definido um fator de escala. Procura-se enfatizar o 1º quadrante, em função dasexigências de nãonegatividade das variáveis. 5
Método Gráfico Cada restrição matemática (desigualdade) define uma região (no plano cartesiano), cuja reta base é, portanto, uma igualdade linear. Ex: A restrição de uso do ingrediente ALFA define a região do semi-plano com reta base: 300 ST + 350 LX = 50000 Para representá-la graficamente precisamos de 2 pontos dela: para ST=0, LX=50000/350 e, portanto LX=142 para LX=0, ST=50000/300 neste caso ST=166 De maneira análoga, a restrição de uso do ingrediente BETA define a região do semi-plano com reta base: 180 ST + 300 LX = 30000 Com a estratégia de atribuir valor a uma variável e calcular a outra, obtemos 2 pontos para a representação gráfica: para ST=0, LX=30000/300 e sai que LX=100 para LX=0, ST=30000/180 neste caso ST=166 Método Gráfico Observe que os pontos do plano cartesiano que satisfazem às restrições de não-negatividade e, simultaneamente, às restrições que limitam o uso de ingredientes ALFA e BETA, estão na região do 1º quadrante e abaixo da reta azul (BETA). 6
Método Gráfico A Programação Linear visa uma solução extrema (de máximo lucro ou de mínimo custo), portanto as alternativas viáveis candidatas a solução ótima estão associadas aos pontos extremos da Região Viável. Pontos extremos (alternativas viáveis) candidatos à solução ótima. Observe que cada ponto extremo pode ser determinado em função de posicionar-se no cruzamento de uma reta com um dos eixos ou no cruzamento de duas retas. Isso sugere que o cálculo exato de suas coordenadas resulte de um sistema de 2 equações (de retas) à 2 variáveis. Região Viável Contaremos com a ajuda do objetivo para determinar qual deles é ótimo Método Gráfico O objetivo será representado por um vetor (gradiente) no plano cartesiano, indicando a direção de otimização. No caso em estudo, o objetivo é Maximizar LUCRO = 3,70 ST + 5,00 LX e, portanto, o vetor gradiente (3,70, 5,00) indica a direção de Maximização. Considerando a escala trabalhada, esse vetor será representado por uma seta que sai da origem na direção do ponto (37, 50). 7
Método Gráfico Para (ST,LX)=(0,0) o LUCRO = 0,00. Deslocando na região viável na direção do vetor gradiente, percebe-se que o LUCRO Maximiza. Para (ST,LX)=(0,100) o LUCRO = 500,00, mas ainda é possível deslocar na região viável na direção do vetor gradiente para obter LUCRO maximizado. Observe que para (ST,LX)=(100,0) o LUCRO = 614,00 e qualquer deslocamento na direção do vetor gradiente nos tira da região viável. Conclui-se, então, que esse ponto extremo é a solução ótima do PPL. Criação de de Modelo orientado pela P.L. Modelagem Matemática: Maximizar LUCRO = 3,70 3,70 ST ST + 5,00 5,00 LX LX sujeito a 300 300 ST ST + 350 350 LX LX 50000 180 180 ST ST + 300 300 LX LX 30000 ST ST,,,, LX LX 0 0 Elementos da formulação: Variáveis de decisão: ST (qtdade. de embalagens standard a ser produzida no horizonte de planejamento) e LX (qtdade. de embalagens luxo a ser produzida no horizonte de planejamento) Objetivo: lucratividade máxima Restrições: limitações de estoque dos ingredientes ALFA e BETA Horizonte de Planejamento: até o esgotamento do estoque (de ALFA ou de BETA) 8
Criação de de Modelo orientado pela P.L. Modelagem Computacional: Max Max LUCRO = 3.70 3.70 ST ST + 5.00 5.00 LX LX subject to to 300 300 ST ST + 350 350 LX LX <= <= 50000 180 180 ST ST + 300 300 LX LX <= <= 30000 End End A versão desta formulação deve ser salva em arquivo tipo texto. Sugere-se identificador do tipo PLAN01.txt O modelo computacional foi especificado para uso do aplicativo LINDO (Linear, Interactive, Discrete Optimizer). 9