GABARITO OTM 09 [ ] [ ] ( ) [ ] O que mostra que e, logo o sistema não possui solução. [ ]

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1 GABARITO OTM 09 Questão 1 a) Observe que o, deste modo o sistema não possui única solução ou não possui solução. Como [ ] [ ] [ ] [ ] O que mostra que e, logo o sistema não possui solução. b) Sim. Basta escolhermos [ ] Questão 2 (a) Seja a quantidade de camisas pintadas (tipo I) a serem produzidas, e a quantidade de camisas sem pintura (tipo II). Os custos de produção são: Na costura, serão necessárias 3 horas. A um custo de 3 reais por hora, o gasto será de. Na pintura, serão necessárias 4 horas. A um custo de 6 reais por hora, o gasto será de. Portanto, o lucro (função objetivo) é dado por. Como a loja possui 7 costureiras disponíveis, o total de horas de costura máximo em uma semana é de 280 horas; analogamente, como existem 4 pintoras, o total de horas de pintura máximo é de 160 horas na semana. Portanto, temos as seguintes restrições Por fim, devido ao contrato previamente firmado, temos que. Portanto, a formulação obtida é.

2 (b) Ao iniciar o simplex com como variáveis básicas, e como variáveis não básicas, temos que B é a matriz identidade. Dessa forma, Além disso, calculando os custos reduzidos para as variáveis não básicas: Para a variável : Para a variável : Logo, como se trata de um problema de maximização, os valores dos custos reduzidos indicam que este ponto extremo é ótimo, e não há necessidade de executar iterações do método Simplex. Solução ótima única: Questão 3 a) Observemos que, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] b) Como então [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Questão 4 a) O conjunto não pode formar uma base de, pois a dimensão de é, e deste modo, qualquer base de precisa ter exatamente elementos. b) Existem diversos conjuntos de três elementos contidos em que formam base de. Exploramos todas as possibilidades abaixo e apenas uma não forma base, a. Ex: 1 ) * +

3 não forma base para. Ex: 2) * + forma base para. Ex: 3) * + forma base para. Ex: 4) * + forma base para. Questão 5 a) Temos ( ) [ ] [ ] b) Como ( ) ( ) então ( ) ( ) ( ), - ( ) Questão 6 a) Como ( ) ( ) então. Logo, pois. ( ) b) Como, pois ( ) ( ) ( ) ( ). Logo, se a derivada de é negativa sempre, então a função é sempre decrescente.,

4 Questão 7 Sejam as variáveis de folga adicionadas às restrições. Como para esse ponto extremo temos que são variáveis não básicas, e são variáveis básicas. Consequentemente, (vetor formado pelos coeficientes das variáveis básicas). A matriz básica associada é dada por cuja inversa é dada por. / a) Umas formas de verificar que é uma solução para o problema consiste em calcular os valores dos custos reduzidos associados às variáveis não básicas: Para a variável :. / Para a variável :. / Para a variável :. / Para a variável :. / Como todos os valores obtidos são menores ou iguais a zero, podemos afirmar que solução ótima. é uma b) Como a variável é não básica, as alterações de valor de irão afetar apenas seu custo reduzido. Para que a base continue ótima, o custo reduzido afetado deverá ter valor menor ou igual a zero: Logo, o intervalo permitido para é - - (c) A solução dual pode ser obtida diretamente da fórmula:. /. Outra forma de obter a solução dual seria observar que: o valor de é igual ao valor do custo reduzido da primeira variável de folga do problema original, com o sinal trocado (pois essa variável de folga foi adicionada à primeira restrição). o valor de é igual ao valor do custo reduzido da primeira variável de folga do problema original, com o mesmo sinal (pois essa variável de folga foi subtraída na segunda restrição).

5 Questão 8 Como o esquema de produção ótimo é dado por e, sabemos que são variáveis não básicas, e são variáveis básicas. Consequentemente, (vetor formado pelos coeficientes das variáveis básicas). A matriz básica associada é dada por cuja inversa é dada por. / a) O esquema de produção ótimo atual gera um retorno em vendas de 6 unidades monetárias. A aquisição de duas unidades do insumo B altera a segunda restrição para Ou seja, o vetor do lado direito das restrições é alterado de. / para b =. / Essa mudança faz com que os valores das variáveis básicas se alterem para. /. / Assim, a base continuará ótima, porém o esquema ótimo de produção será alterado para o qual gera um retorno em vendas de 9 unidades monetárias. e Como cada unidade do insumo B custa 1,4 unidades monetárias, o retorno em vendas adicional (3 unidades monetárias) obtido com a aquisição dessas duas unidades do insumo B compensa o valor pago pelos mesmos (2,8 unidades monetárias). Outra forma de responder a esta questão seria levar em consideração a interpretação econômica das variáveis duais, as quais representam a influência na função objetivo de variações na disponibilidade de cada insumo (lado direito das restrições). Como a alteração proposta irá ocorrer na segunda restrição, basta verificar o valor da segunda variável dual :. Logo, cada unidade a mais disponível de insumo B permite um aumento no lucro de 1,5 unidades monetárias, o que compensa o seu custo de compra. b) De acordo com o que foi visto no item (a), a variação de uma unidade do insumo B acarreta uma alteração de 1,5 unidades monetárias em retorno de vendas. Logo, o valor para que a operação de venda do insumo seja economicamente atrativa deve ser superior a 1,5 unidades monetárias. Questão 9 a) Além de estar restrita ao primeiro quadrante, a região viável é definida pelas 4 desigualdades Cada uma delas divide o em dois semiplanos, os quais são delimitados pelas retas definidas por A região viável é obtida, portanto, pela intersecção de todos os 4 semiplanos restritos ao primeiro quadrante, conforme indica a figura a seguir (onde o eixo horizontal corresponde à variável e o eixo vertical à veriável ):

6 b) As variáveis são as variáveis de folga, e se anulam na fronteira do semiplano correspondente à restrição a que estão associadas. O ponto extremo está situado na fronteira da segunda, terceira e quarta restrições. Dessa forma, podemos observar que para esse ponto extremo temos três variáveis que assumem valor zero ao mesmo tempo:, sendo que apenas 2 delas serão variáveis não básicas. Portanto, esse ponto possui 3 bases associadas: Primeira opção: variáveis básicas: ; variáveis não básicas:. Segunda opção: variáveis básicas: ; variáveis não básicas:. Terceira opção: variáveis básicas: ; variáveis não básicas:. Como esse ponto extremo possui várias bases associadas (e não apenas uma), ele é degenerado. Questão 10 Em sua representação mais simplificada, um sistema de energia elétrica pode ser dividido em meios de produção, meios de transporte e meios de consumo da energia elétrica, ou seja, geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. Os meios de produção correspondem aos diferentes tipos de equipamentos necessários para a geração de energia elétrica em escala industrial. Dentre estes, são particularmente relevantes as usinas hidrelétricas, onde a energia elétrica é obtida a partir da transformação da energia potencial dos cursos d água, e as usinas termoelétricas, onde a eletricidade resulta da transformação da energia cinética de gases e vapores em expansão, aquecidos pela queima de combustível. Os meios de transporte correspondem às linhas de transmissão e subestações utilizadas para fazer chegar aos consumidores a energia produzida nas usinas. Os meios de consumo da energia elétrica correspondem ao conjunto das cargas (equipamentos, instalações, etc.) dos diferentes tipos de consumidores. A distribuição de energia, último dos elos na cadeia de ligação entre a geração e o consumidor, também pode ser incluída entre os meios de consumo, sob o ponto de vista do planejamento de sistemas de produção. Características: Produção de energia elétrica A produção de energia elétrica é sempre resultado da transformação de outros tipos de energia. A utilização dos diferentes tipos de usinas geradoras é função da existência de fontes primárias de energia, que podem ser renováveis ou não-renováveis. A localização dos meios de produção é função da disponibilidade dos recursos primários.

7 No caso de usinas hidrelétricas, sua localização depende da existência de afluências e desníveis adequados nos cursos d água, na maioria das vezes localizados longe dos centros de carga. Já nas usinas de termoelétricas podem ser localizadas mais próximas do consumo, ainda que, em alguns casos, seja necessária alguma forma de transporte dos combustíveis primários (rede de dutos, rodovias, portos, etc.) Transmissão e a distribuição de energia elétrica Uma característica fundamental da energia elétrica é a necessidade de consumo imediato da quantidade produzida. Não havendo possibilidades reais de armazenagem de energia elétrica em grande quantidade, o transporte da energia se reveste de suma importância na definição do equilíbrio do binômio produção-consumo. A conjunção das diferentes localizações geográficas das usinas geradoras e dos centros de carga faz com que, para a energia produzida chegar aos consumidores, seja necessário um sistema de transporte envolvendo condutores e equipamentos, e diferentes distâncias, formas de níveis de tensão. À medida que se definem através da interconexão de linhas de transmissão, subtransmissão e subestações formas alternativas de suprimento aos centros de carga, os sistemas de transmissão tornam-se mais complexos. Da eficiência desses sistemas dependem a qualidade do produto final e a redução das inevitáveis perdas elétricas, parcela da produção sem benefício econômico para o sistema produtor. Questão 11 i) No planejamento da expansão dos sistemas hidrotérmicos são conjugados as características dos planejamentos de sistemas termoelétricos e hidroelétricos. É necessário, portanto, estabelecer um critério de garantia de atendimento à demanda máxima futura e ao consumo de energia previsto no horizonte de estudo. A expansão nesse tipo de sistema baseia-se na incorporação ao sistema gerador existente de novas unidades geradoras dos diferentes tipos, levando-se em conta suas características técnicas e econômicas. A ordenação das alternativas de expansão futura é usualmente baseada no índice custo-benefício das novas usinas. Na avaliação dos custos das novas usinas devem ser levados em conta todos os gastos em equipamento de geração e transmissão associados aos novos aproveitamentos, bem como os custos associados à sua operação em conjunto com o sistema existente. Naturalmente, para uma correta avaliação dos custos operativos, devem ser consideradas as regras adotadas na operação do sistema hidrotérmico. Na avaliação dos benefícios, devem ser consideradas as capacidades de atendimento à energia e à demanda máxima, de acordo com os critérios de garantia de suprimento adotados, de forma homogênea para todos os aproveitamentos. ii) O planejamento da expansão operação de sistemas hidrotérmicos incorpora às dificuldades, para o caso de sistemas hidrelétricos, das não-linearidades das funções de custo de operação das usinas térmicas. Mais ainda, os benefícios associados à produção de energia nas usinas hidrelétricas passam a ser medidos em termos da economia de custos de combustíveis provocada pelo deslocamento da geração térmica. Assim, as funções de custo de operação envolvem variáveis não-separáveis. Desta forma, o planejamento da expansão da operação de sistemas hidrotérmicos envolve desde a análise do desempenho do sistema a longo prazo até a programação de geração das usinas para a semana ou dia seguinte. Questão 12 a) Entende-se por custo marginal a relação entre o acréscimo de custo total no sistema de geração, necessário para suprir um incremento do mercado de energia elétrica, e este incremento do mercado. Este custo é usualmente expresso em unidades monetárias por unidade de energia (R$/MWh). O conceito de custo marginal é utilizado no planejamento da expansão e da operação de sistemas geradores em duas áreas principais: -estudos de tarifação; -critérios de suprimento e operação ótima do parque gerador. Os estudos de tarifação a custos marginais partem da hipótese que os consumidores devem pagar ao solicitar uma carga do sistema o custo incorrido pelo sistema para suprir esse acréscimo de carga. A tarifa de energia elétrica é definida em função do custo marginal, que varia em função do tipo de carga, de sua localização de rede, e da hora e estação do ano em que se realiza o consumo.

8 Nos estudos de tarifação de planejamento da expansão e operação de sistemas geradores distinguem-se três tipos de custos marginais: -custo marginal de operação, ou de curto prazo; - custo marginal de expansão, ou de longo prazo; - custo marginal dimensionamento, ou de muito longo prazo; O custo marginal de curto prazo é o custo por unidade de energia produzida incorrido ao se atender a um acréscimo de carga no sistema através dos meios já existentes, isto é, sem adicionar novas fontes geradoras ao mesmo. O acréscimo de carga é suprido, num sistema hidrotérmico (custo zero), através de maior geração nas usinas termoelétricas existentes, ou através de um aumento do déficit esperado. Em estudos de planejamento da operação, o custo marginal de operação pode ser calculado sob enfoques diferentes, em função do horizonte de estudo considerado e do grau de incerteza na representação das condições operativas. Por exemplo: o custo marginal de operação calculado em estudos de planejamento anual, com a representação da estocasticidade das afluências, é muitas vezes denominado custo marginal de médio prazo. Em estudos de planejamento mensal, com representação determinística das afluências, obtém-se o custo marginal de curto prazo. b) Quando o custo marginal de operação for inferior ao de expansão, é mais econômico suprir um acréscimo de carga pelo sistema existente; a confiabilidade supera o nível adequado e o sistema encontra-se superdimensionado. Caso contrário, é mais econômico suprir um acréscimo de carga considerando a antecipação de projetos de geração: a confiabilidade situa-se aquém do desejável e o sistema está subdimensionado. Desta forma, conclui-se que o sistema está corretamente dimensionado quando ocorre a igualdade entre os custos marginais de operação e expansão, expressa pelo gráfico abaixo: