Unidade IV Inferência estatística

6//5 Unidade IV Inferência estatística 4.. Introdução e histórico 4.. Conceitos fundamentais 4.3. Distribuições amostrais e Teorema central do limite 4.4. Estimação de parâmetros 4.5. Testes de hipóteses 4.6. Quebras das pressuposições no processo de inferência 4.7. Testes de qui-quadrado Testes para variância (σ ) e proporção (π)

6//5 Algoritmo para construção de um teste de hipóteses. Definir as hipóteses estatísticas.. Fixar a taxa de erro aceitável. 3. Escolher a estatística para testar a hipótese e verificar as pressuposições para o seu uso. 4. Usar as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste. 5. Decidir sobre a hipótese testada e concluir. Profa. Clause Piana 3 Testes para a variância populacional (σ ) Comparação da variância de uma população ( ) com um valor padrão ( ) σ σ Comparação de variâncias de duas populações ( e ) teste de homogeneidade de variâncias σ σ Profa. Clause Piana 4

6//5 Teste para a variância de uma população Aplicação: no controle da qualidade, pois o monitoramento da variabilidade é essencial para a garantia de qualidade. Pressuposição: normalidade da população de onde é extraída a amostra Hipóteses estatísticas Uma hipótese testada com freqüência é a de que a variância da população tem um valor especificado, ou seja, é igual a um valor padrão. Nesse caso, as hipóteses a serem testadas são: σ H H : σ = σ : σ σ A σ σ > σ σ Bilateral Unilateral direita Profa. Clause Piana < Unilateral esquerda 5 Estatística do teste A estatística do teste é Q que tem distribuição quiquadrado com parâmetro ν=n- e é assim definida: (n )S Q= ~ χ ( ν) σ Q= Z + Z +... + Zν (n )S (Xi X) (Xi X + µ µ ) (X i µ ) n(x µ ) X µ µ i X = = = = σ σ σ σ σ σ σ n Profa. Clause Piana 6 3

6//5 Estatística do teste A estatística do teste é Q que tem distribuição quiquadrado com parâmetro ν=n- e é assim definida: onde: (n )S Q= ~ χ ( ν) σ Valor que deve ser calculado na amostra S é o estimador da variância populacional σ ; n é o tamanho da amostra; ν=n é o número de graus de liberdade associado à variância. Profa. Clause Piana 7 Distribuição qui-quadrado (χ ) A variável Q é definida como a soma dos quadrados de n- variáveis Z independentes entre si: Q= Z + + + ~ χ (ν) Z... Zν Sendo definida como uma soma de quadrados, os valores da variável Q nunca serão negativos. A função densidade de probabilidade da distribuição χ é dada por q ν f(q) = e q, sendo q < + ν ν Γ parâmetro Profa. Clause Piana 8 4

6//5 Como o parâmetro da distribuição χ é o número de graus de liberdade (ν), a curva muda o seu formato à medida que varia o valor de ν. Quando ν =, a curva assume um formato atípico. Paraν= Profa. Clause Piana 9 Quando ν >, a curva assume a forma assimétrica positiva. Para ν = 3 Para ν = A distribuição χ tem média µ = ν e variância σ = ν e se aproxima da normal quando ν cresce. 5

6//5 Critério de decisão Teste bilateral A região de rejeição de H é definida em função do tipo de hipótese alternativa. Fixado um nível de significância α, a hipótese nula é rejeitada se o valor da estatística do teste ultrapassar o valor crítico (superior ou inferior): se q > q (ν;α/) ou q < q (ν;α/), rejeitamos H ; se q < q (ν;α/) e q > q (ν;α/), não rejeitamos H. Para: H : σ σ A (bilateral) α/ α/ q α/ q α/ Rejeição de H Não rejeição de H Rejeição de H Critério de decisão Teste unilateral Fixado um nível de significância α, a hipótese nula é rejeitada se o valor da estatística do teste ultrapassar o valor crítico (superior ou inferior): se q > q (ν;α) ou q < q (ν;α), rejeitamos H ; se q < q (ν;α) ou q > q (ν;α), não rejeitamos H ; (unilateral esquerda) (unilateral direita) Para: H : σ < σ Para: H : σ > σ A A α α q α q α Rejeição de H Não rejeição de H Não rejeição de H Rejeição de H 6

6//5 Graus de Nível de significância (α) Liberdade Esquerda (q ) Direita (q) (ν),5,,5,5,,,5,5,,5,,,,,,7 3,84 5, 6,63 7,88,,,5,, 4,6 5,99 7,38 9,,6 3,7,,,35,58 6,5 7,8 9,35,34,84 4,,3,48,7,6 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5,4,55,83,5,6 9,4,7,83 5,9 6,75 6,68,87,4,64,,64,59 4,45 6,8 8,55 7,99,4,69,7,83, 4,7 6, 8,48,8 8,34,65,8,73 3,49 3,36 5,5 7,53,9,95 9,73,9,7 3,33 4,7 4,68 6,9 9,,67 3,59,6,56 3,5 3,94 4,87 5,99 8,3,48 3, 5,9,6 3,5 3,8 4,57 5,58 7,8 9,68,9 4,7 6,76 3,7 3,57 4,4 5,3 6,3 8,55,3 3,34 6, 8,3 3 3,57 4, 5, 5,89 7,4 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4 4,7 4,66 5,63 6,57 7,79,6 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,6 5,3 6,6 7,6 8,55,3 5, 7,49 3,58 3,8 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3 3,54 6,3 8,85 3, 34,7 7 5,7 6,4 7,56 8,67,9 4,77 7,59 3,9 33,4 35,7 8 6,6 7, 8,3 9,39,86 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,84 7,63 8,9,,65 7, 3,4 3,85 36,9 38,58 7,43 8,6 9,59,85,44 8,4 3,4 34,7 37,57 4, 8,3 8,9,8,59 3,4 9,6 3,67 35,48 38,93 4,4 8,64 9,54,98,34 4,4 3,8 33,9 36,78 4,9 4,8 3 9,6,,69 3,9 4,85 3, 35,7 38,8 4,64 44,8 4 9,89,86,4 3,85 5,66 33, 36,4 39,36 4,98 45,56 5,5,5 3, 4,6 6,47 34,38 37,65 4,65 44,3 46,93 Esta tabela fornece os limites unilaterais da distribuição. Isto significa que os valores q delimitam a área α à esquerda e os valores q delimitam a área α à direita. Quando o teste for bilateral, temos que dividir α por. Só assim, vamos obter o valor q crítico correto, ou seja, aquele que delimita a área α/. 6,6, 3,84 5,38 7,9 35,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7,8,88 4,57 6,5 8, 36,74 4, 43,9 46,96 49,64 8,46 3,56 5,3 6,93 8,94 37,9 4,34 44,46 48,8 5,99 9 3, 4,6 6,5 7,7 9,77 39,9 4,56 45,7 49,59 5,34 3 3,79 4,95 6,79 8,49,6 4,6 43,77 46,98 5,89 53,67 4,7,6 4,43 6,5 9,5 5,8 55,76 59,34 63,69 66,77 5 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 63,7 67,5 7,4 76,5 79,49 6 35,53 37,48 4,48 43,9 46,46 74,4 79,8 83,3 88,38 9,95 7 43,8 45,44 48,76 5,74 55,33 85,53 9,53 95,,43 4, 8 5,7 53,54 57,5 6,39 64,8 96,58,88 6,63,33 6,3 9 59, 6,75 65,65 69,3 73,9 7,57 3,5 8,4 4, 8,3 67,33 7,6 74, 77,93 8,36 8,5 4,34 9,56 35,8 4,7 Exemplo resolvido: Uma máquina de empacotar café está regulada para encher os pacotes, com média de 5 g e desvio padrão de g, sendo o peso dos pacotes normalmente distribuído. Colhida uma amostra de n = 6, observou-se uma variância de 69 g. É possível afirmar com este resultado que a máquina está desregulada quanto à variabilidade, supondo uma significância de 5%? Resolução: Hipóteses estatísticas: Sendo s = 69 H : σ = HA : σ e n = 6, temos: (n )s (6 ) 69 q= = = 5,35 σ σ = Como α =,5 e ν=5, os valores críticos são q α/ =7,49 e q α/ =6,6. O valor calculado está contido neste intervalo, portanto, não rejeitamos H. Concluímos, ao nível de 5% de significância, a variância populacional não difere de g. Assim, não há evidência de que e a máquina esteja desregulada. 7

6//5 Comparação de variâncias de duas populações Teste de homogeneidade de variância (teste F) Aplicação: Uma das aplicações deste teste é verificar se a pressuposição de homogeneidade de variância, requerida no teste t, é verdadeira. Pressuposições: A variável em estudo tem distribuição normal As amostras retiradas das populações são independentes População População σ σ µ µ Amostra [X, X,..., X n ] Amostra [X, X,..., X n ] Hipóteses estatísticas Nesse caso, as hipóteses estatísticas são: H H : σ = σ : σ σ A σ σ > σ σ < Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Estatística do teste: S F = S Valor que deve ser calculado na amostra Sob H verdadeira, a estatística F tem distribuição F com parâmetros ν e ν, ou seja, S F = ~ F(ν, ν ) Profa. Clause Piana S 6 8

6//5 População (Y) µ σ σ X ~ N (µ, σ ) Amostra [X, X,..., X n ] Amostra [X, X,..., X n ] X A variância amostral (S ) é S uma variável aleatória que tem S X distribuição qui-quadrado, com parâmetro ν χ (ν) N (µ, σ /n) Profa. Clause Piana Distribuição 7 Distribuição qui-quadrado (χ ) A variável Q é definida como a soma dos quadrados de n- variáveis Z independentes entre si: Q= Z + + + ~ χ (ν) Z... Zν Sendo definida como uma soma de quadrados, os valores da variável Q nunca serão negativos. A função densidade de probabilidade da distribuição χ é dada por q ν f(q) = e q, sendo q < + ν ν Γ parâmetro Profa. Clause Piana 8 9

6//5 Como o parâmetro da distribuição χ é o número de graus de liberdade (ν), a curva muda o seu formato à medida que varia o valor de ν. Quando ν =, a curva assume um formato atípico. Paraν= Profa. Clause Piana 9 Quando ν >, a curva assume a forma assimétrica positiva. Para ν = 3 Para ν = A distribuição χ tem média µ = ν e variância σ = ν e se aproxima da normal quando ν cresce.

6//5 Distribuição F de Snedecor A variável F pode ser definida como a razão entre duas variáveis independentes com distribuição χ S F = ~ F(ν, ν ) S distribuição χ Sendo definida como a razão entre duas variáveis positivas, os valores da variável F nunca serão negativos. A função densidade de probabilidade da distribuição F é dada por ν ν ν f ν +ν, ν g(f) = ν ν ν Β + f ν, sendo f < + parâmetros Profa. Clause Piana Distribuição F de Snedecor A forma do gráfico muda quando ν e ν se alteram ν = e ν = ν = e ν = Profa. Clause Piana

6//5 Como tomar a decisão a respeito de H? H : σ = σ H : σ σ A S F = S Se H é verdadeira, devemos esperar que o valor da estatística F seja próximo de. Mas quão próximo de este valor deve estar? Estes limites são dados pelos valores críticos. valores críticos Se f < f α/ ou f > f α/, rejeitamos H f é atípico Se f α/ < f < f α/, não temos motivos para rejeitar H f é típico Para efetuar o teste F, convencionamos que a estatística F é obtida fixando a maior variância no numerador. Teste bilateral condicionado H : σ = σ H : σ σ A S F = S maior nunca será menor que menor valor crítico Profa. Clause Piana 4

6//5 Critério de decisão A regra de decisão a respeito de H pode ser estabelecida com base num valor crítico. f α/ (ν,ν ) Valor crítico : valor da estatística F que delimita a área α/, para os graus de liberdade ν e ν (Tabela: limites unilaterais) O teste condicionado possibilita a utilização da tabela unilateral, mais disponíveis para consulta Profa. Clause Piana 5 A tabela da distribuição F fornece o valor f que delimita a área α à direita. Para usar a tabela com limites unilaterais em um teste bilateral devemos dividir a área α por. Profa. Clause Piana 6 3

6//5 ν α 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 Inf.,5 6,4 99,5 5,7 4,6 3, 34, 36,8 38,9 4,5 4,9 43, 43,9 45,9 48, 49, 5, 5, 5, 53,3 54,3,5 647,8 799,5 864, 899,6 9,8 937, 948, 956,7 963,3 968,6 976,7 984,9 984,9 993, 997,, 6,, 4, 8,, 45, 5, 543, 565, 5764, 5859, 598, 598, 6, 656, 68, 66, 657, 69, 635, 66, 687, 633, 6339, 6366,, 453* 5* 544* 565* 5764* 5859* 599* 598* 63* 656* 684* 67* 658* 69* 635* 66* 687* 633* 634* 6366*,5 8,5 9, 9,6 9,5 9,3 9,33 9,35 9,37 9,38 9,4 9,4 9,4 9,43 9,45 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,5,5 38,5 39, 39,7 39,5 39,3 39,33 39,36 39,37 39,39 39,4 39,4 39,4 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 39,5, 98,5 99, 99,7 99,5 99,3 99,33 99,36 99,37 99,39 99,4 99,4 99,4 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99,5, 998,5 999, 999, 999, 999,3 999,3 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,5 999,5 999,5 999,5 999,5 999,5,5,3 9,55 9,8 9, 9, 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 8,76 8,74 8,7 8,66 8,64 8,6 8,59 8,57 8,55 8,53 3,5 7,44 6,4 5,44 5, 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 4,4 4,34 4,5 39,43 4,7 4, 4,8 4,4 3,99 3,95 3,9, 34, 3,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,35 7,3 7,3 7,5 6,87 6,69 6,6 6,5 6,4 6,3 6, 6,3, 67, 48,5 4, 37, 34,6 3,8 3,6 3,6 9,9 9, 8,8 8,3 7,4 6,4 5,9 5,4 5, 4,5 4, 3,5,5 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,9 6,4 6, 5,96 5,93 5,9 5,86 5,8 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,63 4,5,,65 9,98 9,6 9,36 9, 9,7 8,98 8,9 8,84 8,75 8,66 8,66 8,56 8,5 8,46 8,4 8,36 8,3 8,6,, 8, 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,8 4,66 4,55 4,45 4,37 4, 4, 3,93 3,84 3,75 3,65 3,56 3,46, 74,4 6,5 56,8 53,44 5,7 5,53 49,66 49, 48,47 48,5 47,7 47,4 46,76 46, 45,77 45,43 45,9 44,75 44,4 44,5,5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,5 4,95 4,88 8,8 4,77 4,74 4,7 4,68 4,6 4,56 4,53 4,5 4,46 4,43 4,4 4,36 5,5, 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6,5 6,43 6,46 6,33 6,8 6,3 6,8 6, 6,7 6,, 6,6 3,7,6,39,97,67,46,9,6,5 9,96 9,89 9,7 9,55 9,47 9,38 9,9 9, 9, 9,, 47,8 37, 33, 3,9 9,75 8,84 8,6 7,64 7,4 6,9 6,64 6,4 5,9 5,39 5,4 4,87 4,6 4,33 4,6 3,79,5 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4, 4,6 4,3 4, 3,94 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,7 3,67 6,5 8,8 7,6 6,6 6,3 5,99 5,8 5,7 5,6 5,5 5,46 5,37 5,7 5,7 5,7 5, 5,7 5, 4,96 4,9 4,85, 3,75,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8, 7,98 7,87 7,79 7,7 7,56 7,4 7,3 7,3 7,4 7,6 6,97 6,88, 35,5 7, 3,7,9,8,3 9,46 9,3 8,69 8,4 8,8 7,99 7,56 7, 6,89 6,67 6,44 6, 5,99 5,75,5 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 6,6 3,57 3,5 3,44 3,4 3,38 3,34 3,3 3,7 3,3 7,5 8,7 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,9 4,8 4,76 4,67 4,57 3,5 4,47 4,4 4,36 4,3 4,5 4, 4,4,,5 9,55 8,45 7,85 4,46 7,9 6,99 6,84 6,7 6,6 6,54 6,47 6,3 6,6 6,7 5,99 5,9 5,8 5,74 5,65, 9,5,69 8,77 7,9 6, 5,5 5, 4,63 4,33 4,8 3,88 3,7 3,3,93,73,53,33,,9,7,5 5,3 4,46 4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,35 3,3 3,8 3, 3,5 3, 3,8 3,4 3,,97,93 8,5 7,57 6,6 5,4 5,5 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,3 4, 4, 4, 4, 3,95 3,89 3,84 3,78 3,73 3,67,,6 8,65 7,59 7, 6,63 6,37 6,8 6,3 5,9 5,8 5,74 5,67 5,5 5,36 5,8 5, 5, 5,3 4,95 4,86, 5,4 8,49 5,83 4,39 3,49,86,4,4,77,54,35,9,84,48,3, 9,9 9,73 9,53 9,33,5 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 3, 3,7 3,,94,9,86,83,79,75,7 9,5 7, 5,7 5,8 4,7 4,48 4,3 4, 4, 4,3 3,96 3,87 3,77 3,77 3,67 3,6 3,56 3,5 3,45 3,39 3,33,,56 8, 6,99 6,4 6,6 5,8 5,6 5,47 5,35 5,6 5,8 5, 4,96 4,8 4,73 4,65 4,57 4,48 4,4 4,3,,86 6,39 3,9,56,7,3,7,37, 9,89 9,7 9,57 9,4 8,9 8,7 8,55 8,37 8,9 8, 7,8,5 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98,94,9,85,77,74,7,66,6,58,54,5 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,7 3,95 3,85 3,78 3,7 3,6 3,5 3,5 3,4 3,37 3,3 3,6 3, 3,4 3,8,,4 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5, 5,6 4,94 4,85 4,78 4,7 4,56 4,4 4,33 4,5 4,7 4,8 4, 3,9,,4 4,9,55,8,48 9,9 9,5 9, 8,96 8,75 8,59 8,45 8,3 7,8 7,64 7,47 7,3 7, 6,94 6,76,5 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85,8,79,7,65,6,57,53,49,45,4,5 6,7 5,6 4,63 4,8 4,4 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,43 3,33 3,33 3,3 3,7 3, 3,6 3,,94,88, 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,7 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,4 4,5 4, 4, 3,94 3,86 3,78 3,69 3,6, 9,69 3,8,56,35 9,58 9,5 8,66 8,35 8, 7,9 7,76 7,63 7,3 7, 6,85 6,68 6,5 6,35 6,7 6,,5 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75,7,69,6,54,5,47,43,38,34,3,5 6,55 5, 4,47 4, 3,89 3,73 3,6 3,5 3,44 3,37 3,8 3,8 3,8 3,7 3,,96,9,85,79,7, 9,33 6,93 5,95 5,4 5,6 4,8 4,64 4,5 4,39 4,3 4, 4,6 4, 3,86 3,78 3,7 3,6 3,54 3,45 3,36, 8,64,97,8 9,63 8,89 9,38 8, 7,7 7,48 7,9 7,4 7, 6,7 6,4 6,5 6,9 5,93 5,76 5,59 5,4 ν Esta tabela fornece os limites unilaterais superiores da distribuição. Isto significa que os valores f apresentados delimitam a área α à direita. Quando o teste for bilateral, temos que dividir α por. Só assim, vamos obter o valor crítico f correto, ou seja, aquele que delimita a área α/ à direita. Outro critério de decisão Valor p: probabilidade de que seja obtido um valor de F maior que o valor observado na amostra, dado que H é verdadeira Como tomar a decisão a respeito de H? Se o valor p for maior ou igual a α: não rejeitamos a hipótese nula, pois f é típico ou está em uma região de alta probabilidade Se o valor p for menor que α: rejeitamos a hipótese nula, pois f é atípico ou está em uma região de baixa probabilidade 4

6//5 Exemplo: Durante o processo de fritura, um alimento absorve gordura. Um estudo foi conduzido com a finalidade de verificar se a quantidade absorvida depende do tipo de gordura. Para tanto foram utilizados dois tipos de gordura: vegetal e animal. Os dados obtidos foram: Gordura animal 8 4 47 3 35 7 Gordura vegetal 5 43 8 3 a) Faça o teste de homogeneidade de variâncias. b) Verifique se os dados confirmam a hipótese de que a absorção depende do tipo de gordura. Utilizeα=,5. Profa. Clause Piana 9 Resolução: Variável em estudo: X = quantidade de gordura absorvida. Pressuposições:. A variável em estudo tem distribuição normal.. As amostras retiradas das populações são independentes.. Hipóteses estatísticas: H H A : σ : σ =σ σ 3. Taxa de erro tipo I: 4. Estatística do teste: α=,5 s = s, = 6,4 f =, 5. Decisão e conclusão: ν = 4 e ν = 5 α/ =,5 f =, < fα / = fα / = 7,39 7,39 Não rejeitamos H Concluímos, ao nível de 5% de significância, que as variâncias populacionais não diferem entre si. 5

6//5 Estatística do teste Comparação da variância de uma população ( ) com um valor padrão ( ) σ σ (n )S Q= ~ χ ( ν) σ Comparação de variâncias de duas populações ( e ) teste de homogeneidade de variâncias S F = ~ F(ν, ν ) S σ σ Exercícios propostos:. Os valores abaixo se referem aos pesos ao nascer (em kg) de bovinos da raça Ibagé, em duas épocas distintas: Agosto: 8 5 6 3 35 3 33 3 Setembro: 7 3 3 33 34 7 33 3 39 3 8 Efetue o teste de homogeneidade de variâncias, ao nível α =,5.. Um experimento foi conduzido para comparar duas cultivares de soja (A e B) quanto ao rendimento médio por hectare. Os resultados obtidos foram os seguintes: Cultivar A: n = 8 Cultivar B: n = x = 3,8 t/ha s =,4 (t/ha) x = 4,6 t/ha s =,36 (t/ha) Verifique, utilizando α =,5, se a pressuposição de homogeneidade de variâncias foi atendida. Profa. Clause Piana 3 6

6//5 Testes para a proporção populacional (π) Comparação da proporção de uma população (π) com um valor padrão (π ) Comparação de proporções de duas populações (π e π ) Teste para a comparação da proporção de uma população (π) com um valor padrão (π ) Aplicação: verificar se uma proporção π de elementos da população que possuem uma determinada característica é igual a um determinado valor padrão (π ). Pressuposição: a amostra deve ser grande Hipóteses estatísticas Nesse caso, as hipóteses a serem testadas são: H H A : π= π : π π π> π π< π Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Profa. Clause Piana 34 7

6//5 Parâmetro θ = π (proporção populacional) Estimador θˆ = P (proporção amostral) População (X) amostra {X, X,..., X n } X ~ Bin (n, π) π N X i Bernoulli P n X P= n P ~ Bin (n, π) X ~ Ber (π) X = x Σ P(X = x) -π π E(X) =µ = π V(X) = σ = π (-π) Parâmetro θ = π (proporção populacional) Estimador θˆ = P (proporção amostral) σ P P ~ Bin (n, π) De acordo com o Teorema Central do Limite (TCL), quando a amostra é grande, a distribuição binomial se aproxima da normal; logo, a distribuição de P se aproxima da normal: P ~ N(µ P, ) onde: µ P = π π( π) σp = n Assim, utilizamos a variável Z para testar H : Padronizando a variável P P µ Z= σ P P Z= P π π( π) n 8

6//5 Demonstração: X P= n número de sucessos tamanho da amostra X ~ Bin (n, π) E(X) = nπ V(X) = nπ( -π) X µ P = E( P) = E = E X n n n n ( ) = π= π X π( π) σp = V( P) = V = V( X) = nπ( π) = n n n n Profa. Clause Piana 37 Estatística do teste Pressuposição : A amostra é grande quando np > 5 e n(-p) > 5. H : π= π Sob H verdadeira, temos Z= P π π( π ) n Valor que deve ser calculado na amostra A decisão sobre H é baseada nos valores críticos, encontrados na tabela da distribuição normal padrão: z α/ para o teste bilateral z α para o teste unilateral Profa. Clause Piana 38 9

6//5 Critério de decisão α/ α/ -z α/ µ= z α/ Rejeição de H Não rejeição de H Rejeição de H Fixando o nível de significância α, a hipótese nula será rejeitada se: z > z α/, no teste bilateral; z > z α, no teste unilateral. Profa. Clause Piana 39 z 3 4 5 6 7 8 9,,,4,8,,6,99,39,79,39,359,,398,438,478,57,557,596,636,675,74,754,,793,83,87,9,948,987,6,64,3,4,3,79,7,55,93,33,368,46,443,48,57,4,554,59,68,664,7,736,77,88,844,879,5,95,95,985,9,54,88,33,57,9,4,6,58,9,34,357,389,4,454,486,58,549,7,58,6,64,673,74,734,764,794,83,85,8,88,9,939,967,996,33,35,378,36,333,9,359,386,3,338,364,389,335,334,3365,3389,,343,3438,346,3485,358,353,3554,3577,3599,36,,3643,3665,3686,378,379,3749,377,379,38,383,,3849,3869,3888,397,395,3944,396,398,3997,45,3,43,449,466,48,499,45,43,447,46,477,4,49,47,4,436,45,465,479,49,436,439,5,433,4345,4357,437,438,4394,446,448,449,444,6,445,4463,4474,4484,4495,455,455,455,4535,4545,7,4554,4564,4573,458,459,4599,468,466,465,4633,8,464,4649,4656,4664,467,4678,4686,4693,4699,476,9,473,479,476,473,4738,4744,475,4756,476,4767,,477,4778,4783,4788,4793,4798,483,488,48,487,,48,486,483,4834,4838,484,4846,485,4854,4857,,486,4864,4868,487,4875,4878,488,4884,4887,489,3,4893,4896,4898,49,494,496,499,49,493,496,4,498,49,49,495,497,499,493,493,4934,4936,5,4938,494,494,4943,4945,4946,4948,4949,495,495,6,4953,4955,4956,4957,4959,496,496,496,4963,4964,7,4965,4966,4967,4968,4969,497,497,497,4973,4974,8,4974,4975,4976,4977,4977,4978,4979,4979,498,498,9,498,498,498,4983,4984,4984,4985,4985,4986,4986 3,,4987,4987,4987,4988,4988,4989,4989,4989,499,499 3,,499,499,499,499,499,499,499,499,4993,4993 3,,4993,4993,4994,4994,4994,4994,4994,4995,4995,4995 3,3,4995,4995,4995,4996,4996,4996,4996,4996,4996,4997 3,4,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4998 3,5,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998 3,6,4998,4998,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999 3,7,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999 3,8,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999 3,9,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5

6//5 Exemplo resolvido: As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 7 anos é de,6. Teste esta hipótese ao nível de 5% de significância, considerando que em nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 53 sobreviventes até os 7 anos. Resolução: H : Amostra grande π= Hipóteses estatísticas: H :, A π 6, 6 Sendo p =,53 e π =,6, temos: p π,53,6 z= = = 4,5 π( π ),6(,6) n Como α =,5, então, z α/ =,96. np > 5 e n(-p) > 5 53 > 5 e 47 > 5 Sendo o z calculado maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese de nulidade. Concluímos, ao nível de 5% de significância, que a taxa de nascidos que sobrevivem até os 7 anos é menor do que 6%. Teste para a comparação de duas proporções (π e π ) A aproximação da distribuição normal também pode ser usada para testar hipóteses sobre diferenças entre proporções de duas populações. Hipóteses estatísticas Nesse caso, as hipóteses a serem testadas são: H H A : π = π : π π π > π π < π Bilateral Unilateral direita Unilateral esquerda Profa. Clause Piana 4

6//5 Parâmetro θ= π -π (diferença entre as proporções populacionais) Estimador θˆ = P -P (diferença entre as proporções amostrais) A distribuição do estimador se aproxima da normal: µ P P P P P -P ~ N(, σ ) onde: µ = π π P P Assim, utilizamos a variável Z para testar H : ( ) π( π ) π( π ) σp P = + n n P P µ P P Padronizando P -P Z= σp P ( P P ) ( π π) Z= π( π ) π( π ) + n n Profa. Clause Piana 43 Estatística do teste Sob H π = π : verdadeira, temos Z= P P π( π ) π( π ) + n n Como os valores de π e π não são conhecidos, devemos utilizar seus estimadores P e P. Assim, o valor de Z é: Z= P P P( P) P ( P ) + n n Valor que deve ser calculado na amostra Profa. Clause Piana 44

6//5 A decisão sobre H é baseada nos valores críticos, encontrados na tabela da distribuição normal padrão: z α/ para o teste bilateral z α para o teste unilateral α/ α/ -z α/ µ= z α/ Rejeição de H Não rejeição de H Rejeição de H Fixando o nível de significância α, a hipótese nula será rejeitada se: z > z α/, no teste bilateral; z > z α, no teste unilateral. Exemplo resolvido: Em uma pesquisa de opinião, 3 entre 8 homens declararam apreciar certa revista, acontecendo o mesmo com 6 entre 5 mulheres. Ao nível de 5% de significância os homens e as mulheres apreciam igualmente a revista? Resolução: Hipóteses estatísticas: H H : π = π : π π A Sendo p = 3/8 =,4 e p = 6/5 =,5, temos: p p,4,5 z= = =,34 p ( p ) p ( p ),4,6,5,48 + + n n 8 5 Como α =,5, então, z α/ =,96. np >5 e n(-p )>5 3 > 5 e 48 > 5 Amostra grande np >5 e n(-p )>5 6 > 5 e 4 > 5 Sendo o z calculado menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as preferências de homens e mulheres. Concluímos, ao nível de 5% de significância, que não há diferença significativa entre as preferências de homens e mulheres quanto à revista. 3

6//5 Estatística do teste Comparação de uma proporção (π) com um padrão (π ) Z= P π π( π ) n ~ N (, ) Comparação de proporções de duas populações (π e π ) Z= P P P( P) P ( P ) + n n ~ N (, ) Bibliografia BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva. 6. 56p. FERREIRA, D.F. Estatística Básica. Lavras: Editora UFLA, 5, 664p. MLODINOW, L. O andar do bêbado. Como o acaso determina nossas vidas. Rio de Janeiro: Editora Zahar, 9, 64p. SILVEIRA JÚNIOR, P., MACHADO, A.A., ZONTA, E.P., SILVA, J.B. da Curso de Estatística v., Pelotas: Universidade Federal de Pelotas, 989. 35p. Sistema Galileu de Educação Estatística. Disponível em: http://www.galileu.esalq.usp.br/topico.html 4