Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 2009
2008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemática. 2. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 Batel 80730-200 Curitiba PR www.iesde.com.br
Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.
Sumário Contagem 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem 11 2. O sistema de numeração decimal 13 Adição e subtração 17 1. A adição 17 2. A subtração 18 Multiplicação e divisão 21 1. A multiplicação 21 2. A divisão 23 Frações (I) 25 1. As frações 25 2. Resolução de problemas com frações 28 3. Frações próprias e impróprias 30 4. Simplificação de frações 31 Frações (II) 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes 37 4. Multiplicação com frações 40 5. Divisão com frações 41 Potenciação 43 1. Potenciação 43
Epressões numéricas 47 1. Introdução 47 2. Regras para a resolução de epressões numéricas 47 Geometria (I) 53 1. Polígono 53 2. Ângulos 55 3. Triângulo 55 4. Quadrilátero 56 5. Perímetro de um polígono 57 6. Medida do comprimento da circunferência 62 Geometria (II) 65 1. Unidade de área 65 2. Áreas de figuras planas 66 3. Volumes 70 Razão e proporção 75 1. Razão 75 2. Proporção 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 85 1. Grandezas diretamente proporcionais 85 2. Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 95 1. Proporcionalidade composta 95 2. Regra de três composta 97
Porcentagem e juro 105 1. Porcentagem 105 2. Juro 111 Equações do 1. o grau 117 1. Introdução 117 Equações do 2. o grau 125 1. Noção de equação do 2. o grau 125 2. Forma geral 125 3. Solução de uma equação do 2. o grau 127 4. Resolução de problemas do 2. o grau 137 5. Problemas que envolvem equações do 2. o grau 138 Sistemas lineares 2 2 143 1. Introdução 143 2. Sistema de equações lineares 2 2 144 3. Solução de um sistema linear 2 2: método gráfico 144 4. Solução de um sistema linear 2 2: método da substituição 146 5. Solução de um sistema linear 2 2: método da comparação 151 6. Solução de um sistema linear 2 2: método da adição 153 Radiciação 159 1. Introdução 159 2. Quadrados perfeitos 160 3. Raiz quadrada 161 Gráfico e função 163 1. Plano cartesiano 163 2. Função afim 164 3. Função quadrática 168
Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas heagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por eemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que eecuta operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e eecutando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 1. Grandezas diretamente proporcionais Vamos considerar o seguinte problema: Daniela foi ao armazém comprar 1 litro de leite e pagou R$3,00. 1. Quanto pagaria se comprasse 2 litros? Pagaria 2 R$3,00 = R$6,00. 2. E se Daniela comprasse 3 litros? Pagaria 3 R$3,00 = R$9,00. Observe então: Quantidade Preço 1 litro R$3,00 2 litros R$6,00 3 litros R$9,00 4 litros R$12,00 5 litros R$15,00
86 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Perceba que o que ocorre com o valor da capacidade ocorre também com o preço. Assim, podemos estabelecer as seguintes igualdades: 1 2 = R$3,00 R$6,00 2 3 = R$6,00 R$9,00 1 3 = R$3,00 R$9,00 etc. Note que a razão entre dois valores quaisquer da primeira (quantidade) é igual à razão entre os dois termos correspondentes da segunda (preço). Assim, dizemos que no eemplo da compra de leite por Daniela, as duas grandezas quantidade e preço são diretamente proporcionais. Definição: duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os dois valores da primeira é igual à razão entre os dois valores correspondentes da segunda. As grandezas envolvidas na compra de Daniela são diretamente proporcionais, ou seja, se a quantidade comprada por Daniela aumenta, o preço final também aumenta. Da mesma forma, se a quantidade comprada por Daniela diminui, o preço também diminui. 1.1 Regra de três simples direta A resolução de problemas que envolvem duas grandezas diretamente proporcionais é feita com o auílio de uma regra chamada regra de três simples direta. Vejamos alguns casos: a) O preço de 5m de um determinado tecido é R$120,00. Qual é o preço de 8m do mesmo tecido? Comprimento 5m 8m Preço R$120,00 Neste caso, comprimento e preço são grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 87 Então, 5m 8m = 120 5. = 8. 120 5 8 = 120 5 = 960 = 960 5 = 192 Resposta: O preço de 8m de tecido é R$192,00. b) Um carro percorreu 240km em 3h20min. Nas mesmas condições, em quanto tempo esse carro percorrerá 300km? 3h20min = 3 60min + 20min = 200min Distância 240km 300km Tempo 200min Então, 240km 300km = 200min 240. = 300. 200 240 300 = 200 240 = 300. 200 = 60 000 240 = 250min Transformando 250min, temos aproimadamente 4h10min. Resposta: O carro percorrerá 300km em 4h10min.
88 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 2. Grandezas inversamente proporcionais Vamos considerar o seguinte problema: Um operário faz um serviço em 6 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria feito por dois operários? Seria feito em 3 horas, ou seja, na metade do tempo gasto por um operário. E por três operários? Seria feito em 2 horas, ou seja, na terça parte do tempo gasto por um operário. Pois bem, agora observe: Operário Tempo 1 6h 2 3h 3 2h Perceba que o que ocorre com o número de operários ocorre de maneira inversa com o tempo. Se o número de operários aumenta, o tempo para realizar o serviço diminui. Portanto, operário e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Neste caso, podem-se estabelecer as seguintes igualdades: 1 operário 3h 1 operário 2h 2 operários 2h = = = 2 operários 6h 3 operários 6h 3 operários 3h Definição: duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão inversa dos dois valores da segunda. 2.1 Regra de três simples inversa Os problemas que envolvem duas grandezas inversamente proporcionais são resolvidos com o auílio de uma regra chamada regra de três simples inversa.
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 89 Acompanhe a resolução de alguns problemas: a) Um automóvel, com velocidade de 80km/h percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse trajeto seria percorrido, se o carro estivesse com a velocidade de 64km/h? Velocidade 80km/h 64km/h Tempo 4h Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Note que se a velocidade diminui, o tempo aumenta. 80km/h 64km/h = 4h 64. = 80. 4 64 = 320 = 32 0 64 = 5 80 64 = 4 Resposta: O automóvel percorrerá o trajeto em 5 horas. b) Uma turma de 40 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local do acampamento, encontraram mais 10 alunos. Quantos dias durarão os alimentos com a nova turma? Alunos Tempo 40 10 dias 40 + 10 = 50 X Aluno e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Se o número de alunos aumenta o tempo que os alimentos vão durar diminui.
90 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 40 alunos 50 alunos = 10 dias 40 50 = 10 50. = 40. 10 50 = 400 = 400 50 = 8 Resposta: Os alimentos vão durar apenas 8 dias. 2.1.1 Aplicando a regra de três em medidas agrárias Para medirmos a área de sítios, fazendas, chácaras e terrenos em geral, usa-se unidade de medida de área chamada hectares (ha), are (a) e centiare (ca). Para convertermos as unidades agrárias para o metro quadrado e vice-versa, precisamos saber que: 1ca = 1m 2 1a = 100m 2 1ha = 10 000m 2 Eemplos: a) Temos uma chácara medindo 2,5ha. Qual é a sua área em metros quadrados? ha m 2 1 10 000 2,5 Aplicando regra de três, temos: 1 2,5 = 10 000 = 25 000m 2 =2,5. 10 000
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 91 b) Temos uma fazenda medindo 65 000m 2 de área. Qual é a sua área em hectares? ha m 2 1 10 000 65 000 Aplicando regra de três, temos: Eercícios 1 = 10 000 = 10 000 =65 000 65 000 65 000 10 000 = 6,5ha 1. Resolva o eercício a seguir: Observe as tabelas a seguir e conclua se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. A seguir, complete as frases e as respectivas proporções com os valores indicados nas tabelas: a) Grandeza X Grandeza Y 12 4 15 5 18 6 As grandezas X e Y são proporcionais, pois: 12 = 4 5 18 = 4 6 e 15 18 = 6
92 Matemática Elementar I Caderno de Atividades b) Grandeza A Grandeza B 2 30 5 12 6 10 As grandezas A e B são proporcionais, pois: 2 5 = 30 2 6 = 10 e = 10 6 12 2. Resolva os seguintes problemas: a) Um tecido tem 15m de comprimento e custa R$450,00. Qual é o preço de 75m desse mesmo tecido? b) Uma indústria gastou 600m de um determinado tecido para fazer 200 uniformes. Quantos metros desse tecido serão gastos para fazer 700 uniformes? c) Uma indústria empregou 38kg de plástico para fabricar 300 carrinhos de brinquedo. Quantos carrinhos idênticos serão fabricados com 57kg de plástico?
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 93 d) Um automóvel, com velocidade de 90km/h, demora 6h para ir de uma cidade a outra. Com que velocidade deverá retornar para percorrer o mesmo trajeto em um prazo de 4h? e) Uma casa é construída em 2 meses por 10 pedreiros. Em quantos dias a mesma casa seria construída por 15 pedreiros? f) Um carro, com velocidade de 45km/h, leva 3h20min para percorrer uma determinada distância. Em quanto tempo fará esse mesmo percurso com a velocidade de 72km/h? g) Um jardineiro eperiente tem de semear um campo de futebol medindo 64m de largura por 90m de comprimento. Quantos quilos de semente ele vai precisar, sabendo que um quilo é suficiente para 16m 2?
94 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações
Gabarito Gabarito Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 1. a) diretamente 12 15 = 4 5 12 18 = 4 6 e 15 18 = 5 6 b) inversamente 2 5 = 12 30 2 6 = 10 30 e 5 6 = 10 12 2. a) Tecido 15m 75m Preço R$450,00 Quantidade de tecido e preço são grandezas diretamente proporcionais. 15m 75m = 450 15. = 33 750 15 = 33 750 33 750 = 15 = 2 250 Resposta: 75m de tecido custam R$2.250,00. b) Tecido Uniformes 600m 200 700 Quantidade de tecido e quantidade de uniformes são grandezas diretamente proporcionais. 600m = 200 700 = 2 100m 200. = 42 0000 Resposta: a indústria necessitará de 2 100m.
Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) Plástico Carrinhos de brinquedo 38kg 300 57kg Quantidade de plástico e quantidade de carrinhos de brinquedo são grandezas diretamente proporcionais. 38kg 57kg = 300 38. = 17 100 = 450 Resposta: a indústria fabricará 450 carrinhos. d) Velocidade 90km Tempo 6h 4h Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Então: 90 = 4 6 4 = 540 = 540 4 4. = 90.6 =135 Resposta: o automóvel deverá retornar com velocidade de 135km/h. e) Pedreiros Tempo 10 60 dias 15 O número de pedreiros e o tempo são grandezas inversamente proporcionais. Então: 10 15 = 60 15 = 600 = 600 15 15. = 600 =40 Resposta: 15 pedreiros irão demorar apenas 40 dias.
Gabarito f) 3h20min = 3 60min + 20min = 200min Velocidade 45km/h 72km/h Tempo 200min Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Então: 45 72 = 200 = 125 min 72. = 9 000 125 min 2h8m in Resposta: fará o percurso em 2h8min. g) Calculando a área total do campo de futebol: A = 64 90 A = 5760m 2 Quantidade Área 1kg 16m 2 5760m 2 Quantidade e área são grandezas diretamente proporcionais. Então: 1 = 16 5760 16. = 1. 5760 16 = 5760 = 5760 16 = 360kg Resposta: o jardineiro vai precisar de 360kg de sementes.
Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações