Séries de Termos Não-Negativos

Séries de Termos Não-Negativos Em geral não é possível calcular explicitamente a soma duma série. O que podemos fazer é perceber se ela converge ou diverge e neste último caso, calcular aproximadamente o valor da sua soma. Começamos por estudar séries de termos não-negativos, que são séries a em que a 0. A vantagem destas séries é a seguinte: Teorema : Uma série de termos não negativos converge sempre em R = R {,+ }: () Se existir uma constante M tal que S n = a + + a n M então a série a converge e tem soma menor ou igual a M. () Caso contrário, a série tem soma +. Demonstração. Como S n S n = a n 0, asucessãos n é crescente. O teorema é então uma consequência imediata do seguinte resultado sobre sucessões: Teorema : Uma sucessão S n crescente converge sempre em R: () Se existir uma constante M tal que S n M então a sucessão S n converge e tem limite menor ou igual a M. () Caso contrário, lims n = +. Demonstração. Esta é outra versão do teorema que nos diz que uma função monótona tem limites laterais em qualquer ponto, sendo a demonstração completamente análoga. O limite de S n é igual ao supremo, sendo este finito ou infinito consoante a sucessão é ou não majorada. Os diversos critérios de convergência que passamos agora a estudar são técnicas específicas criadas para determinar a natureza de séries de termos não negativos.. Critério integral É geralmente mais fácil calcular um integral do que calcular a soma duma série. Frequentemente podemos usar integrais impróprios para determinar a natureza duma série. Começamos com dois exemplos: Exemplo. Já vimos que a série harmónica diverge. Apresentamos agora outro argumento, de natureza geométrica, comparando a série com a área por baixo do gráfico de f(x) = x. Observemos a figura:

4 3 4 5 Figura. Relação entre e x dx Calculando as áreas dos rectângulos vemos que + + 3 + 4 > 5 dx = ln5 x Mas a soma + + 3 + 4 é precisamente a soma parcial S 4 da série. O mesmo argumento permite mostrar que S n = n = > n+ dx = ln(n+). x Tomando o limite quando n vemos que S n + logo a série harmónica é divergente. Repare que S n é a soma de Darboux superior da função f(x) = /x determinada pela partição P = {,,,n+}. Exemplo. Vamos estudar a série comparando-a com a área por baixo do gráfico da função f(x) = x. = 4 9 3 4 Figura. Relação entre / e /x dx É claro geometricamente que, excluindo o primeiro rectângulo, a soma das áreas dos outros três é menor que o integral de f de até 4. Em geral, + 3 + + n ï n < x dx = ò n = x n Concluimos que S n = + + 3 + + n < n

Séries de Termos Não-Negativos 3 Assim, a série converge e a sua soma é menor que. De facto, o matemático suiço Euler conseguiu calcular o valor exacto da soma desta série: o seu valor é π /6 =.645..., mas este é um resultado bastante difícil. A mesma técnica dos exemplos e pode ser aplicada a qualquer série de termo geral a = f(), desde que f seja uma função positiva e decrescente. Recorde que o integral impróprio de f é definido por f(x)dx = lim b b f(x)dx Teorema 3 (Critério integral): Seja f : [, [ R uma função positiva decrescente. Então a série f() e o integral impróprio f(x)dx têm a mesma natureza, ou seja, ou ambos divergem ou ambos convergem. Demonstração. Observando a figura m. n m n Figura 3. Somas superiores e inferiores vemos que n f() é uma soma superior de Darboux de =m n f() é uma soma inferior de Darboux de =m Assim, para qualquer função f decrescente temos n+ n () f(x)dx f() m =m n n+ m n m m f(x)dx, e f(x)dx. f(x)dx Se o limite b f(x)dx = lim f(x)dx existe e é finito, b + n n f() f(x)dx f(x) dx, = portanto a série f() é majorada, logo é convergente.

4 Supondo agora que o integral é divergente, como n+ n f(x) dx f() = S n e n+ f(x)dx +, concluimos pelo teorema dos limites enquadrados que S n + logo a série é divergente. Exemplo 3. No exemplo vimos que n = x dx = n Tomando o limite quando n tende para infinito obtemos dx x = portanto o integral impróprio converge. Como já tínhamos observado no exemplo, a série / também converge. Exemplo 4. Vamos estudar a série = Seja f(x) = / x. f é positiva e decrescente em [,+ [. Calculando o integral, + f(x)dx = lim b b x dx = lim b [ x ] b = + portanto o integral impróprio é divergente. Concluimos que a série é também divergente. As séries da forma / p dizem-se séries de Dirichlet. Generalizando os dois últimos exemplos temos o Teorema 4: A série de Dirichlet = p é convergente quando p > e divergente quando p. Demonstração. Para p = temos a série harmónica que diverge. Para p temos ï x pò b Å b p ã dx = lim = lim xp b p b p Agora basta recordar que b p converge para + quando p > 0 e converge para zero quando p < 0. Assim, x p dx = p se p > + se p < Segue-se do teorema 3 que a série de Dirichlet é convergente quando p > e divergente quando p <

Séries de Termos Não-Negativos 5 A função f não precisa de ser decrescente em todo o seu domínio. Como a natureza duma série não depende dum número finito dos termos da série, é suficiente que f seja decrescente num intervalo [ N, + [. Exemplo 5. Considere-se a série e /. A função dada por f(x) = xe x/ é decrescente para x e temos b xe x/ dx = (x+)e x/ b Concluímos que a série em questão é convergente.. Cálculo aproximado duma série 6e /. Podemos calcular aproximadamente a soma S duma série somando os primeiros n termos, ou seja, aproximando S pela soma parcial S n : n a a = a +a + +a n = = Definição 5: Chamamos resto duma série convergente a à diferença n R n = S S n = a a = = = =n+ a Assim, o resto R n duma série mede o erro cometido ao aproximar a série pelos primeiros n termos. Exemplo 6. Já observámos que uma dízima infinita pode ser intepretada como uma série: a a 0.a a a 3... = 0 Então as somas parciais são dadas por e o resto é S n = a 0.a...a n = n R n = 0.0...0 }{{} a n+ a n+... = n vezes a 0 =n+ a 0 Exemplo 7. O resto duma série geométrica ar (com r < ) pode ser calculado explicitamente pois Assim, S n = a rn+ r R n = arn+ r e S = a r

6 É útil ter presente que, como R n = S S n e S n S, Teorema 6: Seja a uma série convergente com resto R n. Então lim R n = 0 n + A ideia subjacente ao critério integral permite também obter estimativas para o resto R n da série: Teorema 7: Seja f : [,+ [ uma função positiva e decrescente tal que o integral impróprio f(x)dx é convergente e seja R n = f() o resto da série f(). Então n+ =n+ f(x)dx R n n f(x)dx Demonstração. Basta tomar o limite quando n na equação (). Exemplo 8. Consideremos a série 3. Quantos termos temos que somar para = obter uma aproximção com um erro inferior a 0.0? Sabemos que R n < n x 3 dx = n Queremos garantir que n < 0.0. Resolvendo a inequação obtemos n > 0.0 = 00 = 4... Assim, n > 4. logo devemos somar pelo menos 5 termos. Portanto 3 + 3 + + 5 3 =.9997... = com um erro inferior a 0.0. Exemplo 9. Consideremos agora a série de Dirichlet com p = : n S =, S n = = = Então n+ x dx = n+ < R n < n x dx = n Calculando os integrais e escrevendo R n = S S n vemos que n+ < S S n < n logo S n + n+ < S < S n + n

Séries de Termos Não-Negativos 7 Mostramos a seguir as aproximações com n = 00 e com n = 000: n = 00.64488489... < S <.64498390... n = 000.64493357... < S <.64493457... Recorde que o valor exacto da soma é S = π 6 =.64493407... 3. Critério da comparação Recordemos o comportamento das séries de Dirichlet / p : para p > elas convergem e para p elas divergem. Este resultado tem uma interpretação geométrica simples. Observemos a figura: / x /x /x 5 0 Figura 4. Funções = x, x e x Para x, quanto maior o valor de p, menor é a função f(x) = x, portanto p menor vai ser o valor da soma p. Usando esta observação podemos dar uma = nova demonstração da divergência das séries de Dirichlet com p < : estas séries têm termos maiores que os da série harmónica que diverge, logo p = + = Assimasérie tambémdiverge. Podemosfacilmentegeneralizaresteraciocínio: p é intuitivamente evidente que, se a b, então a = a +a + +a n + b +b + +b n + = b, = Se a soma da série à direita for finita, é-o também a soma da série à esquerda, e se a soma da série à esquerda for infinita, é-o também a soma da série à direita. É esse o conteúdo do próximo teorema: Teorema 8 (Critério da comparação): Sejam (a ) e (b ) duas sucessões tais que 0 a b para todo o. =

8 Se b converge então a também converge e a = = Se a diverge então b também diverge. b Demonstração. Se b converge com soma S, então a + +a n b + +b n S Daqui segue que a série a é majorada logo converge. Mais, como as somas parciais de a são majoradas por S, a S. = Concluimos também que se a diverge, b não pode convergir (se convergisse, a também convergiria). Exemplo 0. Consideremos a série + = Como + >, <. Aplicando o critério da comparação, a série + convergepoiséumasériegeométricaderazão <, logo também converge + com soma = + < = = Exemplo. Como + > e a série harmónica diverge, concluimos que a série + também diverge. Exemplo. Como já referimos, uma dízima infinita a 0.a a a 3 a 4 a 5... pode ser escrita como uma série a 0 com 0 a 9 para > 0. Mas então a 9. A série 9 é uma série 0 0 0 geométrica de razão 0 logo converge. Concluimos que a série a também 0 converge com soma a 0 a 0 + = 9 0 = a 0 + O critério da comparação também nos permite estimar o erro cometido ao aproximar a soma duma série por uma soma parcial. Para tal basta observar que, se a b então R n = S S n = a n+ +a n+ +a n+3 + b n+ +b n+ +b n+3 +

Séries de Termos Não-Negativos 9 Exemplo 3. Voltemos ao exemplo da série R n = =n+ + < =n+ = +. Como + <, = n+ = n Assim, se quisermos um erro inferior a 0.0, basta que < 0.0, ou seja, que n n > 00. Como 7 = 8, basta somar 7 termos. Portanto + + 6 + + 0 + 37 + 70 + 35 = 0.6896... = com um erro inferior a 0.0. Exemplo 4. Consideremos a série! = Como /(!) < /!, e sabemos que a série /! = e converge, o critério da comparação diz-nos que /(!) também converge. Qual o erro cometido ao aproximar a soma desta série pelos primeiros 0 termos? Temos = R 0 =! = 0 =! <! =.47499... = 0! = e! Esta última soma pode ser estimada usando a fórmula de Lagrange do erro: 0 e x x! = f() (c) x = ec ()! ()! x com c entre 0 e x. Tomando x = temos! = ec! = 4. Critério do Limite < e! < 3! = 0.000000075... Como a natureza duma série não depende dum número finito dos termos da série, para usar o critério da comparação basta verificar que a b para suficientemente grande. No entanto esta verificação é muitas vezes difícil de fazer directamente. Vamos ver que a verificação destas desigualdades pode ser substituída pelo cálculo do limite da razão a b, se esse limite existir.

0 Recordequeduassucessões(a n )e(b n )determosnãonegativos têmamesmaordem de magnitude se a n lim = n b n Escrevemos então a n b n. Exemplo 5. As sucessões a n = n +3n+4 e b n = n têm a mesma ordem de magnitude pois a n = n +3n+4 b n n = + 3 n + 4 n Teorema 9 (Critério do Limite): Se a b então as séries de termos não negativos a e b são da mesma natureza: ou ambas convergem ou ambas divergem. Demonstração. Como a b, suficientemente grande. Assim, a b está arbitrariamente próximo de para < a b < para 0 logo b < a < b para 0 Basta agora aplicar o critério da comparação a estas desigualdades. O argumento anterior pode ser adaptado para mostrar que: Teorema 0: Sejam a,b sucessões de termos positivos. Se lim a b = 0 e a série b converge então a converge; Se lim a b = + e a série a converge então b converge. Deixamos a demonstração como exercício. O critério do limite requer a utilização para comparação de séries cuja natureza seja conhecida, por exemplo, séries geométricas ou séries de Dirichlet. Recorde que A série /! converge; A série geométrica ar converge se r < e diverge se r ; A série de Dirichlet / p converge se p > e diverge se p. Recorde também que para mostrar que a n b n basta escrever a n na forma a n = b n c n em que c n.

Séries de Termos Não-Negativos Exemplo 6. Consideremos a série = Começamos por observar que Å +3 = + 3 ã Assim, +3 5 + = 5 +3 5 + e + 3» + 5 A série é uma série de Dirichlet com p = 5 + = 5 5 = + 5 logo diverge. Assim, a série também diverge. = +3 5 + Para calcular ordens de magnitude é útil ter presente os seguintes limites que recordamos aqui: lim n lim n lnn = 0 (p > 0) np a n n! lim n = 0 (a > 0) lim n n p = 0 (a,p > 0) an n! n n = 0 Exemplo 7. Consideremos a série + 3 + Como /3 0, = + = ( +/ ) e 3 + = 3 ( +/3 ) 3 Assim, + 3 + = 3 +/ +/3 3 é uma série geométrica convergente pois a sua razão é 3 3 que a série + 3 + também converge. = <. Concluimos

Séries alternadas e convergência absoluta Os critérios que vimos na última secção só funcionam para séries de termos não negativos. Vamos agora ver como lidar com séries com termos sem sinal fixo. 5. Séries alternadas É muito frequente nas aplicações encontrar séries da forma a a +a 3 a 4 +a 5 a 6 + com a 0. Exemplos que já vimos são cosx = x + x4 4! x6 6! + senx = x x3 3! + x5 5! x7 + (se x > 0) 7! Definição (Séries alternadas): Chamamos série alternada a uma série da forma ( ) + a = a a +a 3 a 4 +a 5 a 6 + ( ) com a 0 para todo o. Exemplo 8. Chamamos série harmónica alternada à série: ( ) + = + 3 4 + 5 + ( ) 6 Se a sucessão (a ) é decrescente é muito fácil estabelecer a natureza da série: Teorema (Critério de Leibnitz): Seja ( ) + a ( ) uma série alternada tal que (a ) é uma sucessão decrescente a 0 Então a série converge. Demonstração. Observemos a figura

Séries alternadas e convergência absoluta 3 a 6 a 5 a 4 a 3 a a.0 S S 4 S 6 S 5 S 3 S Vamos mostrar que Figura 5. Somas parciais duma série alternada S S 4 S 6 S n S n+ S 5 S 3 S A sucessão das somas parciais pares S = a a, S 4 = a a +a 3 a 4, S 6 = a a +a 3 a 4 +a 5 a 6,... é uma sucessão crescente porque, como (a ) é uma sucessão decrescente, S n+ = S n +a n+ a n+ S n pois a n+ a n+ 0 Analogamente a sucessão das somas parciais ímpares S,S 3,S 5,... é decrescente. Também sabemos que S n+ = S n +a n+ S n pelo que S S 4 S 6 S n S n+ S 5 S 3 S Assim a sucessão (S n ) das somas pares é crescente e majorada logo tem limite. Vamos chamar S a esse limite: lims n = S. Então, como a n 0, lims n+ = lim ( S n +a n+ ) = limsn +lima n+ = S +0 = S Concluimos que S n S pois S n vai estar arbitrariamente próximo de S para qualquer n suficientemente grande (para n par porque S n S e para n ímpar porque S n+ S). Portanto S é a soma da série. Exemplo 9. Vamos considerar de novo a série harmónica alternada: ( ) + = + 3 4 + Neste caso, a =. Como a é uma sucessão decrescente a 0 concluimos que a série ( ) + converge. O leitor pode consultar as notas Sucesses (para quem quer saber mais) para uma justificação mais completa.

4 Se a é decrescente é bastante simples estimar o erro R n da aproximação da soma da série por somas parciais S n : Teorema 3: Seja ( ) + a uma série alternada tal que (a ) é uma sucessão decrescente a 0 e seja S a soma da série. Então R n = S S n a n+ Demonstração. Como S n é crescente, S n+ é decrescente, e ambas convergem para S, necessariamente S n S S n+ Assim, S está entre quaisquer duas somas parciais consecutivas logo Exemplo 0. Sabemos que S S n S n+ S n = a n+ e x = +x+ x + x3 3! + x4 4! + Substituindo x = 0. obtemos uma série alternada: Assim com um erro inferior a e 0. = 0.+ 0. 0.3 + 0.4 + 3! 4! e 0. 0.+ 0. 0.3 3! = 0.+0.005 0.000666... Erro < 0.4 4! = 0.9048333... = 0.000 4 O valor exacto é e 0. = 0.9048374... = 0.000004666... Observação: Atenção! Esta regra só é válida para séries alternadas! 6. Séries absolutamente convergentes Dada qualquer série a, a série dos módulos a é uma série de termos não negativos à qual podem ser aplicados todos os critérios que vimos na secção. A natureza das séries a e a está relacionada pelo resultado seguinte:

Séries alternadas e convergência absoluta 5 Teorema 4: Se a série a converge então a série a também converge e a a. = = Demonstração. O truque é escrever a série a como uma diferença de séries de termos positivos usando o facto que a + a é sempre positivo: a = ( a + a ) a a converge por hipótese, e como a + a a, ( a + a ) também converge pelo critério da comparação. Assim, a é a diferença entre duas séries convergentes, logo é convergente. Relativamente à sua soma, a + +a n a + + a n pelo que tomando o limite quando n obtemos a a. Exemplo. Vamos verificar que a série = cos = é convergente. Repare que não se trata duma série alternada: = cos = cos+ cos + cos3 3 + cos4 4 + cos5 5 + = = 0.54... 0.0... 0... 0.04...+0.0...+ Só precisamos de mostrar que a série dos módulos cos = cos = 0.54...+0.0...+0...+0.04...+0.0...+ = = converge. Como esta é uma série de termos positivos, podemos usar o critério da comparação: Como cos, cos A série é uma série de Dirichlet com p = logo converge, portanto cos também converge. Como a série dos módulos converge, cos também converge com soma = cos < =

6 Exemplo. Vimos na última secção que ( ) + = + 3 4 + 5 + converge mas 6 = + + 3 + 4 + 5 + + diverge 6 Portanto uma série pode convergir sem que a série dos módulos convirja. Usaremos sistematicamente a seguinte terminologia: Definição 5: Uma série a diz-se absolutamente convergente se a série dos módulos a for convergente. simplesmente convergente se for convergente mas a série dos módulos a for divergente. Exemplo 3. A série ( ) é absolutamente convergente pois a série ( ) = é convergente (é uma série de Dirichlet com p = ). Exemplo 4. A série ( ) é simplesmente convergente: É uma série convergente pois é uma série alternada e é uma sucessão decrescente que converge para zero. A série dos módulos ( ) = é divergente pois é uma série de Dirichlet com p =. Exemplo 5. A série geométrica de razão r, ar, é divergente para r. Para r < asérieéabsolutamente convergente pois asérie dos módulos ar = a r é também uma série geométrica de razão r. 7. Reordenação Começamos com um exemplo: seja s a soma da séria harmónica alternada: ( ) + s = = + 3 4 + 5 6 + Então Somando, s = = ( ) + = 4 + 6 8 + 0 + =

Séries alternadas e convergência absoluta 7 s + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 + + s + 4 + 6 8 + 0 = 3 s + 3 + 5 + 7 4 + 9 + 6 Agora repare que se rearranjarmos os termos, 3 s = s! 3 s = + 3 + 5 + 7 4 + 9 + 6 + = + 3 4 + 5 6 + 7 + = s Este exemplo mostra que rearranjar os termos duma série pode alterar o resultado da soma! Isto nunca acontece com séries absolutamente convergentes: Teorema 6: Qualquer série obtida por reordenação dos termos de uma série absolutamente convergente é também absolutamente convergente, com soma igual à soma da série original. Demonstração. Primeiro observamos que, como ( a = a + a ) a = = basta provar o resultado para séries de termos positivos. Ilustramos a demonstração com um exemplo. A demonstração no caso geral é completamente análoga. Vamos considerar a série () = = a = + 3 + + 5 + 7 + 4 + 9 + + 6 + obtida por reordenamento da série de Dirichlet. Representamos por S n as somas parciais da série de Dirichlet e por S a soma da série de Dirichlet. Então cada soma parcial da série a na equação () é majorada por uma soma parcial da série de Dirichlet. Por exemplo: 6 a = + 3 + + 5 + 7 + 4 = 9 = + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = S 7 S a = + 3 + + 5 + 7 + 4 + 9 + + 6 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + = S S Como todas as somas parciais de a são menores que S concluimos que a S =

8 Mas o mesmo argumento pode ser usado ao contrário: as somas parciais da série de Dirichlet são majoradas por somas parciais da série a. Por exemplo: S 4 = + + 3 + 4 + 3 + + 5 + 7 + 4 = 6 = a o que mostra que S S 6 = + + 3 + 4 + 5 + 6 + 3 + + 5 + 7 + 4 + 9 + + 6 = a. Concluimos que = S = = a 9 = a Para séries simplesmente convergentes temos o seguinte resultado surpreendente: Teorema 7 (Riemann): Seja a umasériesimplesmenteconvergente. Então paraqualquerβ Rexistemsériesobtidasporreordenaçãode a comsomaigual a β. Demonstração. Vamos apenas dar a ideia da demonstração num exemplo particular. Consideramos a série harmónica alternada e vamos mostrar com podemos reordená-la de modo à sua soma ser π =.570796... Começamos por observar que as séries + 3 + 5 + 7 + 9 + e + 4 + 6 + 8 + 0 + ambas divergem (porque a sua diferença converge e a sua soma diverge). Representamos por S n as somas parciais da série reordenada. Começamos por somar termos positivos até obter um resultado maior que π : S 3 = + 3 + 5 =.533... < π/ S 4 = + 3 + 5 + 7 =.676... > π Assim, S 3 < π/ < S 4 logo S 4 π/ < /7. Vamos agora somar termos negativos até obter um resultado inferior a π : S 5 = + 3 + 5 + 7 =.76... < π Repare que temos agora π/ S 5 < /. Continuamos somando termos positivos até o resultado ser superior a π/ e assim sucessivamente: S 0 = S 5 + 9 + + 3 + 5 + 7 =.580... > π S 0 π < 7 S = S 0 4 =.330... < π π S < 4 S 7 = S + 9 + + 3 + 5 + 7 + 9 =.585... > π S 7 π < 9 S 8 = S 7 6 =.49... < π π S 8 < 6

Séries alternadas e convergência absoluta 9 Repare que podemos tornar a diferença S π/ arbitrariamente pequena somando um número suficientemente grande de termos. Assim, S π/ como pretendíamos. 8. Os critérios da razão e da raiz Os critérios da razão e da raiz são critérios baseados na comparação duma série a com uma série geométrica. Se a for uma série geométrica, a sua razão é o quociente L = a + /a que é independente de. Se a não for geométrica, o quociente a + /a vai depender de. No entanto, temos o Teorema 8: Seja a uma série tal que, qualquer que seja o, a + a r para uma constante r < independente de. Então a é absolutamente convergente com soma a a 0 r Demonstração. Aideiaécompararasériecomasériegeométrica a 0 r. Para tal observamos que, como a /a r, e é simples estabelecer por indução que: a r a r a r 3 a 3 a r a 0 Como r < a série geométrica a 0 r converge. Pelo critério da comparação, a série a também converge e a a a 0 r = a 0 r Intuitivamente, se o limite L = lima + /a existir, a série a comporta-se como uma série geométrica de razão L para 0. Este é o conteúdo do critério da razão, também dito critério de d Alembert: Teorema 9 (Critério da Razão (d Alembert)): Seja a uma série tal que lim a + a = L R. Então: (a) se L < a série a é absolutamente convergente. (b) se L > ou se L = + a série a é divergente. (c) se L = o teste é inconclusivo.

0 Demonstração. Suponhamos que L > ou L = +. Então a + a para qualquer 0. portanto a + a para qualquer 0. Mas então a sucessão a não pode convergir para zero portanto a série a diverge. Suponhamos agora que L <. Se escolhermos um r tal que L < r <, então, para qualquer suficientemente grande, a + a < r Como a natureza duma série não depende do valor dum número finito de termos, podemos aplicar o teorema 8 e concluir que a série a converge absolutamente. Exemplo 6. Consideremos a série = ( ).! Fazendo a = ( )!, atendendo a que ( +)!+!( +) temos então ( ) + a + a = ( +)! ( ) = +! ( +)! = +! Portanto lim a + a = 0 <. Concluímos pelo Critério da Razão que a série ( )! é convergente. Exemplo 7. O critério da razão nada diz quando L =. Por exemplo, para a série harmónica temos a + a = + e a série é divergente. para a série temos a + a = (+) e a série é convergente. Um critério semelhante é o chamado critério da raiz. Se L = lim a então, para 0, a L logo a L. Ou seja, a comporta-se como uma série geométrica de razão L. Teorema 0 (Critério da Raiz): Seja a uma série tal que Então: lim» a = L R. (a) se L < a série a é absolutamente convergente. (b) se L > ou L = + a série a é divergente. (c) se L = o teste é inconclusivo.

Séries de potências Demonstração. Suponhamos que L > ou L = +. Então» a para qualquer 0 portanto a para qualquer 0. Mas então a sucessão a não pode convergir para zero portanto a série a diverge. Suponhamos agora que L <. Se escolhermos um r tal que L < r <, então» a < r para qualquer 0. portanto a < r para qualquer 0. Por comparação com a série geométrica r concluimos que a converge logo a é absolutamente convergente. Este critério é particularmente útil quando a é uma potência A : Exemplo 8. Consideremos a série Å ã +3 3 + Fazendo a = Ä +3, 3+ä temos então que +3» a = 3 + = +3/ 3+/ 3 Como 3 < o critério da raiz diz-nos que a série a converge absolutamente. Observação: Os critérios da razão e da raiz baseiam-se na comparação duma série a com uma série geométrica. Séries como 5, 3 ln, +, etc. convergem para zero mais devagar que qualquer série geométrica pelo que tentar provar a sua convergência por comparação com uma série geométrica é inútil. Assim, os critérios da razão e da raiz aplicados a estas séries são inconclusivos. Os critérios da razão e da raiz são inúteis para provar a convergência de séries involvendo apenas potẽncias e logaritmos. São úteis, isso sim, para séries involvendo exponenciais ou factoriais. Séries de potências Muitas das funções que já referimos podem ser representadas, e em particular calculadas, usando séries de um tipo muito específico, ditas séries de potências. Comecemos por recordar as fórmulas e x = +x+ x! + x3 3! + x4 4! + senx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cosx = x! + x4 4! x6 6! +

Estas fórmulas foram obtidas a partir dos polinómios de Taylor em a = 0, tomando o limite quando n. Generalizando estes exemplos para a 0 leva-nos a definir Definição : Chamamos série de potências centrada em a, ou série em potências de (x a), a uma série da forma c (x a) = c 0 +c (x a)+c (x a) +c 3 (x a) 3 + Como costume, adoptamos a convenção que, para = 0, c 0 (x a) 0 = c 0 mesmo quando x = a. Um exemplo particularmente simples mas bastante importante resulta da série geométrica: Exemplo 9. A série x = +x+x +x 3 +x 4 + é uma série geométrica de razão x. Assim, para x <, a série converge absolutamente com soma x = x A série diverge para x portanto o domínio de f é ],[. Repare que f é a restrição da função x ao intervalo ],[. Se os coeficientes c forem todos nulos para > n, a série de potências mais não é que um polinómio de grau n: c 0 +c (x a)+c (x a) + +c n (x a) n No caso geral, as séries de potências generalizam a noção de polinómio, e podem ser imaginadas como polinómios de grau infinito, ou seja, polinómios com um número infinito de termos. Nas próximas secções vamos analizar as propriedades de funções definidas por séries de potências, isto é, funções da forma f(x) = c (x a) 9. Domínio de convergência Definição : Chamamos domínio de convergência duma série de potências ao conjunto dos valores x para os quais a série converge. O domínio de convergência não é mais do que o domínio da função f.

Séries de potências 3 Exemplo 30. As séries x! ( ) x + ( +)! x = +x+ + x3 + = ex 3! ( ) x ()! x3 = x 3! + x5 + = senx 5! x = + x4 + = cosx 4! têm domínio de convergência R. A série geométrica x = +x+x +x 3 + tem domínio de convergência ],[. Exemplo 3. Dadosa,R RcomR > 0consideremosaseguintesériedepotências centrada em a: (x a) f(x) = Trata-se de uma série geométrica de razão (x a)/r. Assim, a série diverge para x a R e converge absolutamente para x a < R. Os últimos exemplos são típicos do comportamento das séries de potências: Teorema 3 (Raio de convergência): Dada uma série de potências c (x a), R existe um número R [0,+ ], designado por raio de convergência, tal que: (i) a série é absolutamente convergente quando x a < R, i.e., para x ]a R,a+R[; (ii) a série é divergente quando x a > R, i.e., para x ],a R[ ]a+r,+ [; (iii) a série pode convergir absolutamente, convergir simplesmente ou divergir quando x = a±r. Algumas observações: Se R = 0 a série converge apenas quando x = a; Se R = +, a série converge absolutamente para qualquer x R; Se 0 < R <, o domínio de convergência de uma série de potências c (x a) é um intervalo centrado em a, também designado por intervalo de convergência, da forma ]a R,a+R[ ou [a R,a+R] ou ]a R,a+R] ou [a R,a+R[.

4 Demonstração. Vamos apenas fazer o caso a = 0 sendo o caso a 0 completamente análogo. Seja D o domínio de convergência: Começamos por observar que D = x R : c x é convergente. Se a série c y converge então a série c x converge absolutamente no intervalo ] y, y [, ou seja, para x < y. Para tal basta observar que para x < y, a série geométrica x/y converge e lim c x x/y = lim c y = 0 pois c y converge Pelo critério do limite c x converge logo c x converge absolutamente. Agora observe que () A série c x diverge se x > supd porque, se convergisse, então D teria que conter o intervalo ] x, x [ e então supd x. () A série c x converge absolutamente se x < supd porque nesse caso existe um y D tal que x < y. Como a série c y converge, a série c x converge absolutamente. Assim, se tomarmos R = supd, a série c x diverge para x > R e converge absolutamente para x < R, o que termina a demonstração. O domínio de convergência duma série de potências pode ser muitas vezes calculado usando o critério da razão ou o critério da raiz: Exemplo 3. Vamos achar o domínio da função (x 3) f(x) = Vamos usar o critério da razão com a = (x 3) (x 3) + a + a = + ( +) (x 3) = x 3 + x 3 + + = x 3 Portanto a + a x 3. O critério da razão diz-nos que : A série converge absolutamente se x 3 <, ou seja, se x 3 < ; A série diverge se x 3 >, ou seja, se x 3 >. + Portanto o raio de convergência da série é R =. Falta ver o que acontece para x 3 =, ou seja, para x =,5. Para estes pontos o critério da razão é inconclusivo.

Séries de potências 5 x = : Substituindo x = na série obtemos ( 3) ( ) = = ( ) que é a série harmónica alternada, sendo portanto convergente (mas não absolutamente convergente). x = 5: Substituindo x = 5 na série obtemos (5 3) = () = que é a série harmónica, sendo portanto divergente. Concluimos que o domínio de convergência da série é o intervalo [,5[. Exemplo 33. Consideremos a série de potências!x. Aplicando o critério da razão, para x 0 lim a + ( +)! x + a = lim! x = x lim( +) = + Assim, neste exemplo, o domínio de convergência é apenas o ponto onde a série está centrada, i.e. D = {0}. Exemplo 34. Pretende-se determinar o conjunto dos pontos x R onde a série de potências (x+3) 3n (n+) n = (n+) n (x+3)3n n é absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente. Pelo critério da razão x+3 3n+3 lim a n+ n a = lim (n+) n+ n n x+3 3n (n+) n = lim n = x+3 3 Å x+3 3n+3 x+3 3n n+ n+ lim n+ n+ n ã n+ = x+3 3. Temos então que a série de potências é absolutamente convergente para e é divergente para x+3 3 < x+3 < 3 x+3 3 > x+3 > 3

6 Portanto o raio de convergência da série é R = 3. Falta ver o que se passa quando x = 3 3 e x = 3+ 3. Se x = 3 3 então x+3 = 3 logo (x+3) 3n (n+) n = ( 3 ) 3n (n+) n = ( ) n (n+) n = ( ) n n+. Trata-se de uma série alternada com b = + decrescente e b 0, pelo que o Critério de Leibniz garante a sua convergência. A correspondente série de módulos ( ) + = + éclaramentedamesmanaturezaqueasérieharmónica /, logodivergente. Concluímos assim que a série de potências é simplesmente convergente para x = 3 3. Se x = 3 3 então x+3 = 3 logo (x+3) 3n (n+) n = ( 3 ) 3n (n+) n = n (n+) n = n+, que, como já vimos, é uma série divergente. Logo, a série de potências é divergente para x =. Resumindo: o domínio de convergência é D = [ 3 3, 3+ 3 [, a série converge absolutamenteem] 3 3, 3+ 3 [econvergesimplesmenteemx = 3 3. 0. Integração e derivação Vamos agora ver como podemos integrar e diferenciar séries de potências. O próximo teorema, cuja demonstração será feita na próxima secção, garante a existência do integral: Teorema 4: Seja f uma função definida por uma série de potências: f(x) = c (x a) Então f é contínua no seu domínio de convergência. Séries de potências podem ser diferenciadas e primitivadas como se fossem somas finitas. Teorema 5: Seja f(x) = c (x a) e seja R o raio de convergência da série. Então, para qualquer x ]a R,a+R[, x (x a) + f(t)dt = c + a

Séries de potências 7 Este teorema diz-nos que o integral de f pode ser calculado integrando a série termo a termo: x ( c0 +c (t a)+c (t a) +c 3 (t a) 3 + ) dt a = x a c 0 dt+ x a c (t a)dt+ (t a) = ïc 0 t+c x a c (t a) dt+ +c (t a) 3 3 = c 0 (x a)+c (x a) x a +c 3 (t a) 4 4 +c (x a) 3 3 c 3 (t a) 3 dt+ ò x + a +c 3 (x a) 4 4 + Demonstração. Vamos apenas demonstrar o caso a = 0 sendo o caso geral completamente análogo. A ideia da demonstração é escrever f na forma f(x) = c 0 +c x+c x + +c n x n + ( c n+ x n+ +c n+ x n+ + ) Integrando de 0 a x obtemos x 0 f(t)dt = c 0 x+c x x 3 x n+ +c 3 + +c n n+ + x Agora basta tomar o limite quando n e mostrar que x ( cn+ t n+ +c n+ t n+ + )dt = 0 lim n + 0 0 ( cn+ t n+ +c n+ t n+ + ) dt Como t varia entre 0 e x, t x logo, pelo critério da comparação, c t c t c x =n+ =n+ =n+ O membro direito desta desigualdade não depende de t logo integrando de 0 a x obtemos x 0 c t dt 0 x c x dt 0 = x c x Mas =n+ =n+ =n+ =n+ c x é o resto da série convergente c x logo lim 0. Aplicando o teorema dos limites enquadrados obtemos ( x ) c t dt = 0 lim n + a =n+ Exemplo 35. Vamos calcular o integral com um erro inferior a 0.00. Como 0 sen(x )dx sent = t t3 3! + t5 5! t7 7! + n =n+ c x =

8 substituindo t por x obtemos Integrando obtemos 0 sen(x ) = x x6 3! + x0 x4 + 5! 7! ï x sen(x 3 )dx = 3 x7 7 3! + x 5! x5 5 7! + = 3 7 6 + 0 5 7! + Quantos termos precisamos de somar? Trata-se duma série alternada portanto o erro é menor que o termo seguinte. Como 0 < 0.00, concluimos que 0 sen(x )dx 3 4 = 0.309538... com um erro inferior a 0 = 0.0007575... < 0.00. ò 0 Podemos também derivar uma série termo a termo: Teorema 6: Seja f(x) = c (x a) com raio de convergência R. Então f é diferenciável em ]a R,a+R[ com derivada g(x) = c (x a). = Demonstração. Como costume tomamos a = 0. Começamos por verificar que a série g(x) = c x converge absolutamente no intervalo ] R,R[. Tomando qualquer y tal que x < y < R obtemos c x Å ã x lim c y = lim = 0 y logo pelo critério do limite, como c y converge, c x também converge pelo que c x converge absolutamente. Então, integrando g obtemos x 0 g(t)dt = c x = f(x) c 0 = pelo que o teorema fundamental do cálculo nos diz que f (x) = g(x).

Séries de potências 9 Exemplo 36. (e x ) = ã Å+x+ x + x3 3! + x4 4! + = 0++ x + 3x + 4x3 + = e x 3! 4! ã (senx) = Åx x3 3! + x5 5! x7 7! + (cosx) = = 3x 3! + 5x4 5! 7x6 7! Å x! + x4 4! x6 6! + + = cosx ã = 0 x! + 4x3 6x5 + = senx 4! 6!. Demonstração da continuidade Nesta secção vamos demonstrar que uma série de potências é contínua no seu domínio de convergência (teorema 4). Tomaremos sempre a = 0 para simplificar a notação. Tomamos assim f(x) = c x Para cada x no domínio de convergência, o resto R n (x) da série converge para zero logo podemos tornar R n (x) arbitrariamente pequeno tomando n suficientemente grande. O facto de podermos tornar R n (x) arbitrariamente pequeno simultaneamente para todo o x é essencial para provar continuidade: Teorema 7 (Abel): Se uma série c x for convergente num ponto d > 0 então para qualquer ε > 0 existe um N que não dependente de x tal que f(x) S n (x) = c x < ε para quaisquer x [0,d] e n > N. =n+ Umresultadoanálogoéválidoseasérieconvergiremd < 0: dadoε, f(x) S n (x) < ε para qualquer n suficientemente grande e qualquer x [d,0]. Demonstração. Vamos primeiro supor que d é menor que o raio de convergência, equeportantoasérie c d convergeabsolutamente. Então, parax [0,d]temos c x c x c d e =n+ lim =n+ n =n+ c d = 0 =n+ Sempre que uma sucessão de funções Sn(x) tem esta propriedade dizemos que S n(x) converge uniformemente para f(x).

30 pois trata-se do resto da série c d. Portanto, para qualquer ε > 0 existe um N (que não vai dependenter de x) tal que lim c d < ε para n > N n =n+ o que implica de imediato que c x < ε para quaisquer x [0,d] e n > N =n+ Vamos agora tratar o caso em que d é igual ao raio de convergência da série. Neste caso não podemos assumir que a série c d converge absolutamente. Vamos primeiro provar o caso particular em que d =. O caso geral deduz-se facilmentedaquicomoveremosaseguir. Estamospoisaassumirque c = c converge. Tomemos então ε > 0. Seja S a soma desta série e sejam S n as somas parciais. Como S n S, existe um N tal que S S n < ε 3 para qualquer n > N Seja m > n > N. Então, para cada = n+,...,m temos c x = ( c n+ + +c ) x ( c n+ + +c ) x Somando em chegamos a c n+x n+ + +c mx m = c n+ ( x n+ x n+) + ( c n+ +c n+ )( x n+ x n+3) e portanto + + ( c n+ + +c m )( x m x m) + ( c n+ + +c m ) x m c n+x n+ + +c mx m c n+ x n+ x n+ + cn+ +c n+ x n+ x n+3 Agora repare que + + cn+ + +c m x m x m + cn+ + +c m x m Como x, x > x + logo x x + = x x + ; Para > n > N, S,S n ]S ε 3,S + ε 3 [ logo S S n < ε 3 pelo que c n+ + +c = (c0 + +c ) (c 0 + +c n) = S S n < ε 3 Concluimos que c n+x n+ + +c mx m ε 3 ( x n+ x n+) ( + ε x n+ x n+3) + + ε 3 3 ( x m x m) + ε 3 xm = ε 3 xn+ ε 3 Agora basta tomar o limite quando m para concluir que c x ε 3 < ε =n+ o que termina a demonstração no caso d =. Vamos agora considerar o caso geral, isto é, assumimos que a série c d converge. Mas isto quer dizer que a série (c d )y converge para y = e portanto, para

Séries de potências 3 qualquer ε > 0 existe um N tal que c d y < ε para y [0,] e n > N =n+ Escrevendo x = yd, vemos que c x < ε para =N+ o que termina a demonstração. x d [0,] e n > N Vamos então demonstrar que uma função definida por uma série de potências é contínua: Teorema: Seja f uma função definida por uma série de potências: f(x) = c (x a) Então f é contínua no seu domínio de convergência. Demonstração. Tomamos a = 0 para simplificar a notação. Vamos mostrar que, se a série converge em d, então f é contínua no intervalo [0,d] se d > 0 ou [ d,0] se d < 0. Dado um ε > 0 queremos mostrar que f(x) f(y) < ε para qualquer y suficientemente próximo de x. A ideia é aproximar f por uma soma parcial S n : f(x) f(y) = f(x) S n (x)+s n (x) S n (y)+s n (y) f(x) f(x) S n (x) + S n (x) S n (y) + S n (y) f(x) Começamos fixar N tal que f(y) S N (y) < ε 3 para qualquer y [0,d]. Como S N é contínua, sabemos também que S N (x) S N (y) < ε 3 para qualquer y suficientemente próximo de x. Assim f(x) f(y) f(x) S N (x) + S N (x) S N (y) + S N (y) f(x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε Como corolário vamos provar que Teorema 8: Seja f(x) = c x e seja g(x) = g(x) para todo o x no domínio de convergência de g. c x. Então f (x) = Demonstração. Seja R o raio de convergência de f (igual ao de g). Já sabemos que f (x) = g(x) para x < R. Falta ver o que se passa para x = ±R. Se g converge para x = R, como g é contínua, = lim (x) = lim x R f x R g(x) = g(r) logo f e(r) = f (R ) = g(r). Analogamente, f d ( R) = g( R) se g convergir em R.

3 Séries de Taylor Dada uma função definida por uma série de potências f(x) = c 0 +c x+c x +c 3 x 3 +c 4 x 4 + podemos calcular os coeficientes c em termos de f: derivando obtemos sucessivamente Pondo x = 0 obtemos f (x) = c +c x+3c 3 x +4c 4 x 3 + f (x) = c +3 c 3 x+4 3c 4 x + f (x) = 3!c 3 +4!c 4 x+. f(0) = c 0, f (0) = c, f (0) = c, f (0) = 3!c 3,..., f (n) (0) = n!c n Concluimos que f(x) = Chamamos a esta série a série de Taylor de f f () (0) x! Definição 9: Seja f : D R uma função com derivadas de todas as ordens num ponto a D. Chamamos série de Taylor de f em a à série de potências f () (a) (x a)! O argumento acima mostra que Teorema 30: Seja f uma função definida por uma série de potências: f(x) = c (x a) Então c = f() (a)!. Ou seja, c (x a) é a série de Taylor de f em x = a. Atenção que uma função pode não ser igual à sua série de Taylor como mostra o próximo exemplo: Exemplo 37. Seja f : R R o prolongamento por continuidade de e /x a x = 0: e x f(x) = x 0 0 x = 0 Então, como já vimos, as derivadas de f de todas as ordens existem e são iguais a zero portanto a série de Taylor de f é identicamente nula mas claramente f(x) 0 para x 0.

Séries de Taylor 33 Uma função que pode ser representada por uma série de potências chama-se uma função analítica. Exemplo 38. As funções senx, cosx e e x são analíticas. Observação: Uma função analítica é completamente determinada por um número contável de parâmetros, os coeficientes c da sua série de Taylor, ao passo que em geral para definir uma função precisamos de indicar os valores f(x) para todo o x R.. Determinação de séries de Taylor Escrever uma série de Taylor implica conhecer um número infinito de derivadas da função pelo que o seu cálculo a partir da definição só é possível em exemplos muito simples. Felizmente existem alguns processos elementares indirectos para obter séries de Taylor. Começamos com as quatro séries mais importantes: e x = +x+ x! + x3 3! + x4 4! + senx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cosx = x! + x4 4! x6 6! + x = +x+x +x 3 +x 4 + para x < Os exemplos seguintes mostram como se podem usar estas séries para obter as séries de Taylor de muitas outras funções: Exemplo 39. A partir da série de Taylor do seno vemos que A série de Taylor de senx x senx x = x ã Åx x3 3! + x5 5! + = x 3! + x4 5! + torna claro o limite notável lim x 0 senx x =. Quando usamos a série geométrica precisamos de ter cuidado com o domínio de convergência:

34 Exemplo 40. Vamos determinar a série de Taylor de f(x) = x+. Podemos manipular x+ por forma a obtermos a soma duma série geométrica: x+ = ( x/ ) = ( x/+( x/) +( x/) 3 + ) = ( x) ( ) x = + Uma série geométrica converge quando o módulo da razão é menor que. Assim, esta série converge para x/ <, ou seja para x <. 3 Exemplo 4. Vamos determinar a série de Taylor de decompor em fracções simples: Agora x +x 3 x +x = 3 (x )(x+) = x x+ x = x x x 3 = e vimos no exemplo 40 que x+ = Portanto 3 x +x = ( x ) ( x ) para x < ( ) x + para x < ( ) x + = ( ( ) + ) x Outras técnicas involvem derivar ou integrar uma série geométrica:. Começamos por para x < Exemplo 4. Vamos determinar a série de Taylor de ln( x). Derivando e usando a série geométrica obtemos ( ) ln( x) = x = ( +x+x +x 3 + ) = x para x < Agora basta integrar de 0 a x: (3) ln x = x 0 x dt = x t x3 3 = x + + para x < É interessante considerar o caso x =. Para este valor obtemos a série harmónica alternada: + 3 4 + = ( ) + +

Séries de Taylor 35 Assim, tomando o limite quando x tende para na equação (3) e usando a continuidade da série chegamos à identidade ln = + 3 4 + Exemplo 43. Para determinar a série de Taylor de ln( + x) basta substituir x por x no exemplo 4: ( x) + ( ) + ln(+x) = ln( ( x))) = = + + x+ Exemplo 44. Vamos determinar a série de Taylor de arctan x. Derivando (arctanx) = +x A série de Taylor da derivada pode ser facilmente calculada usando a série geométrica: +x = ( x ) = x +x 4 x 6 + = ( x ) = ( ) x ( x < ) Integrando obtemos (4) arctan x = x 0 x3 dt = x +t 3 + x5 5 + = ( ) x+ + válido para x <. Repare que a série converge também para x = (é uma série alternada). Tomando o limite quando x tende para um na equação (4) e usando a continuidade vemos que π 4 = arctan = ( ) + = 3 + 5 7 + Exemplo 45. Vamos calcular a série de Taylor de f(x) = Começamos por observar que x (+x) 3 = x (+x) 3 x (+x) em a = 0. 3 portanto basta determinar a série de Taylor de (+x) e multiplicá-la por x. O 3 truque aqui é integrar primeiro: Agora x 0 dt (+t) 3 = (+x) e x 0 dt (+t) = (+x) (+x) = ( x) = ( x+x x 3 +x 4 + ) = ( x) Derivando obtemos (+x) = ( +x 3x +4x 3 + ) = ( ) x =

36 Derivando de novo obtemos (+x) 3 = ( 6x+x + ) = Agora só falta multiplicar por x : ( ) ( )x = x (+x) 3 = ( x 6x 3 +x 4 + ) = ( ) ( )x = Para determinar séries de Taylor em pontos a 0 usamos a substituição u = x a: Exemplo 46. Queremos determinar a série de Taylor de f(x) = lnx em a =. Seja u = x. Então, usando o resultado do exemplo 43, lnx = ln(u+) = ( ) + + u+ = ( ) + + (x )+ Exemplo 47. Queremos determinar a série de Taylor de e x em a =. Seja u = x. Então e x = e u+ = e e u = e u! = e! (x ) 3. Aplicação ao cálculo de limites Dada uma série c (x a) = c 0 +c (x a)+c (x a) + é comum usar a notação O((x a) n ) = c (x a) = c n (x a) n +c n+ (x a) n+ + =n para designar o resto da série, ou seja, os termos de grau n ou superior. Exemplo 48. Sabemos que logo podemos escrever que e x = +x+ x + Å x 3 ã 3! + x4 4! + e x = +x+ x +O(x3 ) em que O(x 3 ) designa os termos de ordem x 3 ou maior: x 3 3! + x4 4! +

Séries de Taylor 37 Exemplo 49. Vamos calcular o limite lim x 0 usando séries de Taylor. Como sen(x 3 ) x 3 = Åx 3 (x3 ) 3 3! e xcos(x 4 ) x = x Å (x4 ) obtemos Dividindo por x 9 obtemos sen(x 3 ) x 3 xcos(x 4 ) x + (x3 ) 5 5! + (x4 ) 4 4! sen(x 3 ) x 3 xcos(x 4 ) x = 6 x9 +O(x 5 ) x9 +O(x 7 ) sen(x 3 ) x 3 xcos(x 4 ) x = 6 +O(x6 ) +O(x8 ) ã + x 3 = 6 x9 +O(x 5 ) ã + x = x9 +O(x 7 ) Tomando o limite quando x 0, O(x n ) 0 para n > 0 logo sen(x 3 ) x 3 lim x 0 xcos(x 4 ) x = 6 = 3