6 L I S TA 6 - D E R I VA D A S PA R C I A I S E D I R E C I O N A I S, P L A N O TA N G E N T E E P O L I N Ô M I O S D E TAY L O R Prof. Benito Frazão Pires questões. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) dada. (a) f(x, y) = arctg (x + y) (b) f(x, y) = y x (c) f(x, y) = x xy (d) f(x, y) = xey. Dada a função f(x, y) = x y + e xy, calcule f xyx (0, 0).. Determine as derivadas parciais indicadas. (a) f(x, y) = y x + y + z, f xzy(,, ) (b) f(x, y) = x y, f xx (, ) 4. Calcule f (x, y) e f (x, y), sabendo que f(x, y) = y x e t dt. 5. Verifique a validade do Teorema de Clairaut-Scwarz para o polinômio f(x, y, z) = x y + y z + x z 4, mostrando que as derivadas parciais mistas f xy, f xz, f yz são contínuas e satisfazem as igualdades: f xy = f yx, f xz = f zx e f yz = f zy. 6. O Teorema de Clairaut-Scwarz vale para funções racionais restritas a seus domínios. Usando isto, calcule rapidamente a derivada parcial f xyz usando a ordem de integração apropriada, sabendo que f(x, y, z) = xyz + xz + x x 7 + xz 5 + 9. 7. A Lei dos Gases Ideais afirma que a pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado obedece a equação PV = nrt, onde n é o número de mols de gás (quantidade) e R é uma constante universal. Mostre que V T T P P V =.
8. Dada a função calcule f x (0, ) de duas formas: f(x, y) = x y x + y, (a) Usando limites; (b) Usando derivadas de funções de uma variável. 9. As derivadas parciais f x e f y de uma função racional f são funções racionais e, portanto, contínuas em seus domínios. Verifique isto no caso da função f(x, y) = x y + xy x + y. Conclua que f é diferenciável em R -{(0, 0)}. 0. Verifique que a função u(t, x) = e α k t sen kx é uma solução da equação da condução do calor u t = α u xx.. Mostre que a função u(x, y) = / x + y + z é solução da equação de Laplace tridimensional u xx + u yy + u zz = 0.. Mostre que a função u(x, y) = x xy é solução da equação de Laplace u xx + u yy = 0.. Seja x y xy f(x, y) = x + y se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). (a) Calcule f x (x, y) e f y (x, y) quando (x, y) (0, 0); (b) Calcule f x (0, 0) e f y (0, 0); (c) Mostre que f xy (0, 0) = e f yx (0, 0) =. (d) O resultado do item (c) contradiz o Teorema de Clairaut-Scwarz? 4. Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto dado. (a) z = x + y, P = (0, 0, 0) (b) z = x y, P = (,, ) 5. A temperatura num viveiro retangular no ponto (x, y) é T(x, y) = 0 + x + y. Um animal de sangue frio (um largarto) se encontra na posição (x, y) = (, ) do viveiro num certo instante. Em qual direção o animal deve ser locomover para aumentar a sua temperatura corporal mais rapidamente? Em qual direção ele deve se mover para manter a sua temperatura constante?
6. Encontre o plano tangente à esfera x + y + z = 4 no ponto (,, ).. 7. Mostre que a função f(x, y) = x y tem derivadas parciais contínuas no ponto (, ). Encontre a linearização L(x, y) de f(x, y) ao redor do ponto (, ) e use-a para encontrar um valor aproximado de,. 8. Explique porque a função f(x, y) = x + 4y + + x y ao redor da origem (0, 0). pode ser trocada pela função L(x, y) = 9. Determine o gradiente de f no ponto P e a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor u. (a) f(x, y) = 7y /x, P = (, ), u = (, 5) (b) f(x, y, z) = x + yz, P = (,, ), u = (,, ) 0. A temperatura em 40 C no ponto (x, y, z) de uma sala é T(x, y, z) = x + y + z +. No ponto P = (,, ), a temperatura é 0 C. (a) Determine a taxa de variação da temperatura em (,, ) na direção ao ponto (,, 4). (b) Qual é a direção de maior crescimento da tempetura T? (c) Encontre a taxa máxima de crescimento de T no ponto (,, ). gabarito. (a) f x = f y = (x + y) +, f (x + y) xx = f xy = f yx = f yy = ((x + y) + ). (b) f x = y x, f y = x, f xx = y x, f xy = f yx = x, f yy = 0. (c) f x = x + x y, f y = xy, f xx = x y, f xy = f yx = x y, f yy = xy. (d) f x = e y, f y = xe y, f xx = 0, f xy = f yx = e y, f yy = xe y.. f xyx = xy e xy + ye xy +, f xyx (0, 0) =.. (a) f xzy = (x + y + z) 6y (x + y + z) 4, f xzy(,, ) = 8. (b) f xx = y(y )x y, f xx (, ) = 0 4. f (x, y) = e x, f (x, y) = e y
5. A função f(x, y, z) e as suas derivadas parciais de qualquer ordem são polinômios e, portanto, funções contínuas. Além disso, 6. f xyz =. xy 8. 4 f x = (x + y ), f x(0, ) = 0. f xy = f yx = x, f xz = f zx = x z, f yz = f zy = 6yz 9. f x = y ( x + xy + y ) (x + y ), f y = x ( x + xy y ) (x + y ).. u xx = x y z (x + y + z ) 5/, u yy = x + y z (x + y + z ) 5/, u zz = x y + z (x + y + z ) 5/.. u xx = 6x, u yy = 6x.. (a) f x (x, y) = y ( x 4 + 4x y y 4) (x + y ), f y (x, y) = x ( x 4 4x y y 4) (x + y ) se (x, y) (0, 0). (b) f x (0, 0) = lim 0 f(0 +, 0) f(0, 0) (b) f y (0, 0) = lim 0 f(0, 0 + ) f(0, 0) (c) f yx (0, 0) = lim 0 f x (0, 0 + ) f x (0, 0) (c) f xy (0, 0) = lim 0 f y (0 +, ) f y (0, 0) = lim 0 0 = 0. = lim 0 0 = 0. 5 = lim 4 0 0 = lim 0 5 4 0 =. =. (d) Não, pois a função ( x y ) ( x 4 + 0x y + y 4) f x,y (x, y) = (x + y ) se (x, y) (0, 0) se (x, y) = (0, 0) é descontínua em (0, 0). Logo, o Teorema de Clairaut-Scwarz não pode ser aplicado. 4. (a) z = 0 (b) z = x y + 5. Para aumentar a sua temperatura mais rapidamente, o animal deve se locomover na direção do vetor u = f(, ) = (, ). Para manter a sua temperatura constante, o animal deve se movimentar em quaisquer das direções v = (, ) ou w = (, ). 6. z = (x ) (y ). 4
ln (y) 7. f x = x x y, f y = x y xy são funções contínuas em (, ). Além disso, L(x, y) = + 0 (x ) + (y ) = y +., = f(;, ) =, L(;, ) = + =.05 8. Observe que f x = 4y + e f x + y = 4 (4y + ), portanto f(0, 0) =, f x(0, 0) = e f y (0, 0) =. Assim, L(x, y) = + x y nada mais é do que a linearização de f ao redor do ponto (0,, 0). 9. (a) f(, ) = ( 6, 4), D u f(, ) = f(, ) u = 4 + 4 5 (b) f(,, ) = ( 7, 7, 7 ), D u f(,, ) = 7. 0. (b) A direção de maior crescimento de T é f(,, ) = ( 5, 5, 5). (a) u = 4 (,, ), D u f(,, ) = f(,, ) u = 0 4 (c) A taxa máxima de crescimento de T no ponto (,, ) é f(,, ) = 5. Atualizado em 5 de Dezembro de 06. 5