Aula 4 Limites e continuidade

MÓDULO 1 AULA 4 Aula 4 Limites e continuidade Objetivo Aprender a técnica de tomar ites de funções de várias variáveis ao longo de curvas. Conhecer a noção de continuidade de funções de várias variáveis. Oúltimo tema apresentado na aula anterior foi restringir o ite de uma função de duas ou mais variáveis ao longo de uma curva. Essa técnica faz o papel dos ites laterais das funções de uma variável, apresentados no Cálculo I. Realmente, quando os ites laterais, f(x) e f(x), x a + x a são diferentes, concluímos que a função f não admite ite quando x tende a a. Na versão do Cálculo II, consideramos os ites de uma função de várias variáveis, em um certo ponto, tomados ao longo de curvas distintas, e eles são diferentes, também concluímos que a função não admite ite nesse ponto, pois, se o ite existisse, o teorema 23.3 implicaria igualdade dos ites sobre quaisquer curvas convergentes para o ponto. Veja o exemplo aseguir. Exemplo 4.1 x 2 A função f(x, y) =, definida para todo (x, y) (x 2)2 +(y +1) 2 (2, 1), não admite ite quando (x, y) tende a (2, 1). Para ver isso, considere α 1 (t) =(2+t, 1) e α 2 (t) =(2+3t, 1+4t), por exemplo. Em ambos os casos, temos α i (t) = (2, 1). e No entanto, t f(α 1 (t)) = t 2 = 1 3t f(α 2 (t)) = = 3 9t2 +16t 2 5. 43 CEDERJ

Você viu que os ites tomados ao longo de duas curvas diferentes, mas que convergem para (2, 1) quando t tende a zero, são diferentes. Ou seja, a função f apresenta um comportamento para valores próximos de (2, 1), ao longo da imagem de α 1, e outro comportamento para valores próximos de (2, 1), ao longo da imagem de α 2. Nessas circunstâncias, costumamos dizer quef nãotem itenoponto, apesar de a frase ser canhestra. Em contrapartida, você develembrar-sedocálculo I, em que a coinb a A condição c 2 + d 2 > 0evita que c e d sejam tomados simultaneamente nulos, pois nesse caso α(t) seriaafunção constante α(t) =(a, b). cidência dos ites laterais assegura a existência do ite. No Cálculo II, porém, estamos em situação bem diferente. Enquanto no caso das funções de uma variável temos apenas dois ites laterais a considerar, no plano, por exemplo, temos uma infinidade de direções a levar em conta. Por exemplo, aequação α(t) = (a + ct, b + dt), com c 2 + d 2 > 0, parametriza o feixe de retas que contém o ponto (a, b), de tal maneira que α(t) = (a, b). A surpresa, que evidencia a diferença entre as funções de uma variável das funções de duas ou mais variáveis, é que a análise do comportamento da função f(x, y) noponto(a, b), de acumulação do domínio de f, ao longo de todos esses caminhos (i.e., todos os possíveis valores de c eded), não é suficiente para estabelecer a existência do ite de f em (a, b), no caso de todos eles serem coincidentes. Aqui está umexemplo. Exemplo 4.2 (exemplo 2.6, revisitado) Vamosanalisarocomportamentodafunção f(x, y) = 4x2 y em x 4 + y 2 torno da origem. Considere α(t) = (ct, dt), com c 2 + d 2 > 0, o feixe de retas que concorrem para a origem: α(t) = (ct, dt) = (0, 0). Vamos calcular f(α(t)). É preciso dividir a análise em dois casos: d =0 e d 0. Se d = 0, a condição c 2 + d 2 > 0 garante que c 0, portanto, f(α(t)) = f(ct, 0) = 4 c2 t 2 0 c 4 t 4 +0 = 0, CEDERJ 44

MÓDULO 1 AULA 4 se t 0. Assim, Se d 0, f(α(t)) = 0. 4 c 2 dt 3 f(α(t)) = f(ct, dt) = c 4 t 4 + d 2 t 2 pois (c 4 t 2 + d 2 )=d 2 0 e 4c 2 dt =0. 4 c 2 dt = = 0, c 4 t 2 + d 2 Conclusão: o ite de f sobre qualquer direção que tomarmos, tendendo àorigem,é zero. Portanto, há evidências de que o ite da função f, nesse ponto, seria zero, não? Sim, háevidências, mas em Matemática isso não é suficiente para estabelecer a verdade. Basta considerar as curvas β 1 (t) = (t, t 2 ) e β 2 (t) = (2t, t 2 ). Em ambos os casos, β i (t) = (0, 0). No entanto, e f(β 1 (t)) = f(t, t 2 4t 4 ) = = 2 t 4 + t 4 f(β 2 (t)) = f(2t, t 2 16t 4 ) = = 16 16t 4 + t 4 17. Sobre curvas diferentes, a função tem ites diferentes e, portanto, (x,y) (0,0) 4x 2 y x 4 + y 2. Esse exemplo mostrou que o comportamento da função f, ao longo da família de retas que concorrem para a origem, não é suficiente para determinar o ite da função nesse ponto. Para entendermos um pouco mais esse fenômeno, vamos estudar um pouco mais a função f(x, y) = 4x2 y x 4 + y. 2 Já sabemos que Dom(f) =lr 2 {(0, 0)}. Vamos determinar as curvas de nível da função. Isto é, queremos resolver a equação f(x, y) = 4x2 y x 4 + y 2 = c. Para c = 0, temos as soluções x =0ouy = 0. Portanto, f 1 (0) = {(x, y) lr 2 {(0, 0)} ;x=0ouy=0}. 45 CEDERJ

Esse conjunto é formado pelos dois eixos cartesianos menos a origem. Suponha, agora, que c 0. Então, f(x, y) = 4x2 y x 4 + y 2 = c 4x 2 y = cx 4 + cy 4. Isto é, vamos resolver a equação cy 2 4x 2 y + cx 4 = 0 em y, obtendo y = 4x2 ± 16x 4 4c 2 x 4 2c y = 2 ± 4 c 2 x 2. c Dizer que f é constante ao longo da imagem de β 1 (t), t>0, significa dizer que f(β 1 (t)) = c, paraalgum número c. Note que, caso c [ 2, 0) (0, 2], a equação anterior define um par de parábolas cujos vértices coincidem com a origem e são as curvas de nível c. Observe, também, que se c (, 2) (2, ), então f 1 (c) =. Ou seja, a imagem da função f é o intervalo [ 2, 2] e a função f é uma função itada. Finalmente, podemos observar que a curva β 1 (t) =(t, t 2 ), t>0, éuma parametrização de um ramo da curva de nível 2. Ou seja, f é constante e igual a 2 ao longo da imagem de β 1 (t), t>0. Além disso, f é constante e igual a 16 17 ao longo da imagem de β 2(t), t>0. Como as imagens dessas curvas convergem para a origem (veja figura anterior), i.e., β i (t) = (0, 0), e f é constante sobre cada uma delas, porém com valores diferentes, f não admite ite na origem. Aqui está umasérie de perspectivas do gráfico de f(x, y) = 4x2 y x 4 + y, 2 numa vizinhança da origem. CEDERJ 46

Limites e continuidade MO DULO 1 AULA 4 Lembre-se de que esta func a o na o esta definida na origem. Observe que os quatro semi-eixos cartesianos Ox e Oy esta o contidos no gra fico de f. Repare, tambe m, que se y > 0, enta o f (x, y) > 0, e se y < 0, enta o 1 f (x, y) < 0. Ao longo da para bola y = x2, a func a o assume seu valor 2 ma ximo, correspondendo ao nı vel c = 2, enquanto ao longo da para bola 1 y = x2, a func a o assume seu valor mı nimo, correspondendo ao nı vel 2. 2 Correspondendo a nı veis entre 0 e 2, temos os pares de para bolas na regia o y > 0 do plano, enquanto para nı veis entre 2 e 0 temos os pares de para bolas sime tricas em relac a o ao eixo Ox, na regia o y < 0 do plano. E muito importante conhecer uma gama de func o es, com seus gra ficos e suas curvas de nı vel, para perceber a diversidade de situac o es possı veis quando lidamos com duas varia veis. Nosso pro ximo exemplo apresentara alguns gra ficos de func o es com suas respectivas curvas de nı vel. Exemplo 4.3 f (x, y) = y3 2y 2 + 3y x2 3 g(x, y) = cos y x2 47 CEDERJ

Esses dois exemplos são de funções dotipo z = g(x)+h(y). Observe que f tem um ponto de máximo local. Em torno desse ponto, as curvas de nível lembram círculos. Essa função tem, também, um ponto que chamaremos ponto de sela. Em torno desse ponto, as curvas de nível lembram uma família de hipérboles. Já afunção g apresenta uma infinidade de pontos de máximo absoluto (a origem é um deles) e uma infinidade de pontos de sela. h(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 k(x, y) = x2 y 4 x 2 + y 4 Essas duas funções são parecidas uma com a outra. Você notaadife- rença nas curvas de nível. Enquanto as curvas de nível de h são pares de retas, as curvas de nível de k são pares de parábolas. u(x, y) =senx sen y v(x, y) =3xe (x2 +y 2 ) Ográfico da função u lembra uma bandeja de transportar ovos que se estende infinitamente para todos os lados. As retas x = k 1 π e y = k 2 π formam o conjunto de nível zero. Observe que a função tem uma infinidade de pontos de mínimo absolutos e de máximo absolutos, cada um no centro dos quadrados, cercados por curvas de nível que lembram círculos, e que se alternam numa disposição que lembra um tabuleiro de xadrez. CEDERJ 48

MÓDULO 1 AULA 4 Essa é, definitivamente, uma função bem interessante. Note que ela éuma função periódica. Já a função v temumpontodemáximo e um ponto de mínimo absolutos. Note que o eixo Oy éacurvadenível zero. As curvas de nível àesquerda são curvas de nível negativo e circundam o ponto de mínimo, enquanto as do lado direito são curvas de nível positivo e circundam o ponto de máximo. Aqui estão mais duas variações sobre o mesmo tema. z(x, y) =3xy e 1 2 (x2 +y 2 ) w(x, y) =(x 2 3y) e (x2 +y 2 ) Continuidade Não há novidades na formulação desse conceito. Note, apenas, que apresentaremos a definição de continuidade de uma função de duas variáveis por uma questão de simplicidade. Essa definição pode ser naturalmente generalizada para os casos de mais do que duas variáveis, bastando acrescentar tantas variáveis quantas forem necessárias. Definição 4.1: Dizemos que uma função f : A lr 2 lr écontínua em um ponto (a, b), de acumulação de A, se (a, b) A; f(x, y) = f(a, b). (x,y) (a,b) Dizemos que a função f : A lr 2 lr écontínua (sem especificar um determinado ponto), se f for contínua em todos os pontos de acumulação de seu domínio A. 49 CEDERJ

Exemplo 4.4 Vamos determinar o valor de c para o qual a função xy 2 +(x 1) 2, se (x, y) (1, 0) (x 1) 2 + y2 f(x, y) = c, se (x, y) =(1, 0) seja contínua. Note, inicialmente, que A =Dom(f) =lr 2 ; portanto, todos são pontos de acumulação de A. Além disso, se (a, b) (1, 0), f(x, y) = ab2 +(a 1) 2 = f(a, b). (x,y) (a,b) (a 1) 2 + b 2 Portanto, como f(1, 0) = c, temos de calcular f(x, y) = (x,y) (1,0) Este ite está indeterminado, porque xy 2 +(x 1) 2 (x,y) (1,0) (x 1) 2 + y. 2 xy 2 +(x 1) 2 = 0 e (x 1) + y 2 =0. (x,y) (1,0) (x,y) (1,0) Este truque évelho,mas funciona! Precisamos de alguma estratégia algébrica que nos permita levantar essa indeterminação. Muito bem; após algum tempo olhando o quociente do ite, chegamos ao seguinte desenvolvimento: xy 2 +(x 1) 2 = xy2 +(x 1) 2 + y 2 y 2 = (x 1) 2 + y 2 (x 1) 2 + y 2 = xy2 y 2 + (x 1) 2 + y 2 (x 1) 2 + y 2 = = (x 1)y 2 (x 1) 2 + y 2 + 1. Como (x 1) = 0 e g(x, y) = y 2 é uma função (x,y) (1,0) (x 1) 2 + y 2 itada, o teorema 23.3 garante que (x,y) (1,0) (x 1)y 2 (x 1) 2 + y 2 =0. Assim, xy 2 +(x 1) 2 [ (x 1)y 2 ] = (x,y) (1,0) (x 1) 2 + y 2 (x,y) (1,0) (x 1) 2 + y + 1 2 portanto, f écontínua se, e somente se, c =1. =1 Um resultado que continua sendo verdadeiro nesse contexto équea composição de funções contínuas écontínua. CEDERJ 50

MÓDULO 1 AULA 4 Teorema 4.1: Sejam f : A lr 2 lr uma função contínua, α : I lr lr 2 uma função vetorial de uma variável real, onde I é um intervalo e α(i) A, e g : B lr lr uma função contínua tal que B éumaunião de intervalos e f(a) B. Então, as composições f α e g f são funções contínuas. A demonstração desse fato é, de certa forma, simples e rotineira. Vamos, portanto, apenas considerar um exemplo. Exemplo 4.5 (a) A função h(x, y) = sen(x + y) écontínua, pois pode ser vista como acomposição h(x, y) = g f(x, y), onde f(x, y) =x + y é uma função contínua (funcional linear, na verdade) e g(x) = senx função contínua (do Cálculo I). (b) A composição de α(t) = (t, 2t), função contínua, com f(x, y) =xy + 2x + y, também contínua, resulta na função k(t) = f α(t) = f(t, 2t) = 2t 2 +4t, claramente uma função contínua. Um resultado muito interessante e útil, que caracteriza as funções contínuas, em geral, éoseguinte. Teorema 4.2 (da permanência do sinal) Sejam f : A lr 2 lr uma função contínua e (x 0,y 0 ) A tal que f(x 0,y 0 ) > 0 (digamos). Então, existe uma número r>0tal que, se (x, y) A étalque 0 < (x, y) (x 0,y 0 ) <r, então, f(x, y) > 0. Ou seja, se o sinal da função contínua f é positivo num determinado ponto (x 0,y 0 ), então o sinal de f permanece positivo em uma vizinhança de raio r em torno do ponto (x 0,y 0 ). Como o teorema anterior ainda não foi demonstrado, vamos terminar a aula fazendo a demonstração desse teorema. Demonstração Consideremos, inicialmente, a possibilidade de (x 0,y 0 ) ser um elemento de A, masnão ser um ponto de acumulação de A (essa situação não ocorre com freqüência nas funções maisusadasnocálculo, mas como é uma possibilidade teórica, devemos incluí-la de qualquer forma). 51 CEDERJ

Se (x 0,y 0 ) A, masnão éumdeseuspontosdeacumulação, existe um número r>0, tal que (x 0,y 0 )éoúnico elemento de A contido no disco de centro em (x 0,y 0 )eraior. Neste caso, a afirmação do teorema é verdadeira. Suponhamos, agora, que (x 0,y 0 )éumelementodea, assim como um ponto de acumulação de A. Logo, podemos reescrever a definição de continuidade em (x 0,y 0 ) da seguinte maneira: ε >0, δ >0, tal que, se (x, y) A e 0 < (x, y) (x 0,y 0 ) <δ, então f(x, y) f(x 0,y 0 ) <ε. Como f(x 0,y 0 ) > 0, podemos tomar ε = f(x 0,y 0 ). Para esse ε existe 2 δ = r>0, tal que, se (x, y) A e 0 < (x, y) (x 0,y 0 ) <r, então f(x, y) f(x 0,y 0 ) < f(x 0,y 0 ). 2 Isso é suficiente para garantir que f(x, y) > 0, pois a inequação éequivalente a dizer que f(x, y) pertence ao intervalo, 3f(x 0,y 0 ) ( f(x0,y 0 ) ) lr. 2 2 Muito bem; com isso terminamos. Na próximaaula,otemadadiferenciabilidade será introduzido através das derivadas parciais. Aqui estão alguns exercícios para que você pratique os conhecimentos que aprendeu. Exercícios Exercício 1 (a) (c) (e) (g) Calcule os seguintes ites. (x,y) ( 1,1) ex2 y 2. (b) (x,y) (1, 2) (x,y) (0,0) (x,y,z) (1, 1,1) (x,y,z) (0,0,0) ln (1 + xy) senxy. (d) xy (x,y) (1,0) x 2 + y 2 + z 2. (f) 2+x + y + z (x,y) (0,0) x 2 z. (h) x 2 + y 2 +2z2 (x,y) (0,0) Dica: a resposta do item (h) é zero. 4 x 2 5+xy. 1 cos y xy 2. (sen 2x) (tg xy). x 2 y x 2 y 2 x2 + y 2. CEDERJ 52

MÓDULO 1 AULA 4 Exercício 2 (x +1)y3 Seja f(x, y) = (x +1) 2 + y. 6 (a) Determine o domínio de f. (b) Considere α(t) = (at 1,bt), com a 2 + b 2 > 0. Mostre que f(α(t)) = 0. O que isso quer dizer? (c) O que podemos dizer a respeito de Exercício 3 (x,y) ( 1,0) f(x, y)? Calcule os seguintes ites ou mostre quando a função não admite tal ite. (a) (c) (e) (g) (x,y) (0,0) (x,y,z) (0,0,0) (x,y,z) (0,0,0) (x,y) (0,1) Exercício 4 y. (b) x2 + y2 (x,y) (0,0) x 2 y 2 + z 2. (d) x 2 + y 2 + z2 x(z 1). (f) (z 1) x 2 + y2 (x,y) (0,0) (x,y,z) (0,0,0) x 2 (x +1)+(y 1) 2 x 2 +(y 1) 2. (h) (x,y) (0,0) Determine o valor de c para o qual a função f(x, y) = seja contínua. Exercício 5 2x 2 y 3x 2 (y 1) 2 x 2 y 4 x 2 + y 4. x 2 + y 2 x 2 + y. xy + xz + yz x 2 + y 2 + z. 2 x 3 (x 2 + y 2 ) 3/2. x 2 +(y 1) 2, se (x, y) (0, 1) c, se (x, y) =(0, 1) Determine qual das seguintes funções écontínua. Para as que não forem contínuas, determine o maior subconjunto do domínio no qual a função é contínua. (a) f(x, y) = e x2 +y 2. (b) g(x, y) = 4 x 2 4y 2. 53 CEDERJ

(c) h(x, y) = (d) k(x, y) = Exercício 6 2x 2 + y 2, se (x, y) (0, 0) x2 + y2 0, se (x, y) =(0, 0) x +2y, se (x, y) (0, 0) x 2 + y2 c, se (x, y) =(0, 0).. Seja D = { (x, y) lr 2 ;x 2 +y 2 1 } e f : D lr uma função contínua, tal que f(0, 0) = 1. (a) Mostre que existe um número r>0, tal que, se x 2 + y 2 <r 2,então f(x, y) > 0. (b) Sabendo que f( 2/2, 2/2) < 0ef( 2/2, 2/2) > 0, mostre que existe um número a, talquef(a, a) = 0. (Considere α(t) =(t, t)). CEDERJ 54