Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis vende álcool e gasolina em 5 estabelecimentos diferentes, num mesmo estado, praticando os preços (por litro) indicados no quadro abaixo. Postos P 1 P P 3 P 4 P 5 Álcool, 50, 5, 5, 60, 55 Gasolina 3, 15 3, 15 3, 15 3, 3, 30 O governo estadual resolveu criar um imposto sobre a venda de combustíveis. O valor que cada estabelecimento deve repassar ao governo é de 0,0% sobre o valor arrecadado com a venda de combustível. (a) Use matrizes e produto por escalar para exibir um quadro constando a arrecadação de cada posto com álcool e gasolina sabendo que em um determinado intervalo de tempo, cada posto vendeu exatamente 3,5 mil litros de cada tipo de combustível. (b) Faça uma tabela (também usando matrizes e produto por escalar) mostrando a arrecadação do governo com cada tipo de combustível em cada estabelecimento. 3. Identifique cada uma das seguintes matrizes como simétrica, anti-simétrica ou nenhum dos dois. 1 3 3 0 3 3 (a) 3 4 3 (b) 3 0 1 3 3 0 3 1 0 (c) 0 3 3 3 0 3 3 3 1 (d) ( 0 1 0 4. Explique por quê o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem n n é fechado para a adição. Isto é, explique por quê a soma de duas matrizes simétricas de ordem n n é também uma matriz simétrica de ordem n n. O conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n n é fechado para a adição? 5. Mostre que se A é uma matriz real e simétrica, então a matriz B = i.a é anti-hermitiana. 6. Seja A uma matriz quadrada. (a) Mostre que A + A T é simétrica e que A A T é antissimétrica. (b) Mostre que existe uma, e somente uma, maneira de escrever A como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 7. Se A e B são duas matrizes de mesma ordem, mostre que cada uma das sentenças é verdadeira: (a) (A + B) = A + B (b) (αa) = α.a ) 1
8. Mostre que (A T ) T = A. 9. Dada uma matriz A C n n, quando ocorre A = A T? 10. É possível encontrar uma matriz que seja ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica? E uma matriz que ao mesmo tempo seja hermitiana e anti-hermitiana? 11. Sendo A = 1 3 0 5 4 4 3 8, B = calcule os seguintes produtos quando possível: 0 4 3 7 e C = (a) AB (b) BA (c) CB (d) C T B (e) A (f) B (g) C T C (h) C.C T (i) BB T (j) B T B (k) C T AC 1. Considere o seguinte sistema de equações: x 1 + x + x 3 = 3 4x 1 + x 3 = 10 x 1 + x = (a) Escreva a equação matricial do sistema (AX = B). (b) Escreva a solução S do sistema na forma coluna e verifique, usando multiplicação de matrizes, que S satisfaz a equação AX = B. (c) Escreva B como uma combinação das colunas de A. 1 0 0 13. Seja E = 0 1 0 e seja A uma matriz arbitrária de ordem 3 3. 3 0 1 (a) Descreva as linhas de EA em termos das linhas de A. (b) Descreva as colunas de AE em termos das colunas de A. 14. Seja e j a j-ésima coluna unitária, isto é, a j-ésima coluna de uma matriz identidade de ordem n. Para uma matriz arbitrária A n n descreva os seguintes produtos: (a) A.e j (b) e T i.a (c) et i.ae j 15. Suponha que A e B são matrizes de ordem m n. Se ocorre Ax = Bx para todo vetor coluna x, mostre que A = B. [Sugestão: o que acontece se x é uma coluna unitária?] 16. Se C m 1 e R 1 n, então a matriz produto P m n = CR é, às vezes, chamada de produto externo de C com R. Para matrizes compatíveis A e B, explique como escrever o produto AB como uma soma de produtos externos envolvendo as colunas de A e as linhas de B. 17. Uma matriz quadrada U = [u ij ] é dita triangular superior sempre que u ij = 0 para i > j, isto é, as entradas abaixo da diagonal principal são todas nulas. (a) Se A e B são duas matrizes do tipo triangular superior, explique por que o produto AB também é uma matriz triangular superior. (b) Se A n n e B n n são duas matrizes do tipo triangular superior, o que está na diagonal principal de AB? 1 3
(c) L = [l ij ] é dita triangular inferior quando l ij = 0 para i < j. É verdade que o produto de duas matrizes do tipo triangular inferior, é também uma matriz triangular inferior? 18. Seja A m n uma matriz arbitrária. Mostre que A.A e A.A são matrizes hermitianas. 19. Se A e B são duas matrizes simétricas que comutam, mostre que o produto AB também é simétrico. Se AB BA, AB é simétrica? 0. Seja f : A B uma função. Mostre que se f (c.x + Y) = c. f (X) + f (Y), então f é uma função linear. 1. Sejam A, B duas matrizes. Sob que condições tem-se (AB) n = A n.b n?. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal, ou seja: traço(a) = a 11 + a +... + a nn (a) Qual o traço da matriz I 3? (b) Qual o traço da matriz I n? (c) Qual o traço da matriz A = [a ij ] n n tal que a ij = i j? [Sugestão: 1 + +... + n = n(n + 1) e + + 3 +... + n n(n + 1)(n + 1) = ]. 6 (d) Sejam X n m e Y m n. Mostre que traço(xy) = traço(yx). 3. Quando possível, encontre a inversa de cada matriz abaixo. Confira sua resposta através da multiplicação de matrizes A = [ 1 3 D = ], B = 3 4 5 6 7 8 9 4. Encontre X tal que X = AX + B onde A = [ 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ], E =, C = 1 1 1 1 3 3 3 4, B = 1 3 3 4 8 5 4 7 4 3 4 5. Para uma matriz quadrada A, explique por que cada uma das sentenças a seguir é verdadeira: (a) Se A possui uma linha ou coluna nula, então ela é singular. (b) Se A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então ela é singular. (c) Se uma linha (ou coluna) é um multiplo de outra linha (ou coluna), então A é singular. 3
6. Responda as questões abaixo: (a) Sob que condições uma matriz diagonal é não singular? Descreva a estrutura da inversa de uma matriz diagonal. (b) Sob que condições uma matriz triangular é não singular? Descreva a estrutura da inversa de uma matriz triangular. 7. Se A é não singular e simétrica, mostre que A 1 é simétrica. 8. Se A é uma matriz quadrada tal que I A é não singular, mostre que A(I A) 1 = (I A) 1 A 9. Se A, B e A + B são não singulares, mostre que A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A = (A 1 + B 1 ) 1 30. Seja S uma matriz antissimétrica com entradas reais. (a) Mostre que I S é não singular. [Sugestão: X T X = 0 = X = 0] (b) Se A = (I + S)(I S) 1, mostre que A 1 = A T. 31. Suponha que A, B, C, D são matrizes de ordem n n tais que AB T e CD T são simétricas e AD T BC T = I. Mostre que A T D C T B = I 3. Seja U = A + i.b uma matriz hermitiana, onde A, B R n n. Mostre que A é simétrica e que B é antissimétrica. 33. Seja A R n m. Mostre que se A T.A = 0 então A = 0 34. (a) Uma matriz A R n n é dita normal quando A T.A = A.A T. Mostre que toda matriz simétrica é normal. (b) Uma matriz A R n n é dita ortogonal quando A T.A = A.A T = I. Mostre que toda matriz ortogonal é normal. 35. Demonstre ou dê um contra-exemplo: Para A e B quadradas, de mesma ordem e não singulares, (A + B) 1 = A 1 + B 1 36. Dada uma matriz quadrada A onde os elementos fora da diagonal secundária são todos nulos, quais as restrições sobre os elementos da diagonal secudária para que exista A 1? Descreva a estrutura da inversa A 1 quando esta existir. 37. Uma matriz quadrada tem uma coluna nula. O que se pode falar sobre a existência de sua inversa? E se a matriz tiver uma linha nula? 38. Um sistema S não homogêneo com n equações e n variáveis. Prove ou dê um contraexemplo: S terá única solução se, e somente se, A for não singular. 39. Sob que condições tem-se (AB) 1 = A 1.B 1? Lembre que, seguramente, tem-se (AB) 1 = B 1.A 1. 4
40. Mostre que (A 1 ) = (A ) 1. O resultado continua válido para (A 1 ) n? 41. Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz quadrada que possui coluna não básica, então sua inversa A 1 também possui uma coluna não básica. 4. Um sistema S tem número de equações igual ao número de variáveis, digamos, 8. Sua solução geral é X = α 1.h 1 + α.h + α 3.h 3 + p onde h 1, h, h 3 e p são matrizes colunas (não nulas) de ordem 8 1 e α 1, α, α 3 variando em C. Existe inversa para a matriz dos coeficientes de S? Justifique. 43. A forma escalonada reduzida de uma matriz A 5 5 apresentou uma coluna da seguinte forma: [1 1 0 0 0] T. A é não singular? Justifique. 5