Livro Eletrônico Aula 00 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB - 2015 (com videoaulas) Professor: Felipe Lessa
Aula 0 AULA 0: 5. Matrizes. SUMÁRIO Cronograma... 3 I. Matrizes... 6 II. Mais Questões Comentadas...... 19 III. Lista das Questões Apresentadas... 23 Olá Concurseiro! Seja muito bem vindo ao nosso Curso! Embarcar neste desafio de estudar para a Receita Federal não é para qualquer um; é para os fortes! E meus parabéns por você ter dado este primeiro passo. Este ano de 2015, como você deve estar acompanhando na mídia, deve ser um ano de austeridade, com o Governo querendo arrecadar mais para equilibrar suas contas. Neste contexto, a Receita Federal ganha uma importância enorme, pois a sua missão é prover o Estado de recursos. Com isto, acreditamos na valorização da carreira de Auditoria da RFB mais do que qualquer outra carreira de Estado. A necessidade de aumentar a arrecadação requer uma maior quantidade de servidores na ponta. E para aumentar servidores, eu só conheço uma maneira: CONCURSO PÚBLICO! O concurso da Receita Federal é, sem dúvida, um dos mais aguardados entre os concurseiros! E, para você mandar bem nesse concurso, é Página 1 de 26
Aula 0 FUNDAMENTAL se preparar com antecedência. Assim, você sai na frente dos seus concorrentes e não é pego de surpresa quando sair o edital! Nossas aulas estão bem distribuídas até o AGOSTO para que você possa se preparar com calma, sem correria! Assim, quando sair o edital, você só precisará revisar os conceitos aprendidos! Este Curso está atualizado com todas as provas aplicadas pela ESAF em 2014: AFRFB 2014, MTUR 2014 e ATA 2014 ********************************************************** Falando um pouquinho de mim e da minha história, me chamo Felipe Lessa, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado no concurso de 2009. Sou engenheiro de telecomunicações formado pelo IME (Instituto Militar de Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos números e espero poder passar um pouco desse gosto para vocês. Afinal, dominar bem o Raciocínio Lógico é pré-requisito para ir bem em qualquer matéria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formação para os aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar que mais de 60% dos aprovados levantaram a mão. Por que os engenheiros se dão bem em concursos públicos? Porque são formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei questões de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando conceitos de raciocínio lógico. É isso que eu espero passar para você nesse curso, caro aluno! Minha experiência em concursos públicos começou bem cedo: aos 14 anos. O Colégio Militar do RJ, pela primeira vez em sua história, resolveu abrir concurso para o Ensino Médio e ofereceu apenas 20 vagas... Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu respondia: Dezenove, pois uma já é minha!. Dito e feito! Fiz as quatro provas do Colégio Militar e saiu o resultado: 1º LUGAR GERAL!!!!! A essa hora, você deve estar pensando: Ih... Cara metido... Precisava encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? Só quer saber de contar vantagem. Página 2 de 26
Aula 0 Mas não, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu pensamento tem que ser este. Estude como se uma das n vagas já fosse sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB, responda: (n 1), porque uma já é minha! Por fim, quero dizer mais uma vez que é um imenso prazer poder fazer parte desta seleta equipe do Estratégia Concursos e que me empenharei ao máximo para tentar fazer parecer fácil essa matéria da qual muitos fogem e têm medo: Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática. *** Voltando aos estudos, uma estratégia que utilizei e recomendo para aqueles que não têm muito tempo para frequentar aulas, como eu não tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, é: fujam das aulas presenciais. Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma de 80 alunos, você aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado. Ah, mas é claro: é sempre bom ter um professor com quem você pode tirar suas dúvidas. Desta forma, você leva ao professor somente a sua dúvida e ganha tempo! No nosso curso, ainda temos os vídeos para ajudar! Para preparar este curso de RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO E MATEMÁTICA P/ ATRFB 2015, tomei por base o EDITAL ESAF n. 23, de 06 de julho de 2012. Nosso curso apresentará, de um modo bem interativo, a teoria que cerca a matéria, muitos exercícios resolvidos da ESAF e Vídeo-Aulas que complementam o material escrito. Quando eu achar pertinente, trarei exercícios de outras bancas. ******* Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! Não tenham medo da Lógica! Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, você vai ver que ela pode ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso. Página 3 de 26
Aula 0 Cronograma O cronograma do curso está baseado nos itens do próprio Edital de 2014, mais ou menos na ordem em que aparecem, abrangendo todo o conteúdo cobrado nele. Faremos assim: AULA CONTEÚDO DATA Aula 0 5. Matrizes. 23/01 Aula 1 1. Estruturas Lógicas Associação Lógica / Verdades e Mentiras 03/02 Aula 2 1. Estruturas Lógicas Lógica de Proposições 13/02 Aula 3 1. Estruturas Lógicas Equivalência Lógica 23/02 Aula 4 2. Lógica de Argumentação 03/03 Aula 5 2. Lógica de Argumentação (Exercícios Extras) 13/03 Aula 6 3. Diagramas Lógicos 23/03 10. Compreensão e elaboração da lógica das Aula 7 situações por meio de: raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de 03/04 conceitos; discriminação de elementos 6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio Aula 8 Matemático parte I: Numeração; Números Naturais: múltiplos, divisores, divisibilidade e 13/04 restos; MDC e MMC 6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio Aula 9 Matemático parte II: Números Fracionários; Operações com Frações; Dízimas Periódicas; 23/04 Porcentagem 6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio Aula 10 Matemático parte III: Aplicações e Operações com Inequações; Sequencias e Séries; 03/05 Progressão Aritmética; Progressão Geométrica Página 4 de 26
Aula 0 6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio Aula 11 Matemático parte IV: Logaritmos; Radiciação e 13/05 Potenciação; Fatoração Algébrica 6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio Matemático parte V: Sistemas de Unidade; Aula 12 Razões e Proporções; Escalas; Divisão 23/05 Proporcional; Regra de Três Simples ou Composta 6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio Aula 13 Matemático parte VI: Teoria dos Conjuntos; 03/06 Relações e Funções de primeiro e segundo grau Aula 14 7. Probabilidade 13/06 Aula 15 7. Estatística Descritiva 23/06 Aula 16 5. Matrizes e Determinantes 03/07 Aula 17 4. Trigonometria. 13/07 Aula 18 8. Geometria Básica 23/07 Aula 19 9. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto 03/08 Agora, chega de enrolação rsrsrs! Vamos a nossa Aula Demonstrativa?!? Página 5 de 26
Aula 0 I. Matrizes Uma matriz, grosso modo falando, é uma tabela onde armazenamos números. Ela pode ser representada por parêntesis ou colchetes. Assim, seja a matriz A. Veja como ela pode ser representada: Como toda boa tabela, uma matriz possui linhas e colunas. Identifique-as: COLUNAS LINHAS Outro conceito que devemos ter em mente sempre ao trabalharmos com matrizes é o de ordem da matriz. A ordem de uma matriz nada mais é do que o seu tamanho, representado pela quantidade de linhas e colunas. Podemos afirmar que a matriz A do nosso exemplo inicial é de ordem 3x3 (três por três), porque possui 3 linhas e 3 colunas. Representamos assim: A3x3, onde o primeiro 3 representa as linhas e o segundo 3, as colunas. Dessa forma, podemos escrever uma matriz na forma geral Amxn, o que significa que ela tem m linhas e n colunas. Notação Geral Assunto de interesse relevante para provas de concurso é a identificação dos elementos da matriz. Representaremos por aij, o elemento da linha i e da coluna j da matriz. Assim, podemos escrever uma matriz mxn na sua forma genérica: Página 6 de 26
Aula 0 Uma coisa que a ESAF adora é dar uma Lei de Formação para os elementos da matriz. Exemplo: Seja a matriz A2x2, onde aij = i+j. Vamos praticar? Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por: Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 é igual a: a) 17 b) 15 c) 12 d) 19 e) 13 SOLUÇÃO: A questão quer saber a soma dos elementos da primeira coluna da matriz A, ou seja: a11 + a21 + a31 Pela lei de formação da matriz A: a11 = (1 + 1)2 = 4 a21 = 22+12 = 5 a31 = 32+12 = 10 Gabarito: Letra D *********** Página 7 de 26
Aula 0 Tipos de Matrizes Passo a apresentar agora algumas matrizes diferentes antes de entramos nas operações com matrizes propriamente ditas. Matriz Coluna: é a matriz formada por uma única coluna. Exemplo: Matriz Linha: é a matriz formada por uma única linha. Exemplo: Matriz Quadrada: é a matriz que tem número de linhas igual ao número de colunas. Exemplo: Na matriz quadrada, podemos identificar dois conceitos novos: a diagonal principal e a diagonal secundária. Os elementos que compõem a diagonal principal no exemplo abaixo são: 2, 3, 1, 4. Já a diagonal secundária é composta pelos elementos: 0, 1, 8, 2. Observe: DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL Matriz Diagonal: é a matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo: Página 8 de 26
Aula 0 Matriz Triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo: Matriz Identidade: é a matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais iguais a zero. A matriz identidade tem várias propriedades interessantes. Aguarde e verás... Exemplo: Matriz Transposta: a matriz transposta At de uma matriz A é uma nova matriz onde suas linhas são as colunas de A. Simples assim! Exemplo: Matriz Simétrica: diz-se que uma matriz é simétrica quando ela é igual a sua transposta (A=At ou aij=aji). Repare que os elementos das linhas e colunas de mesmo índice são iguais; a linha 1 é igual à coluna 1, e assim por diante. Exemplo: Página 9 de 26
Aula 0 Matriz Antissimétrica: diz-se que uma matriz é antissimétrica quando a sua transposta coincide com sua oposta (-A=At ou aij=-aji). Repare que os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos das linhas e colunas de mesmo índice são opostos; a linha 1 é igual a menos a coluna 1, e assim por diante. Exemplo: Questão 2: ESAF - AFRFB/2014 A matriz quadrada A, definida genericamente por A = a ij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão ser, respectivamente, iguais a: a) 4; -2; -2; -2. b) 4; -2; 2; -2. c) 4; 2; -2; -2. d) -4; -2; 2; -2. e) -4; -2; -2; -2. SOLUÇÃO: Uma matriz antissimétrica é aquela cuja transposta coincide com sua oposta, ou seja, ou =A matriz do enunciado é: Para que seja antissimétrica, precisamos ter: ( 4) Logo, =4 Nossa matriz fica: Gabarito: Letra C *********** Página 10 de 26
Aula 0 Matriz Inversa: a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) é aquela que, multiplicada por esta, resulta na matriz identidade. Assim: A A-1 = I Para achar a inversa de uma matriz 2x2, é só: 1. trocar de lugar os elementos da diagonal principal; 2. multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundária; 3. Dividir os elementos pelo determinante de A (deta). Veremos mais adiante o conceito de determinante mas, por ora, saiba que o determinante de uma matriz 2x2 é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Assim: ã O cálculo da inversa de matrizes de ordem superior a 2 é extremamente complicado e eu nunca vi cair em concurso! Como este é um curso voltado para o que cai em prova e não um doutorado em matemática, vou pular essa parte, ok? É suficiente para sua prova saber a inversa de uma matriz 2x2 Exemplo: Seja a Matriz A, calcule sua inversa: Ora, basta seguir a nossa fórmula mágica: Página 11 de 26
Aula 0 Operações com Matrizes Adição/Subtração de Matrizes: Para somar ou subtrair matrizes, basta fazer a operação elemento a elemento. Exemplo: Calcule o soma da matriz A com a matriz B. Questão de prova que envolve os conceitos de soma de matrizes... Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 SOLUÇÃO: Sabemos que x31 = a31 + b31 Pela lei de formação da matriz A, a31=32=9 Pela lei de formação da matriz B, b31=(3 1)2 = 4 Então, x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13 Sabemos também que x13 = a13 + b13 Pela lei de formação da matriz A, a13=12=1 Pela lei de formação da matriz B, b13=(1 3)2 = 4 Então, x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5 x31 x13 = 13 5 = 65 Gabarito: Letra D *********** Página 12 de 26
Aula 0 Multiplicação/Divisão de Matrizes por um número real: Para multiplicar ou dividir matrizes por um número real, basta fazer a operação elemento a elemento. Exemplo: Calcule o valor de 3xA: Multiplicação de Matrizes: A multiplicação de duas matrizes A e B é um pouquinho mais complicada, mas nada impossível! Cada elemento (c ij) da matriz C resultado do produto é formado pela multiplicação ordenada de cada elemento da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. - Poxa vida, Professor! Não entendi nada! - Eu sei, caro Aluno! É meio enrolado mesmo! Mas vamos fazer um exemplo para clarear as ideias... Exemplo: Calcule o produto da matriz A pela matriz B. Seja a matriz C o resultado do produto A B. Cada elemento cij será assim formado: c11 = a11b11 + a12b21 c11 = 1x0 + 2x3 = 6 c12 = a11b12 + a12b22 c12 = 1x1 + 2x1 = 3 c21 = a21b11 + a22b21 Página 13 de 26
Aula 0 C21 = 3x0 + 4x3 = 12 c22 = a21b12 + a22b22 C22 = 3x1 + 4x1 = 7 Logo, a nossa matriz C = A B fica assim: Entendido até aqui???? Nada melhor do que uma questão da ESAF para treinarmos um pouco! Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004 Sejam as matrizes e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1 SOLUÇÃO: A primeira coisa a ser feita é o produto AB: Página 14 de 26
Aula 0 Nosso próximo passo é encontrar X, a transposta de AB: Gabarito: Letra A *********** Para multiplicar matrizes, existe uma observação importante. Este produto só será possível quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Exemplo: Sejam as matrizes A3x7 e B7x6. Verifique se o produto A possível. Se sim, qual a ordem da matriz A B? B é Essa é muito fácil: Basta verificar se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. A3x7 B7x6 Como ambos são iguais a 7, o produto é possível sim! Para determinar a ordem da matriz resultado, tem um macete! Ela terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B A3x7 B7x6 Assim, a ordem da matriz resultado do produto A B será 3x6. Página 15 de 26
Aula 0 Questão 5: ESAF - TFC/1997 Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 SOLUÇÃO: Questão fácil, típica de ordem de produto de matrizes! Vamos por partes, o produto BC tem ordem: B3x4 C4x2 Assim, a ordem da matriz resultado do produto B C será 3x2. Agora, o produto A(BC) tem ordem: A2x3 BC3x2 Assim, a ordem da matriz resultado do produto A(BC) será 2x2. Agora, o produto [A(BC)]2 = [A(BC)] [A(BC)] tem ordem: A(BC)2x2 A(BC)2x2 Assim, a ordem da matriz resultado do produto [A(BC)]2 será 2x2. Gabarito: Letra A *********** Propriedades da Multiplicação de Matrizes: 1. Associativa: (A B) C = A (B C) 2. Distributiva: A (B+C) = A B + A C / (A + B) C = A C + B C 3. Elemento Neutro: A I = I A = A, onde I é a matriz identidade. 4. (A.B)t = Bt At 5. A A-1 = I 6. (A.B)-1 = B-1 A-1 Página 16 de 26
Aula 0 Vamos ver como essas propriedades foram cobradas pela ESAF? Questão 6: ESAF - AFTN/1998 Sejam as matrizes: E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) -7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2 SOLUÇÃO: A primeira coisa que devemos fazer é o produto AB. Se você reparar bem, antes de cair dentro das contas, perceba que a matriz A é a matriz identidade, ou seja, o produto dela por qualquer outra é igual a esta última. Assim, AB = B. Logo, Y = B + C: Nosso próximo passo é calcular a transposta de Y (Yt). O que era linha vira coluna! A soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y é: 1 + ( 1) = 0 Gabarito: Letra C *********** Página 17 de 26
Aula 0 Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005 A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A-1 B C b) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1 SOLUÇÃO: Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa, ou seja, a ordem em que são multiplicadas importa. Sabemos que C = A Z B. Temos que isolar a matriz Z. Para tanto, nessas questões, procuramos multiplicar sempre pela matriz inversa de outras matrizes. Você verá o porquê. Vamos multiplicar à direita, em ambos os lados da igualdade, por B-1. C B-1 = A Z B B-1 Ora, sabemos que o produto B B-1 é igual à matriz identidade: C B-1 = A Z I Como a matriz identidade é o elemento neutro desta multiplicação de matrizes, podemos escrever: C B-1 = A Z Para isolar a matriz Z na igualdade, multiplicamos à esquerda por A-1 A-1C B-1 = A-1A Z Ora, sabemos que o produto A-1A é igual à matriz identidade: A-1C B-1 = I Z = Z Logo, Z = A-1C B-1 Gabarito: Letra C *********** Página 18 de 26
Aula 0 II. Mais Questões Comentadas... Questão 8: ESAF - MPOG/2003 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 0 SOLUÇÃO: Sabemos que x31 = a31 + b31 Pela lei de formação da matriz A, a31 = 32-12 = 8 Pela lei de formação da matriz B, b31 = (3 + 1)2 = 16 Então, x31 = a31 + b31 = 8 + 16 = 24 Sabemos também que x13 = a13 + b13 Pela lei de formação da matriz A, a13 = 12-32 = - 8 Pela lei de formação da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16 Então, x13 = a13 + b13 = -8 + 16 = 8 x31 + x13 = 24 + 8 = 32 Gabarito: Letra C *********** Questão 9: ESAF Técnico/MPU/Administrativa/2004 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual a: a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6 Página 19 de 26
Aula 0 SOLUÇÃO: Sabemos que s22 = a22 + b22 Pela lei de formação da matriz A, a22 = 22 + 22 = 8 Pela lei de formação da matriz B, b22 =22 = 4 Então, s22 = a22 + b22 = 8 + 4 = 12 Sabemos também que s12 = a12 + b12 Pela lei de formação da matriz A, a12 = 12 + 22 = 5 Pela lei de formação da matriz B, b12 =12 = 1 Então, s12 = a12 + b12 = 5 + 1 = 6 Gabarito: Letra D *********** Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 SOLUÇÃO: Sabemos que s31 = a31 + b31 Pela lei de formação da matriz A, a31=32+12=10 Pela lei de formação da matriz B, b31 =2 3 1 = 6 Então, s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16 Sabemos também que s13 = a13 + b13 Pela lei de formação da matriz A, a13=12+32=10 Pela lei de formação da matriz B, b13=2 1 3 = 6 Então, s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16 s31+ s13 = 16 + 16 = 32 Gabarito: Letra E *********** Página 20 de 26
Aula 0 Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58 SOLUÇÃO: A questão quer saber a soma dos elementos da primeira linha da matriz S, ou seja: s11 + s12 + s13 Sabemos que s11 = a11 + b11 Pela lei de formação da matriz A, a11 = 12+12 = 2 Pela lei de formação da matriz B, b11 = (1 + 1)2 = 4 Então, s11 = a11 + b11 = 2 + 4 = 6 Sabemos que s12 = a12 + b12 Pela lei de formação da matriz A, a12 = 12+22 = 5 Pela lei de formação da matriz B, b12 = (1 + 2)2 = 9 Então, s12 = a12 + b12 = 5 + 9 = 14 Sabemos que s13 = a13 + b13 Pela lei de formação da matriz A, a13 = 12+32 = 10 Pela lei de formação da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16 Então, s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26 s11 + s12 + s13 = 6 + 14 + 26 = 46 Gabarito: Letra D *********** Questão 12: ESAF -TFC/1995, assinale os valores Dadas as matrizes de a e b, de modo que AX = B. a) a=0 e b=1; b) a=1 e b=0; c) a=0 e b=0; d) a=1 e b=1; e) a=0 e b=-1; Página 21 de 26
Aula 0 SOLUÇÃO: A primeira coisa a ser feita é o produto AX. Perceba que A é 2x2 e X é 2x1. Logo, a ordem do produto AX será 2x1 Igualando AX a B, temos: Se as matrizes são iguais, é porque os elementos são iguais um a um. Logo, b = 1; a+2b=2; Substituindo o valor de b na equação acima, temos: a + 2x1 = 2 a=0 Gabarito: Letra A *********** Página 22 de 26
Aula 0 III. Lista das Questões Apresentadas Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 (e mais 3 concursos) Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por: Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 é igual a: a) 17 b) 15 c) 12 d) 19 e) 13 Questão 2: ESAF - AFRFB/2014 A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão ser, respectivamente, iguais a: a) 4; -2; -2; -2. b) 4; -2; 2; -2. c) 4; 2; -2; -2. d) -4; -2; 2; -2. e) -4; -2; -2; -2. Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004 Sejam as matrizes Página 23 de 26
Aula 0 e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1 Questão 5: ESAF - TFC/1997 Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 ==0== Questão 6: ESAF - AFTN/1998 Sejam as matrizes: E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) -7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2 Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005 A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A-1 B C b) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1 Página 24 de 26
Aula 0 Questão 8: ESAF - MPOG/2003 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Questão 9: ESAF Técnico/MPU/Administrativa/2004 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual a: a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6 Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 Página 25 de 26
Aula 0 e) 58 Questão 12: ESAF -TFC/1995, assinale os valores Dadas as matrizes de a e b, de modo que AX = B. a) a=0 e b=1; b) a=1 e b=0; c) a=0 e b=0; d) a=1 e b=1; e) a=0 e b=-1; 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D A A C C C 9 10 11 12 D E D A É isso aí, Pessoal! Espero que tenham gostado de nossa Aula Demonstrativa! Não se acostumem com a pouca quantidade de exercícios, rsrsrs. Hoje foi só um aperitivo!! Bons Estudos! Contem comigo! Qualquer dúvida, estou à disposição felipelessa@estrategiaconcursos.com.br no e-mail: Página 26 de 26