Livro Eletrônico Aula 00 Matemática p/ Escolas de Aprendizes Marinheiros (Com videoaulas)

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1 Livro Eletrônico Aula 00 Matemática p/ Escolas de Aprendizes Marinheiros (Com videoaulas) Professores: Arthur Lima, Hugo Lima

2 Prof. Arthur Lima, Aula 00 AULA 00 (demonstrativa) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação Edital e cronograma do curso Resolução de questões Questões apresentadas na aula Gabarito 22 APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo a este curso de MATEMÁTICA desenvolvido para auxiliar na sua preparação para o próximo concurso de APRENDIZES- Prof. Arthur Lima 1

3 Prof. Arthur Lima, Aula 00 MARINHEIROS. Vamos seguir à risca o conteúdo exigido no edital de Neste material você terá: - curso completo em vídeo, formado por cerca de 15 horas de gravações onde explico grande parte dos tópicos exigidos no edital e resolvo alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas; - curso escrito completo (em PDF), formado por 10 aulas onde também explico o conteúdo teórico do edital, além de apresentar cerca de 300 questões resolvidas e comentadas sobre todos os assuntos trabalhados. Utilizaremos questões de Aprendizes-Marinheiros, Colégio Naval, da EEAR, ESA, EsPCex, EPCAr, ENEM e até de vestibulares; - fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco. Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos exigidos no edital do Colégio Naval e nada além disso, e você poderá estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante para aqueles que trabalham e estudam. Já faz tempo que você não estuda Matemática? Não tem problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto porque você estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente possível Prof. Arthur Lima 2

4 Prof. Arthur Lima, Aula 00 que, mesmo tendo dificuldade em Matemática e estando há algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um ótimo desempenho na prova do Colégio Naval. Obviamente, se você se encontra nesta situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso. O fato de o curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda quiser continuar estudando, é simples: assista a algumas aulas em vídeo! Ou resolva uma bateria de questões! Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico formado pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Sou professor há quase 10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pré-vestibular como para concursos públicos que exigem Matemática. Como engenheiro, trabalhei por 5 anos no mercado da aviação, quando então decidi migrar para o serviço público, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui no Estratégia eu já tive o privilégio de ministrar mais de 400 cursos online de Matemática e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de vista possui muitas vantagens em relação ao estudo em um cursinho presencial tradicional. Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo: Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico- Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor- Fiscal em Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação Prof. Arthur Lima 3

5 Prof. Arthur Lima, Aula 00 bastante elevados acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%. Farei o que for possível para que você também aprove o nosso trabalho! Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo meus contatos: Prof. Arthur Lima 4

6 Prof. Arthur Lima, Aula 00 CRONOGRAMA DO CURSO Veja abaixo os tópicos de matemática cobrados no último edital: MATEMÁTICA ARITMÉTICA - Conjuntos: Tipos de conjuntos; Conjuntos Numéricos (N, Z, Q e R), Conjunto dos Irracionais (RQ) e Subconjuntos dos Reais (Intervalos); Elementos e subconjuntos de um conjunto dado; e Operação entre conjuntos; Problemas com uso das operações com conjuntos; Problemas com operações matemáticas; Expressão envolvendo as quatro operações; Divisibilidade, múltiplos e divisores e números primos; Fatoração; MDC e MMC. Operações com números fracionários (Frações): Frações ordinárias; Operações com frações; Problemas envolvendo frações; Números decimais; transformações frações e números decimais; Medidas: Unidades de medida (comprimento, massa, superfície e volume); Medidas de tempo; Mudanças de unidades e resolução de problemas com unidades; Potenciação e radiciação; Grandezas proporcionais: Proporção; Regra de três simples e composta; Porcentagem. ÁLGEBRA - Cálculo algébrico: Operações com polinômios; termos semelhantes; Produtos notáveis; Fatoração de polinômios; Operações com frações algébricas de polinômios; Equações e Inequações do 1º grau; Equações do 1º grau com uma variável; Resoluções de problemas redutíveis ao 1º grau; Inequações do 1º grau; Sistema de equações com 2 variáveis; Sistemas de inequações do 1º grau; Equações e Inequações do 2º grau: Resolução de equações do 2º grau; Discussão das raízes; Relação entre coeficientes e raízes; Composição da equação do 2º grau, conhecida as raízes; Sistemas simples de equações do 2º grau; Equações biquadradas. Funções do 1º grau: Plano Cartesiano; Definição de funções; Domínio, imagem e contradomínio; Funções constantes; Função do 1º grau; Funções crescentes e decrescentes. GEOMETRIA - Elementos geométricos; Operações com ângulos; Polígonos: Elementos; Congruência; Classificação; Ângulos internos e externos; Paralelismo: ângulos formados por retas coplanares e uma transversal; Postulado de Euclides; Quadriláteros: Paralelogramos, trapézios e suas propriedades; Perímetro e área; Circunferências: Perímetro e área; Posições relativas de uma reta de uma circunferência; Triângulos: Perímetro e área; Prof. Arthur Lima 5

7 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Classificação dos triângulos; Relações métricas de um triângulo qualquer; Relações métricas do triângulo retângulo; Razões trigonométricas do triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente); Teorema de Pitágoras; Seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo; Semelhança de triângulos. Nosso curso será dividido em 10 aulas escritas, além desta aula demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos. Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação. Data 14/02 19/02 24/02 01/03 06/03 Aula Aula 00 - demonstrativa (pdf + vídeo) Aula 01 - Conjuntos: Tipos de conjuntos; Conjuntos Numéricos (N, Z, Q e R), Conjunto dos Irracionais (RQ) e Subconjuntos dos Reais (Intervalos); Elementos e subconjuntos de um conjunto dado; e - Operação entre conjuntos Expressão envolvendo as quatro operações Potenciação e radiciação; Operações com números fracionários (Frações): Frações ordinárias; Operações com frações; Problemas envolvendo frações; Números decimais; transformações frações e números decimais; Problemas com uso das operações com conjuntos; Problemas com operações matemáticas. (pdf + vídeo) Aula 02 - Divisibilidade, múltiplos e divisores e números primos; Fatoração; MDC e MMC. Porcentagem. (pdf + vídeo) Aula 03 - Grandezas proporcionais: Proporção; Regra de três simples e composta; (pdf + vídeo) Aula 04 - Cálculo algébrico: Sistema de equações com 2 Prof. Arthur Lima 6

8 Prof. Arthur Lima, Aula 00 variáveis. Resolução de equações do 2º grau; Discussão das raízes; Relação entre coeficientes e raízes; Composição da equação do 2º grau, conhecida as raízes; Sistemas simples de equações do 2º grau; Equações biquadradas. Equações do 1º grau; Equações do 1º grau com uma variável; Resoluções de problemas redutíveis ao 1º grau Equações do 2º grau (pdf + vídeo) Aula 05 - Funções do 1º grau: Plano Cartesiano; Definição de 11/03 16/03 21/03 26/03 01/04 funções; Domínio, imagem e contradomínio; Funções constantes; Função do 1º grau; Funções crescentes e decrescentes (pdf + vídeo) Aula 06 - Operações com polinômios; termos semelhantes; Produtos notáveis; Fatoração de polinômios; Operações com frações algébricas de polinômios. (pdf + vídeo) Aula 07 - Inequações do 1º grau Sistemas de inequações do 1º grau Inequações do 2º grau Inequações e sistemas (pdf + vídeo) Aula 08 - Medidas: Unidades de medida (comprimento, massa, superfície e volume); Medidas de tempo; Mudanças de unidades e resolução de problemas com unidades; - Elementos geométricos; Operações com ângulos; Polígonos: Elementos; Congruência; Classificação; Ângulos internos e externos; Paralelismo: ângulos formados por retas coplanares e uma transversal; Postulado de Euclides; Geometria plana. Ângulos. (pdf + vídeo) Aula 09 - Quadriláteros: Paralelogramos, trapézios e suas propriedades; Perímetro e área; Circunferências: Perímetro e área; Posições relativas de uma reta de uma circunferência; Triângulos: Perímetro e área; Classificação dos triângulos; Relações métricas de um triângulo qualquer; Relações métricas do triângulo retângulo; Razões trigonométricas do triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente); Teorema de Pitágoras; Seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo; Prof. Arthur Lima 7

9 Semelhança de triângulos. (pdf + vídeo) MATEMÁTICA P/ Prof. Arthur Lima, Aula 00 02/04 Aula 10 - Resumo (somente PDF) Sem mais, vamos a uma demonstração do curso. Prof. Arthur Lima 8

10 Prof. Arthur Lima, Aula 00 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões das provas anteriores de Aprendizes-Marinheiros e do Colégio Naval. É natural que você sinta alguma dificuldade em resolver as questões neste momento, afinal ainda não passamos pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar o nível de cobrança esperado para a sua prova e, claro, a minha forma de lecionar. Vamos começar? 1. APRENDIZES-MARINHEIROS 2017) Seja a função real f definida por f( x) x k. Sabendo-se que f(3) = 2 e f(5) = 4, determine o p valor de k + p e assinale a opção correta. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 RESOLUÇÃO: Fazendo x = 3, temos: Prof. Arthur Lima 9

11 ==0== f( x) x k p MATEMÁTICA P/ Prof. Arthur Lima, Aula 00 3 k f (3) 2 p 2p 3 k Multiplicando os dois lados da igualdade por 2, chegamos a: 4p 6 2k Para x = 5: 5 k f (5) 4 p 4p 5 k Igualando com a expressão anterior, temos: 4p 6 2k 5 k 6 2k 5 k k 1 Assim, temos: 2p 3 k 2 p p 1 Portanto, k + p = 0. RESPOSTA: A 2. APRENDIZES-MARINHEIROS 2017) Sabendo que a fração 4 y é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a: A) Prof. Arthur Lima 10

12 Prof. Arthur Lima, Aula 00 B) C) 2 3 D) E) 3 3 RESOLUÇÃO: Sabendo que (A B)(A + B) = A² - B², podemos multiplicar a fração por 6 2 3, chegando a: (2 3) Se esta fração obtida é proporcional a y, isso significa que 4 y 3 3. RESPOSTA: A 3. APRENDIZES-MARINHEIROS 2017) A soma de um número x com o dobro de um número y é -7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a: A) -15 B) -12 C) -10 D) -4 E) -2 RESOLUÇÃO: A soma de um número x com o dobro de um número y é -7: x + 2y = -7 x = -7 2y A diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7: Prof. Arthur Lima 11

13 3x y = 7 3(-7 2y) y = y y = y y = 7-7y = 28 y = -4 MATEMÁTICA P/ Prof. Arthur Lima, Aula 00 x = -7 2y x = -7 2(-4) x = x = 1 Assim, o produto xy = -4. RESPOSTA: D 4. COLÉGIO NAVAL 2017) Dois aumentos consecutivos de i% e 2i% correspondem a um aumento percentual igual a a) (1 + i 2 )% b) c) (2i) 2 % d) e) (3i)% RESOLUÇÃO: Temos um capital inicial C. Após um aumento de i%, ficamos com C + i%xc = C(1 + i%). Agora, temos um aumento de 2i%. Logo, ficamos com: C(1 + i%) + 2i%xC(1 + i%) = C(1 + i%) + C(2i% + 2i% x i%) = C(1 + i%) + C(2i% + 2(i%) 2 ) = C + C(i% + 2i% + 2(i%) 2 ) = C + C(3i% + 2(i%) 2 ) = Prof. Arthur Lima 12

14 C + C(3i + 2i²%)% = MATEMÁTICA P/ Prof. Arthur Lima, Aula 00 Portanto, veja que os dois aumentos consecutivos, equivalem a um aumento de RESPOSTA: B 5. COLÉGIO NAVAL 2017) O produto das idades de quatro irmãos é 180. Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes. Se o mais velho tem menos de 12 anos, é correto afirmar que a maior soma possível dessas quatro idades é igual a a) 16 b) 19 c) 20 d) 22 e) 25 RESOLUÇÃO: Sejam x, y, z e w as idades em ordem crescente dos quatro irmãos. Assim, sabemos que: x.y.z.w = 180 O mais velho tem w anos, e sabemos que w é menor que 12. Além disso, nenhuma idade pode ser zero, se não o produto seria zero. As idades também são todas diferentes. Outra conclusão importantíssima é a seguinte: todas as idades devem ser divisores de 180, afinal, todas as idades fazem parte do produto para obter 180. Logo, vamos fatorar o número 180: Prof. Arthur Lima 13

15 Prof. Arthur Lima, Aula = 2².3².5 A partir da decomposição em fatores primos do 180, temos que formar 4 números diferentes inferiores a 12 cujo produto seja 180. Em 180 temos dois fatores 2, dois fatores 3 e um fator 5. Uma combinação possível seria: uma idade poderia ser 2, outra poderia ser 3, outra poderia ser 5 e outra ser 6, o que daria o seguinte produto: 2 x 3 x 5 x 6 = 180. Lembrando que o 1 também é divisor de 180, precisamos achar a combinação desses fatores primos que leve à maior soma possível, lembrando que a maior idade deve ser inferior a 12. A partir dos fatores primos disponíveis, não é possível chegar à idade 11 anos, mas é possível chegar a 10 anos, para a qual teremos gasto um fator 2 e um fator 5. A segunda maior idade possível é 9, para a qual teremos gasto os dois fatores 3. Sobra para a terceira idade outro fator 2. Por último, o mais novo tem idade igual a 1. Assim, o produto das idades é 10 x 9 x 2 x 1 = 180 e sua soma é = 22. RESPOSTA: D 6. COLÉGIO NAVAL 2017) Seja o número real x tal que 2 2x 6 W x 21. Sendo assim, qual o valor de x para que W seja 9 6 mínimo? a) 3 6 b) Prof. Arthur Lima 14

16 Prof. Arthur Lima, Aula 00 c) 7 9 d) e) 6 6 RESOLUÇÃO: W é uma função segundo grau de x, cuja concavidade é voltada para cima, apresentando, portanto, um ponto de mínimo. Para que W seja mínimo, basta obter o x do vértice, dado por: b xv 2a em que 2 a e 9 b 6 6. Assim, temos: RESPOSTA: B 6 6 b xv 2a COLÉGIO NAVAL 2016) Uma placa será confeccionada de modo que o emblema da empresa seja feito de um metal que custa R$ 5,00 o centímetro quadrado. O emblema consiste em três figuras planas semelhantes que lembram três árvores. Para as bases dessas "árvores", constroem-se segmentos de reta proporcionais a 3, 4 e 5. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00, qual o valor, em reais, de todo o emblema? a) 1600 b) 1500 c) 1200 d) 1120 e) 1020 RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima 15

17 Prof. Arthur Lima, Aula 00 O custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00. Sabendo que o emblema custa R$ 5,00 o centímetro quadrado, temos que o emblema da maior árvore tem 800/5 = 160 cm 2. Supondo que cada árvore esteja dentro de um quadrado cujos lados são proporcionais a 3, 4 e 5, temos que a proporção entre suas áreas será de 9, 16 e 25. Assim, a área da árvore do meio será de: 160 cm x cm = 25x x = 102,4 cm 2 A área da árvore do meio será de: 160 cm y cm = 25y y = 57,6 cm 2 A área total é dada pela soma ,4 + 57,6 = 320 cm 2. Sabendo que o emblema custa R$ 5,00 o centímetro quadrado, temos que o valor de todo o emblema é de: 320 x 5 = 1600 reais. RESPOSTA: A 8. COLÉGIO NAVAL 2016) Adão, Beto e Caio uniram-se num mesmo investimento e combinaram que, em janeiro de cada ano, repartiriam o lucro obtido em partes diretamente proporcionais ao tempo de investimento e ao valor investido. Adão investiu R$ ,00 há nove meses; Beto R$ ,00 há oito meses e Caio R$ ,00 há cinco meses. Se o lucro a ser repartido é de R$ ,00, o maior recebimento será de a) R$ , 00 Prof. Arthur Lima 16

18 b) R$ , 00 c) R$ , 00 d) R$ , 00 e) R$ , 00 RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ Prof. Arthur Lima, Aula 00 Veja que o lucro obtido será dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo de investimento e ao valor investido. Ou seja, o lucro de Adão será diretamente proporcional a 10 mil reais e também a 9 meses. Logo, utilizando k como constate de proporcionalidade, podemos escrever que: Lucro de Adão = x 9 x k = k ` Da mesma forma, podemos escrever para os outros dois: Lucro de Beto = x 8 x k = k Lucro de Caio = x 5 x k = k Os lucros de cada um somados devem ser iguais ao total. Logo: k k k = k + 120k + 60k = k = 54 k = 0,2 O maior recebimento será de Beto: Lucro de Beto = k = x 0,2 = reais RESPOSTA: E Prof. Arthur Lima 17

19 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01. Abraço, Prof. Arthur Lima Facebook: ProfArthurLima Youtube: Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima 18

20 Prof. Arthur Lima, Aula APRENDIZES-MARINHEIROS 2017) Seja a função real f definida por f( x) x k. Sabendo-se que f(3) = 2 e f(5) = 4, determine o p valor de k + p e assinale a opção correta. 0 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2. APRENDIZES-MARINHEIROS 2017) Sabendo que a fração 4 y é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a: A) B) C) 2 3 D) E) APRENDIZES-MARINHEIROS 2017) A soma de um número x com o dobro de um número y é -7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a: A) -15 Prof. Arthur Lima 19

21 B) -12 C) -10 D) -4 E) -2 MATEMÁTICA P/ Prof. Arthur Lima, Aula COLÉGIO NAVAL 2017) Dois aumentos consecutivos de i% e 2i% correspondem a um aumento percentual igual a a) (1 + i 2 )% b) c) (2i) 2 % d) e) (3i)% 5. COLÉGIO NAVAL 2017) O produto das idades de quatro irmãos é 180. Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes. Se o mais velho tem menos de 12 anos, é correto afirmar que a maior soma possível dessas quatro idades é igual a a) 16 b) 19 c) 20 d) 22 e) COLÉGIO NAVAL 2017) Seja o número real x tal que 2 2x 6 W x 21. Sendo assim, qual o valor de x para que W seja 9 6 mínimo? a) 3 6 b) c) 7 9 Prof. Arthur Lima 20

22 Prof. Arthur Lima, Aula 00 d) e) COLÉGIO NAVAL 2016) Uma placa será confeccionada de modo que o emblema da empresa seja feito de um metal que custa R$ 5,00 o centímetro quadrado. O emblema consiste em três figuras planas semelhantes que lembram três árvores. Para as bases dessas "árvores", constroem-se segmentos de reta proporcionais a 3, 4 e 5. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00, qual o valor, em reais, de todo o emblema? a) 1600 b) 1500 c) 1200 d) 1120 e) COLÉGIO NAVAL 2016) Adão, Beto e Caio uniram-se num mesmo investimento e combinaram que, em janeiro de cada ano, repartiriam o lucro obtido em partes diretamente proporcionais ao tempo de investimento e ao valor investido. Adão investiu R$ ,00 há nove meses; Beto R$ ,00 há oito meses e Caio R$ ,00 há cinco meses. Se o lucro a ser repartido é de R$ ,00, o maior recebimento será de a) R$ , 00 b) R$ , 00 c) R$ , 00 d) R$ , 00 e) R$ , 00 Prof. Arthur Lima 21

23 Prof. Arthur Lima, Aula A 02 A 03 D 04 A 05 E 06 D 07 B 08 C Prof. Arthur Lima 22

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