Introdução à Computação Quântica Aula 2 Computação quântica: princípios matemáticos e físicos Renato de Oliveira Violin José Hiroki Saito Departamento de Computação - UFSCar Conteúdo Bits quânticos (qubits). Princípio de Superposição de estados. Álgebra linear. Emaranhamento. Postulados da mecânica quântica. 1
Bits quânticos (qubits) Da mesma forma que na computação clássica, na computação quântica precisamos armazenar, buscar e processar a informação. Como já vimos na aula anterior, na computação clássica utilizamos o bit para armazenar a informação, além de nos dar um tipo de abstração matemática para manipulá-los. Da mesma forma que temos uma abstração com o bit no computador clássico, fazemos também com os bits no computador quântico, que são chamados qubits. Bits quânticos (qubits) Os bits quânticos (qubits) são tratados como objetos matemáticos e representados por vetores. Os dois estados possíveis, na base computacional, de um qubit são 0 e 1. A representação vetorial dos qubits são: 0 1 = 0 1 0 = 1 2
Bits quânticos (qubits) Podemos ver que esses dois vetores formam uma base ortonormal de um espaço vetorial de dimensão 2 ou seja, eles são ortogonais (com produto interno igual a zero) e unitário (com norma igual a 1). Verificaremos essas duas propriedades no exemplo 1. Bits quânticos (qubits) Um estado arbitrário é representado por ψ= α0+ β1 onde α e β são números complexos. Os 2 2 números α e β são as probabilidades do estado ψ ser 0 ou 1 (notação de Dirac), depois que uma medida for realizada. 3
Bits quânticos (qubits) Uma forma muito útil para a visualização do estado de um qubit é a Esfera de Bloch, que nos fornece uma representação do estado de um qubit em três dimensões. Dado um estado arbitrário ψ = α0+ β1 a sua representação na Esfera de Bloch é feita por um vetor de três dimensões: Bits quânticos (qubits) Exemplo 2. ϕ θ x cos sen = ϕ θ y sen sen z cosθ ( ) 2arcsen( ) ( ) ( α) ( ) θ= 2arccos α = β ϕ= argβ arg γ= argα 4
Bits quânticos (qubits) Esfera de Bloch. Princípio de Superposição de estados Imagine um bit como uma moeda. As duas faces, cara e coroa, representam os dois estados possíveis, 0 e 1. Ao lançarmos essa moeda e, depois verificando qual seu estado, a encontraremos no estado cara ou coroa ( 0 e 1 ), ou seja, a moeda só pode ser cara ou coroa, da mesma forma que um bit só pode estar em 0 ou 1 em um dado momento. 5
Princípio de Superposição de estados Considere agora uma moeda quântica representando um qubit. Com o princípio de superposição, ao lançarmos essa moeda, ela poderá ser cara e coroa ao mesmo tempo, isto é, ela poderá estar nos dois estados possíveis simultaneamente. Assim, quando afirmamos que um dado qubit está em superposição, significa que esse qubit pode ser 0 e 1 ao mesmo tempo. Princípio de Superposição de estados A representação matemática para esse princípio é: ψ = α0+ β1 onde ψ é o estado em superposição, α e β são números complexos, cujo quadrado das normas representam as amplitudes das probabilidades, como segue: a Exemplo 3 2 e β 2 tal que 2 2 α + β = 1 6
Álgebra linear Álgebra linear Vetor dual é o vetor obtido transpondo o vetor u e conjugando seus componentes. O vetor dual é também conhecido como bra, e é representado pelo símbolo. u u u, u,..., u = = 1 2 n Exemplos 4 e 5. 7
Álgebra linear O produto interno toma como entrada dois vetores e produz um número complexo como saída. u α β 1 1 = e v = α β n n Exemplo 6. β 1 α α =,..., u v 1 n β n = uv Álgebra linear Um operador A é um operador linear se A: V W, onde V e W são espaços vetoriais complexos e, Em computação quântica é mais comum descrevermos os operadores na forma de matriz. Exemplo 8. A α v = αa v i ( ) i i i i i 8
Álgebra linear A matriz adjunta é obtida conjugando todos os elementos de A e, em seguida, formando a matriz transposta dos elementos conjugados: Exemplo 9. ( ) A = A T Álgebra linear A matriz U é unitária (operadores unitários normalmente são representados por U) se: Ou Exemplo 11. 1 U = U UU = UU= I 9
Álgebra linear Uma matriz hermitiana A possui a seguinte propriedade: A= A Exemplo 12. Álgebra linear O produto externo, ou produto vetorial, é definido como um operador linear A que realiza a seguinte operação: ( u v)( w) = u vw = vw u Este resultado pode ser interpretado como: O resultado do operador linear u v atuando sobre O resultado da multiplicação de u por vw. w Na forma matricial, como: u v pode ser representado 10
Álgebra linear uv uv 1 1 1 2 1 n u1 uv uv uv 2 1 2 2 2 n = 2 1 2 = u v u v v uv uv uv n 1 n 2 n n uv Álgebra linear Os projetores são um tipo de operador utilizados para realizar as medidas sobre os qubits. Um projetor pode ser representado por uma somatória de produtos externos: P= ì= 1 Exemplos 13 e 14. n u u i i = u u + u u + + u u 1 1 2 2... n n 11
Álgebra linear Produto tensorial é uma maneira de juntar espaços vetoriais para formar espaços vetoriais maiores. O produto tensorial pode ser escrito de diferentes formas: u v = u v = uv, = uv Exemplos 15 e 16. Emaranhamento Vejamos duas definições de autores diferentes: Emaranhamento é a capacidade de pares de partículas interagirem a qualquer distância instantaneamente. Um processo atômico que produz fótons gêmeos e que são emitidos em direções contrárias, e devem ter polarizações ortogonais. Quando um dos fótons atravessa um polarizador (adquirindo a polarização correspondente), simultaneamente o fóton gêmeo (sem ter atravessado nenhum polarizador) adquire a polarização ortogonal. 12
Postulados da mecânica quântica Podemos pensar nos postulados da mecânica quântica como um conjunto de regras apropriadas para descrever os eventos microscópicos. Vamos descrever essas regras de forma resumida, pois elas já estão implícitas nas operações da computação quântica. Postulados da mecânica quântica Postulado 1 Espaço de estados A qualquer sistema físico isolado existe associado um espaço vetorial complexo com produto interno (ou seja, um espaço de Hilbert), conhecido como espaço de estados do sistema. O sistema é completamente descrito pelo seu vetor de estado, um vetor unitário no espaço de estados. 13
Postulados da mecânica quântica Postulado 2 Evolução A evolução de um sistema quântico fechado é descrita por uma transformação unitária. ψ' = U ψ Postulados da mecânica quântica Postulado 3 Medidas quânticas As medidas quânticas são descritas por determinados operadores de medida P m. pm ( ) = ψp ψ m Após a medida, o sistema será: P m ψ pm ( ) 14
Postulados da mecânica quântica Postulado 4 Sistemas compostos O espaço de estados de um sistema físico composto é o produto tensorial dos espaços de estados dos sistemas físicos individuais 15