Modelos de Filas de Espera

QuickTime and atiff (Uncompressed) decompressorare needed to see this picture. Modelos de Filas de Espera Métodos Quantitativos 2004/2005 João Moura Pires

Sumário Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas

Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos O Estes Em Quando Uma Cliente certos fonte clientes um seleccionado momentos de serviço entram entrada é é no concluído gera escolhido é Sistema servido ao longo para por de um Fila do membro um tempo de mecanismo cliente, Espera da clientes este fila, e juntam-se de sai para que serviço do solicitam sistema servido, a uma de um De Fila serviço acordo de Espera com alguma regra conhecida por disciplina da fila de espera

Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos Dimensão da população que pode ser servida Padrão estatístico como os clientes são gerados ao longo do tempo para serem servidos

Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos Capacidade da Fila (número de clientes que pode conter) Disciplina da Fila de espera

Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos Número de canais paralelos de serviço - número de servidores Tempo de serviço - Distribuição de probabilidades -

Fonte de entrada - População alvo - Dimensão: número total de clientes que podem requisitar serviços do sistema Infinito: a fonte é ilimitada. Cálculos são mais simples É assumido quando a dimensão é finita mas grande Finito: a fonte é limitada. Modelo analitico mais complicado pois o número de clientes dentro do sistema (na fila ou a ser servidos) afecta o número de clientes fora do sistema Deve ser adoptado este modelo sempre que o ritmo a que os clientes são gerados pela fonte depende significativamente afectada pelo número de clientes que estão dentro do sistema

Fonte de entrada - População alvo - Padrão estatístico segundo o qual os clientes se apresentam para serem servidos Distribuição de Poisson - O número de clientes gerados (que aparecem para ser servidos) até um certo tempo t segue uma distribuição de Poissson. Assume que a chegada de clientes ao sistema é independente do número de clientes presentes -> população infinita. Tempo entre chegada de clientes ao sistema - Distribuição exponencial

Fila de Espera Dimensão da fila de Espera Infinita A suposição de fila de capacidade infinita é em geral assumida, mesmo quando a capacidade for finita mas grande o suficiente. Finita Quando o limite é finito e pequeno de tal modo que a capacidade da fila possa ser atingido com frequência, então é necessário assumir que a capacidade é um número finito - complica o modelo Disciplina da Fila de Espera Primeiro chegado, primeiro servido Aleatório Prioridades 1

Mecanismo de Serviço Organização Uma ou mais infraestruturas de serviço (Se for mais de uma, cada cliente deve ser servido sequencialmente por todas elas) Cada infraestrutura de serviço é composta por um ou mais servidores em paralelo 1

Mecanismo de Serviço Tempo de Serviço Para cada servidor é necessário especificar a distribuição de probabilidades dos tempos de serviço (eventualmente um por cada tipo de cliente) Em geral todos os servidores têm a mesma distribuição de probabilidades Distribuições de probabilidades comuns Distribuição Exponencial Distribuição degenerada (constante) Distribuição de Erlang 1

Sistema de fila de espera elementar Uma única fila de Espera Uma única infraestrutura de serviço Um ou mais servidores Sistema de Fila de Espera Clientes Fila C C C C C C Mecanismo de Serviço C C S 1 S 2 Clientes servidos C S 3 1

Hipóteses de independência Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuidas Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuidos? /? / s Distribuição de tempos Entre chegadas Número de servidores Distribuição de tempos serviços 1

Modelos?/?/s Notação usada para as distribuições M: distribuição exponencial (Marcoviana) D: distribuição degenerada (tempos constantes) E k : distribuição de Erlang com parametro k G: distribuição geral ou arbitrária Exemplos M/M/s M/G/1 1

Terminologia e Notação (1) Estado do Sistema: número de clientes dentro do sistema de fila de espera (na fila ou a ser servido pelos servidores) Comprimento da fila: número de clientes na fila à espera de serviço = Estado do Sistema - número de clientes a serem servidos N(t): número de clientes no sistema no instante t (t 0) P n (t): probabilidade de estarem exactamente n clientes no sistema no instante t, conhecido o número de clientes no instante t = 0. s: número de servidores (canais paralelos) no sistema. 1

Terminologia e Notação (2) λ n : ritmo médio de chegadas de novos clientes quando estão n clientes no sistema (número esperado de chegadas por unidade de tempo) Se λ n é constante para todos os valores de n denota-se apenas λ, ou seja quando o ritmo de chegada não depende do número de clientes no sistema 1/λ é o tempo esperado entre chegadas de novos clientes 1

Terminologia e Notação (3) µ n : ritmo médio de serviço global do sistema (número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo). Atenção é um valor combinado do ritmo de serviço de todos os servidores ocupados. µ : Quando o ritmo médio de serviço, por servidor ocupado, é constante para todos os valores de n. µ n = sµ quando n s, isto é, quando todos os servidores estão ocupados 1/µ é o tempo esperado de serviço 1

Terminologia e Notação (4) ρ = λ/(sµ) é o factor de utilização da infraestrutura de serviço, isto é, a fracção de tempo esperada em que os servidores estão ocupados. µ é o número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo por servidor sempre ocupado s o número de servidores sµ é o número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo supondo que todos os servidores estão ocupados, ou seja, é a capacidade de serviço do sistema por unidade de tempo. λ é o número esperado de novos clientes por unidade de tempo 1

Terminologia e Notação (5) Regime estacionário A distribuição de probabilidade do sistema mantem-se a mesma ao longo do tempo. Grandezas definidas para o regime estacionário P n - probabilidade de estarem exactamente n clientes no sistema L - número esperado de clientes no sistema L q - comprimento esperado da fila de espera (excluindo os clientes que estão a ser servidos) W - Tempo de espera no sistema (incluindo o tempo de serviço) para cada cliente; W = E(W) W q - Tempo de espera no sistema (excluindo o tempo de serviço) de cada cliente; W q = E(W q ) 2

Relações entre L, W, L q e W q Assumindo que λ n é constante e igual a λ para todo n, verifica-se num regime estacionário: e L = λ W (Formula de Little) L q = λ W q Se λ n não toma o mesmo valor para todos os valores de n, λ então, é possível substituir λ por valor médio dos λ n ao longo do tempo 2

Relações entre L, W, L q e W q Assumindo que o tempo médio de serviço é um valor constante 1/µ para n 1, então W = W q + 1/µ 2

Resumo da terminologia Sistema de Fila de Espera n, N(t) Mecanismo de Serviço Clientes Fila C C C C C C C C S 1 S 2 Clientes servidos C S 3 s λ n λ µ n µ # por unidade de tempo 1/λ n 1/λ 1/µ n 1/µ tempo Tempos entre chegadas Tempos de serviço Factor de utilização ρ = λ/(sµ) sµ - capacidade 2

Resumo da terminologia - Regime estacionário Clientes λ 1/λ Número esperado de clientes no sistema Sistema de Fila de Espera Fila C C C C C C L q Número esperado de clientes na fila Mecanismo de Serviço C C C S 1 S 2 S 3 L s n, N(t) µ 1/µ Clientes servidos W W = E(W) W q 1/µ W q = E(W q ) L = λ W L q = λ W q W = W q + 1/µ 2

Sumário Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 2

Distribuição Exponencial Caracterização de um sistema de Filas de Espera Distribuição de probabilidades dos tempos entre chegadas Distribuição de probabilidades do número de clientes novos Distribuição de probabilidades dos tempos de serviço Requisitos para um modelo teórico Suficientemente realista Previsões razoáveis Suficientemente simples Matematicamente tratável Exponencial 2

Distribuição Exponencial com parâmetro α T uma variável aleatória que respresenta o tempos ente chegadas ou os tempos de serviço f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade P[T t] =1 e αt P[T > t] = e αt para t 0 Probabilidades acumuladas E(T ) = 1 α var(t ) = 1 α 2 Esperança Matemática Variançia 2

Distribuição Exponencial com parâmetro α = 4 f ( t ) (para α = 4) 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 τ E(T) = 1/α = 1/4 2

Distribuição Exponencial com parâmetro α f ( t ) 4.5 4.0 3.5 3.0 α = 4 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 α = 2 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t 2

P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t P[0 T t] > P[t T t + t] para t > 0 e t > 0 P[0 T 1/ α] = 0.632 4.5 f ( t ) (para α = 4) 4.0 3.5 P[1/α T 2/ α] = 0.233 3.0 2.5 2.0 1.5 P[2/α T 3/ α] = 0.086 1.0 0.5 0.0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 τ 3

P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t É mais provável que os valores de T sejam pequenos do que grandes, isto é, valores inferiores a menos de metade de E(T), ou seja inferiores a 1/(2α). P[0 T 1/ α] = 0.632 : Inferior a E(T) P[0 T 0.5/ α] = 0.393 : Inferior a metade de E(T) P[0.5/α T 1.5/ α] = 0.383 : Inferior a metade de E(T) 0.393 0.383 0 0.5E(T) E(T) 1.5E(T) 0.632 3

P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t A distribuição exponencial é adequada para tempos de serviço quando este é em geral muito curto e ocasionalmente muito longo. Bancos de hospitais, Bancos, lojas, etc Em situações em que potencias clientes desistem (e voltam mais tarde) quando outro cliente já está na fila, a distribuição expondencial é adequada para tempos entre chegadas. Vão aparecendo mais ou menos regularmente (curtos intervalos) com intervalos ocasionalmente longos sem aparecer nehum cliente. 3

P2: Falta de memória P[T > t + t T > t] = P[T > t] para t > 0 e t > 0 P[T > t + Δt T > Δt] = = = P[T > Δt,T > t + Δt] P[T > Δt] P[T > t + Δt] P[T > Δt] e α (t+δt) e αδt = e αt = P[T > t] 3

P2: Falta de memória A distribuição de probabilidades do restante tempo até ao próximo evento (chegada de um novo cliente) é a mesma independentemente de há quanto tempo ocorreu o último evento (chegada do último cliente) Tempo entre chegadas O tempo até a próxima chegada é independente de quando aconteceu a última chegada Tempo de serviço Situações com diferentes tempos de serviço.. 3

P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Sejam T 1, T 2,, T n variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais de parametros α 1, α 2,, α n. Seja U uma V.A U = min{t 1, T 2,, T n } Se T i representa o instante em que ocorre um destes eventos, então U representa o instante em que o primeiro dos n eventos ocorre. P[U > t] = P[T 1 > t,t 2 > t,...,t n > t] = P[T 1 > t]p[t 2 > t]...p[t n > t] = e α 1 t e α 2 t...e α n t n = e α i t i=1 α U = α i n i=1 3

P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Tempo entre chegadas Considerar que existem n tipos de clientes diferentes com diferentes distribuições exponenciais com α 1, α 2,, α n P2 O tempo que falta, a partir de um dado instante, até à chegada de um cliente de tipo i tem também uma exponencial de parametro α i (mesma distribuição). P3 O tempo que falta, a partir de um dado instante, até à chegada de um cliente de qualquer tipo tem também uma exponencial de parametro: n α i i=1 α U = 3

P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Tempo de serviço Quando existem n servidores em paralelo com a mesma distrubuição exponencial (com parametro µ) dos tempo de serviço Se T i é o tempo de serviço que ainda falta, a partir de um dado instante, para o servidor i, então a distribuição de probabilidades do tempo até que um próximo servidor termine o serviço é uma exponencial com parametro nµ. Ou seja o sistema multi-server pode ser visto como um sistema mono-server cuja distribuição do tempo de serviço é nµ 3

P4: Relação com a distribuição de Poisson Seja X(t) o número de ocorrências de um evento no intervalo de tempo entre 0 e t (t 0) uma variável aleatória com a distribuição de probabilidade X(t) tem uma distribuição de Poisson com parametro αt. A sua esperança é: E(X(t)) = αt Então o número esperado de eventos por unidade de tempo é α. (α é designado de ritmo médio de ocorrência de eventos) P[X(t) = n] = (αt)n e αt n! para n = 0,1,... 3

P4: Relação com a distribuição de Poisson Com n = 0 temos: P[X(t) = 0] = e αt que é a probabilidade de que o primeiro evento ocorra depois do tempo t. Trata-se de uma distribuição exponencial de probabilidade sobre t. Quando os eventos são contados numa base contínua, o processo contínuo {X(t); t 0} é chamado de Processo de Poisson 3

P4: Relação com a distribuição de Poisson Tempos entre chegadas Tempos de serviço Exponencial Número de chegadas Número de serviços completados Poisson 4

P4: Relação com a distribuição de Poisson Se os tempos de serviço seguem uma distribuição exponencial de parametro µ então definimos X(t) como o número de serviços concluídos por um servidor continuamente ocupado durante um tempo t, com α = µ. Para modelos multi-servidores o número de serviços concluídos por n servidores continuamente ocupados durante um tempo t, com α = nµ 4

P4: Relação com a distribuição de Poisson Se os tempos entre chegadas de novos clientes seguem uma distribuição exponencial de parametro λ então definimos X(t) como o número de chegadas durante um tempo t, com α = λ (que é o ritmo médio de chegadas). 4

P4: Relação com a distribuição de Poisson 0.4 Prob[X(t) = n] 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 t=1 t=2 t=3 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 n 4

P5: t 0, P[T t + t T > t] α t para pequeno t T é o tempo desde o último evento (chegada ou conclusão de um serviço) Estamos a supor que já passou o tempo t sem que o próximo evento tenha ocorrido (P[T t + t T > t] ) A propriedade 2 (P[T > t + t T > t] = P[T > t] para t > 0 e t > 0) já indicava que a probabilidade de o próximo evento ocorrer num proximo intervalo t (de tamanho fixo) é constante independentemente de t (o tempo que já passou), qualquer que seja a dimensão de t. P5 indica que se t é pequeno então A probabilidade pode ser aproximada por α t A probabilidade é proporcional a t considerando diferentes valores pequenos 4

P5: t 0, P[T t + t T > t] α t para pequeno t P[T t + Δt T > t] = P[T Δt] e x =1+ x + n=2 x n n! =1 e αδt =1 1+αΔt ( αδt) n n! n=2 P[T t + Δt T > t] αδt para pequenos valores de t. 4

P6: Insensivel à agregação e desagregação Supondo que existem n tipos de clientes e que a chegada de cada um deles é um processo de Poisson com parametro λ i. Assumindo que são processos independentes então a chegada de todos os clientes (independentemente do seu tipo) é também um processo de Poisson com parametro λ = λ 1 + λ 2 + + λ n Inversamente, se a probabilidade de chegar um cliente do tipo i for p i, então λ i = p i λ 4

Distribuição de Erlang com parametro k - distribuição gamma - Função densidade Média f (t) = (μk)k (k 1)! t k 1 e kμt para t 0 µ e k são parametros positivos. k é inteiro E(T ) = 1 μ Desvio Padrão StDev(T ) = 1 k 1 μ Parametro k define o grau de variabilidade dos tempos de serviço relativamente á média. 4

Distribuição de Erlang com parametro k - distribuição gamma - f(t) µ k = k = 3 k = 2 k = 1 1/µ t k = 1 : Exponencial k = : Degenerada (tempo constante) 4

Distribuição de Erlang com parametro k - distribuição gamma - Sejam T 1, T 2,, T k k variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição exponencial com esperança de 1/(kµ) Então a variável aleatória T = T 1 + T 2 + + T k tem uma distribuição de Erlang com parametros µ e k. Quando o serviço é composto por uma sequência de serviços, cada um deles com uma distribuição exponencial, o tempo total de serviço tem uma distribuição de Erlang. 4

Introdução A maioria dos modelos elementares de filas de espera assume que as entradas (chegadas de novos clientes) e as saidas (saidas de clientes) do sistema de fila de espera ocorre de acordo com o processo de nascimento e morte. Nascimento: chegada de clientes ao sistema Morte: saída de clientes (com serviço concluído) do sistema 5

Hipóteses Estado do sistema- N(t) - número de clientes no sistema Dado N(t) = n, a D.P do tempo até à próxima chegada é uma exponencial de parametro λ n. Dado N(t) = n, a D.P do tempo até à próxima saída é uma exponencial de parametro µ n. As variáveis aleatórias tempo até à próxima chegada e tempo até à próxima saída são mutuamente independentes. As transições de estado (alteracão de N(t)) são: n n + 1 (um único nascimento) n n - 1 (uma única morte) 5

Diagrama de estados Dado N(t) = n, a D.P do tempo até à próxima chegada é uma exponencial de parametro λ n. P4 λ n é o ritmo médio de chegadas (média de chegadas por unidade de tempo) Dado N(t) = n, a D.P do tempo até à próxima saída é uma exponencial de parametro µ n. P4 µ n é o ritmo médio de saídas (média de saídas por unidade de tempo) λ n-1 λ n n-1 n n+1 Uma transição possível µ n µ n+1 5

Condições em regime estacionário Seja E n (t) o número de vezes que o processo entrou no estado n até ao instante t Seja L n (t) o número de vezes que o processo saiu do estado n até ao instante t Naturalmente que se verifica E n (t) - L n (t) 1 E n (t) t L n(t) t 1 t E lim n (t) L n(t) t t t = 0 lim t lim t E n (t) t L n (t) t = número esperado de vezes que o processo entra no estado n = ritmo médio de vezes que o processo sai do estado n 5

Condições em regime estacionário: Eq. de Equilíbrio O número esperado de vezes que o processo entra no estado n, para qualquer valor de n 0, é igual ao número esperado de vezes que o processo sai desse estado. lim t E n (t) t = lim t L n (t) t E n (t) = L n (t) Seja P n a probabilidade de o processo estar no estado n em regime estacionário. P n é proporcional ao tempo que o processo se encontra no estado n 5

Eq. de Equilíbrio para o estado n = 0 L 0 (t) - número esperado de vezes que o processo sai do estado n = 0 P 0 λ 0 0 1 Tempo que está no estado n = 0 x Número médio de clientes que chegam ao sistema por unidade de tempo P 0 a probabilidade de o processo estar no estado n = 0 em regime estacionário. P n é proporcional ao tempo que o processo se encontra no estado n = 0 L 0 (t) = λ 0 P 0 5

0 1 Indíce Eq. de Equilíbrio para o estado n = 0 E 0 (t) - número esperado de vezes que o processo entra no estado n = 0 P0 λ 0 P 1 Tempo que está no estado n = 1 x Número médio de clientes que saiem do sistema por unidade de tempo µ 1 E 0 (t) = μ 1 P 1 5

0 1 Indíce Eq. de Equilíbrio para o estado n = 0 E n (t) = L n (t) L 0 (t) = λ 0 P 0 E 0 (t) = μ 1 P 1 P0 λ 0 P 1 µ 1 λ 0 P 0 = µ 1 P 1 5

Diagrama de estados λ 0 λ 1 λ 2 λ n-2 λ n-1 λ n 0 1 2 3 n-2 n-1 n n+1 µ 1 µ 2 µ 3 µ n-1 µ n µ n+1 5

Eq. de Equilíbrio para o estado n L n (t) - número esperado de vezes que o processo sai do estado n µ n λ n n-1 n n+1 P n L n (t) = P n (λ n +μ n ) Tempo que está no estado n x Número médio de clientes que chegam ao sistema por unidade de tempo (transições para n +1) + Número médio de clientes que saiem do sistema por unidade de tempo (transições para n -1) 6

Eq. de Equilíbrio para o estado n E n (t) - número esperado de vezes que o processo entra no estado n λ n-1 n-1 n n+1 P n-1 µ n+1 P n+1 E n (t) = P n 1 λ n 1 + P n+1 μ n+1 Tempo que está no estado n-1 x Número médio de clientes que chegam ao sistema por unidade de tempo (transições para n) + Tempo que está no estado n+1 x Número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo (transições de n +1) 6

Eq. de Equilíbrio para o estado n E n (t) = L n (t) E n (t) = P n 1 λ n 1 + P n+1 μ n+1 L n (t) = P n (λ n +μ n ) λ n-1 λ n n-1 n n+1 P n-1 P n+1 µ n µ n+1 P n (λ n +μ n ) = P n 1 λ n 1 + P n+1 μ n+1 6

Eq. de Equilíbrio para um processo de nascimento e morte Estado 0 1 2 n-1 n E n (t) = L n (t) λ 0 P 0 = µ 1 P 1 (λ 1 + µ 1 ) P 1 = λ 0 P 0 + µ 2 P 2 (λ 2 + µ 2 ) P 2 = λ 1 P 1 + µ 3 P 3 (λ n-1 + µ n-1 ) P n-1 = λ n-2 P n-2 + µ n P n (λ n + µ n ) P n = λ n-1 P n-1 + µ n+1 P n+1 6

Probabilidades do regime estacionário Estado 0: 1 2 n µ 1 P 1 = λ 0 P 0 P 1 = λ 0 μ 1 P 0 Pλ 20 P= λ 1 0 +μp μ 2 12 + P 1 2 = (μ μ 2 (λ 1 P 11 +μ λ 1 )P 0 P 10 ) P 2 = λ 1 P μ 2 1 P 2 = λ λ 1 0 μ 2 μ 1 P 0 Pλ 31 P= 1 +μ λ 2 P 3 P 3 = (λ +μ 2 )P μ 2 3 2 + μ 1 (μ 3 2 P 2 λ 1 P 1 ) P 3 = λ 2 P μ 3 2 P 3 = λ λ λ 2 1 0 P n = λ n 1 P μ n n 1 P n = λ n 1...λ 1 λ 0 μ n...μ 2 μ 1 P 0 μ 3 μ 2 μ 1 P 0 C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 P n = C n P 0 para n = 0, 1, C n =1 para n = 0 P n =1 n=0 6

Probabilidades do regime estacionário C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n Kμ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 P n = C n P 0 P n =1 n=0 para n = 1, C n P 0 =1 n=0 C n n=0 P 0 =1 P 0 = C n n=0 1 6

Determinação de L, L q, W, W q Clientes λ 1/λ Número esperado de clientes no sistema Sistema de Fila de Espera Fila C C C C C C L q Número esperado de clientes na fila Mecanismo de Serviço C C C S 1 S 2 S 3 L n, N(t) Clientes servidos L = E(n) = np n L q = E(n s) = (n s)p n n=0 n=s s, o número de servidores, representa o número de clientes que podem ser servidos simultaneamente, i.e., clientes que não estão na fila de espea 6

Determinação de L, L q, W, W q Clientes λ 1/λ Fila C C C C C C L q Mecanismo de Serviço C C C S 1 S 2 S 3 L n, N(t) Clientes servidos W W = E(W) W q W q = E(W q ) W = L λ W q = L q λ onde λ é a média do ritmo de chegada λ = E(λ n ) = λ n P n n=0 6

Condições para o regime estacionário O sistema atinge sempre um regime estacionário: Se existir um n tal λ n = 0 Número finito de estados Se λ n e µ n tiverem o mesmo valor para todo o n, isto é, se λ e µ estiverem definidos e a taxa de utilização for menor que 1, ou seja ρ = λ / (s µ) < 1 O sistema não está em sobre utilização O sistema não atinge um regime estacionário se C n = n=1 6

Resultados de séries geométricas (e não só) N x n n=0 = 1 x N+1 1 x para x 1 x n n=0 = 1 1 x para x <1 n=0 x n n! = e x 6

Exemplos Alguns problemas da 6ª edição 15.2-2 15.2-3 15.2-4 15.2-5 15.4-1 7

15.2-2 Dois servidores em regime estacionário (s = 2) Número de clientes no sistema varia entre 0 e 4 P 0 =1/16; P 1 =4/16; P 2 =6/16; P 3 =4/16; P 4 =1/16; Determinar L (número esperado de clientes no sistema). L q (número esperado de clientes na fila). O número esperado de clientes a serem servidos. Para um ritmo médio de chegada de 2 clientes por hora determinar o tempo esperado de espera no sistema (W) e o tempo esperado de espera na fila (W q ). Supondo que os dois servidores têm o mesmo tempo esperado de serviço, determine o seu valor. 7

15.2-2 1. L (número esperado de clientes no sistema). L = L q = 4 n.p n = 16 1.0 + 4 n=0 4 16.1+ 6 16.2 + 4 16.3+ 1 16.4 = 2 2. L q (número esperado de clientes na fila). (n 2).P n = 16.0 6 + 16.1+ 4 16.2 1 = 8 3 n=2 3. O número esperado de clientes a serem servidos. n = 1 - apenas um cliente está a ser servido n = 2, 3, 4 - estarão dois clientes a serem servidos =1.P 1 + 2.(P 2 + P 3 + P 4 ) =1. 4 16 + 2.( 6 16 + 4 16 + 1 16 ) = 13 8 7

15.2-2 4. Para um ritmo médio de chegada de 2 clientes por hora determinar o tempo esperado de espera no sistema (W) e o tempo esperado de espera na fila (W q ). λ = 2 ritmo médio de chegada de 2 clientes por hora w = L λ = 2 2 =1 hora w = L q λ = 3 8 = 2 3 16 hora 5. Supondo que os dois servidores têm o mesmo tempo esperado de serviço, determine o seu valor. Tempo esperado serviço = 1 μ = W W q = 13 16 hora 7

15.2-3 Dois sistemas de fila de espera Q 1, Q 2. λ 2 = 2 λ 1 ; µ 2 = 2 µ 1 ; L 2 = 2 L 1 Determinar W 2 /W 1 W 2 = L 2 λ 2 W 1 = L 1 λ 1 W 2 W 1 = L 2 λ 2 L 1 λ 1 = L 2λ 1 L 1 λ 2 = 2 2 =1 7

15.2-4 Modelo G/G/1 Verifique as seguintes relações a) L = L q + 1 - P 0 L = L q quando não existem clientes no sistema (n = 0) L = L q +1 quando existem ao menos um cliente no sistema (n > 0) L = L q.p 0 + (L q + 1)(1 - P 0 ) = L q + 1 - P 0 b) L = L q + ρ L = λ W = λ(w q +1/µ) = λw q + λ/µ = L q + ρ c) P 0 = 1 - ρ a) = b) L q + ρ = L q + 1 - P 0 P 0 = 1 - ρ L = λ W L q = λ W q W = W q +1/µ 7

15.2-5 Mostrar que L = np n L = np n n=0 s 1 s 1 s 1 + L q + s 1 P n n=0 n=0 = np n + np n = np n + (n s)p n + sp n n=0 n=s s 1 n=0 n=s n=s L = L = L = s 1 np n + L q + sp n n=0 s 1 n=s np n + L q + s P n n=0 n=0 n=s s 1 s 1 np n + L q + s 1 P n n=0 7

15.4-1 Sistema com dois servidores (s = 2) 1/λ = 2 horas; 1/µ = 2 horas para cada servidor; Um cliente chegou ao meio dia Interpretando os dados λ = 1/2; µ = 1/2; µ n = 1/2 para n = 1; µ n = 2(1/2) = 1 para n = 2; a) Prob de que a próxima chegada seja: i) Antes das 1:00 PM ii) Entre a 1:00 PM e as 2:00 PM iii) Depois das 2:00 PM 7

Distribuição Exponencial com parâmetro α T uma variável aleatória que respresenta o tempos ente chegadas ou os tempos de serviço f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade P[T t] =1 e αt P[T > t] = e αt para t 0 Probabilidades acumuladas E(T ) = 1 α var(t ) = 1 α 2 Esperança Matemática Variançia 7

Distribuição Exponencial com parâmetro α = 4 f ( t ) (para α = 4) 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 τ E(T) = 1/α = 1/4 7

15.4-1 P[próxima chegada seja antes da 1:00 PM] = = P[T < t =1] =1 e λ1 = 0.393 P[próxima chegada seja entre a 1:00 PM e as 2:00 PM] = = P[1< T < 2] = P[T < 2] P[T <1] =1 e λ 2 0.393 = 0.239 P[próxima chegada seja depois das 2:00 PM] = = P[T > t = 2] = e λ 2 = 0.368 8

15.4-1 b) Prob[próxima chegada entre a 1:00 PM e 2:00 PM sabendo que não chegou nehum cliente até à 1:00PM] Propriedade 2: Sem memória Prob[T entre a 1:00 PM e 2:00 PM T > 1:00 PM] = Prob[T entre a 12:00 PM e 1:00 PM] = 0.393 c) Prob[ # chegadas entre 1:00 PM e as 2:00 PM = k] i) k = 0; k = 1; k 2; = e 1 2 = 0.607 = 1 2 e 1 2 = 0.303 =1 [e 1 2 + 1 2 e 1 2 ] = 0.090 P[X(t) = n] = (λt)n e λt n! Distr. Poisson 8

15.4-1 d) Ambos os servidores estão ocupados à 1:00 PM. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha o serviço completo: i) Antes de 2:00? µ n = 1 para n = 2; ii) Antes da 1:10? = e 1 = 0.368 = e 1(1/6) = 0.846 iii) Antes da 1:01? = e 1(1/60) = 0.983 P[T > t] = e λt 8

Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte A maioria dos modelos elementares de filas de espera assume que as entradas (chegadas de novos clientes) e as saidas (saidas de clientes) do sistema de fila de espera ocorre de acordo com o processo de nascimento e morte. Dizem-se modelos com entradas de Poissom e tempos de serviço exponenciais. Os ritmos de chegada de clientes (λ n ) e ritmos de clientes servidos (µ n ) podem ser quaisquer valores não negativos. Os diferentes modelos de filas de espera diferem apenas nas hipóteses de como λ n e µ n variam em função de n. 8

Modelos M/M/s s = 1 s > 1 M/M/s com fila de espera de dimensão finita k s = 1 s > 1 M/M/s com população de chamada de dimensão finita s = 1 s > 1 Modelos com λ e/ou µ variando com o valor de n. s = 1 s > 1 8

M/M/s Assume que: Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial Consequentemente λ é constante e independente de n; λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ é constante e independente de n; µ n = µ para n = 1, 2, 8

M/M/s (caso s = 1) λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, λ λ λ λ λ λ 0 1 2 3 n-2 n-1 n n+1 µ µ µ µ µ µ Se ρ = λ/µ < 1 (o ritmo de chegada dos clientes não excede a capacidade de serviço do sistema) e o sistema atinge um regime estacionário. 8

Simplificações no caso M/M/s (s = 1) λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 C n = ( μ λ ) n = ρ n para n 0 P n = C n P 0 para n = 1, P n = ρ n P 0 para n = 0, 1, P 0 = C n n=0 1 P 0 = ρ n n=0 1 = 1 1 ρ 1 =1 ρ x n n=0 = 1 1 x para x <1 P n = (1 ρ )ρ n para n = 0, 1, 8

Simplificações no caso M/M/s (s = 1) λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = E(n) = np n n=0 P n = (1 ρ )ρ n para n = 0, 1, L = n(1 ρ )ρ n n=0 L = (1 ρ ) nρ n = (1 ρ )ρ nρ n 1 d = (1 ρ )ρ n=0 dρ (ρ n ) n=0 L = (1 ρ )ρ d dρ L = ρ n n=0 n=0 = (1 ρ )ρ d dρ ρ (1 ρ ) = λ μ (1 λ μ ) = λ (μ λ ) 1 1 ρ = (1 ρ )ρ 1 (1 ρ ) 2 8

Simplificações no caso M/M/s (s = 1) λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L q = E(n s) = (n s)p n P 0 =1 ρ L = n=s λ (μ λ ) L q = L q = (n 1)P n = n.p n P n = L (1 P 0 ) = L ρ n=1 L = n=0 P n n=0 n=1 n=1 n.p n = 0.P 0 + n.p n = n.p n =1= P 0 + P n λ (μ λ ) λ μ = n=1 n=1 n=1 λµ λμ λ2 µ(μ λ ) μ (μ λ ) L q = λ 2 μ (μ λ ) 9

M/M/s (s = 1) - Resumo: P n, L, L q λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 P n = (1 ρ )ρ n para n = 0, 1, P 0 =1 ρ Distribuição de probabilidades ρ = λ µ <1 L = L q = λ (μ λ ) λ 2 μ (μ λ ) Número esperado de clientes no sistema Número esperado de clientes na fila λ < µ 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W C n + 1 Fila C C C C C C Mecanismo de Serviço C S n Clientes servidos W - quanto tempo tem que esperar sabendo que existem actualmente n clientes no sistema? Tem que esperar que esses n clientes sejam servidos + o seu próprio tempo de serviço Deve esperar n + 1 tempos de serviço exponenciais 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W W - quanto tempo tem que esperar sabendo que existem actualmente n clientes no sistema? Deve esperar n + 1 tempos de serviço exponenciais Sejam T 1, T 2,, T n+1 n variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição exponencial com parametro µ, correspondendo aos tempos de serviço. Então a variável aleatória S n+1 = T 1 + T 2 + + T n+1 representa o tempo de espera dado que já existem n clientes no sistema. S n+1 tem uma distribuição de Erlang A probabilidade de já existirem n clientes no sistema é P n P[W > t] = P n P[S n+1 > t] n=0 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W P[W > t] = P n P[S n+1 > t] n=0 S n+1 é uma distribuição de Erlang com k = n + 1 de exponenciais com parametro µ k V.A. independentes e identicamente distribuídas com distribuição exponencial com parametro kµ f (t) = (μk)k (k 1)! t k 1 e kμt k n + 1 µ µ/(n + 1) P[S n+1 > t] = t P[S n+1 > t] =1 (μ )n+1 t n e μt dt n! t 0 (μ )n+1 t n e μt dt n! k n + 1 k - 1 n µk µ 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W P[W > t] = P n P[S n+1 > t] n=0 P n = (1 ρ )ρ n P[W t] = G(t) e d dt G(t) = g(t) P[W > t] =1 G(t) (μ )n+1 1 G(t) = (1 ρ )ρ n [1 t n e μt dt] n=0 0 n! g(t) = (1 ρ )ρ n (μ ) n+1 t n e μt n=0 n! g(t) = (1 ρ )μe μt n=0 t (λt) n n! Derivando em ordem a t ρ = λ µ = (1 ρ )μe μt e λt n=0 x n n! = e x 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W, W g(t) = (1 ρ)μe μt e λt g(t) = (1 ρ)μe (λ μ)t μ(1 ρ )t = μ (1 ρ)e P[W > t] =1 G(t) t μ(1 ρ )t P[W > t] =1 μ (1 ρ )e = e 0 P[W > t] = e μ(1 ρ )t para t 0 μ (1 ρ )t W = E(W) = 1/µ(1 - ρ) = 1/(µ - λ) Distribuição Exponencial com parametro µ(1 - ρ) 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera na fila: W q, W q W q - Tempo de espera na fila n = 0 P(W q = 0) = P 0 = 1 - ρ n > 0 P[W q > t] = P n P[S n > t] n=1 P[W q > t] = (1 ρ )ρ n P[S n > t] n=1 P n = (1 ρ )ρ n n = m +1; m = n 1 P[W q > t] = (1 ρ )ρ m+1 P[S m+1 > t] = ρ P m P[S m+1 > t] m=0 m=0 μ (1 ρ )t P[W q > t] = ρp[w > t] = ρe Não é exactamente uma exponencial, pois P[W q = 0] > 0 9

M/M/s (s = 1) - Tempo de espera na fila: W q, W q W q - Tempo de espera na fila n = 0 n > 0 P[W q = 0] = P 0 = 1 - ρ μ (1 ρ )t P[W q > t] = ρp[w > t] = ρe W = E(W q ) = λ/µ(1 - ρ) = λ /µ(µ - λ) P[W q > t W q > 0] = P[W q > t] P[W q > 0] = e μ (1 ρ )t P[W q > 0] = 1 - P[W q > 0] = ρ 9

M/M/s (s = 1) - Resumo λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 λ < µ P n = (1 ρ )ρ n para n = 0, 1, P 0 =1 ρ Distribuição de probabilidades L = λ (μ λ ) L q = λ 2 μ (μ λ ) Número esperado de clientes no sistema e na fila P[W > t] = e μ(1 ρ )t para t 0 W = E(W) = 1/(µ - λ) P[W q > t] = ρe μ(1 ρ )t para t 0 W q = E(W q ) = λ/µ(µ - λ) 9

M/M/s (s = 1) - Resumo - comentado λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 λ < µ P n = (1 ρ )ρ n para n = 0, 1, P 0 =1 ρ Distribuição de probabilidades L = λ (μ λ ) L q = λ 2 μ (μ λ ) Número esperado de clientes no sistema e na fila W = L λ W = E(W) = 1/(µ - λ) W q = W 1 μ W q = L q λ W q = E(W q ) = λ/µ(µ - λ) 10

M/M/s (s = 1) - Gráfico: L, L q L = λ (μ λ ) 100 10 L q = λ 2 μ (μ λ ) 1 L L q L q = L (1 P 0 ) 0 0.10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ρ 10

M/M/s (s = 1) - Gráfico: P 0, P 1,.. 1.000 P 0 P 1 0.100 P 2 0.010 P 10 0.001 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ρ 10

M/M/s (s = 1) - Gráfico: P n 1 ρ = 0.1 1 ρ = 0.25 0.9 0.8 0.9 0.8 0.7 0.6 0.7 0.6 0.5 0.4 0.5 0.4 0.3 0.2 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 1 ρ = 0.5 1 ρ = 0.75 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 10

M/M/s (caso s > 1) RESUMO λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n = 1, 2,, s µ n = sµ para n = s, s + 1, λ λ λ λ λ λ 0 1 2 3 s-2 s-1 s s+1 µ 2µ 3µ (s-1)µ sµ sµ Se ρ = λ/(sµ) < 1 (o ritmo de chegada dos clientes não excede a capacidade de serviço do sistema) e o sistema atinge um regime estacionário. 10

Simplificações no caso M/M/s (s > 1): C n λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 C n = 1 n! 1 s! λ μ ( ) n para n =1,2,...,s λ ( μ ) s λ ( sμ ) (n s) = λ ( μ) n para n = s,s +1,... (n s) s!s 10

Simplificações no caso M/M/s (s > 1): P 0 λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s 1 1 λ n! ( μ) n para n =1,2,...,s P 0 = C n n=0 C n = 1 λ s! ( μ ) s λ ( sμ ) (n s) λ ( μ) n = para n = s,s +1,... (n s) s!s s 1 P 0 = 1 λ n! ( μ ) n + 1 λ s! ( μ ) s λ ( sμ ) (n s) n=0 n=s 1 s 1 = 1 λ n! μ n=0 ( ) n + s! 1 λ ( μ) s λ ( sμ ) m m=0 1 m = n - s 10

Simplificações no caso M/M/s (s > 1): P 0 λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; s 1 P 0 = 1 λ n! ( μ ) n + s! 1 λ ( μ) s λ ( sμ ) m n=0 m=0 1 x n n=0 = 1 1 x µ n = sµ para n > s para x <1 ρ = λ/(sµ) < 1 s 1 P 0 = 1 λ n! ( μ ) n + s! 1 λ ( μ) s 1 1 λ /(sμ ) n=0 1 10

Simplificações no caso M/M/s (s > 1): P n λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; P n = C n P 0 para n = 1, C n = 1 n! 1 s! λ μ ( ) n para n =1,2,...,s λ ( μ ) s λ ( sμ ) (n s) = µ n = sµ para n > s λ ( μ) n para n = s,s +1,... (n s) s!s 1 λ n! ( μ ) n P 0 0 n s P n = λ ( μ) n s!s P (n s) 0 n s 10

Simplificações no caso M/M/s (s > 1): L q λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n s L q = E(n s) = L q = jp s+ j j=0 = j j=0 = P 0 (λ /μ) s (n s)p n n=s (λ /μ )s s! ρ j P 0 jρ j s! j=0 = P 0 (λ /μ) s s! ρ d dρ = P 0 (λ /μ) s j = n s; n = s + j P s+ j = ρ d s! j=0 1 1 ρ ( ) = P 0 (λ /μ) s ρ s!(1 ρ ) 2 dρ (ρ j ) λ ( μ) s+ j P s!s j 0 = λ ( μ) s s! = P 0 (λ /μ) s s! ρ d dρ P n = λ ( μ) j P s j 0 = ρ j j=0 λ ( μ) n s!s P (n s) 0 λ ( μ) s s! λ ( sμ) j P 0 10

M/M/s (s > 1) - Resumo: P 0, P n, L q, L, W q, W λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; s 1 P 0 = 1 λ n! ( μ ) n + s! 1 λ ( μ) s 1 1 λ /(sμ ) n=0 L q = P 0 (λ /μ ) s s!(1 ρ ) 2 1 P n = µ n = sµ para n > s 1 n! λ μ ( ) n P 0 0 n s λ ( μ) n s!s P (n s) 0 n s W q = L q λ L = λw = λ (W q + 1 μ ) = L q + λ μ W = W q + 1 μ 11

M/M/s (s > 1) - Resumo: P 0, P n, L q, L, W q, W λ n = λ para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s P[W > t] = e μt 1+ P 0 (λ /μ ) s s!(1 ρ ) 1 e s 1 λ /μ μt(s 1 λ /μ ) sμ(1 ρ )t P[W q > t] = (1 P[W q = 0])e P[W q = 0] = s 1 P n n=0 11

M/M/s (s > 1) - L 11

M/M/s (s > 1) - P 0 11

Um exemplo M/M/s - Hospital Ritmo médio de chegada: 1 paciente cada 1/2 hora Cada médico precisa em média de 20 minutos para tratar cada paciente Considerando uma hora como a unidade de tempo: 1 λ = 1 2 hora λ = 2 clientes por hora 1 μ = 1 3 hora Vamos considerar dois cenários: S = 1 S = 2 µ = 3 clientes por hora 11

Um exemplo M/M/s - Hospital s = 1 s = 2 ρ 2/3 = 0.6667 1/3 = 0.3333 P 0 1/3 1/2 P 1 2/9 1/3 P n (n 2) (1/3)(2/3) n (1/3) n L q 4/3 1/12 L 2 3/4 W q 2/3 h = 40 m 1/24 h = 2.5 m W 1 h 3/8 h = 22.5 m P[W q > 0] 0.667 0.167 P[W q > 1/2] 0.404 0.022 P[W q > 1] 0.245 0.003 P[W q > t] (2/3)e -t (1/6)e -4t 11

Um exemplo M/M/s - Hospital - P n 0.6 0.5 0.4 0.3 s = 1 s = 2 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 n 11

Um exemplo M/M/s - Hospital - P[W q > t] 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 s = 1 s = 2 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t 11

M/M/s/K Assume que num modelo M/M/s A fila de espera é finita. O número de clientes no sistema não pode ultrapassar um valor K, ou seja a capacidade da fila é K - s. Quando um cliente chega ao sistema e a fila está cheia, abandona o sistema. Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial 11

M/M/s/K A única modificação é: λ n = λ para n = 0,1,...,K 1 0 para n K Porque λ n = 0 para alguns valores de n, este modelo pode convergir para um regime estacionário, mesmo quando ρ = λ sμ 1 12

M/M/s/K - Interpretação Este modelo pode traduzir situações Sala de espera de dimensão limitada: Clientes desistem quando chegam ao sistema e este tem K clientes no sistema, ou seja se estão na fila K - s clientes. Este modelo M/M/s/K tende para M/M/s quando K tende para infinito. 12

M/M/s/K (caso s = 1) RESUMO λ n = λ para n = 0, 1,, K - 1 µ n = µ para n = 1, 2,, K λ λ λ λ λ 0 1 2 3 K-2 K-1 K µ µ µ µ µ ρ = λ/µ. λ n = λ para n = 0,1,...,K 1 0 para n K 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): C n, P 0 λ n = λ para n = 0, 1, 2, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 C n = ( μ λ ) n = ρ n para n = 0,, K C n = 0 para n K P 0 = C n n=0 1 K P 0 = ρ n = n=0 1 K+1 1 ρ 1 ρ 1 = 1 ρ 1 ρ K+1 N x n n=0 = 1 x N+1 1 x para x 1 Se ρ = 1 C n = 1 Se ρ = 1 P 0 = 1/K 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): P n λ n = λ para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 P n = C n P 0 para n = 1, P n = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n para n = 0, 1,, K P 0 = 1 ρ 1 ρ K+1 C n = ( μ λ ) n = ρ n para n = 0,, K C n = 0 para n K Se ρ = 1 P n = 1/K 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L λ n = λ para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = E(n) = L = L = L = np n n=0 K n=0 n 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n 1 ρ 1 ρ K+1 ρ 1 ρ 1 ρ ρ d K+1 dρ K n 1 nρ n=0 P n = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n = 1 ρ 1 ρ ρ K d K+1 dρ (ρ n ) = 1 ρ n=0 1 ρ ρ d K+1 dρ 1 ρ K+1 = 1 ρ 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ para n = 0, 1,, K K ρ n n=0 L = 1 ρ 1 ρ ρ d K+1 dρ 1 ρ K+1 1 ρ 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ d dρ 1 ρ K+1 1 ρ d dx f (x) = f ' (x) g(x) g(x) f (x).g' (x) g(x) 2 = 1 ρ K (K +1)ρ ρ K+1 1 ρ (1 ρ ) (1 ρ K+1 )( 1) (1 ρ) 2 = 1 ρ 1 ρ ρ (K +1)ρ K (1 ρ)+(1 ρ K+1 ) K+1 (1 ρ ) 2 = ρ (K +1)ρ K (1 ρ )+(1 ρ K+1 ) (1 ρ K+1 )(1 ρ ) = ρ (K +1)ρ K +(K +1)ρ K+1 +1 ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ ) = ρ (K +1)ρ K + Kρ K+1 +1 (1 ρ K+1 )(1 ρ ) = ρ 1 ρ (K +1)ρ K+1 1 ρ K+1 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L ρ (K +1)ρ K + Kρ K+1 +1 (1 ρ K+1 )(1 ρ ) = ρ 1 ρ (K +1)ρ K+1 1 ρ K+1 = ρ 1 ρ K+1 (K +1)ρ = ρ(1 ρ K+1 ) (K +1)ρ K+1 (1 ρ) 1 ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ(1 ρ K+1 ) (K +1)ρ K+1 + ρ(k +1)ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ ) = ρ 1 ρ K+1 (K +1)ρ K +(K +1)ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ ) = ρ (K +1)ρ K + Kρ K+1 +1 (1 ρ K+1 )(1 ρ ) 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L λ n = λ para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = E(n) = L = L = L = np n n=0 K n=0 n 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n 1 ρ 1 ρ K+1 ρ 1 ρ 1 ρ ρ d K+1 dρ K n 1 nρ n=0 P n = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n = 1 ρ 1 ρ ρ K d K+1 dρ (ρ n ) = 1 ρ n=0 1 ρ ρ d K+1 dρ 1 ρ K+1 = 1 ρ 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ para n = 0, 1,, K K ρ n n=0 L = 1 ρ 1 ρ ρ d K+1 dρ 1 ρ K+1 = 1 ρ ρ 1 ρ (K +1)ρ K+1 1 ρ K+1 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L 100 L (M/M/1) 10 L (M/M/1/K=50) L (M/M/1/K=10) 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 L = ρ 1 ρ M/M/1 L = ρ 1 ρ (K +1)ρ K+1 1 ρ K+1 M/M/1/K 12

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L q λ n = λ para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L q = L (1 P 0 ) quando s =1 L q = L q = ρ 1 ρ ρ 1 ρ (K +1)ρ K+1 1 ρ K+1 (1 1 ρ 1 ρ K+1) K+1 (K +1)ρ ρ ρ K+1 1 ρ K+1 1 ρ K+1 L = P 0 = ρ 1 ρ (K +1)ρ K+1 1 ρ K+1 1 ρ 1 ρ K+1 L q = ρ 1 ρ (K + 2)ρ K+1 ρ 1 ρ K+1 13

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): W, W q λ n = λ para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 W = L λ W q = L q λ λ = λ n P n = λp n n=0 K 1 n=0 P n = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n para n = 0, 1,, K K 1 P n n=0 λ = λ = λ (1 P K ) 13

Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1):Resumo λ n = λ para n = 0, 1,, K P n = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = ρ 1 ρ K+1 (K +1)ρ L 1 ρ K+1 q = ρ 1 ρ (K + 2)ρ K+1 ρ 1 ρ K+1 W = L λ W q = L q λ λ = λ(1 P K ) 13

M/M/s/K (caso s > 1) RESUMO λ n = λ para n = 0, 1,, K - 1 Assuminos que s < K λ λ λ λ λ λ λ 0 1 2 3 s-1 s s+1 K-2 K-1 K µ 2µ 3µ sµ sµ sµ sµ λ n = λ para n = 0,1,...,K 1 0 para n K µ n = nμ para n = 0,...,s sμ para s n K 13

M/M/s/K (caso s > 1): C n C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 λ n = λ para n = 0,1,...,K 1 0 para n K µ n = nμ para n = 0,...,s sμ para s n K (λ /μ ) n 0 n s n! (λ /μ ) s n s λ C n = s n K s! sμ 0 n > K 13

M/M/s/K (caso s > 1): P n, P 0 P n = C n P 0 P 0 = K C n n=0 para n = 1, 1 P n = (λ /μ ) n P 0 0 n s n! (λ /μ ) n P s!s n s 0 s n K 0 n > K P 0 = s (λ /μ ) n + n=0 n! (λ /μ )s s! K n=s+1 λ sμ n s 1 13

M/M/s/K (caso s > 1): L q L q = E(n s) = K L q = (n s) n=s (n s)p n n=s (λ /μ )s s! λ sμ n s P 0 P n = (λ /μ )s s! λ sμ n s P 0 s n K = P 0(λ /μ ) s s! K (n s) λ sμ n=s n s = P 0(λ /μ ) s s! ( λ sμ K λ ) (n s) sμ n=s n s 1 = P 0 (λ /μ )s s! = P 0 (λ /μ )s s! ρ ( λ sμ K s j=0 K s j 1 ) jρ j=0 d dρ (ρ j ) = P 0(λ /μ ) s s! j = n s; n = s j = 0;n = K j = K s ρ d dρ K s ρ j j=0 ρ 1 13

M/M/s/K (caso s > 1): L q L q = E(n s) = L q = P 0(λ /μ ) s s! (n s)p n n=s ρ d dρ K s ρ j j=0 P n = (λ /μ )s s! λ sμ n s P 0 s n K = P 0(λ /μ ) s s! = P 0(λ /μ ) s s! ρ d dρ 1 ρ k s+1 1 ρ ρ 1 ρ K s (k s)ρ K s (1 ρ ) (1 ρ) 2 L q = P 0 (λ /μ )s s!(1 ρ ) 2 ρ 1 ρ K s (k s)ρ K s (1 ρ ) ( ) 13

M/M/s/K (caso s > 1): L L = E(n) = np n n=0 L = s 1 np n + np n n=0 s 1 n=s = np n + (n s)p n + sp n n=0 n=s n=s s 1 s 1 s 1 = np n + L q + sp n = np n + L q + s 1 P n n=0 n=s n=0 n=0 L = s s 1 np n + L q + s 1 P n n=0 n=0 13

M/M/s/K (caso s > 1): W, W q W = L λ W q = L q λ P n = (λ /μ )s s! λ sμ n s P 0 s n K λ = λ n P n = λp n n=0 K 1 n=0 K 1 P n n=0 λ = λ = λ (1 P K ) 13

M/M/s/K (caso s > 1): Resumo P n = (λ /μ ) n P 0 0 n s n! (λ /μ ) n P s!s n s 0 s n K 0 n > K P 0 = s (λ /μ ) n + n=0 n! (λ /μ )s s! K n=s+1 λ sμ n s 1 L q = P 0 (λ /μ )s s!(1 ρ ) ρ 1 ρ K s (k s)ρ K s s s 1 (1 ρ ) 2 ( ) L = np n + L q + s 1 P n n=0 n=0 W = L λ W q = L q λ λ = λ(1 P K ) 14

Um exemplo Uma companhia de telefones com 3 linhas. s = 3 As chamadas chegam de acordo com uma distribuição de poisson com um ritmo de 6 por hora λ = 6 A duração de cada chamada tem uma distribuição exponencial com uma duração média de 15 minutos 1/µ = 15 m = 0.25 h µ = 4 Se todas as linhas estiverem ocupadas as chamadas são colocadas em espera até uma linha fique livre K = 14

Um exemplo s = 3, K = ρ 6/(3. 4) = 0.5 P n P 0 0.211 P 1 0.316 P 2 0.237 P 3 0.118 L q 0.24 L 1.74 W q W 0.03 h= 2.37 m 0.29 h = 17.4 m P[W > 0] 1 P[W q > 0] 0.237 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 n P[W > 0.1] (6 min) 0.728 14

Um exemplo Qual a probabilidade de uma chamada ser imediatamente atendida? P[chamada imediatamente atendida] =1 - P[W q > 0] = 0.763 P[chamada imediatamente atendida] = = P[pelo menos um servidor livre] = = P 0 + P 1 + P 2 = 0.21053 + 0.31579 + 0.23684 = 0.763 14

Um exemplo Determinar a distribuição de probabilidades do número de chamadas em espera P[n chamadas em espera] = P n P 0 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 = 0.88158 P n = P n + 3 (n 1) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 chamadas em espera 14

Um exemplo Se as chamadas se perderem (não ficam em espera) quando todas as linhas estão ocupadas, determinar a probabiliade de perder uma chamada. Modelo M/M/s/K com s = 3 e K = 3 Sistema de espera sem fila Sistema de perdas de Erlang 14

Um exemplo s = 3, K = s = 3, K = 3 ρ 6/(3. 4) = 0.5 6/(3. 4) = 0.5 P 0 0.211 0.2388 P 1 0.316 0.3582 P 2 0.237 0.2686 P 3 0.118 0.1343 L q 0.24 - L 1.74 1.2985 W q 0.03 h= 2.37 m - W 0.29 h = 17.4 m 0.25 h = 15 m 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 14

Um exemplo Se as chamadas se perderem (não ficam em espera) quando todas as linhas estão ocupadas, determinar a probabiliade de perder uma chamada. P[perder uma chamadas] = P[3 servidores ocupados] = P 3 = 0.1343 14

M/M/s com população de chamada finita Assume que num modelo M/M/s A população de chamada é finita, de dimensão N O número de clientes no sistema n só pode tomar os valores 1, 2,, N. Quando existem n clientes no sistema então só existem n - N clientes potenciais que permanecem na fonte de entrada. Exemplo O problema de um serviço de manutenção (com um ou mais técnicos) que tem a responsabilidade de reparar máquinas que avariam de um conjunto de N máquinas. 14

M/M/s com população de chamada finita Cada cliente ou está dentro do sistema ou está fora do sistema. Assume-se que cada cliente o tempo que está fora do sistema (i.e., o intervalo de tempo entre a saída e a próxima entrada do mesmo cliente) segue uma exponencial com um parametro λ. N - n n Sistema de fila de espera A distribuição de probabilidade do tempo que falta até à próxima chegada ao sistema é o mínimo das distribuições do tempo que falta dos N - n potenciais clientes (fora do sistema) Propriedade 2 e 3 da Exponencial λ n = (N - n)λ 15

M/M/s com população de chamada finita P2: Falta de Memória: A distribuição de probabilidades do restante tempo até ao próximo evento (chegada de um novo cliente) é a mesma independentemente de há quanto tempo ocorreu o último evento (chegada do último cliente); O tempo até a próxima chegada é independente de quando aconteceu a última chegada P3: Mínimo de várias exponenciais Sejam T 1, T 2,, T n variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais de parametros α 1, α 2,, α n. Se T i representa o instante em que ocorre um destes eventos, então U representa o instante em que o primeiro dos n eventos ocorre. Seja U uma V.A, U = min{t 1, T 2,, T n }. U tém uma distribuição exponencial com parametro α U n α i i=1 α U = 15

M/M/s com população de chamada finita A única modificação é: λ n = (N n)λ para n = 0,1,...,N 0 para n N Porque λ n = 0 para alguns valores de n, este modelo pode convergir para um regime estacionário, mesmo quando ρ = λ sμ 1 15

M/M/s com população de chamada finita (caso s = 1) λ n = (N - n)λ para n = 0, 1,, N µ n = µ para n = 1, 2, Nλ (N-1)λ (N-2)λ (N-n+2)λ (N-n+1)λ λ 0 1 2 3 n-2 n-1 n N-1 N µ µ µ µ µ µ (N n)λ para n = 0,1,...,N λ n = 0 para n N 15

M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : C n C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 λ n = (N n)λ para n = 0,1,...,N 0 para n N para n = 0,, N C n = (N n +1)...(N 1)N λ n μ N! λ C n = n (N n)! μ para n N C n = 0 15

M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : P 0, P n P 0 = C n n=0 1 P n = C n P 0 C n = N! λ n (N n)! μ P 0 = P n = N n=0 N! λ n (N n)! μ 1 N! λ n (N n)! μ P 0 para n = 1, 2,, N 15

M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : L q, L L q = E(n s) = L q = N (n s)p n n=s (n 1)P n n=1 L q = N λ +μ λ (1 P 0 ) L = E(n) = L = np n n=0 N np n = np n P n + P n = np n = (n 1)P n +(1 P 0 ) n=0 N n=1 N n=1 N n=1 K n=0 K n=1 = L q +(1 P 0 ) L = N μ λ (1 P 0 ) = N λ +μ λ (1 P 0 ) +(1 P 0 ) 15

M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : W q, W W = L λ W q = L q λ λ = λ n P n = (N n)λp n n=0 N N n=0 = Nλ P n λ np n n=0 N n=0 = Nλ λl = λ (N L) λ = λ(n L) W = L λ (N L) W q = L q λ (N L) 15

M/M/s com população de chamada finita (N s > 1) λ n = (N - n)λ para n = 0, 1,, N µ n = nµ para n = 1, 2, s µ n = sµ para n > s Nλ (N-1)λ (N-2)λ (N-s+2)λ (N-s+1)λ λ 0 1 2 3 s-2 s-1 s N-1 N µ 2µ 3µ (s-1)µ sµ sµ 15

M/M/s - população de chamada finita (s > 1) : C n C n = λ n 1...λ 1 λ 0 para n 1 μ n...μ 2 μ 1 C n =1 para n = 0 (N n)λ para n = 0,1,...,N λ n = 0 para n N nμ para n = 0,1,...,s µ n = sμ para n s para n = 0,, s N! λ C n = n (N n)!n! μ para n= s, s + 1,, N N! λ C n = (N n)!s!s (n s) n μ para n > N C n = 0 15

M/M/s - população de chamada finita (s > 1) : P 0 P 0 = C n n=0 1 s 1 N! λ P 0 = n (N n)!n! μ + n= 0 N n= s N! λ (N n)!s!s (n s) n μ 1 16

M/M/s - população de chamada finita (s > 1) : P n P n = C n P 0 para n = 1, 2,, N P n = N! λ n (N n)!n! μ P 0 0 n s N! λ (N n)!s!s (n s) n μ P 0 s n N 0 n > N 16

M/M/s - população de chamada finita (s > 1) : L q, L L q = E(n s) = L q = N (n s)p n n=s (n s)p n n=s L = E(n) = L = np n n=0 N np n = np n + np n = np n + (n s)p n + s P n n=0 s 1 n=1 N n=s s 1 n=0 N n=s N n=s L q = s 1 np n + L q + s(1 P n ) n=0 s 1 n=0 16

M/M/s - população de chamada finita (s > 1) : W q, W W = L λ W q = L q λ λ = λ n P n = (N n)λp n n=0 N N n=0 = Nλ P n λ np n n=0 N n=0 = Nλ λl = λ (N L) λ = λ(n L) W = L λ (N L) W q = L q λ (N L) 16

M/M/s - população de chamada finita: Nota Hipótese formulada neste modelo Assume-se que cada cliente o tempo que está fora do sistema (i.e., o intervalo de tempo entre a saída e a próxima entrada do mesmo cliente) segue uma exponencial com um parametro λ. Generalização As fórmulas anteriores continuam aplicáveis mesmo quando não se assume tempo que está fora do sistema segue uma exponencial com um parametro λ. Basta que estes tempos sejam identicamente distribuidos com uma média de 1/λ, que podem ter uma qualquer distribuição. Deixa de ser um caso particular do processo de nascimento e morte 16

Um exemplo Um técnico de manutenção tem a responsabilidade de manter 3 máquinas s = 1 ; N = 3 Para cada máquina a distribuição de probabilidade do tempo até à próxima avaria é uma exponencial de com uma média de 9 horas 1/λ = 9 horas; λ = 0.1111 avarias por hora 1/λ = 0.375 dias; λ = 2.667 avarias por dia O tempo de reparação segue uma distribuição exponencial com uma média de 2 horas; 1/µ = 2 horas; µ = 0.5 reparações por hora 16

Um exemplo (M/M/1/N; N = 3; λ = 0.1111; µ = 0.5) Distribuição de probabilidade e o número esperado de máquinas que não estão a trabalhar. Máquina que não estão a trabalhar -> máquinas no sistema de fila de espera (n) N P 0 = n=0 N! λ n (N n)! μ 1 0.6 0.5 0.4 P n P n = N! λ n (N n)! μ P 0 P 0 0.493 P 1 0.329 0.3 0.2 0.1 P 2 0.146 P 3 0.033 0 0 1 2 3 n 16

Um exemplo (s = 1; N = 3; λ = 0.1111; µ = 0.5) Distribuição de probabilidade e o número esperado de máquinas que não estão a trabalhar. Máquina que não estão a trabalhar -> máquinas no sistema de fila de espera (n) L = N μ λ (1 P 0 ) L = 3 np n n=1 L = 0.718 L q = 0.211 0.6 0.5 0.4 0.3 P n L q = 3 (n 1)P n n=2 P 0 0.493 P 1 0.329 0.2 0.1 P 2 0.146 P 3 0.033 0 0 1 2 3 n 16

Um exemplo (M/M/1 com λ = 1/3; µ = 0.5) Vamos considerar um modelo aproximado: Supor que a população de chamada era infinita, em que o ritmo de chegada seria de 3 cada 9 horas. λ = 1/3; µ = 0.5 P n = (1 ρ )ρ n para n = 0, 1, 0.9 0.8 0.7 0.6 M/M/1/N L = 0.718 M/M/1 L = 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 M/M/1/N M/M/1 L q = 0.211 L q = 1.33 0 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 16

Um exemplo (M/M/1/K com λ = 1/3; µ = 0.5) Vamos considerar outro modelo aproximado: Supor que a população de chamada era infinita, com fila de espera finita (K = 3), em que o ritmo de chegada seria de 3 cada 9 horas. λ = 1/3; µ = 0.5 P n = 1 ρ 1 ρ ρ n K+1 0.9 0.8 M/M/1/N L = 0.718 M/M/1 L = 2 M/M/1/K L = 1.015 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 M/M/1/N M/M/1 M/M/1/K 16

Um exemplo (s = 2; N = 3; λ = 0.1111; µ = 0.5) Modelo de polulação de chamada finita mas com 2 técnicos N! λ P 0 = n s 1 (N n)!n! μ + n=0 N! λ (N n)!n!s (n s) n N μ n=s N! λ n (N n)!n! μ P 0 0 n s N! λ P n = (N n)!s!s (n s) n μ P 0 s n N 0 n > N 1 17

Um exemplo (s = 2; N = 3; λ = 0.1111; µ = 0.5) Modelo de polulação de chamada finita mas com 2 técnicos s = 1 s = 2 0.6 P n L 0.718 0.553 0.5 0.4 L q 0.211 0.009 0.3 s = 1 s = 2 W 2.832 2.033 0.2 0.1 W q 0.832 0.033 0 0 1 2 3 n 17

Modelos com λ n e/ou µ n dependentes de n Razões para variação de µ n de acordo com o valor de n Quando os servidores são pessoas, na presença de longas filas o serviço tende a ser mais rápido Aumenta o esforço Diminui a qualidade Obtém ajuda externa em algumas tarefas Razões para a variação de λ n de acordo com o valor de n O aparecimento da uma longa fila de espera pode desencorajar novos clientes. Modelos Apenas varia µ n ; Apenas varia λ n ; Ambos variam. Diversos modelos de variação 17

Um Modelo de variação de µ n em função de n (s = 1) µ n = n c μ 1 c - coeficiente de pressão µ 1 - ritmo de serviço quando há apenas um cliente λ n = λ C n = (λ /μ 1 )n (n!) c n = 0,1,... µ n c = 1 c = 0.8 c = 0.5 c = 0.4 n 17

Um Modelo de variação de λ n em função de n (s = 1) λ n = (n +1) b λ 0 λ n µ n = μ b - coeficiente de pressão b = 0.4 λ 0 - ritmo de chegada quando há não há clientes no sistema C n = (λ 0 /μ ) n n = 0,1,... (n!) b b = 0.8 b = 0.5 b = 1 n 17

Um Modelo de variação simultânea de µ n e λ n (s = 1) λ n = (n +1) b λ 0 µ n = n a μ 1 C n = (λ 0 /μ 1 ) n (n!) (a+b) n = 0,1,... 17

Um Modelo de variação de µ n e/ou λ n (s = 1) µ n = n c μ 1 λ n = λ C n = (λ /μ 1) n (n!) c n = 0,1,... µ n = μ λ n = (n +1) b λ 0 λ /μ 1 = λ 0 /μ c = b µ n = n a μ 1 λ n = (n +1) b λ 0 λ /μ 1 = λ 0 /μ 1 c = a + b 17

Um Modelo de variação simultânea de µ n e λ n (s > 1) µ n e λ n variando em função do número de clientes por servidor, i. e., em função de (n/s) µ n = nμ 1 n s ( ) a μ 1 n s n s λ n = λ 0 n s 1 ( ) b λ 0 n s 1 s n+1 (λ 0 /μ 1 ) n n = 0,1,...,s C n = (n!) (λ 0 /μ 1 ) n n = s,s +1,... s!(n!/s) c s (1 c)(n s) c = a + b 17

Valores de P 0 - variação simultânea de µ n e λ n 17

Valores de L - variação simultânea de µ n e λ n 18

Um exemplo - variação de µ n No hospital o ritmo de serviço tende a aumentar com o número de pacientes à espera As enfermeiras terminam o tratamento e o médico pode passar para outro paciente Novos dados: 24 minutos por paciente se não houver mais pacientes 12 minutos se houver 6 pacientes (5 à espera) 1/µ 1 = 24 min = 0.4 h µ 1 = 2.5 pacientes / hora 1/µ 6 = 12 min = 0.2 h µ 1 = 5 pacientes / hora Ritmo de chegada é de 2 pacientes por hora 18

Um exemplo - variação de µ n 1/µ 1 = 24 min = 0.4 h µ 1 = 2.5 pacientes / hora 1/µ 6 = 12 min = 0.2 h µ 1 = 5 pacientes / hora µ n = n c μ 1 µ 6 = 6 c μ 1 6 c = 2 c = 0.4 µ n 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 18

Um exemplo - variação de µ n µ n = n c μ 1 c = 0.4 µ 6 = 5 µ 1 = 2.5 λ n = 2 λ 0 sμ 1 λ 0 sμ 1 = 2/2.5 = 0.8 (s =1) λ 0 sμ 1 = 2/(2 2.5) = 0.4 (s = 2) P 0 = 0.367 P 0 = 0.440 L = 1.251 L = 0.864 18

Um exemplo - variação de µ n µ n = n c μ 1 c = 0.4 µ 1 = 2.5 λ n = 2 s = 1 P 0 = 0.367; L = 1.251 s = 2 P 0 = 0.440; L = 0.864 λ 0 sμ 1 = 0.8 λ 0 sμ 1 = 0.4 C n = (λ /μ 1) n (n!) c n = 0,1,... L q = L (1 P 0 ) s =1 L q = L P 1 2(1 P 0 P 1 ) s = 2 W q = L q /λ W = L /λ P[W q > 0] =1 s 1 P n n=0 s = 1 s = 2 P 1 0.294 0.352 L q 0.618 0.095 W 0.626 h 0.432 h W q 0.309 h 0.048 h P[W q >0] 0.633 0.208 18

Um exemplo diferente: enunciado Uma loja contém 3 máquinas idênticas que de tempos a tempos avariam sendo necessário realizar uma operação de manutenção. O tempo requerido pelo sistema de manutenção para realizar essa operação segue uma exponencial com uma média de 30 minutos. Contudo, essa operação de reparação falha, com uma probabilidade de 1/3, sendo nesse caso necessário voltar a repetir a operação e neste caso com sucesso garantido. Depois de reparada, a máquina regressa ao serviço e o tempo até à próxima avaria dessa máquina segue uma exponencial com uma média de 3 horas. 18

Enunciado (extraindo dados) Uma loja contém 3 máquinas idênticas que de tempos a tempos avariam sendo necessário realizar uma operação de manutenção. N = 3 O tempo requerido pelo sistema de manutenção para realizar essa operação segue uma exponencial com uma média de 30 minutos. Contudo, essa operação de reparação falha, com uma probabilidade de 1/3, sendo nesse caso necessário voltar a repetir a operação e neste caso com sucesso garantido. 1/µ = 30 min = 0.5 h µ = 2 / h p = 1/3 Depois de reparada, a máquina regressa ao serviço e o tempo até à próxima avaria dessa máquina segue uma exponencial com uma média de 3 horas. 1/λ = 3 h λ = 1/3 / h 18

Representação dos estados (n, i) n - número de máquinas na manutenção (número de clientes no sistema). O serviço de manutenção apenas repara uma máquina de cada vez (por ordem de chegada). Se existir pelo menos uma máquina na manutenção está uma máquina a ser reparada Pode estar a ser efectuada a primerira tentativa - i = 1 Pode estar a ser efectuada a segunda tentativa (quando a primeira falha) - i = 2 n {0, 1, 2, 3} n, i i {0, 1, 2} i = 0 não há máquinas em reparação 18

Construíndo o diagrama de estados n = 0 N - n = 3 1 = 3. 1/3? 0, 0 1, 1 λ = 1/3 / h 0 máquinas na manutenção 3 máquinas a funcionar 1 máquinas na manutenção (tentativa 1) 2 máquinas a funcionar 18

Construíndo o diagrama de estados λ = 1/3 / h 1 0, 0 1, 1 n = 1, tentativa 1 N - n = 2 Avariou outra máquina 2, 1 n = 2, tentativa 1 da primeira N - n = 1 Máquina reparada à primeira tentativa 1, 2 Tentativa 1 falhada n = 1, tentativa 2 N - n = 2 18

Construíndo o diagrama de estados λ = 1/3 / h µ = 2 / h p = 1/3 1 n = 1, N - n = 2 0, 0 1, 1 2/3 2 * 1/3 / h 2, 1 n = 2, tentativa 1 da primeira N - n = 1 4/3 2/3 1, 2 (1-1/3) * 2 / h 1/3 * 2 / h n = 1, tentativa 2 N - n = 2 19

Construíndo o diagrama de estados λ = 1/3 / h µ = 2 / h p = 1/3 1 0, 0 1, 1 2/3 2, 1 4/3 2/3 2 1, 2 n = 1, tentativa 2 N - n = 2 2/3 2, 2 19

Construíndo o diagrama de estados 2, 1 n = 2, 1 reparação na tentativa 1 N - n = 1 1 2/3 1 x 1/3 0, 0 1, 1 2 x 2/3 2, 1 3, 1 4/3 2/3 2/3 λ = 1/3 / h 2 1, 2 2/3 2, 2 µ = 2 / h p = 1/3 19

Construíndo o diagrama de estados 2, 2 n = 2, 1 reparação na tentativa 2 N - n = 1 1 2/3 1/3 0, 0 1, 1 4/3 2, 1 3, 1 4/3 2/3 2 2/3 λ = 1/3 / h 2 1, 2 2/3 2, 2 1/3 3, 2 µ = 2 / h p = 1/3 19

Construíndo o diagrama de estados 3, 1 n = 3, uma reparação na tentativa 1 N - n = 0 1 2/3 1/3 0, 0 1, 1 4/3 2, 1 4/3 3, 1 4/3 2/3 2 2/3 2/3 λ = 1/3 / h 2 1, 2 2/3 2, 2 1/3 3, 2 µ = 2 / h p = 1/3 19

Construíndo o diagrama de estados 3, 2 n = 3, uma reparação na tentativa 2 N - n = 0 1 2/3 1/3 0, 0 1, 1 4/3 2, 1 4/3 3, 1 4/3 2/3 2 2/3 2 2/3 λ = 1/3 / h 2 1, 2 2/3 2, 2 1/3 3, 2 µ = 2 / h p = 1/3 19

Construíndo o diagrama de estados 3λ 2λ 1λ 0, 0 1, 1 2, 1 (1 - p)µ (1 - p)µ (1 - p)µ 3, 1 pµ pµ pµ µ µ µ λ = 1/3 / h 1, 2 2λ 2, 2 1λ 3, 2 µ = 2 / h p = 1/3 19

Equações de Balanço 1 2/3 1/3 0, 0 1, 1 4/3 2, 1 4/3 3, 1 4/3 2/3 2 2/3 2 2/3 2 1, 2 2/3 2, 2 1/3 3, 2 1.P 00 = (4/3)P 11 + 2P 12 P 11 (2/3 + 4/3 +2/3) = 1.P 00 + (4/3)P 21 + 2P 22 P 32 (2) = (2/3)P 31 + (1/3)P 22 19

Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte A maioria dos modelos elementares de filas de espera assume que as entradas (chegadas de novos clientes) e as saidas (saidas de clientes) do sistema de fila de espera ocorre de acordo com o processo de nascimento e morte. Dizem-se modelos com entradas de Poissom e tempos de serviço exponenciais. Os ritmos de chegada de clientes (λ n ) e ritmos de clientes servidos (µ n ) podem ser quaisquer valores não negativos. Os diferentes modelos de filas de espera diferem apenas nas hipóteses de como λ n e µ n variam em função de n. 19

Quando é que estes modelos não são aplicáveis? Quando o tempo entre-chegadas não segue uma exponencial Quando as chegadas estão agendadas de acordo com um horário Quando os tempos de serviço não seguem uma exponencial O tempo de serviço é sensivelmente constante M/G/1 M/D/s M/E k /s 20

M/G/1 A entrada é um processo de Poissson (tempo entre chegadas é exponencial) Um único servidor Os tempos de serviço dos clientes são independentes e têm a mesma distribuição de probabilidades (qualquer distribuição) com Média = 1/µ Variância = σ 2 Pode chegar a um regime estacionário quando ρ = λ/µ < 1 20

M/G/1 Fórmulas aplicáveis P 0 =1 ρ Se σ 2 = 1/µ 2 M/G/1 M/M/1 L q = λ2 σ 2 + ρ 2 2(1 ρ ) W q = L q λ L = ρ + L q W = W q + 1 μ Notar que: Quando σ 2 aumenta L q (e consequentemente L aumenta) 20

M/D/s Tempo de serviço constante - Distribuição degenerada σ 2 = 0 λ n = λ L q = ρ 2 2(1 ρ) (s = 1) M/G/1 M/M/1 M/D/1 L q = λ2 σ 2 + ρ 2 2(1 ρ ) L q = ρ 2 (1 ρ ) L q = ρ 2 2(1 ρ ) 20

M/D/s 20

M/E k /s - Distribuição de Erlang Função densidade Média f (t) = (μk)k (k 1)! t k 1 e kμt para t 0 µ e k são parametros positivos. k é inteiro E(T ) = 1 μ Desvio Padrão StDev(T ) = 1 k 1 μ Parametro k define o grau de variabilidade dos tempos de serviço relativamente á média. 20

M/E k /s - Distribuição de Erlang f(t) µ k = k = 3 k = 2 k = 1 1/µ t k = 1 : Exponencial k = 1 : Degenerada (tempo constante) 20

M/E k /s - Distribuição de Erlang M/E k /1 como caso particular de M/G/1 L q = λ2 /(kμ 2 )+ ρ 2 2(1 ρ ) = 1+ k 2k λ 2 μ (μ λ ) σ 2 =1/(kμ 2 ) W q = 1+ k 2k λ μ (μ λ ) W = W q + 1 μ L = λw 20

Outros modelos Modelos sem um processo de Poisson de entrada GI/M/s D/M/s Ek/M/s etc 20

Modelos com prioridades nas filas N classes de prioridade Classe 1 é a mais prioritária; Classe N é a menos prioritária Quando um servidor termina um serviço vai buscar o cliente de mais alta prioridade que está na fila à mais tempo Clientes são servidos por ordem de prioridade Dentro da mesma prioridade por ordem de chegada Assume para cada classe de prioridade Um processo de Poisson de entrada Pode ter diferentes ritmos de chegada para cada prioridade Distribuição exponencial de tempo de serviço Assume que o tempo médio de serviço é o mesmo para todas as prioridades 21

Modelos com ou sem suspensão de serviço Modelo sem suspensão de serviço Quando um cliente começa a ser servido, há a garantia de o serviço se realizar até ao fim mesmo que chegue um cliente mais prioritário Modelo com suspensão de serviço O serviço a um cliente pode ser interrompido devido à chegada de um cliente mais prioritário. Modelos com recomeço do serviço Modelos com conclusão do serviço 21

Modelos com ou sem suspensão de serviço Importância da exponencial na interrupção do serviço Devido à propriedade de falta de memória da exponencial, não há diferença entre o modelo com recomeço ou com continuação do serviço A distribuição do tempo que falta é sempre a mesma Importância da exponencial nos cálculos dos valores médios Devido à propriedade 6 todos os clientes chegam de acordo com um processo de Poisson Todos os cliente têm tempos de serviço de acordo com a mesma distribuição exponencial L, L q, W, W q do modelo M/M/s são aplicáveis. Apenas mudam as distribuições dos tempos de espera por prioridade 21

Efeitos da classes de prioridades A distribuição dos tempos de espera têm uma maior variância do que no caso sem prioridades Tempos de espera dos clientes de maior prioridade tendem a ser menores do que no caso sem prioridade Tempos de espera dos clientes de menor prioridade tendem a ser maiores do que no caso sem prioridade Os clientes no sistema tendem a ser maioritariamente clientes de baixa prioridade O objectivo da prioridade é melhorar o desempenho do sistema para os clientes mais prioritários (à custa dos clientes menos prioritários) 21

Tempo de espera para cada classe de prioridade k: W k -Caso sem suspensão de serviço - s - servidores µ - ritmo médio de serviço N - classes de prioridade λ i - ritmo médio de chegada de clientes da classe i. λ = N λ i i=1 r = λ μ W k = 1 AB k 1 B k + 1 μ A = s! sμ λ r s B 0 =1 k =1,2,...,N s 1r j j=0 j! + sμ Para que cada classe possa atingir um regime estacionário assume-se que: k λ i i=1 < sμ B k =1 k i=1 λ i sμ k =1,2,...,N Nota: Quando s = 1, A = µ 2 /λ 21

Número Esperado para cada classe de prioridade k: L k -Caso sem suspensão de serviço - s - servidores µ - ritmo médio de serviço N - classes de prioridade λ i - ritmo médio de chegada de clientes da classe i. W k = 1 AB k 1 B k + 1 μ L k = λ k W k k =1,2,...,N k =1,2,...,N λ = N λ i i=1 r = λ μ Para que cada classe possa atingir um regime estacionário assume-se que: k λ i i=1 < sμ Excluíndo o serviço W qk = W k 1 μ = 1 AB k 1 B k L qk = λ k W qk k =1,2,...,N k =1,2,...,N 21