CURVA GEODÉSICA GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR
SEÇÃO NORMAL Curva resultante da interseção de um plano normal (plano que contém a normal de um ponto) e um segundo ponto com a superfície elipsoidica. Normal de P2 Normal de P1 P2 P1 P2 P1 P1 P2 seção direta seção recíproca ou inversa Seção normal de P1 P2 Contém: O ponto P1 A normal de P1 O ponto P2 Seção normal de P1 P2 Contém: O ponto P2 A normal de P2 O ponto P1
LINHA GEODÉSICA OU GEODÉSICA Menor distância entre dois pontos na superfície elipsoidica. É uma curva reversa. Situada entre as seções normais de dois pontos. Normal de P2 Normal de P1 P2 P1 P2 P1 P1 P2 Geodésica
LINHA GEODÉSICA OU GEODÉSICA P1 P2 P1 P0 P2 P0 P0 P1 P0 P2 P0 P0 P4 P0 P3 P4 P0 P3 P0 P4 P3 Geodésica Aproxima-se da seção normal direta do ponto mais próximo
Relação de azimutes geodésicos Azimute Geodésico de uma direção geodésica é o ângulo contado do norte por leste, desde o meridiano que contém um ponto à linha geodésica. A Az AB Meridiano λ B Meridiano λ A B Az AB = Az BA ± 180 + γ convergência meridiana Az BA
θ (") = 855. s 2. 10 8. cos 2 (φ 1 ). sen(2. Az 12 ) l = e2. s 3. cos 2 φ 1. sen(2. Az 12 ) 16N 2 P2 Com: s φ 1 Az 12 N e 2 comprimento da geodésica em km latitude geodésica de P1 Azimute geodésico da direção P1 P2 grande normal em P1 1ª excentricidade ao quadrado P2 P1 s l P1 θ 2θ 3 θ 3 P1 P2 Meridiano λ 1
θ (") = 855. s 2. 10 8. cos 2 (φ 1 ). sen(2. Az 12 ) l = e2. s 3. cos 2 φ 1. sen(2. Az 12 ) 16N 2 P2 Exemplo: φ 1 = 0 Az 12 = 45 s = 40 km P2 P1 s l θ = 0, 014 l = 1 mm Muitos casos é desprezível P1 θ 2θ 3 θ 3 P1 P2 Meridiano λ 1
É possível simplificação aproximação esférica Adoção de Raio local R LOCAL = MN (M e N calculados para latitude média φ m entre os pontos) GARANTIA Precisões de 0,0001 ou 3 mm em distâncias de até 80 km ~ lados das redes geodésicas APLICAÇÕES Transporte de coordenadas PUISSANT Formulas simplificadas de Molodensky (conversão) NBR 14166 Rede de referência cadastral
Cálculo do comprimento da geodésica Integral elíptica solução complexa Alternativas métodos numéricos para aproximação, processos iterativos. Uma opção: Vincenty, T. Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations. In: Survey Review, v. 23, n. 176, 1975. Aplicativos desenvolvidos: National Geodetic Survey (NGS) - NOAA (EUA)
Aplicativos desenvolvidos: National Geodetic Survey (NGS), NOAA (EUA) https://www.ngs.noaa.gov/pc_prod/inv_fwd/
https://www.ngs.noaa.gov/pc_prod/inv_fwd/ DESCRIÇÃO INVERSE Calcula o azimute geodésico e o comprimento da geodésica entre dois pontos de coordenadas geodésicas (φ, λ) conhecidos. φ 1, λ 1 φ 2, λ 2 Az 12, S 12 FORWARD Determina as coordenadas geodésicas de um ponto, sendo conhecidos o azimute geodésico e o comprimento da geodésica a partir de um ponto de coordenadas geodésicas conhecidos. φ 1, λ 1 Az 12, S 12 φ 2, λ 2 INVERS3D, FORWRD3D Versões similares que incluem a altitude elipsoidal (h) nos cálculos.
Característica da Geodésica Seja o raio do paralelo E a grande normal R p = N. cos φ a N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 Teorema de Clairaut O produto do seno do azimute da geodésica em um ponto pelo raio do paralelo deste ponto é constante para qualquer ponto da geodésica. R p. sen Az = constante N. cos φ. sen Az = constante
Teorema de Clairaut Aplicação LOCAÇÃO DE UMA GEODÉSICA Adaptado de NADAL, C. A. Dadas as coordenadas de dois pontos geodésicos pertencentes a RBMC, calcular a distância geodésica, o azimute e o contra azimute geodésico da direção que une o ponto A ao ponto B. Pontos: Ponto A Ponto B Santíssima Trindade/MT Chapecó/SC
Coordenadas em SIRGAS2000 (época 2000,4) Ponto A (Santíssima Trindade /MT) φ A = 15 00 23,1369" S λ A = 59 57 05,5996" W Ponto B (Chapecó/SC) φ B = 27 08 15,2367" S λ B = 52 35 58,2243" W
1. Determinação do comprimento da geodésica, azimute e contra azimute da direção geodésica AB. Programa INVERSE parâmetros de entrada: elipsoide 1º ponto 2º ponto
1. Determinação do comprimento da geodésica, azimute e contra azimute da direção geodésica AB. Programa INVERSE resultados: Parâmetros do elipsoide Resultados
Ponto A (Santíssima Trindade /MT) φ A = 15 00 23,1369" S λ A = 59 57 05,5996" W Ponto B (Chapecó/SC) φ B = 27 08 15,2367" S λ B = 52 35 58,2243" W d AB = 1544213, 905 m Az AB = 151 37 08, 6152" Az BA = 328 57 27, 2367
d AB = 1544213, 905 m Az AB = 151 37 08, 6152" Az BA = 328 57 27, 2367" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto A N = 6.379.568,780 m R p = 6.162.004,995 m R p. sen Az AB = 2. 928. 995, 463 m (constante) Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto B N = 6.382.583,339 m R p = 5.679.949,868 m R p. sen Az BA = 2. 928. 995, 463 m (constante)
Como traçar + pontos sobre a geodésica?
Como traçar + pontos sobre a geodésica? Programa FORWAD Determinar novos pontos sobre a geodésica Ponto C, distante 50 km do ponto A. Parâmetros de entrada: elipsoide 1º ponto Azimute e distância
Ponto C, a 50 km do ponto A, na geodésica φ A = 15 00 23,1369" S λ A = 59 57 05,5996" W d AC = 50.000,000 m Az AB = 151 37 08,6152" Coordenadas do ponto C calculadas: ϕ C = 15 24 13,9642" S λ C = 59 43 48,5597" W Az CA = 331 33 39,5693" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto C N = 6.379.643,795 m R p = 6.150.470,555 m R p. sen Az CA = 2.928.995,463 m (constante) O ponto C encontra-se sobre a geodésica AB. R p. sen Az BA = 2. 928. 995, 463 m (constante)
Ponto D, a 500 km do ponto A, na geodésica φ A = 15 00 23,1369" S λ A = 59 57 05,5996" W d AD = 500.000,000 m Az AB = 151 37 08,6152" Coordenadas do ponto D calculadas: ϕ D = 18 58 10,0923" S λ D = 57 41 47,3953" W Az DA = 330 57 35,0081" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto D N = 6.380.394,061 m R p = 6.033.887,107 m R p. sen Az DA = 2.928.995,463 m (constante) O ponto D encontra-se sobre a geodésica AB. R p. sen Az BA = 2. 928. 995, 463 m (constante)
Ponto E, a 1000 km do ponto A, na geodésica φ A = 15 00 23,1369" S λ A = 59 57 05,5996" W d AE = 1.000.000,000 m Az AB = 151 37 08,6152" Coordenadas do ponto E calculadas: ϕ E =22 54 07,4309 S λ E = 55 19 57,2139" W Az EA = 330 06 51,9633" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto E N = 6.381.372,598 m R p = 5.878.337,107 m R p. sen Az EA = 2.928.995,463 m (constante) O ponto E encontra-se sobre a geodésica AB. R p. sen Az BA = 2. 928. 995, 463 m (constante)
Geodésica traçada (curva reversa)
Exercício R p. sen Az BA = 2928995, 463 m (constante) Verifique se os pontos F e G pertencem ou não à geodésica AB, considerando os dados em SIRGAS2000. Elipsoide: GRS80 (a = 6 378 137, 000 m ; f = 1/298, 257222101) Ponto F ϕ F = 25 11 22,98751" S λ F = 53 38 23,80223" W Az FA = 330 30 11,32420" Ponto G ϕ G = 20 56 24,30937" S λ G = 56 31 47,87578" W Az GA = 330 33 41,54600" e 2 = 2f f 2 a N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 R P = N. cos φ
Solução R p. sen Az BA = 2. 928. 995, 463 m (constante) Ponto F ϕ F = 25 11 22,98751" S λ F = 53 38 23,80223" W Az FA = 330 30 11,32420" N = 6.382.007,858 m R p = 5.775.100,867 m R p. sen Az FA = 2.843.519,769 m!!! Ponto F não pertence à geodésica AB. Ponto G ϕ G = 20 56 24,30937" S λ G = 56 31 47,87578" W Az GA = 330 33 41,54600" N = 6.380.865,609 m R p = 5.959.439,174 m R p. sen Az GA = 2.928.995,463 m (constante) Ponto G pertence à geodésica AB.