ulas práticas: Transformação de Lorentz Problema Um laser emite um sinal luminoso que atinge o espelho localizado a uma distância h Este sinal é recebido novamente em, depois de ser refleido por, após ter decorrido um intervalo de tempo T = h c do ponto de vista de um observador em repouso relativo ao sistema (vulgarmente designado por relógio de fotões); c = 9979458 m/s é a velocidade da luz medida no vácuo valor eao fiado por convenção h h T = c O sistema é agora observado a mover-se com uma velocidade v constante tal como se mostra na figura da página seguinte Dado que, neste novo referencial, a velocidade da luz continua a ser dada por c (de acordo com o segundo postulado de Einstein), o tempo T que o sinal luminoso leva a percorrer o mesmo trajeo de ida e volta é necessariamente diferente do valor T calculado anteriormente Mostre que Harry E ates, Resource Letter RMSL : Recent measurements of the speed of light and the redefinition of the meter, merican Journal of Physics, vol 56, pp 68-687, ugust 988
T = T v c h v t ( ) ( + T) t vt Este problema ilustra, portanto, a dilatação do tempo: T γ T =, γ ( v c ) = Problema Consideremos o mesmo sistema (relógio de fotões) do problema anterior, mas agora rodado de π Para um observador em repouso relativo em relação ao sistema, a distância entre espelhos é L = como se indica na figura anea L L = Porém, para um observador que veja o sistema a mover-se, tal como se indica na figura junta, a distância entre e deverá ser L L Com efeito, no percurso de ida o sinal luminoso demora um intervalo de tempo T f, com f = L+ vtf ; porém, no percurso de volta, demora um intervalo de tempo T b tal que b = L vtb ssim, o tempo total de ida e volta será T = T + T = γ T f b
onde se teve em consideração a dilatação do tempo calculada no problema anterior Mostre que L= v L c L vtf = L+ vt f f L v = L vt b b vt b Este problema ilustra a contracção do espaço: L L γ =, γ ( v c ) = Problema 3 figura anea (na página seguinte) mostra como se pode definir a simultanedade de dois acontecimentos num dado referencial de inércia S representado pelos eios X e Um observador, em repouso em S (no ponto ), envia um sinal luminoso no instante t ; este sinal atinge o observador (em movimento, do ponto de vista de ) no instante t Este sinal, ao atingir o ponto, é instantaneamente refleido e é recebido novamente pelo observador no instante t O observador desloca-se (do ponto de vista de ) com uma velocidade v constante: o seu movimento é descrito em S pela equação = + vt 3
(a) Mostre que c c = ( t + t), = ( t t) = = + ( ), ( ) (b) Usando o faor k de ondi, tem-se t = kt e t = kt Definindo β = vc, mostre que k = + β β vt Q ( β ) ( β ) = = + P X (c) Definindo o intervalo ( ) s = c t, mostre que s entre os acontecimentos P ( ) e (, ), Q como sendo s = c t t Classifique os casos particulares: (i) = ; (ii) = ; (iii) = 4
Problema 4 Deduza a transformação de Lorentz utilizando o faor k de ondi determinado no problema anterior Sugere-se que considere a situação descrita na figura anea (página seguinte) Um observador (eio ) envia um sinal luminoso que atinge o ponto no instante t (acontecimento E ) Do ponto de vista de um observador (eio ) o acontecimento E ocorre no ponto no instante t O sinal luminoso foi emitido por no instante T = t c e, quando este sinal atinge o observador, este também envia um outro sinal luminoso no instante T = t c que atinge o ponto no instante t e que também é refleido de volta, alcançando novamente o observador no instante T = t + c + + (, ) E( t, ) E t X Nestas condições, mostre que ( ) = k + = + k ( ) donde se infere que 5
= + k + k k k = k + + k k k Logo, atendendo a que (ver problema anterior) k + = γ + β k k = γ = β k = γβ β k vem finalmente ( β ) ( β ) = γ = γ Problema 5 Mostre que o conceito de simultaneidade não é um conceito absoluto: a simultaneidade depende do referencial de inércia considerado dois acontecimentos simultâneos num dado referencial de inércia não são, em geral, simultâneos noutro referencial de inércia V U P Q S R 6
Sugestão: Considere a situação descrita na figura anea e mostre que os acontecimentos P e Q, apesar de serem simultâneos do ponto de vista do observador, não são simultâneos do ponto de vista do observador : do ponto de vista de o acontecimento Q é anterior a P O observador emite sinais luminosos (linhas contínuas) que lhe permitem estabelecer a simultaneidade dos acontecimentos P e Q Por sua vez o observador, que se encontra com o observador quando se observa a simultaneidade (em ) de P e Q, também emite sinais: um sinal RQU e um sinal SPV (linhas a tracejado) Por simetria tem-se RU = SV ; assim, os acontecimentos P e Q são equidistantes de acordo com Porém, o sinal RQ foi enviado antes do sinal SP : do ponto de vista do observador o acontecimento Q foi efeivamente anterior ao acontecimento P Problema 6 Um aluno está a resolver um eame cuja duração, medida pelo relógio do professor, deve ser de uma hora O professor, que se move com a velocidade v= 8c em relação ao aluno, emite um sinal eleromagnético quando o relógio indica que decorreu uma hora desde o início do eame O aluno pára de escrever quando é alcançado pelo sinal Quanto tempo teve para fazer o eame? Problema 7 Uma régua de comprimento L é mantida inclinada com um ângulo θ em relação à direcção do movimento num referencial móvel Determine o seu comprimento L e a sua inclinação θ, medidos no referencial do laboratório, para uma velocidade relativa v L = m, θ = 45 e β = 8 = β c Concretize para 7
Problema 8 Mostre que uma transformação de Lorentz (um boost) pode ser representada através de um diagrama de Lorentz em que as coordenadas de um acontecimento E ( t, ) ou (, ) E t são as componentes covariantes de OE : ver figura anea Note que, num diagrama de Minkowski, as componentes de E são as componentes contravariantes P OP = OR = c t OQ = OS = R α (, ) E( t, ) E t O α Q X S X Diagrama delorentz Sugestão: Note que, no diagrama de Lorentz, se faz por construção β = vc= sinα ssim cosα = γ e tanα = γβ Como UP = SV e VQ = RU, tem-se OR OP = OU + UP = + OS tanα cosα β γ OS = β OQ = OV + VQ = + OR tanα cosα cosα sinα = sinα cosα representando uma rotação de α dos eios (, X ) em relação aos eios (, ) X 8
Problema 9 No diagrama de Minkowski as coordenadas do acontecimento E ( t, ) ou (, ) E t são as componentes contravariantes de OP : ver figura anea qui trata-se de representar a transformação ( β ) ( β ) = γ X X = γ X em que o eio em S (ie, X = ) corresponde à rea = vt no referencial S e o eio X em S (ie, = ) corresponde à rea = β no referencial S Note-se, portanto, que β = vc= tanθ, tendo-se OE = e + e = c t e + e ( ) ( ) vt θ (, ) Et (, ) E t β θ X X Diagrama de Minkowski 9
Problema Mostre que a homogeneidade do espaço-tempo (ie, quer o espaço quer o tempo são homogéneos) implica que a transformação de Lorentz seja linear Sugestão: Considere, em geral, que a passagem do referencial de inércia S para o referencial de inércia S tem a forma (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) t = f t y z = f t y z y = f t y z z = f3 t y z O caso de uma transformação não linear corresponde, por eemplo, a ter-se então, se = em S, vem = = = ( + )( ) = ( + ) = Mas em S Logo, a relação entre e depende dos pontos e considerados Já se a transformação for do tipo = k (ie, linear) virá = k que não depende dos pontos considerados Em geral, portanto, f f f f t y z dt = dt+ d+ dy+ dz e relações semelhantes para d, dy e dz homogeneidade do espaço-tempo implica então que f f f f =, =, = C, = D t y z onde,, C e D são constantes Daqui resulta a linearidade da transformação ( ) t = f t,, y, z : t = t+ + C y+ Dz+ E
Problema Usando um diagrama de Lorentz mostre que o conceito de simultaneidade é um conceito relativo não um conceito absoluto (tal como previsto pela transformação de Galileu em que c = ) Mostre, ainda, a dilatação do tempo e a contracção do espaço Note que, num diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo e a contracção do espaço são ao contrário de um diagrama de Lorentz mais difíceis de verificar dada a necessidade de introduzir curvas de calibração para os eios X e Problema O faor k de ondi (ver Problemas 3 e 4) é particularmente apropriado para estudar o efeito Doppler longitudinal Considere, com efeito, a figura anea linha de universo do observador corresponde à rea observador corresponde à rea ( ) = constante, enquanto a linha de universo do t = + vt O observador emite sinais eleromagnéticos com um período T = π ωe e estes sinais são recebidos pelo observador com um período T = kt = π ωr Mostre que ωe ω R = + β β kt π k = ω R π T = ω E () = + β, β > t
Discuta os dois casos distintos: (i) emissor e receptor afastam-se ( β > ) ; (ii) emissor e receptor aproimam-se ( β < ) Problema 3 O faor k de ondi (ver Problemas 3, 4 e ) é particularmente apropriado não só para estudar o efeito Doppler longitudinal mas também a composição de velocidades de Einstein v v v C C kkt = kt kt T () () t = + v t t = + vt C
Com efeito, de acordo com a figura anea (página anterior), infere-se facilmente que β+ β v+ v β = v = + ββ vv + c onde β = vc, β = v c e β = v c Do ponto de vista do observador : o observador desloca-se com uma velocidade v e o observador C desloca-se com uma velocidade v Do ponto de vista do observador : o observador C desloca-se com uma velocidade v 3