Trigonometria I Mais Linhas Trigonométricas ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Trigonometria I Mais Linhas Trigonométricas 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Quais são os quadrantes nos quais o valor da tangente é negativa? a) 1 o e o. b) 1 o e o. e). Exercício 6. Represente no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos α, sendo: a) sec α, α 1 o quadrante. b) cossec α, α o quadrante. cotg α, α o quadrante. o e o. d) o e o. e) o e o. Exercício. Seja um arco α do círculo trigonométrico tal que sen α < 0 e tg α > 0, então α pertence a qual quadrante? Exercício 7. a) sec β. b) sen β. cotg β. Se cos β 1 e β o quadrante, determine: a) 1 o. b) o. o. d) o. e) nenhum dos quadrantes. Exercício. A cossec 0 o é igual a: a) 1. b). 1. d). e) 0. Exercício. Qual das alternativas abaixo apresenta uma identidade trigonométrica válida qualquer que seja o valor de x kπ, sendo k Z? a) sen x cos x 1. b) cotg x + 1 cossec x. 1 tg x sec x. d) cossec x + 1 cotg x. e) sen x + cossec x 1. Exercício. Seja um arco β pertencente ao o quadrante, tal que cos β 1. A tangente de β é: a). b) 6.. d). Exercícios de Fixação Exercício 8. Se sec x tg x, então quanto vale sec x + tg x? Exercício 9. Utilize o sistema para determinar a que quadrante α pertence. sec α + tg α sec α tg α. 1 Exercício 10. Se o sen x, então a sec x é igual a: a) 8 +. b) +. d) +. 1. Exercício 11. Determine tg x, sendo sen x sen x cos x. Exercício 1. Se cos x 1 1 e π < x < π, então tg x é igual a: a) 1. b) 1. 1. http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br
d) 1. e) 0,. Exercício 1. Se cos α + sec( α) k, sendo k um número real, determine cos α + sec α em função de k. Exercício 1. Represente no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos α tal que: a) sec α. b) cossec α. Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 1. sec x tg x 1 cossec x é: a) 1. b) 1. 1. d) 1. e) 0. Se sen x 1 e π < x < π, então o valor de Exercício 16. Se tg x, então sen x é igual a: a) 1 6. Exercício 18. Em 0 x π, a expressão y sen x + tg x é tal que: cos x + cotg x a) y > 0. b) y < 0, se x kπ, k Z. y > 0, se x kπ, k Z. d) y < 0. e) N.d.a. ] Exercício 19. Determine todos os valores α π, π [, tais que a equação (em x) x x + tan α 0 admita apenas raízes reais simples. Exercício 0. Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ]0, [ e que o triplo de sua secante, somado ao dobro de sua tangente, é igual a. Então, o cosseno de x é igual a: a). b) 7. 1. d) 1 6. e) 1 9. b) 1.. d). e) 6. Exercício 17. Se sen α cos α > 0, tg α sec α < 0 e 0 < α < π, então: a) 0 < α < π. b) π < α < π. π < α < π. d) π < α < π. e) não há α que satisfaça às condições propostas. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
Respostas e Soluções. 1. D.. C.. cossec 0 o 1. Resposta B. sen 0o. B.. Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio e usando o valor do cosseno em módulo, temos que, se cos β 1, então podemos utilizar medidas 1 e, respectivamente, para o cateto adjacente, em relação ao ângulo β, e hipotenusa. Temos: oposto é 8. Portanto, tg β. Resposta A. 6. a) Temos: 7. Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, temos que, se cos β 1, então podemos utilizar medidas 1 e, respectivamente, para o cateto adjacente, em relação ao ângulo β, e hipotenusa. oposto é 1. Temos então: b) Temos: a) sec β 1 cos β. http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
1 b) sen β. cotg β 1 tg β 1 1 1 1. 8. Sabemos que 1 + tg x sec x, então: sec x tgx sec x + tg x (sec x) ( + tg x) 1 + (tg x) + tg x + (tg x) tg x. Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio e usando o valor da tangente em módulo, temos que, se tg x, então podemos utilizar medidas e, respectivamente, para o cateto oposto e cateto adjacente, em relação ao ângulo x. adjacente é 10 +. Portanto, sec x 10 + + +. Resposta C. 11. (Extraído da Vídeo Aula) Dividindo toda a equação por cos x e sabendo que 1 + tg x sec x, temos: (sen x) sen x cos x ( sen x ) sen x cos x cos x (cos x) (cos x) (tg x) tg x (sec x) (tg x) tg x (1 + (tg x) ) (tg x) + tg x + 0. Resolvendo a equação, chegamos a tg x 1 ou tg x. Utilizando o Teorema de Pitágoras encontramos que a hipotenusa é. Portanto, sec x (o valor é positivo para que a expressão do enunciado seja igual a ). Portanto, sec x + tgx 1. 1. Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, considerando o módulo do cosseno, temos que, se cos x 1 1, então podemos utilizar medidas 1 e 1, respectivamente, para o cateto adjacente, em relação ao ângulo x, e hipotenusa. 9. (Extraído da Vídeo Aula) Somando as equações do sistema, temos sec α 1 > 0 e, consequentemente, tg α 1 1 > 0. Portanto, α pertence ao 1o quadrante. 10. Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, temos que, 1 se sen x, então podemos utilizar medidas 1 e, respectivamente, para o cateto oposto, em relação ao ângulo x, e hipotenusa. oposto é. Portanto, como x é um ângulo do o quadrante, tg x. Resposta D. 1 1. Como a secante é o inverso do cosseno, então sec( α) http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
sec α e, consequentemente, cos α + sec α k. Temos então: 1. cos α + sec α k (cos α + sec α) k (cos α) + cos α sec α + (sec α) k (cos α) + cos α 1 cos α + (sec α) k (cos α) + + (sec α) k (cos α) + (sec α) k. a) Como a secante é positiva, temos arcos no 1 o e o quadrantes: adjacente é. Lembrando que x é um ângulo do o quadrante, temos: (sec x) (tg x) 1 cossec x ( ) ( 1 ) 1 9 8 1 8 1. Resposta A. b) Como a cossecante é negativa, temos arcos no o e o quadrantes: 16. (Extraído da Cesgranrio) Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, temos que, se tg x, então podemos utilizar medidas e 1, respectivamente, para o cateto oposto e o cateto adjacente, em relação ao ângulo x. Utilizando o Teorema de Pitágoras encontramos que a hipotenusa é ( ) 6. Portanto, sen x 6 6. Resposta 1. (Extraído do IFCE - 016) Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, temos que, se sen x 1, então podemos utilizar medidas 1 e, respectivamente, para o cateto oposto, em relação ao ângulo x, e hipotenusa. E. 17. (Extraído da Fatec - SP) Se tg α sec α sen α cos α 1 cos α < 0 e sen α cos α > 0, então cos α < 0 e, consequentemente, sen α < 0. Portanto, α é um arco do o quadrante. Resposta C. http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
18. (Extraído da Mackenzie-SP) sen x + tg x cos x + cotg x sen x + sen x cos cos x + cos x sen x sen x cos x + sen x cos x cos x sen x + cos x sen x sen x(cos x + 1) cos x cos x(sen x + 1) sen x (sen x) (cos x + 1) (cos x) (sen x + 1). No resultado obtido, como sen x e cos x são denominadores, devem ser diferentes de zero e, consequentemente, todos os termos devem ser positivos. Sendo assim, y > 0, se x kπ, k Z. Resposta C. 19. (Extraído do ITA) Fazendo x y, temos y y + tg α 0, que deve admitir duas raízes reais, distintas e não negativas, ou seja, ( ) tg α > 0 e tg α 0, segue que 0 tg α <, donde 0 α < π. 0. (Extraído do ITA) Temos: sec x + tg x cos x + sen x cos x + sen x cos x sen x cos x (sen x) 9(cos x) 18 cos x + 9 (1 (cos x) ) 9(cos x) 18 cos x + 9 1(cos x) 18 cos x + 0 cos x 18 ± 8 6. Chegamos a dois valores para cos x, mas como x 0, pelo enunciado, então cos x. Resposta C. 1 Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ 6 matematica@obmep.org.br