Disciplina de Matemática Professora: Dora Almeida Escola Secundária de D. Luísa de Gusmão Trabalho elaborado por: -Andreia Domingos nº 4 -Cátia Santos nº 7 10ºB 1
O que é o Número de Ouro...pág 3, 4 e 5 A História do Número de Ouro...pág 6 e 7 Rectângulo de Ouro e Espiral de Ouro...pág 7 Trabalho realizado no GEOMETER'S SKETCHPAD...pág 8 Bibliografia e outras fontes... pág 9 2
O Número de Ouro é um número irracional que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão. O seu valor numérico é aproximadamente de 1,618. A designação adoptada para este número, Φ ( phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquitecto grego encarregado da construção do Pártenon, em Atenas. Podemos chegar ao valor de Φ construindo um rectângulo cujos lados tenham uma razão entre si igual ao Número de Ouro. Esse rectângulo pode ser, por sua vez, dividido num quadrado e noutro rectângulo, tendo também ele a razão entre os dois lados igual ao Número de Ouro. Na Antiguidade Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão constante. O Número de Ouro é considerado como sendo a proporção divina e foi utilizado ao longo da história, em vários contextos: Na Grande Pirâmide de Gizé, construída pelos egípcios, o quociente entre a altura de uma face e a metade da lado da base é quase 1,618; A Fídias atribui-se a construção do Parténon Grego em Atenas, templo representativo do século de Péricles, usando o Rectângulo de Ouro ( a razão entre o comprimento e a largura é o Número de Ouro) na sua base e fachada; 3
Euclides, no livro Os Elementos, utilizou o Número de Ouro para construir o primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos, O dodecaedro( 12 faces pentagonais ) e o icosaedro ( 20 fases triangulares ); Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal; Mais recentemente Apesar do nosso estudo se centrar na Antiguidade podemos referir outras contribuições para o estudo deste número: A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o Número de Ouro está relacionada com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem à sequência de números de Fibonacci: as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do Número de Ouro; Frei Luca Pacioli publicou em 1509 um livro com o título de De Divina Proportione, com ilustrações de sólidos platonicos realizados pelo seu amigo Leonardo Da Vinci, no qual relaciona o Número de Ouro com os polígonos regulares e os sólidos de Platão; Kepler baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platónicos e na sua relação com o Número de Ouro; Le Corbusier( arquitecto francês) e Salvador Dali são dois dos muitos artistas que utilizaram o Número de Ouro nas suas obras. O número é também utilizado para desenhar espirais semelhantes às que encontramos na Natureza, por exemplo no centro dos girassóis, nas pinhas e nos moluscos náuticos. Na actualidade algumas construções, como por exemplo, o edifício das Nações Unidas, em Nova Iorque, e até objectos do dia a dia, como por exemplo o cartão de crédito, estão ligados ao rectângulo de Ouro e como tal estão ligados ao Número de Ouro. Concluindo Pelo que já foi dito é fácil concluir que este Número é conhecido à muito tempo e nada tem de sobrenatural. É uma proporção que ocorre com muita frequência na natureza e é referido como a proporção esteticamente ideal. 4
Os artistas da Renascença designaram-no por Número De Ouro. Conhecido desde a mais romota antiguidade, era visto como símbolo cosmológico e fórmula mágica. Pelas propriedades de que goza, é chave de diversas construções geométricas utilizadas, desde há muitos séculos, na Arquitectura; A proporção que ele traduz é considerada particularmente estética e numerosas obras-primas da pintura e da escultura inspiram-se nele. O número de ouro é também chamado Divina Proporção, desde que Fra Luca Paccioli, sob a influência de Piero de La Francesca, escreveu um livro sobre este número com desenhos de Leornado Da Vinci ( o primeiro a utilizar a expressão sectia aurea). MODULOR No século XX o arquitecto Le Corbusier (1948) fundamentou nas propriedades do Número de Ouro, o seu MODULOR, espécie de tabela, com medidas padrão, a ser utilizada nas obras arquitectónicas. O MODULOR, módulo de ouro, é uma tabela para uso da Arquitectura, inspirada no número Φ. Matemática 2 Matematicamente, o Número de Ouro é a raiz positiva da equação : x x 1= 0. É uma dizima infinita não periódica. Também já vimos que pode ser obtido através da sucessão de Fibonacci, cuja principal propriedade é que cada termo é a soma dos dois termos que o antecedem. A razão entre cada termo desta sucessão e o anterior converge rapidamente para Φ, que se chama limite da sucessão. O seu inverso representa 0,618033 e tem também um papel importante na proporção áurea. O inverso de 2 Φ é a raiz positiva da equação x + x 1= 0. Geometricamente e para além do que já foi dito anteriormente, o Número de Ouro pode ainda ser calculado pela razão entre a diagonal e o lado de um pentágono regular. Ou seja, pela razão entre uma qualquer das linhas do pentagrama e a distância entre duas extremidades contíguas do mesmo. Obviamente estas coincidências excitam as imaginações e facilitam a elaboração de especulações esotéricas. 5
A História deste enigmático número perde-se na antiguidade. Como já dissemos, no Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao Número de Ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser Φ. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade. Construído muitas centenas de anos depois ( entre 447 e 433 a. C.), o Pratenon Grego, templo representativo do século de Péricles, contém a razão áurea no rectângulo que contem a fachada, o qual revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O construtor e arquitecto encarregado de construir este templo é o já referido Fídias. Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção do seu símbolo: A estrela pentagonal. Apesar do seu nome só ter surgido dois mil anos depois, pensa-se que foi um dos primeiros números irracionais conhecidos. 6
Os gregos consideraram que o rectângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética e consideravam essa harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão. Criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro. RECTÂNGULO DE OURO Se desenharmos um rectângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao Número de Ouro obtemos um rectângulo de ouro. O rectângulo de ouro é um objecto matemático que marca forte presença no domínio das artes, como já referimos, e nomeadamente na arquitectura na pintura e até na publicidade. Este facto não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o rectângulo de ouro é de todos os rectângulos o mais agradável à vista. Até hoje não se conseguiu descobrir a razão de ser dessa beleza, mas a verdade é que existem inúmeros exemplos onde o rectângulo de ouro aparece. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso dia a dia: bilhetes de identidade, carta de condução, assim como a forma rectangular de muitos dos nossos livros. ESPIRAL DE OURO Como dissemos no inicio do nosso trabalho, é possível dividir um rectângulo de ouro num quadrado e noutro rectângulo de ouro. Repetindo este processo infinitamente é possível obter uma espiral de Ouro. Basta desenhar quartos de circunferência em cada quadrado e reproduzir assim uma espiral que aparece em alguns exemplos da natureza. 7
No laboratório de Matemática construimos rectângulos de ouro e a respectiva espiral ouro: DF =16,525 cm DA =10,213 cm 16,52cm 10,21cm =1,618 D C F FE =10,213 cm CF =6,312 cm 10,21cm 6,31cm =1,618 HG =6,312 cm GE =3,901 cm HG GE =1,618 HB =3,901 cm BI =2,411 cm HB BI =1,618 H U J G HK =1,490 cm KT =2,411 cm KT HK = 1,618 K V F Z W R S' S T A B I E Escondendo todos os traços auxiliares obtemos a espiral dourada ou logarítmica: 8
http://semiramis.ewbblog.com.pt/arquivo/167934.html http://www.educ.fc.ul.pt./icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm Diciopédia2003 9