Objetivo VETORES Estudar propriedades de vetores e a obtenção de resultantes. Introdução Para localizar um ponto P em uma reta, três elementos são necessários: uma referência R, escolhida arbitrariamente, um número, que indica a distância de P até a referência R e uma convenção de sinais, que indica a posição relativa de P (se está à direita ou à esquerda de R, acima ou abaio de R, etc.). Este conjunto de elementos constitui uma coordenada. P 1 - R + 4 cm 3 cm P 2 + R - (direita e esquerda) Figura 1-a (acima e abaio) Figura 2-a A coordenada de P 1 em relação a R é -4cm (Figura 1-a). A coordenada de P 2 em relação a R é +3cm (Figura 2-a). A coordenada de R em relação a R é zero, porque a distância de R em relação a R é zero. É costume chamar a referência R de origem O das coordenadas. Chama-se eio à reta com a origem O e a convenção de sinais definida sobre ela. Podemos indicar a posição de um ponto P por meio de uma seta sobre o eio, a qual parte da origem e vai até P. Esta seta representa o vetor posição do ponto P. Por convenção, representaremos um vetor por uma letra em negrito. P 2 P 1 V 1 - O + V 2 + O - vetor V 1 vetor posição do ponto P 1 Figura 1-b vetor V 2 vetor posição do ponto P 2 Figura 2-b Nas figuras acima, o vetor está desenhado, mas é claro que seria muito conveniente ter uma forma mais prática de tratar vetores, que não eigisse que os desenhássemos
sempre em todos os nossos trabalhos. Vamos então introduzir um tratamento analítico, que dispensa a forma gráfica de lidar com vetores. Para isso, introduzimos um vetor unitário: ele tem módulo um (1) e serve para indicar a direção do eio e seu sentido positivo. O î O ĵ Unitário i Figura 1-c Unitário j Figura 2-c Para a Figura 1-c, o vetor unitário indica que a direção do eio é horizontal e o sentido positivo é da esquerda para a direita. Vamos chamar de i este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P 1 na Figura 1-b pode ser escrito analiticamente como V 1 = -4i (cm). Esta epressão quer dizer que P 1 está sobre o eio horizontal, 4cm à esquerda da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V 1 tem direção horizontal, sentido negativo e módulo 4 (cm). Analogamente, para a Figura 2-c, o vetor unitário indica que a direção do eio é vertical, e o sentido positivo é de baio para cima. Vamos chamar de j este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P 2 na Figura 2-b pode ser escrito analiticamente como V 2 = 3j (cm). Esta epressão quer dizer que P 2 está sobre o eio vertical, 3cm acima da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V 2 tem direção vertical, sentido positivo e módulo 3 (cm). Na representação gráfica, o módulo do vetor deve ser proporcional ao comprimento da seta. Vemos agora porque i e j devem ser unitários, isto é, devem ter módulo 1: é para que V 1 = -4i (cm) tenha módulo 4 (cm) e V 2 = 3j (cm) tenha módulo 3 (cm). Como a multiplicação de um número por 1 resulta no mesmo número, assim fica mais simples. Do contrário, teríamos que levar em conta o valor do módulo de i e j para obter o módulo de V 1 e de V 2. Para localizar um ponto em uma superfície, uma única coordenada não é suficiente. Vamos então utilizar o que já conhecemos sobre as coordenadas em uma reta e traçar na superfície duas retas que se cruzam perpendicularmente. Escolhemos como origem O o ponto em que as retas se cruzam, porque assim temos a mesma origem para as duas retas. Para cada reta escolhemos uma convenção de sinais, que indica a posição relativa a O. Temos assim dois eios. Cada um recebe um nome, para que possamos distinguilos; é costume chamar a um deles de eio X e ao outro de eio Y. Para localizar um ponto P que está sobre um destes eios medimos a distância de P até O e utilizamos a convenção de sinais adotada.
y P 2 V 2 P 1 V 1 Figura 3 O ponto P 1 tem coordenada = -4cm (isto é, coordenada sobre o eio X igual a - 4cm) e o ponto P 2 tem coordenada y = 3cm (isto é, coordenada sobre o eio Y igual a 3cm). Portanto, os vetores posição dos pontos P 1 e P 2 são, respectivamente V 1 = -4i (cm) e V 2 = 3j (cm). Como representar um ponto P que está na superfície, mas não está sobre nenhum dos dois eios? y P V Figura 4 Para isso, vamos agora considerar a regra do paralelogramo para a soma de dois vetores. Trata-se de uma construção gráfica em que desenhamos os dois vetores com a mesma origem e construímos o paralelogramo que tem os dois vetores como seus lados. b a + b a Regra do paralelogramo Figura 5
O vetor V = a + b, isto é o vetor que é a soma dos vetores a e b é dado pela seta diagonal que vai da origem até o vértice oposto. Considerando nossos vetores V 1 e V 2 como os vetores a e b da regra do paralelogramo estudada acima, verificamos então que a soma de V 1 e V 2 fornece o vetor V, que é o vetor posição do ponto P, situado sobre a superfície e fora dos eios. y P V V 2 V 1 Figura 6 Assim, usando os unitário i e j, e todos os possíveis pares de coordenadas e y, podemos representar todos os pontos sobre uma superfície. As coordenadas e y são as componentes e y do vetor. Para o vetor V da Figura 6, V (a componente de V) é -4(cm) e V y (a componente y de V) é 3 (cm). As componentes são utilizadas para um tratamento analítico da soma vetorial: se V = V 1 + V 2 então V = V 1 + V 2 e V y = V 1y + V 2y, ou seja, a componente da soma é a soma das componentes. Este resultado vale para a soma de qualquer número de vetores e dispensa o uso de desenhos. Pela Figura 7 verificamos que V, V 1 e V 2 formam um triângulo retângulo. As componentes de V podem então ser facilmente calculadas, a partir da definição das funções trigonométricas. y P V V 1 V 2 θ Figura 7 Como sen θ = V V y (cateto oposto sobre a hipotenusa) então V y = V sen θ.
Analogamente, como cos θ = V = V cos θ. V V (cateto adjacente sobre a hipotenusa) então Uma vez que o módulo do vetor corresponde ao tamanho da seta que o representa, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o módulo de V = V se conhecermos suas componentes: V 2 = V 2 + V y 2. No caso da Figura 7, V = 5 (cm). Portanto, mais uma vez, conhecer as componentes dispensa o uso de desenhos. Por meio das componentes, podemos determinar o ângulo θ que o vetor faz com o eio X: θ = tg -1 V V y (cateto oposto sobre cateto adjacente). Vy 3 No caso da Figura 6, = = 0, 75 θ = 143,1 o V ( 4) Conhecendo as componentes, conhecemos tudo sobre o vetor. y 5 4 3 143,1 o Figura 8
Bancada Data Turma Nome: Procedimento Eperimental VETORES Parte I - RESULTANTE DE DOIS VETORES 1. Este equipamento é MUITO sensível e já está calibrado e alinhado. O manuseio deve ser muito cuidadoso para a obtenção dos resultados. 2. O equipamento está montado com um dinamômetro (instrumento que serve para medir a intensidade de uma força), duas roldanas e dois fios que passam por elas tendo em suas etremidades massas iguais de 50,0g (Figura 1). Fio2 Fio1 Figura 1 3. Verificar a montagem: sistema em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; fio 1 alinhado com o eio X (θ 1 = 0) formando um ângulo de 60º com o fio 2. (Figura 2) Verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas paredes laterais. Isto ajuda a impedir que o atrito entre estas partes do dinamômetro perturbe as medições.
Fio2 eio X Fio1 Figura 2 4. Calcular, no sistema MKS, os módulos das forças F 1 e F 2 (tensão no fio 1 e tensão no fio 2). g = 9,79m/s 2 F 1 = ( ) F 2 = ( ) 5. Anotar o valor do módulo da força F D indicado no dinamômetro. (a menor divisão da escala do dinamômetro corresponde a 0,02N) e o ângulo θ D que ela faz com o eio X (sentido positivo: anti horário). F D = ( ) θ D = 6. Traçar um sistema de eios cartesianos em uma folha de papel milimetrado. Representar os vetores F 1 e F 2 no sistema de eios cartesianos observando os ângulos que eles formam com o eio. Escala: 1N = 10cm. Fazendo as projeções adequadas, obter o valor das componentes diretamente do gráfico. F 1 = ( ) F 1 y = ( ) F 2 = ( ) F 2 y = ( )
Como forças são vetores, para calcular a resultante F R de F 1 e F 2, F R = F 1 + F 2, podemos usar o método analítico (soma das componentes) ou o método gráfico (regra do paralelogramo). 7. MÈTODO ANALÍTICO: Usar as componentes obtidas no item 6 para determinar a força resultante F R a) Obter as componentes de F R F R = F 1 + F 2 = + = ( ) F R y = F 1 y + F 2 y = + = ( ) b) Obter o módulo de F R F R = F 1 + F 2 = F + F = ( ) F c) Obter o ângulo que F R faz com o eio X: θ R = tg -1 Ry FR = 8. MÈTODO GRÁFICO: No papel milimetrado, determinar F R, resultante entre F 1 e F 2 pela regra do paralelogramo. Escala: 1N = 10cm a) Obter diretamente do gráfico o módulo de F R F R = F 1 + F 2 = ( ) b) Obter diretamente do gráfico o ângulo que F R faz com o eio X. θ R = Comparar os resultados dos itens 7 e 8. Comentar. 9. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre F R e F D? 10. Comparar os resultados ( módulo, direção e sentido) obtidos nos itens 7 e 8 para F R com os obtidos no item 5 para F D, e verificar se estão de acordo com a relação teórica obtida no item 9. Comentar.
Parte II - RESULTANTE DE TRÊS VETORES Fio3 Fio2 Fio1 Figura 3 1. Cuidadosamente, substituir a montagem de dois fios pela de três fios. As massas suspensas, de acordo com a figura 3, são: m 1 = 50 g ; m 2 = 50 g ; m 3 = 100 g. Verificar que o sistema esteja em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas paredes laterais. Alinhamento de acordo com Figura 4. Girar o transferidor e alinhar o fio 1 com o eio X (θ 1 = 0). Deslocar a segunda roldana até que o fio 2 faça um ângulo θ 12 = 60º com o fio 1. Deslocar a terceira roldana até que o fio 3 faça um ângulo θ 23 = 80º com o fio 2. Fio3 Fio2 eio X Fio1 Figura 4
2. Calcular os módulos das forças F 1, F 2 e F 3 (tensões nos fios 1, 2 e 3). F 1 = ( ) F 2 = ( ) F 3 = ( ) 3. Anotar o valor do módulo da força F D indicada no dinamômetro e do ângulo que ela faz com o eio X. F D = ( ) θ D = O método gráfico para a soma de vetores torna-se inconveniente quando cresce o número de vetores a serem somados. Vamos então trabalhar agora apenas com o método analítico. 4. Traçar um sistema de eios cartesianos em uma folha de papel milimetrado. Representar os vetores F 1, F 2 e F 3 no sistema de eios cartesianos observando os ângulos que eles formam com o eio. Fazendo as projeções adequadas, obter as componentes. F 1 = ( ) F 1 y = ( ) F 2 = ( ) F 2 y = ( ) F 3 = ( ) F 3 y = ( ) 5. Usar as componentes para determinar a força resultante F R = F 1 + F 2 + F 3 a) Obter as componentes de F R F R = ( ) F RY = ( ) b) Obter o módulo de F R F R = F 1 + F 2 + F 3 = F + F = ( ) F c) Obter o ângulo que F R faz com o eio X : θ R = tg -1 Ry FR = 6. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre F R e F D? 7.Comparar os resultados obtidos no item 5 para F R com os obtidos no item 3 para F D e verificar se estão de acordo com a relação teórica obtida no item 6. Comentar.