UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integrais Impróprias Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Integrais Impróprias 1.Integrais impróprias 2.Integrais com limites de integração infinitos 3.Integrais com integrando infinito 4.Aplicação
1. Integrais impróprias A definição da integral definida f ( x ) dx a exige que o intervalo [a, ] seja finito e que f seja limitada em [a, ].
1. Integrais impróprias Nesta aula vamos estudar integrais que não satisfazem essas exigências por uma das razões aaixo: 1. Pelo menos um dos limites de integração é infinito. 2. f tem uma descontinuidade infinita no intervalo [a, ].
1. Integrais impróprias As integrais que apresentam uma dessas características são denominadas de integrais impróprias. Por exemplo, as integrais 1 e dx dx 1 x e 0 2 x + são impróprias porque pelo menos um dos limites de integração é infinito, como mostram as figuras a seguir.
1. Integrais impróprias
1. Integrais impróprias Analogamente, as integrais 1 1 dx e x 1 + 1 5 2 1 2 ( x ) 2 dx são impróprias, porque seus integrandos tendem para infinito em algum ponto do intervalo de integração, conforme mostrado nas figuras a seguir.
1. Integrais impróprias
2. Integrais com limites de integração infinitos Para vermos como calcular uma integral imprópria, consideremos a integral da figura aaixo
2. Integrais com limites de integração infinitos Desde que seja um número real maior do que 1 (não importando qual), trata-se de uma integral definida cujo valor é 1 1 1 1 1 dx = = + 1= 1 2 x x 1
2. Integrais com limites de integração infinitos A taela aaixo dá os valores desta integral para diversos valores de. 2 0,5000 5 0,8000 10 0,9000 100 0,9900 1.000 0,9990 10.000 0,9999 1 1 1 dx = 1 2 x
2. Integrais com limites de integração infinitos Por esta taela, é visível que o valor da integral se aproxima de um limite quando aumenta ilimitadamente. Este limite é representado pela seguinte integral imprópria. 1 1 1 dx = lim dx = lim 1 1 x x = 1 2 1 2
2. Integrais com limites de integração infinitos Integrais Impróprias (Limites de Integração Infinitos) 1. Sef écontínuaem[a, ),então a f ( x) dx = lim f ( x) dx 2. Sef écontínuaem(-,],então f ( x) dx = lim f ( x) dx 3. Sef écontínuaem(-, ),então a c a a f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx c R c
2. Integrais com limites de integração infinitos Em qualquer caso, se o limite existe, a integral imprópria converge; em caso contrário, a integral imprópria diverge. Assim, no terceiro caso, a integral divergirá se qualquer uma das integrais à direita divergir.
2. Integrais com limites de integração infinitos Exemplo 1: Determine a convergência ou a divergência da integral imprópria 1 1 dx x
2. Integrais com limites de integração infinitos Comecemos aplicando a definição de integral imprópria 1 1 dx = lim x x 1 1 = lim ln [ x] 1 ( ) = lim ln 0 = dx Definição de integral imprópria Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite
2. Integrais com limites de integração infinitos Como o limite é infinito, a integral imprópria diverge.
2. Integrais com limites de integração infinitos Ao começar a traalhar com integrais impróprias, começaremos a oservar que integrais aparentemente semelhantes podem ter valores muito diferentes. Considere, por exemplo, as duas integrais impróprias 1 1 1 dx x 1 x 2 dx = = 1 Integral divergente Integral convergente
2. Integrais com limites de integração infinitos A primeira diverge e a segunda converge para 1. Graficamente, isto significa que as áreas mostradas na figura aaixo são muito diferentes.
2. Integrais com limites de integração infinitos A região compreendida entre o gráfico (à esquerda) da figura anterior e o eixo x (para x 1) tem área infinita, e a região entre o gráfico (à direita) e o eixo x (para x 1) tem área finita.
2. Integrais com limites de integração infinitos Exemplo 2: Calcule a integral imprópria 0 1 ( 1 2x) 3 2 dx
2. Integrais com limites de integração infinitos Comecemos aplicando a definição de integral imprópria 1 1 dx = lim 0 0 a a ( 1 2x) ( 1 2x) 1 = alim 1 2 x 1 = lim 1 a 1 2a = 1 0 = 1 3 3 2 2 0 a dx Definição de integral imprópria Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite
2. Integrais com limites de integração infinitos Assim, a integral imprópria converge para 1. Conforme mostra a figura aaixo, isto implica que a região entre o gráfico de y = 1/(1 2x) 3/2 e o eixo x (para x 0) tem área 1.
2. Integrais com limites de integração infinitos Exemplo 3: Calcule a integral imprópria 2 x xe 0 2 dx
2. Integrais com limites de integração infinitos Apliquemos inicialmente a definição de integral imprópria 2 2 x x 2xe dx = lim 2xe dx 0 0 Definição de integral imprópria = lim x e 2 0 Determinando a antiderivada ( e ) = lim + 1 = 0 + 1= 1 2 Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite
2. Integrais com limites de integração infinitos Assim, a integral imprópria converge para 1. Conforme mostrado na figura aaixo, isto implica que a região compreendida entre o gráfico da função dada e o eixo x (para x 0) tem área 1.
3. Integrais com integrando infinito Integrais Impróprias (Integrando Infinito) 1. Se f écontínuanointervalo[a,),etende parainfinito em,então a f ( x) dx = lim f ( x) dx c 2. Se f é contínua em (a, ], e tende para infinito em a, então a f ( x) dx = lim f ( x) dx c a + c a c
3. Integrais com integrando infinito Integrais Impróprias (Integrando Infinito) 3. Se f é contínua em [a, ], exceto em algum ponto c de (a, ), no qual f tende para infinito, então c f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx a a c Em cada caso, se o limite existe, a integral imprópria converge; caso contrário, a integral imprópria diverge.
3. Integrais com integrando infinito Exemplo 4: Calcule a integral imprópria 1 2 3 1 x 1 dx
3. Integrais com integrando infinito 1 1 dx = lim dx x 1 x 1 2 2 Definição de integral imprópria 1 3 + 1 3 3 = lim 1 + 1 2 ( x ) 2 3 3 3 = lim 1 + 1 2 2 3 3 = 0 = 2 2 2 ( ) 2 3 2 Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite
3. Integrais com integrando infinito Assim, a integral converge para 3/2, o que implica que a área mostrada na figura aaixo tem área 3/2.
3. Integrais com integrando infinito Exemplo 5: Calcule a integral imprópria 1 2 x 2 2 2x dx
3. Integrais com integrando infinito 2 1 1 dx = x 2x x 2 x 2 2 1 2 1 dx Decompondo em frações parciais 1 1 = lim 2 1 x 2 x dx Definição de integral imprópria = lim ln x 2 ln 2 x 1 Determinando a antiderivada = Calculando o limite
3. Integrais com integrando infinito Podemos, então, concluir que a integral diverge. Isto implica que a região mostrada na figura aaixo tem área infinita.
3. Integrais com integrando infinito Exemplo 6: Calcule a integral imprópria 2 1 1 3 dx x
3. Integrais com integrando infinito Esta integral é imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no valor interior x = 0, conforme se vê na figura aaixo.
3. Integrais com integrando infinito Podemos, pois, escrever 1 1 1 dx = dx + dx x x x 2 0 2 1 3 1 3 0 3 Aplicando a definição de integral imprópria, mostra-se que amas as integrais divergem. Portanto, a integral original tamém diverge.
3. Integrais com integrando infinito OBS: Se não tivéssemos reconhecido que a integral do Exemplo 6 é imprópria, teríamos chegado ao resultado incorreto 2 1 1 1 1 1 3 dx = 3 2 x 2x = + = 8 2 8 2 1 Incorreto
3. Integrais com integrando infinito As integrais impróprias em que o integrando tem uma descontinuidade infinita entre os limites de integração são frequentemente esquecidas. Deve-se ficar atento quanto a tais possiilidades.
4. Aplicação Exemplo 7: O sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, do gráfico de 1 f ( x) =, 1 x < x é chamado trometa de Gariel (ver figura a seguir). Calcule o volume da trometa de Gariel.
4. Aplicação
4. Aplicação Podemos determinar o volume da trometa aplicando o Método do Disco Volume = lim π dx 1 2 x π = lim x 1 π = lim π = π 2 1 π 1 x = dx Método do disco Definição de integral imprópria Determinando a antiderivada Aplicando o Teorema Fundamental Calculando o limite
4. Aplicação Assim, o volume da trometa de Gariel é π unidades cúicas.