Distribuições de Probabilidade Discretas

Distribuições de Probabilidade Discretas Who? From? Paulo Inácio K.L. Prado e João L.F. Batista BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais When? setembro de 2016

Conceitos

Conceitos Variável aleatória

Conceitos Variável aleatória Distribuição de Probabilidade

Conceitos Variável aleatória Distribuição de Probabilidade Função de densidade probabilística Função de distribuição ou probabilidade acumulada

Conceitos Variável aleatória Distribuição de Probabilidade Função de densidade probabilística Função de distribuição ou probabilidade acumulada Distribuição Bernoulli Distribuição Binomial Distribuição Poisson Distribuição Geométrica Distribuição Binomial Negativa

Uma teoria da variabilidade

Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações.

Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações. Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas.

Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações. Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas. Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.

Uma teoria da variabilidade Variável aleatória: Qualquer resultado que possa variar entre observações. Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas. Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado. Distribuição de Probabilidades x = 0 1 4 x = 1 1 2 x = 2 1 4

Distribuição de Probabilidades

Função Distribuição de Probabilidades

Distribuição de Probabilidades Função Uma Distribuição de Probabilidades é uma função matemática.

Distribuição de Probabilidades Função Uma Distribuição de Probabilidades é uma função matemática. Esquema ESPACO AMOSTRAL x1 x3 x 4 xn x2 x i INTERVALO 1 p1 p 4 pi p3 p N p2 0

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis Discretas Classes de Variáveis Quantitativas

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS.

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é:

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios.

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios.

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios. Variáveis obtidas por:

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios. Variáveis obtidas por: enumeração,

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Discretas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é: finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios. Variáveis obtidas por: enumeração, contagem.

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis Contínuas Classes de Variáveis Quantitativas

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS.

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável.

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por:

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição.

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas, Chama-se o conjunto de valores possíveis de

Classes de Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS. O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável. Variáveis obtidas por: medição. Espaço Amostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas, Chama-se o conjunto de valores possíveis de Espaço Amostral.

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2}

V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...}

V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...} V. Contínuas

V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...} V. Contínuas Peso de peixe: S = {w} w [0, + )

V. Discretas Exemplos de Espaços Amostrais Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2} Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3,...} V. Contínuas Peso de peixe: S = {w} w [0, + ) Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetro mínimo de medição de 5 cm: S = {d} d [5, + )

Distribuição de Probabilidades

Distribuição de Probabilidades Função Matemática Para uma variável discreta, a Distribuição de Probabilidades associa: cada (e todos) elemento do Espaço Amostral com um número real no intervalo [0, 1].

Distribuição de Probabilidades Função Matemática Probabilidade Para uma variável discreta, a Distribuição de Probabilidades associa: cada (e todos) elemento do Espaço Amostral com um número real no intervalo [0, 1]. Para uma variável discreta, a Distribuição de Probabilidades associa: cada valor possível da variável com uma probabilidade desse valor ser observado.

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Uma ninhada de 2 filhotes de sagui. Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Variável Discreta Uma ninhada de 2 filhotes de sagui. Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea. X = número de fêmeas na ninhada.

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Situação Variável Discreta Espaço Amostral Uma ninhada de 2 filhotes de sagui. Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea. X = número de fêmeas na ninhada. x S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25 x = 1 f(1) = P (X = 1) = 1 2 = 0, 50

Exemplo de Distribuição de Probabilidades Função Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995): f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2 Probabilidades x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25 x = 1 f(1) = P (X = 1) = 1 2 = 0, 50 x = 2 f(2) = P (X = 2) = 1 4 = 0, 25

Função de Densidade Probabilística

Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral)

Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral) Propriedades

Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral) Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 f(x) 1 para x S.

Função de Densidade Probabilística Função Função de densidade probabilística: f(x) = P (X = x), x S (espaço amostral) Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 f(x) 1 para x S. A soma das probabilidades é igual a 1: f(x) = 1. x S

A Soma das Probabilidades no Espaço Amostral

A Soma das Probabilidades no Espaço Amostral Exemplo da Ninhada x = 0 f(0) = P (X = 0) = 1 4 x = 1 f(1) = P (X = 1) = 1 2 x = 2 f(2) = P (X = 2) = 1 4 = 0, 25 = 0, 50 = 0, 25 2 f(x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000 x=0

Gráfico da Função de Densidade Probabilística

Gráfico da Função de Densidade Probabilística 0.5 0.4 Probabilidade 0.3 0.2 0.1 Exemplo da Ninhada 0.0 0 1 2 Número de Fêmeas

Função de Distribuição

Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada

Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada A Função de Distribuição de x informa a probabilidade acumulada até x

Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada A Função de Distribuição de x informa a probabilidade acumulada até x F (x) = P (X x), x S

Função de Distribuição Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada A Função de Distribuição de x informa a probabilidade acumulada até x F (x) = P (X x), x S V. Discreta: sequência ordenada (crescente) de x = {x 1, x 2,..., x n,...}: F (x n ) = n P (X = x i ) = i=0 n f(x i ), i=0 x i S

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades da Função de Distribuição Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 F (x) 1 para x S.

Propriedades da Função de Distribuição Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 F (x) 1 para x S. Função monotonicamente crescente: x 1 < x 2 < x 3 F (x 1 ) F (x 2 ) F (x 3 )

Propriedades da Função de Distribuição Propriedades Valores no intervalo [0, 1]: 0 F (x) 1 para x S. Função monotonicamente crescente: x 1 < x 2 < x 3 F (x 1 ) F (x 2 ) F (x 3 ) Valor unitário para o maior valor no espaço amostral: F (max{x S}) = 1

Gráfico da Função de Distribuição

Gráfico da Função de Distribuição 1.0 Probabilidade acumulada 0.8 0.6 0.4 0.2 Exemplo da Ninhada 0.0 0 1 2 Número de Fêmeas

Esperança e Variância

Propriedades Esperança e Variância

Esperança e Variância Propriedades Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística: Esperança ou Valor Esperado Variância

Esperança e Variância Propriedades Esperança Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística: Esperança ou Valor Esperado Variância A esperança pode ser interpretada como o valor médio da variável.

Esperança e Variância Propriedades Esperança Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística: Esperança ou Valor Esperado Variância A esperança pode ser interpretada como o valor médio da variável. Variável discreta X: E[X] = x f(x) = x P (X = x) x S x S

Esperança e Variância

Variância Esperança e Variância

Esperança e Variância Variância A variância pode ser interpretada como a dispersão dos valores ao redor da esperança.

Esperança e Variância Variância A variância pode ser interpretada como a dispersão dos valores ao redor da esperança. Variável discreta X: Var[X] = x S(x E[X]) 2 f(x) = x S(x E[X]) 2 P (X = x) = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] (E[X]) 2

Exemplo da Ninhada: Número de Machos

Exemplo da Ninhada: Número de Machos Esperança 2 E[X] = x f(x) x=0 = 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 1, 0

Exemplo da Ninhada: Número de Machos Esperança 2 E[X] = x f(x) x=0 = 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 1, 0 Variância 2 Var[X] = (x E[X]) 2 f(x) x=0 = (0 1) 2 (1/4) + (1 1) 2 (1/2) + +(2 1) 2 (1/4) = 0, 50

Exemplo da Ninhada: Variância 2

Exemplo da Ninhada: Variância 2 Variância 2 Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2

Exemplo da Ninhada: Variância 2 Variância 2 Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 E[X] = 1, 0 2 E[X 2 ] = x 2 f(x) x=0 = 0 2 (1/4) + 1 2 (1/2) + 2 2 (1/4) = 1, 5 Var[X] = 1, 5 1 2 = 0, 50

Distribuição Bernoulli

Distribuição Bernoulli Ensaio Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas.

Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis:

Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis: fracasso (X = 0): o evento não ocorre.

Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis: fracasso (X = 0): o evento não ocorre. sucesso (X = 1): o evento ocorre.

Distribuição Bernoulli Ensaio Variável Binária Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas. Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico. A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas. Dois resultados possíveis: fracasso (X = 0): o evento não ocorre. sucesso (X = 1): o evento ocorre. Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1.

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1 p) Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1 p) Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p Função de Distribuição F (x) = (1 p) 1 x, x = 0, 1

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal Descrição Função de Densidade: f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1 p) Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p Função de Distribuição F (x) = (1 p) 1 x, x = 0, 1 Propriedades Esperança: E[X] = p Variância: Var[X] = p (1 p)

Distribuição Binomial

Situação Distribuição Binomial

Distribuição Binomial Situação Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes

Distribuição Binomial Situação Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n

Distribuição Binomial Situação Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Distribuição Binomial Situação Variável Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p X = o número de sucessos nos n ensaios espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n

Distribuição Binomial Situação Variável Exemplos: Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p X = o número de sucessos nos n ensaios espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n N de caras em 10 lançamentos de moeda N de mulheres em famílias de 5 filhos N de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)

Gráfico: Distribuição Binomial 0.30 p = 0,1 0.25 Probabilidade 0.20 0.15 0.10 0.05 Função de densidade 0.00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

Descrição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n

Descrição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Parâmetros

Descrição Parâmetros Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios);

Descrição Parâmetros Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.

Descrição Parâmetros Função de Distribuição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k, k x = 0, 1, 2,..., n

Descrição Parâmetros Função de Distribuição Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k, k x = 0, 1, 2,..., n Propriedades

Descrição Parâmetros Função de Distribuição Propriedades Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k, k Esperança: E[X] = n p x = 0, 1, 2,..., n

Descrição Parâmetros Função de Distribuição Propriedades Distribuição Binomial: Apresentação Formal Função de densidade: ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0, 1, 2,..., n Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p. F (x) = x k=0 Esperança: E[X] = n p ( ) n p k (1 p) n k, k Variância: Var[X] = n p (1 p) x = 0, 1, 2,..., n

Distribuição Poisson 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.

Distribuição Poisson Situação 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.

Distribuição Poisson Situação Contagem de eventos independentes. A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ. 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.

Distribuição Poisson Situação Variável Contagem de eventos independentes. A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ. X = o número de eventos em cada unidade. espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.

Distribuição Poisson Situação Variável Exemplos: Contagem de eventos independentes. A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ. X = o número de eventos em cada unidade. espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n N de árvores por parcela N de capturas por unidade de tempo N bombas V1 por área em Londres 1 1 R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.

Gráfico: Distribuição Poisson 0.35 λ = 1 0.30 Probabilidade 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 Função de densidade 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 x

Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x!

Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem

Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0

Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição Propriedades f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0 Esperança: E[X] = λ

Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição Propriedades f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0 Esperança: E[X] = λ Variância: Var[X] = λ

Distribuição Poisson: Apresentação Formal Função de densidade Parâmetro Função de distribuição Propriedades f(x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,... x! λ: valor esperado da contagem F (x) = x λ k e λ, x = 0, 1, 2,... k! k=0 Esperança: E[X] = λ Variância: Var[X] = λ Parâmetro λ = Esperança = Variância

Exemplo de Distribuição Poisson

Situação Exemplo de Distribuição Poisson Número de bombas V1 que caíram no sul de Londres durante a II Guerra: λ = 535 bombas/576 quadrículas 0, 929/quadr. λ = 535/576 Proporção das quadrículas 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 N de bombas Obs Poisson

Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomial quando: o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n ). a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p 0). Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

Formalmente: Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomial quando: o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n ). a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p 0). Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ. Binomial x Poisson 0.25 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Probabilidade 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 x

Caso-limite lim n p 0 f(x) = lim n p 0 ( n )p x (1 p) n x = λx e λ x x! Binomial x Poisson 0.25 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Probabilidade 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 x

Distribuição Geométrica Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante).

Distribuição Geométrica Situação Variável Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante). X =número de fracassos até o primeiro sucesso espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n

Distribuição Geométrica Situação Variável Exemplos: Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante). X =número de fracassos até o primeiro sucesso espaço amostral: x = 0, 1, 2,..., n Tempo de vida em unidades discretas N de inspeções até encontrar algo N de carnavais até o divórcio

Gráfico: Distribuição Geométrica 0.4 p = 0,2 Probabilidade 0.3 0.2 0.1 Função de densidade 0.0 0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29 x

Distribuição Geométrica: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,...

Distribuição Geométrica: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... Função de distribuição F (x) = 1 (1 p) x+1, x = 0, 1, 2,...

Distribuição Geométrica: Apresentação Formal Função de densidade f(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... Função de distribuição F (x) = 1 (1 p) x+1, x = 0, 1, 2,... Propriedades Esperança: E[X] = 1 p Variância: Var[X] = 1 p p 2

Exemplo de Distribuição Geométrica

Situação Exemplo de Distribuição Geométrica Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus (Haldane 1953) 593 aves anilhadas, recontadas a cada ano Tempo médio de vida: 2,77 anos p = 2, 77 1 = 0, 65782 p = 0,658 Proporção sobrevivente 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 Anos Obs Geométrica

Distribuição Binomial Negativa

Distribuição Binomial Negativa Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica).

Distribuição Binomial Negativa Situação Variável Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica). X = número de fracassos até o n ésimo sucesso.

Distribuição Binomial Negativa Situação Variável Parâmetros Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica). X = número de fracassos até o n ésimo sucesso. n: número de sucessos p: probabilidade de sucesso (constante)

Distribuição Binomial Negativa Situação Variável Parâmetros Exemplos: Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica). X = número de fracassos até o n ésimo sucesso. n: número de sucessos p: probabilidade de sucesso (constante) N de tentativas até conseguir duas caras N de tentativas até seu personagem morrer no game Em biologia mais usada para descrever agregações (em breve)

Gráfico: Distribuição Binomial Negativa 0.5 p = 0,5 n = 2 0.4 Probabilidade 0.3 0.2 0.1 Função de densidade 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N ensaios

Distribuição Binomial Negativa: Apresentação Formal Função de densidade ( ) n + x 1 f(x) = p n (1 p) x, x = 0, 1, 2,... x

Distribuição Binomial Negativa: Apresentação Formal Função de densidade Função de distribuição ( ) n + x 1 f(x) = p n (1 p) x, x = 0, 1, 2,... x F (x) = x ( ) n + k 1 p n (1 p) k, x = 0, 1, 2,... k k=0

Distribuição Binomial Negativa: Apresentação Formal Propriedades Esperança: Variância: E[X] = Var[X] = n(1 p) p n(1 p) p 2

Binomial Negativa Geométrica

Binomial Negativa Geométrica Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa.

Binomial Negativa Geométrica Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa. Função de densidade quando n = 1: ( ) n + x 1 f(x) = p n (1 p) x = p(1 p) x x

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa Situação Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos: número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa Situação Parâmetros Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos: número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha valor esperado (contagem média) E[X] = µ parâmetro de dispersão: k

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa Situação Parâmetros Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos: número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha valor esperado (contagem média) E[X] = µ parâmetro de dispersão: k Relações n = k ; p = k k + µ k = n ; µ = n(1 p) p

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa (cont.)

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa (cont.) Função de densidade f(x) = Γ(k + x) Γ(k)x! ( ) k k ( ) µ x, x = 0, 1, 2,... k + µ k + µ

Binomial Negativa: Parametrização Alternativa (cont.) Função de densidade f(x) = Γ(k + x) Γ(k)x! ( ) k k ( ) µ x, x = 0, 1, 2,... k + µ k + µ Propriedades Esperança: E[X] = µ Variância: Var[X] = n(1 p) p 2 = µ + µ2 k

Binomial Poisson... Distribuições de probabilidade no R dbinom(x, size, prob, log = FALSE) pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rbinom(n, size, prob) dpois(x, lambda, log = FALSE) ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rpois(n, lambda)

Resumo

Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades.

Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades. As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos: discretas contínuas

Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades. As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos: discretas contínuas Uma mesma distribuição de probabilidade pode ser definida por duas funções: Função de Densidade Função de Distribuição

Resumo Distribuições de Probabilidade são funções que associam os valores de uma variável quantitativa com probabilidades. As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos: discretas contínuas Uma mesma distribuição de probabilidade pode ser definida por duas funções: Função de Densidade Função de Distribuição Os parâmetros controlam o comportamento da distribuição.

Resumo (cont.)

Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras.

Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras. Algumas distribuições são casos limites de outras.

Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras. Algumas distribuições são casos limites de outras. Média e variância não são parâmetros de todas as distribuições mas podem ser expressas como funções desses.

Resumo (cont.) Algumas distribuições são casos especiais de outras. Algumas distribuições são casos limites de outras. Média e variância não são parâmetros de todas as distribuições mas podem ser expressas como funções desses. Uma mesma distribuição pode ter aplicações muito diferentes daquela que a originou.

E agora? 1 Faça os tutoriais sobre distribuições discretas (http://cmq.esalq.usp.br/bie5781/); 2 Leia pelo menos os textos básicos da unidade; 3 Se der tempo comece a fazer os exercícios no notar (201.1 a 201.4) 4 Traga suas questões para a próxima aula.