Aula 7: Dedução Natural 2

Lógica para Computação Segundo Semestre, 2014 DAINF-UTFPR Aula 7: Dedução Natural 2 Prof. Ricardo Dutra da Silva -introdução Dada uma premissa A, nós podemos concluir A B para qualquer fórmula B. A justificativa segue diretamente da definição da semântica do conectivo. A interpretação I(A B) = 1 se I(A) = 1 ou I(B) = 1. Já temos I(A) = 1, não dependendo de I(B). Da mesma forma, dada uma premissa B, podemos concluir A B. Temos as regras abaixo. A A B B A B ( i1) ( i2) -eliminação A exclusão da disjunção é uma regra mais complicada. Como usar uma fórmula A B em uma prova? Sabemos que pelo menos umas das duas subfórmulas é verdadeira, A ou B. No entanto, não sabemos qual. A solução é fornecer duas provas separadas para um mesmo argumento: 1. Fazemos a hipótese de que A é verdadeira e obtemos C. 2. Fazemos a hipótese de que B é verdadeira e obtemos C. 3. Neste caso podemos assumir C verdadeira já que chegamos neste resultado tanto por A quanto por B. Podemos enunciar a regra como abaixo. [A] [B] A B. C C. C ( e) Note que a regra informa que precisamos de duas premissas. Cada uma terá seu próprio escopo. 1

2 Aula 7: Dedução Natural 2 Exemplo 7.1 Para provar o sequente p q q p começamos como de costume, listando as premissas. 1. p q premissa Temos uma disjunção, vamos tentar usar a regra de eliminação da disjunção. A regra diz que precisamos de duas hipóteses. Abaixo é criada a primeira hipótese e seu escopo é explicitado por uma caixa dentro da prova. 1. p q premissa 2. p hipótese Vamos tentar concluir q p a partir da hipótese p. Mas isso é fácil, a segunda regra de inclusão da disjunção pode ser usada. 1. p q premissa 2. p hipótese 3. q p i2 2 Chegamos na conclusão do sequente que queremos provar. No entanto, não basta chegar apenas pela hipótese de p. Segundo a regra de eliminação da disjunção, é preciso também fazer a hipótese de q e chegar na mesma conclusão. Fazemos então a hipótese q com seu escopo também bem definido. 1. p q premissa 2. p hipótese 3. q p i2 2 4. q hipótese

Aula 7: Dedução Natural 2 3 Novamente pela regra de inclusão da disjunção é possível concluir q p. 1. p q premissa 2. p hipótese 3. q p i2 2 4. q hipótese 5. q p i1 4 Como encontramos q p por ambos os caminhos, podemos concluir que q p é verdadeira. A prova foi bem sucedida. A descrição de como a linha q p foi obtida reflete a regra de eliminação da disjunção. Temos o nome da regra e, que foi aplicada na fórmula da linha 1 e que foi provada, independentemente, para hipóteses diferentes, nas linhas de 2 a 3 e de 4 a 5. 1. p q premissa 2. p hipótese 3. q p i2 2 4. q hipótese 5. q p i1 4 6. q p e 1,2-3,4-5 Exemplo 7.2 A prova de q r (p q) (p r) usa hipóteses para as regras de introdução da implicação e para eliminação da disjunção. Note os escopos dados pelas caixas.

4 Aula 7: Dedução Natural 2 1. q r premissa 2. p q hipótese 4. p r i1 3 5. q hipótese 6. r e 1,5 7. p r i2 6 8. p r e 2,3-4,5-7 9. (p q) (p r) i 2-8

Aula 7: Dedução Natural 2 5 Exemplo 7.3 Provar (p q) r p (q r). 1. (p q) r premissa 2. p q hipótese 4. p (q r) i1 3 5. q hipótese 6. q r i1 5 7. p (q r) i1 6 8. p (q r) e 2,3-4,5-7 9. r hipótese 10. q r i2 9 11. p (q r) i2 10 12. p (q r) e 1,2-8,9-11 Cópia É possível fazer cópias de fórmulas desde que repeitem o escopo onde estão definidas. Exemplo 7.4 Provar o teorema p (q p).

6 Aula 7: Dedução Natural 2 1. p hipótese 2. q hipótese 3. p Cópia 1 4. q p i 2-3 5. p (q p) i 1-4 A fórmulas p foi copiada para a linha 3, permitindo a aplicação da regra de inclusão da implicação. A cópia é permitida pois ela ainda está dentro do escopo onde p foi criada. Uma cópia de p após a linha 4 não seria mais permitida, pois o escopo de p não está mais definido. Exemplo 7.5 Provar o teorema p p. 1. p hipótese 2. p Cópia 1 3. p p i 1-2 Definição 7.1. Contradições são fórmulas insatisfazíveis, como A A. Denotaremos contradições pela constante lógica, que não é satisfeita por nenhuma valoração. Qualquer fórmula pode ser derivada de uma contradição, basta recordarmos a definição de consequência lógica para verificar que, seja A uma fórmula qualquer, A. Criaremos duas regras que refletem essas ideias. -eliminação Dada uma contradição, podemos derivar qualquer fórmula A. ( e) A

Aula 7: Dedução Natural 2 7 -introdução Suponha que as fórmulas A e A foram concluídas, obviamente existe uma contradição. Esse fato gera a regra abaixo. A A ( i) O exemplo abaixo mostra uma situação em que introduzir uma contradição auxilia na prova de um sequente.

8 Aula 7: Dedução Natural 2 Exemplo 7.6 Na prova do sequente p q p q tentaremos usar a regra de eliminação da disjunção. Teremos que fazer a hipótese de p e também de q, gerando, para ambos os casos, p q. Começamos com a premissa e com primeira hipótese. 1. p q premissa 2. p hipótese Como queremos concluir p q é razoável incluir a hipótese de p para que possamos usar a regra de introdução da implicação. 1. p q premissa 2. p hipótese No entanto, note que agora temos tanto p quanto p em um mesmo escopo. Uma contradição. A linha 4 mostra a contradição obtida pela regra de introdução de contradição. 1. p q premissa 2. p hipótese 4. i 3,2

Aula 7: Dedução Natural 2 9 Embora isso pareça um problema para a nossa prova, na realidade, a contradição irá ajudar. Podemos usar a regra de eliminação da contradição para concluir q e finalizar a regra de introdução da implicação. 1. p q premissa 2. p hipótese 4. i 3,2 5. q e 4 6. p q i 3-5 Estamos na metade do caminho para provar o sequente, pois ainda é preciso fazer a hipótese de q. Como mostrado abaixo, a conclusão de p q segue mais facilmente nesse caso. Como concluímos, por ambos os caminhos, p q, a aplicação da eliminação da disjunção foi bem sucedida e provamos o sequente. 1. p q premissa 2. p hipótese 4. i 3,2 5. q e 4 6. p q i 3-5 7. q hipótese 8. p hipótese 9. q Cópia 7 10. p q i 8-9 11. p q e 1,2-6,7-10

10 Aula 7: Dedução Natural 2 Já vimos como introduzir ou eliminar praticamente todos os conectivos da lógica proposicional. Faltam ainda regras para a negação ( ). Como veremos a seguir, usamos contradições para construir tais regras. -introdução Para introduzir uma negação assumimos uma hipótese A e geramos uma contradição,. Como a hipótese não pode ser verdadeira, então ela deve ser falsa. Assim, temos a regra abaixo. [A] i. A ( i) i Exemplo 7.7 Dado o sequente p q, p q p, o que queremos é provar p, mas vamos supor p e tentar gerar uma contradição conforme a regra de introdução da negação. 1. p q premissa 2. p q premissa Usando a regra de eliminação da implicação conseguimos obter q e q. 1. p q premissa 2. p q premissa 4. q e 1,3 5. q e 2,3 Obtemos uma contradição e, pela regra da introdução da negação, podemos concluir q, completando a prova.

Aula 7: Dedução Natural 2 11 1. p q premissa 2. p q premissa 4. q e 1,3 5. q e 2,3 6. i 4,5 7. p i 3-6 Observe que a prova da regra está nas linhas de 3 a 6. Exemplo 7.8 Provar o sequente p p p. 1. p p premissa 2. p hipótese 3. p e 1,2 4. i 2,3 5. p i 2-4

12 Aula 7: Dedução Natural 2 Exemplo 7.9 Provar o sequente p (q r), p, r q. 1. p (q r) premissa 2. p premissa 3. r premissa 4. q hipótese 5. q r e 1,2 6. r e 4,5 7. i 3,6 8. q i 4-7 Exemplo 7.10 Derivação do modus tolens. 1. A B premissa 2. B premissa 3. A hipótese 4. B e 1,3 5. i 2,4 6. A i 3-5 Exercício 7.1. Exercício 7.2. Exercício 7.3. Exercício 7.4. Provar que p (q r) (p q) (p r). Provar que p (q p). Provar que (p p). Provar que (p q) r p (q r).

Aula 7: Dedução Natural 2 13 Exercício 7.5. Exercício 7.6. Provar que p p. Provar que (p (q r)) ((p q) (p c)).