UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT32 12 a Lista de exercícios 1 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a) Um produto interno é uma função com valores escalares num conjunto de pares ordenados de vetores (b) Um espaço com produto interno deve ser sobre o corpo dos números reais ou complexos (c) Um produto interno é linear em ambas componentes (d) Existe exatamente um produto interno no espaço vectorial R n (e) A desigualdade triangular só é válida em espaços finito-dimensionais com produto interno (f) Só matrizes quadradas têm um transposta conjugada (g) Se x y e z são vetores num espaço com produto interno tal que x y = x z então y = z (h) Se x y = para todo x num espaço com produto interno então y = 2 Seja x = (2 1 + i i) e y = (2 i 2 1 + 2i) são vetores em C 3 Calcule x y x y e x + y Em seguida verifique tanto a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a desigualdade triangular 3 Em C([ 1]) seja f(t) = t e g(t) = e t Calcule f g f g e f + g Em seguida verifique tanto a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a desigualdade triangular 4 (a) Complete a prova do Exemplo 5 que é um produto interno (o produto interno de Frobenius) em M n n (F ) (b) Use o produto interno de Frobenius para calcular A B e A B para ( ) ( ) 1 1 + 2i 1 + i A = e B = 3 i i i 5 Em C 2 mostre que x y = xay é um produto interno onde ( ) 1 i A = i 2 Calcule x y para x = (1 i 2 + 3i) e y = (2 + i 3 2i) 6 Complete a prova do Teorema 1 (feito em aula 6/7) 7 Complete a prova do Teorema 2 (feito em aula 6/7) 8 Fornecer razões pelas quais cada um dos seguintes não é um produto interno nos espaços vetoriais dados (a) (a b) (c d) = ac bd em R 2 (b) A B = tr(a + B) em M 2 2 (R) (c) f(x) g(x) = f (t)g(t)dt em P(R) onde denota diferenciação 9 Seja β uma base para um espaço finito dimensional com produto interno (a) Prove que se x z = para todo z β então x = (b) Prove que se x z = y z para todo z β então x = y 1 Seja V um espaço com produto interno e suponha que x e y são vetores ortogonais em V Prove que x + y 2 = x 2 + y 2 Deduza o Teorema de Pitágoras em R 2 1
11 Prove a lei do paralelogramo no espaço V com produto interno isto é mostre que x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 para todo x y V O que faz esta equação sobre paralelogramos em R 2? 12 Seja {v 1 v 2 v k } um conjunto ortogonal em V e sejam a 1 a 2 a k escalares Prove que k 2 a i v i = k a i 2 v i 2 13 Suponha que 1 e 2 são dois produtos internos no espaço vetorial V Prove que = 1 + 2 é outro produto interno em V 14 Sejam A B M n n (F ) e c F Prove que (A + cb) = A + cb 15 (a) Prove que se V é um espaço com produto interno então x y = x y se e somente se um dos vetores x ou y é múltiplo do outro (b) Derive um resultado semelhante para a igualdade x + y = x + y e generalize para o caso de n vetores 16 (a) Prove que o espaço vetorial H com definido na aula 6/7 é um espaço com produto interno (b) Seja V = C([ 1]) e defina É este um produto interno em V? f g = /2 f(t)g(t)dt 17 Seja T um operador linear num espaço V com produto interno e suponha que T (x) = x para todo x V Prove que T é injetiva 18 Seja V um espaço vetorial sobre F onde F = R ou F = C e seja W um espaço com produto interno sobre K com produto interno Se T : V W é linear prove que x y = T (x) T (y) define um produto interno em V se e somente se T é injetiva 19 Seja V um espaço com produto interno Prove que (a) x ± y 2 = x 2 ± 2Re( x y ) + y 2 para todo x y V onde Re( x y ) denota a parte real do número complexo x y (b) x y x y para todo x y V 2 Seja V um espaço com produto interno sobre K Prove que as identidades polares: Para x y V (a) x y = 1 4 x + y 2 1 4 x y 2 se F = R; (b) x y = 1 4 4 i k x + i k y 2 se K = C onde i 2 = 1 k=1 21 Seja A uma matriz n n Defina A 1 = 1 2 (A + A ) e A 2 = 1 2i (A A ) (a) Prove que A 1 = A 1 A 2 = A 2 A 1 + ia 2 Seria razoável definir A 1 e A 2 como a parte real e imaginaria respectivamente da matriz A? (b) Prove que a representação em (a) é única Isto é prove que s B 1 + ib 2 onde B 1 = B 1 e B 2 = B 2 então B 1 = A 1 e B 2 = A 2 2
22 Seja V um espaço vetorial real ou complexo (possivelmente infinito dimensional) e seja β uma base para V Para x y V existem v 1 v 2 v n β tal que Defina x = a i v i e y = x y = b i v i a i b i (a) Prove que é um produto interno em V e que β é uma base ortonormal para V Assim cada espaço vetorial real ou complexo pode ser considerada como um espaço com produto interno (b) Prove que se V = R n ou V = C n e β é a base ordenada canônica então o produto interno definido acima é o produto interno canônico 23 Sejam V = F n e A M n n (F ) (a) Prove que x Ay = A x y para todo x y V (b) Suponha que para algum B M n n (F ) temos que x Ay = Bx y para todo x y V Prove que B = A (c) Seja α a base ordenada canônica de V Para qualquer base ortonormal β de V seja Q a matriz n n cujas colunas são os vetores em β Prove que Q = Q 1 (d) Defina os operadores lineares T e U por T (x) = Ax e U(x) = A x Mostre que [U] β = [T ] β para qualquer base β ortonormal de V Definição: Seja V um espaço vetorial sobre F onde F é R ou C Independentemente se V é um espaço com produto interno ou não podemos definir a norma como uma função em V com valores reais satisfazendo as seguintes três condições para x y V e a F : (1) x e x = se e somente se x = (2) ax = a x (3) x + y x + y 24 Prove que as seguintes são normas em cada espaço vetorial V dado (a) V = M m n (F ); A = max A ij para todo A V ij (b) V = C([ 1]); f = max f(t) para todo f V t [1] (c) V = C([ 1]); f = f(t) dt para todo f V (d) V = R 2 ; (a b) = max{ a b } para todo (a b) V 25 Use o Exercício 2 para mostrar que não existe nenhum produto interno em R 2 tal que x 2 = x y para todo x R 2 se a norma é definida como no Exercício 24(d) 26 Seja um norma no espaço vetorial V e definamos para cada par ordenado de vetores o escalar d(x y) = x y chamada distância entre x e y Prove os seguintes resultados para x y z V (a) d(x y) (b) d(x y) = d(y x) (c) d(x y) d(x z) + d(z y) (d) d(x x) = (e) d(x y) se x y 3
27 Seja um norma no espaço vetorial V real satisfazendo a lei do paralelogramo dada no Exercício 11 Defina x y = 1 [ x + y 2 x y 2] 4 Prove que define um produto interno em V tal que x 2 = x x para todo x V 28 Seja V um espaço com produto interno complexo com produto interno Seja [ ] uma função com valores reais tal que [x y] é a parte real do número complexo x y para todo x y V Prove que [ ] é um produto interno para V onde V é considerado como um espaço vetorial sobre R Prove além disso que [x ix] = para todo x V 29 Seja V um espaço vetorial sobre C e suponha que [ ] é um espaço com produto interno real em V onde V é considerado como um espaço vetorial sobre R tal que [x ix] = para todo x V Seja uma função com valores complexos definida por x y = [x y] + i[x iy] para todo x y V Prove que é um espaço com produto interno complexo em V 3 Seja uma norma (como definida no Exercício 24) num espaço vetorial V complexo satisfazendo a lei do paralelogramo dada no Exercício 11 Prove que existe um produto interno em V tal que x 2 = x x para todo x V 31 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a) O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt nos permite construir um conjunto ortonormal a partir de um conjunto arbitrário de vetores (b) Todo espaço não nulo finito-dimensional com produto interno tem uma base ortonormal (c) O complemento ortogonal de qualquer conjunto é um subespaço (d) Se {v 1 v 2 v n } é uma base para o espaço V com produto interno então para qualquer x V os escalares x v i são os coeficientes de Fourier de x (e) Uma base ortonormal deve ser uma base ordenada (f) Todo conjunto ortogonal é linearmente independente (g) Todo conjunto ortonormal é linearmente independente 32 Em cada parte aplicamos o processo de Gram-Schmidt ao subconjunto X dado do espaço V com produto interno para obter-se uma base ortogonal para S(X) Normalizar os vetores desta base para obter uma base ortonormal β para S(X) e calcular os coeficientes de Fourier do vetor dado relativo a β Finalmente use o Teorema 5 (feito em aula 9/7) para verificar o resultado (a) V = R 3 X = {(1 1) ( 1 1) (1 3 3)} e x = (1 1 2) (b) V = R 3 X = {(1 1 1) ( 1 1) ( 1)} e x = (1 1) (c) V = P 2 (R) com o produto interno f(x) g(x) = (d) V = S(X) X = {(1 i ) (1 i 2 4i)} e x = (3 + i 4i 4) f(t)g(t)dt X = {1 x x 2 } e h(x) = 1+x (e) V = R 4 X = {(2 1 2 4) ( 2 1 5 5) ( 1 3 7 11)} e x = ( 11 8 4 18) (f) V = R 4 X = {(1 2 1 3) (3 6 3 1) (1 4 2 8)} e x = ( 1 2 1 1) {( ) ( ) ( )} ( 3 5 1 9 7 17 1 27 (g) V = M 2 2 (R) X = 1 1 5 1 2 6 4 8 {( ) ( ) ( )} ( ) 2 2 11 4 4 12 8 25 (h) V = M 2 2 (R) X = 2 1 2 5 3 16 6 13 (i) V = S(X) com o produto interno f g = π ) f(t)g(t)dt X = {sen t cos t 1 t} e h(t) = 2t+1 (j) V = C 4 X = {(1 i 2 i 1) (2 + 3i 3i 1 i 2i) ( 1 + 7i 6 + 1i 11 4i 3 + 4i)} e x = ( 2 + 7i 6 + 9i 9 3i 4 + 4i) (k) V = C 4 X = {( 4 3 2i i 1 4i) ( 1 5i 5 4i 3 + 5i 7 2i) ( 27 i 7 6i 15 + 25i 7 6i)} e x = ( 13 7i 12 + 3i 39 11i 26 + 5i) 4
{( 1 i 2 3i (l) V = M 2 2 (C) X = ( 2 + ) 2i 4 + i 2 + 8i 13 + i 1 1i 9 9i {( 1 + i i (m) V = M 2 2 (C) X = ( 2 ) i 1 + 3i 7 + 5i 3 + 18i 9 6i 3 + 7i ) ( 8i 4 3 3i 4 + 4i ) ( 1 7i 9 8i 1 + 1i 6 2i ) ( 25 38i 2 13i 12 78i 7 + 24i ) ( 11 132i 34 31i 7 126i 71 5i )} )} 33 Em R 2 seja β = {( ) ( 1 1 1 2 2 1 )} 2 2 Encontre os coeficientes de Fourier de (3 4) relativo a β 34 Seja X = {(1 i) (1 2 1)} em C 3 Calcule X 35 Seja X = {x } onde x é um vetor não nulo em R 3 Descreva X geometricamente Agora suponha que X = {x 1 x 2 } é um subconjunto linearmente independente de R 3 Descreva X geometricamente 36 Seja V um espaço com produto interno e seja W um subespaço finito dimensional de V Se x / W prove que existe y V tal que y W mas x y 37 Sejam β uma base para um subespaço W de um espaço V com produto interno e x V Prove que z W se e somente se z v = para todo v β 38 Prove que se {w 1 w 2 w n } é um conjunto ortogonal de vetores não nulos então os vetores v 1 v 2 v n obtidos do processo de Gram-Schmidt satisfaz v i = w i para i = 1 2 n 39 Seja W = S({(i 1)}) em C 3 Encontre uma base ortonormal de W e W 4 Seja W um subespaço finito dimensional de um espaço V com produto interno Prove que existe a projeção T em W ao longo de W que satisfaz Nu(T ) = W Além disso provar que T (x) x para todo x V 41 Seja A uma matriz n n com entradas complexas Prove que AA = I se e somente se as linhas de A formam uma base ortonormal de C n 42 Prove que para qualquer matriz A M m m (F ) (Im(L A )) = Nu(L A ) 43 Sejam V um espaço com produto interno X e X subconjuntos de V e W é um subespaço finito dimensional de V Prove os seguintes resultados: (a) X X implica que S X (b) X (X ) então S(X) (X ) (c) W = (W ) (d) V = W W 44 Sejam W 1 e W 2 subespaços de um espaço finito dimensional com produto interno Prove que (W 1 + W 2 ) = W 1 W 2 e (W 1 W 2 ) = W 1 + W 2 45 Seja V um espaço finito dimensional com produto interno sobre F (a) Identidade de Parseval Seja {v 1 v 2 v n } uma base ortonormal de V Para quaisquer x y V prove que x y = x v i y v i (b) Use (a) para provar que se β é uma base ortonormal de V com produto interno então para quaisquer x y V φ β (x) φ β (y) = [x] β [y] β = x y onde é o produto interno canônico em F n 5
46 (a) Desigualdade Bessel Sejam V um espaço com produto interno e X = {v 1 v 2 v n } um subconjunto ortonormal de V Prove que para qualquer x V temos que x 2 x v i 2 (b) No contexto de (a) prove que a desigualdade de Bessel é uma igualdade se e somente se x S(X) 47 Seja T um operador linear de um espaço V com produto interno Se T (x) y = para quaisquer x y V prove que T = T (T é a transformação nula) Na verdade prove este resultado se a igualdade é válida para todos os x e y em alguma base para V 48 Seja V = C([ 1 1]) Suponha que W P e W I denotam os subespaços de V consistente de funções pares e impares respectivamente Prove que (W P ) = W I onde o produto interno em V é definido por f g = 1 f(t)g(t)dt 49 Em cada uma das seguintes partes encontre a projeção ortogonal do vetor dado sobre o subespaço W dado do espaço V com produto interno (a) V = R 2 u = (2 6) e W = {(x y); y = 4x} (b) V = R 3 u = (2 1 3) e W = {(x y z); x + 3y 2z = } (c) V = P(R) com produto interno h(x) = 4 + 3x 2x 2 e W = P 1 (R) f(x) g(x) = f(t)g(t)dt 5 Em cada parte de Exercício 19 encontre a distância a partir do vetor dado para o subespaço W 51 Sejam V = C([ 1 1]) com produto interno f g = 1 f(t)g(t)dt e W o subespaço P 2 (R) visto com um espaço de funções Use a base ortonormal obtido no Exemplo 5 (feito em aula 9/7) para calcular a melhor (mais próximo) aproximação polinomial de segundo grau da função h(t) = e t no intervalo [ 1 1] 52 Sejam V = C([ 1]) com produto interno f g = f(t)g(t)dt Seja W o subespaço gerado pelo conjunto linearmente independente {t t} (a) Encontre uma base ortonormal de W (b) Seja h(t) = t 2 Use a base ortonormal obtida em (a) para obter a melhor (mais próximo) aproximação de h em W 53 Seja V o espaço vetorial definido no Exemplo 5 (feito em aula 9/7) o espaço das sequencias σ em F (onde F = R ou F = C) tal que σ(n) para apenas um número finito inteiros positivos n Para σ µ V definimos σ µ = σ(n)µ(n) Uma vez que todos mas um número finito de termos de séries são iguais a zero a série converge (a) Prove que é um produto interno em V e portanto V é um espaço com produto interno 6
(b) Para cada inteiro positivo n seja e n a sequencia definida por e n (k) = δ nk onde δ nk é o delta de Kronecker Prove que {e 1 e 2 } é uma base ortonormal para V (c) Seja σ n = e 1 + e n e W = S({σ n ; n 2}) (i) Prove que e 1 / W então W V (ii) Prove que W = {} e concluir que W (W ) Assim a hipótese no Exercício 43(c) que W é finito-dimensional é essencial Foz do Iguaçu 6 de julho de 218 Víctor Arturo Martínez León 7