RESUMO TÉCNICO DA CONCESSÃO DE BENEFÍCIO DO PCD INTRODUÇÃO O Pano de Contribuição Definida é aquee em que os benefícios são obtidos a partir da capitaização das contribuições efetuadas em nome do participante, até a data de concessão do benefício, acrescidas dos retornos obtidos nas apicações financeiras, acumuadas num fundo financeiro chamado Sado de Conta Tota de Participante. Para que o equiíbrio do pano seja mantido é necessário que se cumpra o chamado Princípio de Equivaência: o vaor presente do fuo de benefícios deve ser igua ao vaor do fundo para garanti-os. Logo, o vaor do benefício será determinado, por equivaência atuaria, com base no sado das contribuições acumuadas, até a data da concessão, no fundo financeiro, considerando, para ta, a taa de juros e a tábua biométrica adotadas no pano. Cabe ressatar que a TELOS tem, por hipótese, a epectativa que terá de pagar durante um tempo, determinado vaor de benefício, por esse motivo precisa constituir a necessária provisão para esses pagamentos. Contudo, como ta provisão gera rendimentos, não faria sentido que na sua determinação não entrasse uma taa de juros de desconto adequada (taa de juros é aquea que se obtêm já ecuindo da taa da infação). Do ponto de vista financeiro e atuaria, o Princípio de Equivaência se define como a iguadade, que deve eistir entre o Sado da Conta Tota do Participante com o vaor Atua Atuaria, no momento do início do pagamento do benefício TELOS, o qua é estabeecido na fórmua: Vaor do Sado de Conta Tota do Participante = Vaor Presente dos Benefícios de Aposentadoria O entendimento deste Princípio de Equivaência é muito importante para a compreensão do trabaho desenvovido. Para tanto, será necessário também o entendimento do fator atuaria. GNAT - 01/08/2007 1
NOÇÕES DE JUROS E ATUALIZAÇÃO FINANCEIRA Sabe-se que um capita C 0 considerado no instante t = 0, capitaizado a juros compostos à taa de juros i fia, até ao instante t, adquire o vaor: C t = C 0 (1+i) t. Inversamente, um capita que dentro de t anos vae C t, tem hoje o vaor: C 0 = C t (1+i) -t, Denotando por: v = (1+i) -1, então: C 0 = C t v t. Entende-se por vaor atua de um capita a ser pago em t anos, a quantia que, coocada a juros compostos durante t anos, adquire um vaor igua ao capita considerado. Logo, o vaor atua para 1 unidade de capita a ser investido nos próimos t anos é: v t NOÇÕES ELEMENTARES SOBRE PROBABILIDADE O cácuo das probabiidades é utiizado para mensurar a infuência do acaso ou azar nos acontecimentos. A definição cássica de probabiidade (p) é a reação entre os casos favoráveis de reaização de um acontecimento sobre os casos iguamente possíveis. Então, p = número de casos favoráveis número de casos possíveis A probabiidade contrária é representada pea etra q = 1 p Esta definição baseia-se na condição de que os fatos sejam iguamente prováveis. PROBABILIDADES ASSOCIADAS À FUNÇÃO DE SOBREVIVÊNCIA A anáise sistemática das contingências da vida humana constitui no fundamento do trabaho de um atuário. Na soução dos probemas envovendo essas contingências, ee necessita proceder aguns tipos de medição dos seus efeitos. A noção de sobrevivência, utiizada no presente teto está, todavia, intrinsecamente igada à duração da vida futura de uma pessoa, ou grupo de pessoas, em determinadas circunstâncias previamente definidas. A eiminação por morte das vidas individuais é um tanto forte nos primeiros anos de vida, decrescendo na meninice para crescer ao ongo da adoescência e da meia-idade e aceerar o crescimento com a aproimação do imite máimo de sobrevivência (ω). Procurando uma GNAT - 01/08/2007 2
quantificação da etensão desses efeitos, vamos começar por definir o conceito fundamenta de probabiidade. Tábuas de Mortaidade A Tábua de Mortaidade é uma tabea que aponta o número de pessoas da mesma idade, vivas em cada ano. As Tábuas de Mortaidade se compõem de seis counas, representadas por símboos que são de consenso universa: q p d Onde, = couna das idades q = probabiidade de mortaidade correspondente a cada idade (probabiidade de morte). p = probabiidade de sobrevivência correspondente a cada idade (probabiidade de sobrevivência). = quantidade de pessoas vivas em cada idade (provém da paavra ingesa iving). d = quantidade de pessoas mortas em cada idade (provém da paavra ingesa death). A construção de uma Tábua de Mortaidade é dependente do conhecimento que se tenha q para cada idade do universo em estudo. As demais funções da probabiidade de mortaidade ( ) da Tábua se originam do q. Cácuo de simpes, senão vejamos: Sendo q - probabiidade de morte é cacuada com base na noção de probabiidade d q =, tiramos o seguinte: número de óbitos d q = = número de vivos d = ou então d =. q q Cácuo de p - probabiidade de uma pessoa de idade sobreviver um ano também é cacuada pea noção de cácuo da probabiidade simpes, ou seja, número de casos favoráveis p = número de casos possíveis O número de vivos na idade é representado por, que identifica o número de casos possíveis; as pessoas que sobrevivem um ano formam o +1, representando, por conseguinte os casos favoráveis. Transpondo para a fórmua básica, teremos: p = + 1 GNAT - 01/08/2007 3
NOÇÕES SOBRE VALOR ATUAL ATUARIAL (fator atuaria) A questão a ser resovida aqui é: Qua é o vaor presente de uma soma de pagamentos para uma pessoa de idade quando atingir a idade +t? Que equivae à questão Qua a contribuição que as pessoas de idade devem fazer, a qua acumuada à taa de juros i, dará uma unidade de capita a ser pago a cada +t sobreviventes, no ano t? Para a soução da questão, é necessário considerar a cada ano, todas as pessoas que estarão vivas e então determinar o vaor presente dessa renda. Então, o vaor de 1 unidade de capita pagáve após t anos, se o indivíduo de idade está vivo é: +t 1..v t t = t p.v Denote por & a& o vaor atua de uma renda pagáve no início de cada ano ao indivíduo de idade enquanto ee estiver vivo. Logo, ω = t= 0 && t a t p.v Contudo, os pagamentos não são reaizados anuamente, mas sim pagos com freqüência mensa, portanto, a modificação no vaor atua da renda deve ser obtida considerando atua de uma renda que pague o vaor de 1 unidade de capita ao ano, ou 1/12 ao mês. & a& o vaor Para que a epressão & a& seja encontrada será necessário reaizar modificação na fórmua de & a& para a diferença do tempo dos pagamentos. Esse, o vaor presente pode ser descrito pea epressão: 1 && a = p.v 12 ω t/12 t= 0 Como é necessário evouir & a& em termos dos dados da Tábua de Mortaidade e como a epressão matemática de é desconhecida na forma mensa, eiste a dificudade da obtenção t/12 de t/12 p. Entretanto a epressão t/12 t/12 p.v pode ser aproimada por diversas formas. A obtenção da epressão & a& não será aqui apresentada, podendo ser encontrada na Bibiografia indicada. && a = & a 11 24 GNAT - 01/08/2007 4
CÁLCULO DO BENEFÍCIO TELOS OPÇÃO PELA RENDA MENSAL VITALÍCIA O vaor do benefício será determinado, conforme eposto anteriormente, com base no sado das contribuições acumuadas, até a data da concessão, na Conta Tota de Participante, por equivaência atuaria, considerando para ta a taa de juros e a tábua biométrica adotadas no pano. Visto que a TELOS, para esta opção, garante pagamentos enquanto o assistido estiver vivo, por prazos ongos, a questão dos juros envovendo os vaores considerados deve ser equacionada, atendendo assim os compromissos reativos aos pagamentos dos benefícios. Devido à compeidade dos cácuos atuariais envovendo a opção de reversão da renda mensa para beneficiários egais e indicados, optamos pea apresentação da formuação matemática do benefício TELOS para o participante que não optou por essa reversão. Seja, Sado o vaor do Sado de Conta Tota do Participante, no primeiro dia úti do mês de competência; - idade do participante na data da concessão; b - benefício mensa cacuado A equação que representa o equiíbrio atuaria da operação na data de concessão é: Sado = 13.b.& a Logo, b Sado = 13.a && Cabe ressatar, que se o participante optar por sacar percentua à vista no momento da concessão, esse vaor será retirado do sado da Conta Tota do Participante, não sendo parte integrante do cácuo do benefício. GNAT - 01/08/2007 5
CONSIDERAÇÕES FINAIS É certo que muitos dos conhecimentos aqui apontados necessitariam ter maior desenvovimento, no entanto, para uma primeira abordagem da matéria tratada, maior profundidade dos temas poderia resutar confusa e não totamente aproveitáve. De quaquer forma, para mais informações recomendamos a eitura compementar das obras citadas na bibiografia, que apresentam superior detahe anaítico. GNAT - 01/08/2007 6
BIBLIOGARFIA Abeardo de Lima Puccini; Matemática Financeira, Editora Saraiva. Samue Hazzan, José Nicoau Pompeo; Matemática Financeira, Editora Saraiva. Morris H. DeGroot; Probabiity and Statistics. Shedon M. Ross; Introduction to Probabiity Modes; Bowers, Newton, Hans Geber, James Hickman, Donad Jones e Ceci Nesbit; Actuaria Mathematics, The Society of Actuaries, Iinois. Nei, Aister; Life Contingences, A. Heinemann; GNAT - 01/08/2007 7