Bhaskara Função Quadrática ou Função do 2º grau Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com
a: é o coeficiente de x 2 b: é o coeficiente de x c: é o termo independente Exemplos: f(x) = x 2 + 8x 4, em que a = 1, b = 8 e c = 4 g(x) = 2x 2 + 3x, em que a = 2, b = 3 e c = 0 h(x) = x 2, em que a = 1, b = 0 e c = 0 2
Gráfico da Função Quadrática Parábola com concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0. 3
Algumas Aplicações 4
Exercitando... Dadas as funções quadráticas determine os coeficientes a, b e c de cada função. a) f(x) = x 2-6x +8 a = ; b = ; c = b) y = -3x 2 + 4x 4 a = ; b = ; c = c) f(x) = x 2 6 a = ; b = ; c = d) y = -2x 2 + 8x a = ; b = ; c = e) f(x) = x 2 1 a = ; b = ; c =
Ler a teoria da p. 86 até 93 Rever os exercícios resolvidos da p. 94 e 95: R1, R2 e R3 Fazer as atividades da p. 96: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12. 7
ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau 1º caso: b = 0 Igualar a função a zero Isolar a variável x a) f(x) = x 2 9 b) f(x) = 2x 2 14 c) f(x) = x 2 + 9
Atividades Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x 2 16 b) y = x 2 + 36 c) f(x) = 2x 2 8 d) y = 2x 2 + 10 e) f(x) = 2x 2 6 f) y = x 2 + 10 R : a) 4; b) 6; c) 2; d) 5; e) 3; f) 10
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau 2º caso: c = 0 Igualar a função a zero Colocar a variável x em evidência. a) f(x) = x 2 5x b) f(x) = x 2 + 2x c) f(x) = 2x 2 + 6x x 2 5x = 0 x(x 5) = 0 Raízes: x = 0 x = 5 x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 Raízes: x = 0 x = 2 2x 2 + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 Raízes: x = 0 x = 3
Atividades Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x 2 + 3x b) y = x 2 + 4x c) f(x) = x 2 4x d) y = x 2 5x e) f(x) = 2x 2 12x f) y = 2x 2 2x R: a) x = 0 e x = 3; b) x = 0 e x = 4; c) x = 0 e x = 4; d) x = 0 e x = 5; e) x = 0 e x = 6; f) x = 0 e x = 1;
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau 3º caso: cálculo das raízes da função completa Soma e Produto (Relação de Girard) Exemplo 1: y = x 2 5x + 6 b ( 5) X ' X '' 5 a 1 c 6 X '. X '' 6 a 1 S = (2, 3) Exemplo 2: f(x) = x 2 + 2x - 3 b 2 X ' X '' 2 a 1 c 3 X '. X '' 3 a 1 S = ( 3, 1)
Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara 3º caso: cálculo das raízes da função completa Fórmula de Bháskara
Estudo do Gráfico de uma função Quadrática
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau a) f(x) = x 2 7x + 6 b) f(x) = 9x 2 + 6x + 1 c) f(x) = -2x 2 + 3x - 5 x 2 7x + 6 = 0 9x 2 + 6x + 1 = 0 b 2 ( 7) 4.a.c 2 4.1.6 2 b 4. 2 (6) 4.9.1 49 24 36 36 25 0 a. c ( 7) 25 6 0 x x 2.1 2.9 7 5 6 0 1 x' 6 x' 2 18 3 7 5 6 0 1 x'' 1 x'' 2 18 3 b 2 4.a.c 2 (3) 4.( 2).( 5) 9 40 31
Atividades Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x² + 3x 10 b) f(x) = 4x² 4x + 2 c) y = 2x 2 4x + 5 d) y = x² 6x + 5 e) y = x² + 6x + 5 f) f(x) = x 2 + 12x + 20 g) f(x) = 2x 2 3x + 5 f(x) = 5x 2 + 10x + 5 17
Ler a teoria da p. 98 e 99 Rever os exercícios resolvidos da p. 100: R5 e R6. Fazer as atividades da p. 101: 14, 15, 17, 18. 18
Cálculo do Vértice de uma Parábola Valor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática x y v v b 2a 4a Valor Máximo a > 0 a < 0 Valor Mínimo
Exemplos 1) Calcule o vértice da parábola y = x 2 2x + 5. V = (1, 4) 2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função definida por y = 2x 2 5x + 2. As coordenadas do vértice V da parábola são:
3) Determine as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x 2 2x 3 e diga se é um ponto de máximo ou de mínimo da função. a) V (1, 4); ponto de mínimo b) V (2, 4); ponto de máximo c) V ( 1, 4); ponto de máximo d) V (2, 4); ponto de mínimo 21
Atividades Para cada função encontre o vértice e classifique-o como um ponto de máximo ou de mínimo. a) f(x) = x 2 + 8x + 9 b) f(x) = x 2 + 4x + 4 c) f(x) = 4x 2 + 8x 3 d) f(x) = x 2 + 2x 1 e) f(x) = x 2 + 9 f) f(x) = x 2 9x Gabarito: a) ( 4, 7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximo c) ( 1, 7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximo e) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, 9), ponto de máximo 22
Aplicações Exemplo 1: O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função L(x) = 5x 2 + 100x 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo? b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos? 23
Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por C(x) = 3x 2 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x 2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) C(x) seja máximo, devem ser vendidas: a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40 t 5t 2 onde a altura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Calcule: a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima. a) A altura máxima atingida pelo objeto. 24
Exercícios: Máximo e Mínimo (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k.x.(p x), onde k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. e) 44.000. b 44.000k xv 22.000 2a 2k
2. A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h é dado por C(x) = 0,006x 2 0,6x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo? a) 46 km/h b) 47 km/h c) 48 km/h d) 49 km/h e) 50 km/h x v b ( 0,6) 2a 2.0,006 50 km / h
3. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t 2 + 8t, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Calcule: a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima; b) A altura máxima atingida pela bola. a) 2 s b) 8 m
4. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t t 2. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo? a) 1,0 s d) 2,5 s b) 1,5 s e) 3,0 s c) 2,0 s Letra C 5. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P, em recipientes, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n 2 + 50n + 6.000. Calcule: a) A produção se o número de operadores for 4. b) A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores.
Ler a teoria da p. 102 e 103 Rever os exercícios resolvidos da p. 105: R7 e R8. Fazer as atividades da p. 106: 25, 26, 29, 30 e 35. 29
https://www.youtube.com/watch?v=z5avw_zgifk Conceitos iniciais https://www.youtube.com/watch?v=lhgkspayq5w Vértice da Parábola https://www.youtube.com/watch?v=x3fh88dfmpo Máximos e mínimos 30
Referências Bibliográficas BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: Interação e tecnologia, volume 1, 2ª edição. São Paulo: LeYa, 2016. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações: Ensino médio: volume único. São Paulo: Ática, 2009. GIOVANNI, José Rui, BONJORNO, José Roberto, GIOVANNI, José Rui Jr. Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. Volume único. São Paulo: FTD, 2011. 31