CAPÍTULO 3 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA VIA FERROVIÁRIA

CAPÍTULO 3 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA VIA FERROVIÁRIA Este cítulo resenta a formulação para a eterminação as tensões e as eformações na via ferroviária, seguno as teorias e via longituinal e via transversal, com ênfase aos métoos e ZIMMERMANN e TALBOT. São escritos os valores mais comuns aotaos para o coeficiente e lastro e para o móulo e via. Para projeto e imensionamento os elementos que compõem a superestrutura e a infra-estrutura as ferrovias, é muito importante o conhecimento o comportamento mecânico a via ferroviária frente às ações introuzias pelos veículos em movimento. RIVES et al. (1977) informam que o estuo teórico as eformações e uma via ferroviária é e grane compleiae, pelos seguintes motivos: a) os elementos a via são muito iferentes entre si; b) os elementos a via têm rigiezes muito iferentes; c) as resistências o lastro e a plataforma são muito variáveis; ) eistência e veículos com características iferentes; e) iferenças e velociae.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 1 Desse moo, as ações introuzias na via são aleatórias e inâmicas, o que ificulta, até o presente momento, a aoção e moelos matemáticos eatos. CLARKE (1957) afirma que nenhum cálculo e tensões ou eformações na via poe ser consierao como eato. As variáveis envolvias são numerosas, mas um tratamento analítico utilizável é e grane valor para a comparação com aos eperimentais e para a eterminação e prováveis tensões na via prouzias por qualquer novo projeto e veículo. Assim, o projeto baseia-se sobre as solicitações prouzias por forças estáticas concentraas isolaas e na ireção vertical, o que não correspone à realiae, pois as solicitações são inâmicas e triimensionais. 3.1 AÇÕES DOS VEÍCULOS NA VIA PERMANENTE As ações provenientes os veículos em movimento na via permanente são mostraas na fig. 3.1. Poem ser classificaas como: a) Ações verticais: são as forças eercias pelas roas os veículos e consieraas concentraas sobre os trilhos; b) Ações laterais horizontais: são provocaas pelas forças e guia os veículos, tanto em retas como principalmente nas curvas; c) Ações longituinais horizontais: são provocaas pelas acelerações (principalmente nas partias) e esacelerações (frenagens) os veículos. Em vias com trilhos longos solaos, a principal causa as ações longituinais são as variações e temperatura nos trilhos. Fig. 3.1 - Movimentos e um veículo na via permanente ferroviária. Seguno SCHRAMM (1977) as ações verticais o veículo em repouso poem ser eterminaas com faciliae e precisão. Já a eterminação as ações verticais com o veículo em movimento é ifícil e imprecisa. As ações laterais horizontais são eterminaas com bastante roimação. As ações longituinais horizontais provocaas por

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 2 acelerações e frenagens são muito pequenas em relação às emais ações e poem, assim, ser esprezaas. As ações longituinais evias às variações e temperatura são eterminaas com bastante precisão no caso e linhas solaas contínuas. SCHRAMM (1977) iz que eistem aina imprecisões e incertezas em relação às ações que atuam nos trilhos e as tensões nos trilhos variam entre largos limites. E na eterminação as tensões na via permanente não se eve contar com o mesmo grau e precisão obtio com estruturas como pontes e outras. A incerteza quanto aos aos básicos implica, obviamente, também na incerteza em relação aos resultaos. Portanto, na eterminação as tensões, é ilusório procurar atingir maior grau e precisão através a sofisticação os cálculos. Mais importante que a veraeira graneza as tensões é a comparação o comportamento e iferentes tipos e cargas, perfis e trilhos, espaçamento os ormentes etc. Até o presente momento, enas as ações verticais são consieraas no projeto e imensionamento os elementos que compõem a via permanente. As ações transversais são consieraas para limitar a velociae máima os veículos e as ações longituinais para verificar a flambagem a via. Devio à simplificação que se faz em se consierar a atuação somente as cargas verticais os veículos na via, há em conseqüência uma fleão os trilhos e ormentes e um estao e compressão o lastro e a plataforma. RIVES et al. (1977) afirmam que, no momento, o conhecimento as ações que atuam sobre a via, como conseqüência o movimento os veículos, está longe e se poer consierar completamente resolvio. Dese o início as investigações no século XIX, para análise os esforços atuantes nos elementos constituintes a via permanente, poe-se separar as teorias ou hipóteses em ois grupos principais: - os estuos realizaos com base em que o trilho é uma viga oiaa, e maneira contínua e uniforme - via longituinal; - os estuos realizaos com base em que o trilho é uma viga contínua, com oios (ormentes) eqüiistantes - via transversal. 3.2 VIA LONGITUDINAL - TENSÕES DEVIDAS ÀS AÇÕES VERTICAIS No século XIX, ois tipos e oios para os trilhos eram usaos: longituinais e transversais. No longituinal, os trilhos eram continuamente suportaos ao longo e seu comprimento; nos oios transversais, os trilhos eram suportaos por ormentes convenientemente espaçaos. Com as várias eficiências observaas, a via longituinal teve o seu uso iminuío urante a última metae o século XIX.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 3 WINKLER (1867) u KERR (1978) 1 analisou as tensões nos trilhos e vias longituinais consierano os trilhos como vigas continuamente oiaas. A equação iferencial obtia para uma viga elástica foi: EI y p q + ( ) = ( ) (3.1) Na eq. 3.1, y representa o eslocamento vertical o trilho na posição, q é a carga ou reação vertical istribuía, EI é a rigiez à fleão o trilho e os oios longituinais e p é a pressão e contato contínua entre o oio longituinal e a sua base. Para a reação na base, WINKLER (1867) propôs a relação: p = C y (3.2) ( ) ( ) com C seno um parâmetro a base o oio longituinal, chamao coeficiente e lastro ou coeficiente e Winkler (valor que epene a natureza e a composição o lastro e o solo). Substituino a eq. 3.2 na 3.1, resulta a equação e WINKLER para uma viga sobre base elástica (fig. 3.2). EI y C y q + = (3.3) y Fig. 3.2 - Viga continuamente oiaa sobre uma base elástica e submetia a uma carga vertical (FONTE: KERR - 1978). 3.2.1 Métoo e ZIMMERMANN 1 WINKLER, E. (1867). Die Lehre von er Elasticität un Festigkeit. Verlag von H. Dominicus, Praga, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária No final o século XIX, ao mesmo tempo que esenvolvia a teoria e representar a via como uma viga sobre oios iscretos, ZIMMERMANN (1888) u KERR (1978) 2 investigava também a via como uma viga sobre oio contínuo e uniforme. ZIMMERMANN (1888) supôs o trilho como uma viga continuamente oiaa sobre molas, representano os ormentes, o lastro e a plataforma com uma força concentraa isolaa Q (fig. 3.3). b v Fig. 3.3 - Moelo e ZIMMERMANN para via em viga com oios contínuos (FONTE: RIVES et al. - 1977). Da Resistência os Materiais, consierano um elemento a viga e comprimento (fig. 3.), seno: M = momento fletor; V = força cortante; q = reação e oio o trilho; y = eslocamento vertical o trilho. V = q (3.) V V + V M q = V = V V (3.5) M Fig. 3. - Solicitações no elemento e comprimento. e seno M 2 = EI y 2, poe-se euzir: 2 ZIMMERMANN, H. (1888). Die berechnung es eisenbahnoberbaues. Verlag W. Ernst & Sohn, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 5 q = EI y (3.6) De acoro com a hipótese e WINKLER representaa na eq. 3.2 e consierano a largura b v a viga tem-se: q = bv C y (3.7) Substituino a eq. 3.7 na 3.6 obtém-se: EI y + b C y = 0 (3.8) v trilho: Da eq. 3.8 resulta o eslocamento y e o momento fletor M em qualquer seção o y Q 1 b C L e L = cos + sen (3.9) 2 L L v M Q L e L = cos sen (3.10) L L com EI L = (3.11) bv C seno a istância o ponto e licação a força Q à seção consieraa o trilho. A fig. 3.5 ilustra os resultaos obtios por ZIMMERMANN (1888). Poe-se observar que os valores máimos o eslocamento e o momento fletor ocorrem no ponto e licação a força Q. A partir a eq. 3.2 (hipótese e WINKLER), euz-se a pressão atuante em caa ponto e oio: p = C y = Q b C v 2 b EI v e L cos + sen (3.12) L L

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 6 a) Q b) Q a) linha e influência os eslocamentos o trilho; b) linha e influência os momentos fletores no trilho. Fig. 3.5 - Resultaos e ZIMMERMANN (FONTE: RIVES et al. 1977). 3.2.2 Métoo e TALBOT Sob a ireção o Professor TALBOT, o Special Committee on Stress in Railroa Track a ASCE-AREA publicou em 1918, nos Estaos Unios, o primeiro relatório (e um total e sete relatórios, e 1918 a 192) e um os mais etensos trabalhos sobre tensões e eformações a via permanente. TALBOT (1918) esenvolveu seu moelo e forma semelhante ao e ZIMMERMANN, com a iferença e que introuziu um coeficiente chamao móulo e via (U) cujo significao é: a carga uniformemente istribuía ao longo o trilho que prouz um recalque unitário este. Deste moo, TALBOT supôs que o trilho óia-se e moo contínuo sobre um suporte elástico e com a licação e uma força concentraa Q. A reação na base o trilho é: q = U y (3.13) Substituino a eq. 3.13 na 3.6 tem-se:

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 7 EI y U y = (3.1) A solução a eq. 3.1 resulta nos eslocamentos y e nos momentos fletores M no trilho, para uma istância o ponto e licação a força Q: y 1 Q EI U e L = cos + sen (3.15) 3 6 L L M Q EIU e L = cos sen (3.16) 6 L L EI com L = (3.17) U A fig. 3.6 mostra graficamente a variação os eslocamentos e os momentos fletores no trilho, sob a força concentraa Q. Observa-se que o momento fletor é máimo no ponto e licação a força Q e anula-se a uma istância 1 : 1 = π EI U (3.18) O eslocamento o trilho anula-se na istância 3 1. Fazeno = 0 na eq. 3.15 e licano na eq. 3.13 tem-se a força máima na base o trilho (força sobre o ormente), com a variável a seno a istância entre os eios os ormentes: 1 Q a U P = U a y = U a Q = (3.19) 3 6 EI U 2 EI

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 8 Fig. 3.6 - Variação os eslocamentos e momentos fletores no trilho obtios por TALBOT. (FONTE: TALBOT - 1918). 3.2.3 Métoo e TIMOSHENKO-SALLER-HANKER TIMOSHENKO-SALLER-HANKER esenvolveram o métoo com base nas epressões e ZIMMERMANN. Consieram que, se o trabalho o trilho seguno a via longituinal ou a via transversal é o mesmo, a superfície e oio os ois sistemas eve ser igual. Isso resulta que a área e oio o ormente no lastro eve ser igual à área e oio a viga longituinal no lastro. Definino-se a área e oio a viga longituinal e a sua igualae com a área e oio o ormente tem-se: b a = b l b = v v b l a (3.20) seno: a = istância entre os eios os ormentes; b = largura o ormente; l = comprimento e oio o ormente no lastro.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 9 Substituino a eq. 3.20 nas eq. 3.9 a 3.12 efine-se o eslocamento, o momento fletor e a pressão na base o trilho para a via com ormentes eqüiistantes. y Q a b l C e L = cos + sen (3.21) 2 b l C EI a L L M Q EI a b C e L = cos sen (3.22) l L L p com L = = C y = EI a b l C Q a b l C b EI a e L cos + sen (3.23) 2 l L L A força resultante no ormente, licaa pelo trilho, é: P = b l C y = b l C Q a b l C b C EI a e L cos + sen 2 l L L P Q a b l C EI a e L = cos + sen (3.2) 2 L L Se simplificaamente se consierar l = a, com = 0, a eq. 3.2 fica: P = Q a b C (3.25) 2 EI Seguno RIVES et al. (1977) as equações anteriores são a base para os cálculos empregaos no imensionamento e ormentes atualmente na Europa. Estas equações são conhecias como o métoo e ZIMMERMANN e, conforme numerosas meias eperimentais realizaas em via por EISENMANN, as equações proporcionam valores méios representativos a prática para velociaes inferiores a 200 km/h. Com l = a e a comparação entre as eq. 3.19 e 3.25 verifica-se a relação eistente entre o móulo e via U e o coeficiente e lastro C, ou seja: U = b C (3.26) 3.3 VIA TRANSVERSAL - TENSÕES DEVIDAS ÀS AÇÕES VERTICAIS

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 50 As teorias para viga com oios eqüiistantes foram esenvolvias teno o tipo e oio a viga como a hipótese básica, ou seja, se o oio é rígio ou elástico. A análise as tensões para a via com ormentes transversais iniciou com a consieração o trilho suposto como uma viga sobre oios iscretos rígios. WINKLER (1875) u KERR (1978) 3 resentou o seu moelo consierano o trilho como uma viga e comprimento infinito, sem peso próprio e com infinitos oios iscretos e rígios (fig. 3.7). Fig. 3.7 - Moelo e WINKLER (FONTE: KERR - 1978). Para a istribuição e carga o seu moelo, o maior momento fletor é: M = 0,1888 Q a (3.27) ZIMMERMANN (1888) u KERR (1978) resenta o cálculo as tensões e fleão consierano o trilho como uma viga elástica finita sobre quatro oios iscretos e elásticos (fig. 3.8). O maior momento fletor, atuante na posição a força Q, é: M = 8γ + 7 Q a γ + 10 (3.28) one γ é um parâmetro o oio iscreto elástico. 3 WINKLER, E. (1875). Der eisenbahn-oberbau. Velag von H. Dominicus, Praga, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3. ZIMMERMANN, H. (1888). Die Berechnung es Eisenbahnoberbaues. Verlag, W. Ernst & Sohn, Berlin, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 51 Fig. 3.8 - Moelo e ZIMMERMANN (FONTE: KERR - 1978). SCHWEDLER (1882) u KERR (1978) 5 propôs seu moelo consierano o trilho como uma viga sobre oito oios elásticos submetia a uma força concentraa. Para cálculo o maior momento fletor, ele encontrou uma equação semelhante à eq. 3.28. ENGESSER (1888) u KERR (1978) 6 propôs seu moelo consierano o trilho como uma viga infinita sobre oios elásticos eqüiistantes, submetia a forças concentraas também eqüiistantes (fig. 3.9). Para o maior momento fletor, a epressão obtia foi: M 19γ + Q a = 3γ + 1 2 (3.29) Fig. 3.9 - Moelo e ENGESSER (FONTE: KERR - 1978). KERR (1978) informa que evio às ificulaes e cálculo e vigas sobre muitos oios iscretos, pois envolve a solução e equações algébricas simultâneas, houve a tentativa e analisar as tensões e fleão nos trilhos e vias com ormentes transversais, a mesma forma como uma viga oiaa continuamente (via longituinal). Nas écaas 5 SCHWEDLER, J. W. (1882). On iron permanent way. Proc. Institution of Civil Engineers, Lonon, p.95-118, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3. 6 ENGESSER, F. (1888). Zur Berechnung es Eisenbahnoberbaues. Organ für ie Fortschritte es Eisenbahnwesens, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 52 passaas, com o crescente aumento a carga os eios os veículos, houve um ecréscimo no espaçamento os ormentes, acentuano assim a suposição a continuiae. Vários estuiosos realizaram pesquisas a fim e comparar os resultaos e vigas sobre oios iscretos e elásticos com os resultaos e vigas sobre uma base contínua (WINKLER). Verificou-se uma boa concorância entre os resultaos comparaos. A ASCE-AREA (1918) realizou uma comparação entre os resultaos obtios com a eq. 3.3 e os resultaos reais a via permanente; a comparação entre os momentos fletores mostrou uma boa roimação. KERR (1978) iz que evio à corresponência obtia nos estuos comparativos, e a ausência e uma melhor (e simples) roimação analítica, a valiae a suposição a continuiae, em conjunto com a hipótese e WINKLER (eq. 3.2), foi aceita por um número e ferrovias como a base para a análise também e vias com ormentes transversais. WASIUTYNSKI (1937) u KERR (1978) 7, publicou os resultaos e uma etensa pesquisa eperimental realizaa em via. Ele comparou os resultaos obtios em via com os resultaos analíticos calculaos com a eq. 3.3, e concluiu haver uma concorância entre as eformações e momentos fletores nos trilhos, confirmano que a eq. 3.3 é segura para a análise e trilhos em vias com ormentes transversais. 3. VALORES ADOTADOS PARA O COEFICIENTE DE LASTRO EISENMANN (197) u RIVES et al. (1977) 8 propôs utilizar os valores o coeficiente e Winkler ou coeficiente e lastro, em função o tipo e infra-estrutura consieraa: 0,02 kn/cm 3 para infra-estrutura ruim, 0,05 kn/cm 3 para boa e 0,10 kn/cm 3 para muito boa. Os valores menores e C inicam solos mais plásticos e valores maiores inicam solos mais resistentes. A eterminação o coeficiente e lastro é feita através e eperiências, que têm custo elevao e são etremamente trabalhosas. SCHRAMM (1977) chama o coeficiente e lastro (C) como coeficiente e recalque o oio ou coeficiente e compressibiliae o oio. Informa que ós mais e 20.000 meições realizaas na Europa, chegou-se a 7 WASIUTYNSKI, A. (1937). Recherches Eperimentales sur le Déformation Elastiques et le Travail e la Superstructure es Chemins e Fer. Annales e l Acaemie es Sciences Techniques à Varsavie, v. IV, Dreno, Paris, u KERR, A. D. (1978). On the Stress Analysis of Rails an Ties. American Railway Engineering Association (AREA), Bulletin 659, p.19-3. 8 EISENMANN J. et al. (197). Forschungs sarbeiten, auf em gebiet es Eisenbahn-un strassenoberbaues. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin, u RIVES et al. (1977). Tratao e Ferrocarriles I - Via. Mari, E. Ruea, 692p.

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 53 valores e C entre 0,05 e 0,0 kn/cm 3. Mas com esta faia e variação muito grane, não foi possível relacionar o valor e C com o tipo o solo ou o lastro. Objetivano a obtenção e valores mais precisos, e também eterminar as proporções com que o lastro e o solo participam separaamente, num trecho e via próimo a Munique, foram realizaas meições consieraas e alta confiabiliae. A rigor, os resultaos obtios inicam o coeficiente e lastro somente para aquele pequeno trecho a via, ou outros trechos com iênticas conições. Para obter valores méios e efetiva valiae generalizaa, seria necessário instalar centenas e meições. Das meições realizaas, resultaram valores para C e 0,096 a 0,32 kn/cm 3. SCHRAMM (1977) inica que, não seno possível eterminar, com certa segurança e para caa caso particular, os valores para C, é melhor amitir valores méios prováveis, mais ou menos arbitrários. Recomena não arbitrar os valores mais esfavoráveis (C mínimo), mas sim um valor méio, aferio com maior freqüência. Para via com ormentes e maeira, com área e oio e 5.60 cm 2 inica C = 0,16 kn/cm 3. 3.5 VALORES ADOTADOS PARA O MÓDULO DE VIA O valor o móulo está relacionao com o tipo e ormente, o seu espaçamento, profuniae o lastro, resistência a plataforma e tipo e espécie e socaria com que é mantia a via. É muito influenciao pelo número e ormentes por quilômetro (ou espaçamento os ormentes). Um menor espaçamento os ormentes leva a uma maior rigiez a via e conseqüentemente uma maior resistência à eformação, o que resulta em um móulo a via maior. O móulo a via (U) é uma variável licaa no métoo e TALBOT (item 3.2.2). TALBOT inicou os limites e variação para o móulo os valores e 0,37 a 3,57 kn/cm 2. STOPATTO (1987) iz que, para a bitola larga brasileira (1.600 mm), o móulo igual a 1,0 kn/cm 2 fica compreenio entre 1.500 e 2.000 psi as ferrovias americanas, valores consieraos muito bons para vias com ormentes e maeira. ALIAS (1977) classifica a qualiae a via em função o móulo a via o seguinte moo: - U = 0,96 kn/cm 2 via ruim; - U = 2,88 kn/cm 2 via méia; - U = 5,76 kn/cm 2 via boa. Em trabalho realizao pelo IPT (1985) para a Companhia Vale o Rio Doce, a eterminação o móulo a via na Estraa e Ferro Carajás inicou valores e,15 e 6,78 kn/cm 2, que corresponem a ferrovias e boa qualiae. Em outra eterminação o móulo a via para a mesma ferrovia, o IPT (1993) meiu os valores e,2 e 3,7 kn/cm 2

C. 3 - Tensões e Deformações na Via Ferroviária 5 para uas iferentes locações, valores que classificaram a via como seno e boa qualiae.